矩阵范数
矩阵的范数
矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。
三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。
矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。
一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。
诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。
当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。
矩阵范数详解
向量和矩阵的范数的若干难点导引矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mnC上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下，111||||||m niji j A a===∑∑()12tr()HA A =； （1.1）在2l -范数意义下，12211||||||m n F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑， （1.2）注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m nA O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m n n l m lC C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||∙，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C ⨯∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们，三角不等式的验证。
矩阵的范数计算公式
矩阵的范数：了解计算公式你是否对矩阵的范数感到困惑？本文将为你介绍矩阵范数的概念，以及如何计算矩阵范数。
矩阵范数是一个重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点。
矩阵范数可以看作是衡量矩阵大小的方法，类似于向量范数衡量向量大小的方法。
在实际应用中，我们需要计算矩阵的范数来评估矩阵的稳定性、误差，以及矩阵变换的影响等等。
那么，如何计算矩阵的范数呢？我们先来看一下矩阵范数的定义：对于一个矩阵A，它的p范数定义为：||A||_p = max_{x ≠ 0} {|Ax|_p / |x|_p}其中，|x|_p表示x的p范数，即：|x|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{1/p}该式表示的是矩阵A的所有列向量的p范数中的最大值，因此也被称为列范数（column norm）。
特别地，当p取值为1、2、正无穷大时，分别得到矩阵的1范数、2范数和无穷大范数。
其中，1范数表示矩阵每列元素绝对值之和的最大值，2范数表示矩阵的最大奇异值，无穷大范数表示矩阵每行元素绝对值之和的最大值。
对于一般的矩阵，计算范数有时会比较困难，因此我们通常使用数值方法来计算矩阵范数。
其中，最常用的方法是幂法（power method）。
幂法可以快速求解矩阵的最大奇异值和对应的左右奇异向量。
幂法的基本思路是反复用矩阵A乘以向量x，然后对x进行归一化，重复以上步骤直至收敛。
收敛后得到的x即为A的一个右奇异向量，而|Ax|/|x|则为相应的奇异值。
反复进行上述步骤，直至得到所有的奇异向量和奇异值。
除了幂法之外，还有很多其他的数值方法用来计算矩阵范数，例如QR方法、雅可比方法等等。
了解了矩阵范数的定义和计算方法之后，我们就可以更好地理解矩阵的性质和特点，应用于实际的科学计算和工程问题中。
矩阵范数的表示形式
矩阵范数的表示形式矩阵范数是用来衡量矩阵的大小的一种方法。
在线性代数中，矩阵是由行和列组成的二维数组。
矩阵范数可以用来衡量矩阵在不同方面的表现，比如矩阵的大小、稳定性和特征等。
在数学中，矩阵范数有多种表示形式。
其中，常见的矩阵范数包括谱范数、F范数、一范数和无穷范数等。
谱范数是矩阵的最大奇异值，它衡量了矩阵在所有方向上的最大放大率。
谱范数的定义是矩阵A的最大奇异值，即∥A∥₂=max│λ│，其中λ表示A的特征值。
谱范数可以用来衡量矩阵的稳定性和敏感度。
F范数是矩阵元素的平方和的平方根，它衡量了矩阵在所有方向上的平均放大率。
F范数的定义是∥A∥_F=√(∑_i∑_j|a_ij|^2)，其中a_ij 表示矩阵A的第i行第j列的元素。
F范数可以用来衡量矩阵的大小和稳定性。
一范数是矩阵的列向量的绝对值之和的最大值，它衡量了矩阵在所有方向上的最大放大率。
一范数的定义是∥A∥_1=max(∑_i|a_ij|)，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
一范数可以用来衡量矩阵的稀疏性和稳定性。
无穷范数是矩阵的行向量的绝对值之和的最大值，它衡量了矩阵在所有方向上的最大放大率。
无穷范数的定义是∥A∥_∞=max(∑_j|a_ij|)，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
无穷范数可以用来衡量矩阵的稀疏性和稳定性。
除了以上常见的矩阵范数，还有其他一些矩阵范数的表示形式，比如Hilbert-Schmidt范数、Schatten范数和重量范数等。
这些范数可以用来衡量矩阵的特征和性质。
总结起来，矩阵范数是用来衡量矩阵的大小和性质的一种方法。
不同的矩阵范数可以从不同的角度来描述矩阵的特征和性质。
在实际应用中，选择合适的矩阵范数可以更好地理解和分析矩阵的行为和特点。
矩阵范数的表示形式有多种，每种表示形式都有其独特的特点和应用场景。
了解和掌握不同矩阵范数的表示形式，可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识。
矩阵范数的计算公式
矩阵范数的计算公式矩阵范数是在线性代数中常常被使用的一个概念，它是用来度量矩阵的大小或者矩阵之间的距离的一种方法。
在实际应用中，矩阵范数有着广泛的应用，比如用于矩阵的条件数计算、矩阵的特征值估计等。
矩阵范数的计算公式如下：对于一个矩阵A，它的范数可以表示为：||A|| = max{||Ax|| / ||x||}，其中||x||表示向量x的范数，Ax表示矩阵A乘以向量x的结果。
矩阵范数有很多种不同的定义方式，常见的有以下几种：1. 1范数（L1范数）：矩阵A的1范数定义为：||A||1 = max{sum(abs(A(:,i)))}，即矩阵A的每一列的绝对值之和的最大值。
2. 2范数（L2范数）：矩阵A的2范数定义为：||A||2 = sqrt(max{eig(A' * A)})，即矩阵A的转置矩阵与自身的乘积的特征值的最大值的平方根。
3. 无穷范数（L∞范数）：矩阵A的无穷范数定义为：||A||∞ = max{sum(abs(A(i,:)))}，即矩阵A的每一行的绝对值之和的最大值。
这些范数的计算公式可以帮助我们准确地度量矩阵的大小或者矩阵之间的距离。
不同的范数对于矩阵的特征有不同的描述能力。
比如1范数对于稀疏矩阵有较好的描述能力，2范数对于谱半径较小的矩阵有较好的描述能力，无穷范数对于行或列之间差异较大的矩阵有较好的描述能力。
除了上述常见的矩阵范数外，还有其他一些特殊的矩阵范数，比如F范数、核范数等。
F范数是指矩阵A的所有元素的平方和的平方根，可以表示为：||A||F = sqrt(sum(sum(abs(A).^2)))。
核范数是用来度量矩阵A的秩的近似程度，可以表示为：||A||* = sum(svd(A))，其中svd(A)表示矩阵A的奇异值分解。
在实际应用中，选择合适的矩阵范数对于问题的求解和分析都非常重要。
不同的范数有着不同的性质和应用领域，我们需要根据具体问题的需求选择适当的范数。
矩阵范数的计算公式
矩阵范数的计算公式矩阵范数是用来衡量矩阵的大小或者特征的一个重要概念。
在数学和计算机科学领域，存在多种矩阵范数，如Frobenius范数、1-范数、2-范数、无穷范数等等。
这些范数具有不同的定义和计算公式，适用于不同的应用场景。
1. Frobenius范数（Frobenius Norm）：Frobenius范数是矩阵中元素的平方和的平方根。
对于一个m某n的矩阵A，Frobenius范数的计算公式为：A，_F = sqrt(sum(A_ij^2)2. 1-范数（1-Norm）：1-范数是矩阵中所有元素绝对值的和。
对于一个m某n的矩阵A，1-范数的计算公式为：A，_1 = ma某(sum(abs(A_ij))3. 2-范数（2-Norm）：2-范数（或称为Euclidean范数）是矩阵的奇异值分解后的最大奇异值（即特征值）的开方。
对于一个m某n的矩阵A，2-范数的计算公式为：A，_2 = sqrt(largest eigenvalue of A^T 某 A4. 无穷范数（Infinity Norm）：无穷范数是矩阵中每一行的绝对值之和的最大值。
对于一个m某n的矩阵A，无穷范数的计算公式为：A，_∞ = ma某(sum(abs(A_ij))除了上述常见的矩阵范数，还存在其他特殊的矩阵范数，如核范数、Schatten-p范数等。
核范数是矩阵奇异值分解后特征值之和，常用于低秩矩阵的估计与恢复。
Schatten-p范数是矩阵奇异值的p次幂之和的1/p 次幂，其中p是一个正实数。
计算矩阵范数的过程可能是计算量较大的，尤其是针对大型矩阵。
为了提高计算效率，通常会使用一些数值计算技巧，如稀疏矩阵的表示、截断SVD等。
同时，矩阵范数是一个重要的工具，在数据分析、机器学习、优化等领域有着广泛的应用，例如矩阵的条件数（condition number）、矩阵的正定性检测等。
因此，了解和掌握矩阵范数的概念、计算方法和应用场景对于研究和实践都是非常重要的。
矩阵的范数
矩阵的范数矩阵的范数是线性代数中的一个概念，它是用来衡量矩阵大小的一种方式。
范数是一种将矩阵（或向量）映射到非负实数的函数，反映矩阵（或向量）的大小。
在实际应用中，矩阵的范数被广泛用于求解线性方程组、矩阵分解、数据压缩等各种问题中。
矩阵范数的定义比较抽象，但其有严格的数学定义。
在此先介绍一下向量范数，然后再拓展到矩阵范数的定义。
1. 向量范数向量范数是将一个向量映射到其大小的非负实数函数。
向量范数必须满足以下性质：（1）非负性：对于所有向量x，有||x||>=0。
（2）同一性：当且仅当x=[0,0,...,0]时，有||x||=0。
（3）绝对值：||x||=|-x|。
（4）三角不等式：对于所有向量x和y，有||x+y||<=||x||+||y||。
常见的向量范数有：（2）L2范数：||x||2=√(∑xi^2)。
矩阵范数类似于向量范数，也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。
矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质（非负性、同一性、绝对值、三角不等式），同时还需要满足以下性质：（5）齐次性：对于所有矩阵A和实数t，有||tA||=|t|||A||。
（2）谱范数：||A||2=max|λi|，其中λi为A的特征值。
（5）核范数：||A||*=\sigma_1(A)+\sigma_2(A)+...+\sigma_r(A)，其中\sigma_1(A)≥\sigma_2(A)≥...≥\sigma_r(A)≥0是A的奇异值。
其中，Frobenius范数是最常用的矩阵范数，它等价于将矩阵展开成一个向量，然后计算向量的L2范数。
谱范数可以被视为矩阵的最大奇异值。
一范数和∞范数则是适用于稀疏矩阵的范数，它们可以度量矩阵的行或列中的非零元素个数。
核范数可以被视为对矩阵进行低秩近似的一种方式。
总之，矩阵范数是一种十分有用的工具，它不仅可以度量矩阵的大小，而且可以用于求解许多数学问题，如线性方程组、矩阵分解、最小二乘问题、数据压缩等。
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
矩阵范数的计算公式
矩阵范数的计算公式矩阵范数是矩阵的一种度量，用于衡量矩阵的大小。
它可以帮助我们了解和分析矩阵的特性以及它们在不同数学和计算领域中的应用。
矩阵范数有许多不同的定义和计算方法，下面将介绍一些常见的矩阵范数及其计算公式。
1.矩阵的1-范数：矩阵的1-范数是指矩阵列绝对值之和的最大值，即以列为单位，计算每一列绝对值之和，然后找出最大的一个值。
计算公式如下：A，1 = max{∑，a[i][j]，}, 1≤i≤n2.矩阵的∞-范数：矩阵的∞-范数是指矩阵行绝对值之和的最大值，即以行为单位，计算每一行绝对值之和，然后找出最大的一个值。
计算公式如下：A，∞ = max{∑，a[i][j]，}, 1≤j≤n3.矩阵的2-范数：矩阵的2-范数是指通过矩阵A与其转置矩阵A^T相乘的方式得到的最大特征值的平方根。
计算公式如下：A，2 = √(λ_max(A^T*A))4.矩阵的F-范数：矩阵的F-范数是指矩阵所有元素的平方和的平方根。
计算公式如下：A，F=√(∑，a[i][j]，^2)以上是常见的矩阵范数的计算公式。
其中，1-范数和∞-范数是直接计算每一列或每一行的绝对值之和来求得的；2-范数是通过矩阵的特征值来计算的；F-范数是通过矩阵所有元素的平方和来计算的。
矩阵范数在数学和计算领域中具有广泛的应用。
例如，在线性代数中，矩阵范数可以用来衡量矩阵的条件数和稳定性，以及判断矩阵是否奇异；在机器学习和数据挖掘中，矩阵范数可以用来评估模型的复杂度和泛化能力；在图论和网络分析中，矩阵范数可以用来度量图的连通性和稳定性；在优化和最优控制中，矩阵范数可以用来定义目标函数和约束条件。
总之，矩阵范数是矩阵的一种度量，用于衡量矩阵的大小。
不同的矩阵范数有不同的计算方法和应用领域，通过矩阵范数的计算和分析，可以帮助我们了解和把握矩阵的特性，并在不同的数学和计算问题中得到应用。
矩阵范数定义
矩阵范数定义矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念，它是用来衡量矩阵的大小的一种方法。
在实际应用中，矩阵范数被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。
本文将介绍矩阵范数的定义、性质以及应用。
矩阵范数的定义矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数，它可以用来衡量矩阵的大小。
矩阵范数有多种定义方式，其中比较常见的有以下几种：1. Frobenius范数Frobenius范数是矩阵中所有元素的平方和的平方根，即：$$\left\|A\right\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^ 2}$$其中，$A$是一个$m\times n$的矩阵，$a_{ij}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。
2. 1-范数1-范数是矩阵中每一列元素绝对值之和的最大值，即：$$\left\|A\right\|_1=\max_{1\leq j\leqn}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$$3. 2-范数2-范数是矩阵的最大奇异值，即：$$\left\|A\right\|_2=\sigma_{\max}(A)$$其中，$\sigma_{\max}(A)$表示矩阵$A$的最大奇异值。
4. 无穷范数无穷范数是矩阵中每一行元素绝对值之和的最大值，即：$$\left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$$矩阵范数的性质矩阵范数具有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵$A$，其范数$\left\|A\right\|$都是非负的。
2. 齐次性：对于任意矩阵$A$和标量$c$，有$\left\|cA\right\|=|c|\left\|A\right\|$。
3. 三角不等式：对于任意矩阵$A$和$B$，有$\left\|A+B\right\|\leq\left\|A\right\|+\left\|B\right\|$。
常见的矩阵范数
常见的矩阵范数矩阵范数是衡量矩阵性质的一种重要指标，常见的矩阵范数有谱范数、F范数、1范数和∞范数等。
本文将从不同的角度探讨这些矩阵范数的定义、特性以及其在实际问题中的应用。
一、谱范数谱范数是矩阵的最大奇异值，用于衡量矩阵的最大特征值。
谱范数的定义为矩阵A的最大奇异值，即∥A∥2=max│λi│，其中λi表示矩阵A的第i个特征值。
谱范数具有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，有∥A∥2≥0。
2. 齐次性：对于任意标量k和矩阵A，有∥kA∥2=|k|∥A∥2。
3. 三角不等式：对于任意两个矩阵A和B，有∥A+B∥2≤∥A∥2+∥B∥2。
谱范数在实际问题中的应用非常广泛，例如在图像处理中，可以使用谱范数来衡量图像的清晰度；在机器学习中，可以使用谱范数来衡量模型的复杂度。
二、F范数F范数是矩阵的元素绝对值平方和的平方根，用于衡量矩阵的离散程度。
F范数的定义为矩阵A的元素绝对值平方和的平方根，即∥A∥F=√(∑|aij|^2)，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
F范数具有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，有∥A∥F≥0。
2. 齐次性：对于任意标量k和矩阵A，有∥kA∥F=|k|∥A∥F。
3. 三角不等式：对于任意两个矩阵A和B，有∥A+B∥F≤∥A∥F+∥B∥F。
F范数在实际问题中的应用也非常广泛，例如在图像处理中，可以使用F范数来衡量图像的噪声程度；在推荐系统中，可以使用F范数来衡量用户对商品的评分矩阵的稀疏程度。
三、1范数和∞范数1范数和∞范数分别是矩阵的列和行绝对值之和的最大值，用于衡量矩阵的稀疏程度。
1范数的定义为矩阵A的列绝对值之和的最大值，即∥A∥1=max(∑|aij|)，其中∑表示对所有列求和；∞范数的定义为矩阵A的行绝对值之和的最大值，即∥A∥∞=max(∑|aij|)，其中∑表示对所有行求和。
1范数和∞范数具有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，有∥A∥1≥0，∥A∥∞≥0。
矩阵范数计算
矩阵范数计算矩阵范数是矩阵代数中的一种计算方式，它用来表征矩阵的某些特性或者描述矩阵之间的差异。
矩阵范数有很多种，如Frobenius 范数、1-范数、2-范数（即Frobenius 范数的平方）、无穷范数等。
计算矩阵范数的方法也有很多种，下面我们来介绍其中常用的几种。
1. Frobenius 范数Frobenius 范数是矩阵元素的平方和的平方根，公式表达式为：A_F = sqrt(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2)其中A 是一个m 行n 列的矩阵，a_ij 表示矩阵中第i 行第j 列的元素。
Frobenius 范数适用于矩阵具有较多零元素的情况，因为它对每个元素的大小都进行了平方后再求和，忽略了零元素对矩阵范数的影响。
2. 1-范数1-范数是矩阵每一列元素绝对值的和的最大值，公式表达式为：A_1 = \max_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}。
1-范数适用于矩阵具有稀疏结构的情况，因为它只考虑每列元素的绝对值和，而没有对每个元素进行平方处理。
3. 2-范数2-范数是矩阵特征值的平方根，公式表达式为：A_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^\top A)}其中A 是一个正定矩阵，λmax 表示矩阵A^TA 的最大特征值。
2-范数适用于矩阵的特征值较为重要的情况，因为它对矩阵的特征值进行了平方处理，能够更好地描述矩阵的特性。
4. 无穷范数无穷范数是矩阵行向量绝对值的最大值，公式表达式为：A_\infty = \max_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}。
无穷范数适用于矩阵的每行元素的绝对值对矩阵范数的影响较为重要的情况，因为它只考虑了每行元素的绝对值和，而没有对每个元素进行平方处理。
综上所述，不同的矩阵范数适用于不同的矩阵特性描述，选择不同的矩阵范数可以更好地反映出矩阵的属性，更好的描述矩阵间的差异。
矩阵的三种范数证明
矩阵的三种范数证明矩阵的三种范数是指矩阵的1-范数、2-范数和无穷大范数。
在矩阵理论中，范数是一种度量矩阵大小的方法，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特征。
下面我们将分别证明矩阵的三种范数。
1. 矩阵的1-范数证明：矩阵的1-范数定义为矩阵A的每一列元素绝对值之和的最大值，即A ₁= max{∑a_ij : 1 ≤i ≤m}其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
证明过程如下：首先，我们可以证明1-范数是一种范数。
满足下列性质：1）非负性： A ₁≥0，且只有当A=0时， A ₁=0；2）齐次性：对于任意的标量α，有αA ₁= α A ₁；3）三角不等式：A+B ₁≤ A ₁+ B ₁。
接下来，我们来证明矩阵的1-范数的三角不等式。
对于任意两个矩阵A和B，它们的1-范数分别表示为 A ₁和 B ₁，那么根据1-范数的定义，有：A ₁= max{∑a_ij : 1 ≤i ≤m}B ₁= max{∑b_ij : 1 ≤i ≤m}假设C=A+B，那么C的1-范数可以表示为：C ₁= max{∑c_ij : 1 ≤i ≤m}我们知道c_ij = a_ij + b_ij，所以：∑c_ij = ∑a_ij + b_ij ≤∑a_ij + ∑b_ij由于∑a_ij 和∑b_ij 分别是A和B的1-范数，所以根据定义，有：max{∑a_ij : 1 ≤i ≤m} + max{∑b_ij : 1 ≤i ≤m} = A ₁+ B ₁因此，我们得到了结论：C ₁= max{∑c_ij : 1 ≤i ≤m} = A ₁+ B ₁即矩阵的1-范数满足三角不等式。
2. 矩阵的2-范数证明：矩阵的2-范数定义为矩阵A的最大奇异值，即：A ₂= √(λ₁)其中λ₁表示AᵀA的最大特征值，即A的转置矩阵与A的乘积的最大特征值。
证明过程如下：首先，我们需要证明2-范数是一种范数。
同样满足下列性质：1）非负性： A ₂≥0，且只有当A=0时， A ₂=0；2）齐次性：对于任意的标量α，有αA ₂= α A ₂；3）三角不等式：A+B ₂≤ A ₂+ B ₂。
5-2 矩阵范数
= ( ∑ ∑ aik )( ∑ ∑ bkj )
2 i =1 k =1 2 F j =1 k =1
n
2
= A
B
2 F
Cauchy-Schwarz inequality
于是有 :
Department of Mathematics
AB
F
≤ A
F
B
F
例4 ：对于任意 A ∈ C
n ×n
，定义
A = [Tr ( A A)]
= tr[( AV)H ( AV)] = tr[V H ( AH AV)] = tr( AH AV)V H = A F
UAV
F
= AV
F
= AF
Department of Mathematics
关于矩阵范数的性质和定理 定理1:设 定理 设
Aα, A
β
是矩阵 A 的任意两种范数， 的任意两种范数，
m×n
则总存在正数 d1 , d 2 使得
d1 A β ≤ A α ≤ d2 A β , ∀A∈C
A, B ∈ C n×n ( R n×n ) ,则: 定理2:设 定理 设 则
(1) On×n = 0 (3)
( 2) A − B ≥ A − B
A 是关于 A 中各元素
a ij 的连续函数
C n×n ( R n×n ) 上任意两个矩阵范数是等价的 (4)
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 五 章
向量与矩阵的重要数字特征
Department of Mathematics
§5.2 矩阵范数
常见的矩阵范数
常见的矩阵范数1. 矩阵范数的概念及意义矩阵范数是对矩阵的一个度量方法，可以衡量矩阵的大小、特征和性质，广泛应用于线性代数、数值分析、信号处理、数据挖掘等领域。
矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数，通常表示为 ||A||，其中A表示矩阵。
不同的矩阵范数对矩阵的度量不同，因此它们各自具有一些重要的数学特性和应用意义。
2. 矩阵范数的分类矩阵范数按照矩阵性质和数学定义的不同可以分为以下几种类型：2.1 1 范数1范数也称为列和范数或曼哈顿范数，表示矩阵的所有元素的绝对值之和，即||A||1 = max{||Ax||1/||x||1}，其中Ax表示矩阵A乘以向量x，而||x||1表示向量x的范数。
1范数的应用领域较广，主要用于衡量矩阵的稀疏性或在信号处理中，对信号进行压缩或降噪时常会使用到该范数。
2.2 2 范数2范数也称为谱范数，表示矩阵的特征值的最大值的平方根，即||A||2 = max{||Ax||2/||x||2}，其中Ax表示矩阵A乘以向量x，而||x||2表示向量x的范数。
2范数在线性代数和数值分析中经常被使用，可以衡量矩阵对于矩阵向量空间中单位球的收缩程度。
同时，2范数也被应用于矩阵的奇异值分解（SVD）和矩阵的伪逆运算等方面。
2.3 F范数F范数也称为欧几里得范数或矩阵二范数，是矩阵元素的平方和的平方根，即||A||F = sqrt{sum{|a_ij|^2}}。
F范数广泛应用于矩阵的分解过程中，比如利用奇异值分解和QR 分解来计算矩阵的F范数，还可以用于矩阵的稳定性分析和矩阵的相似性判定。
2.4 ∞ 范数∞ 范数也称为行和范数或列最大和范数，表示矩阵每一行元素的和绝对值的最大值，即||A||∞ = max{||Ax||∞/||x||∞}，其中Ax 表示矩阵A乘以向量x，而||x||∞表示向量x的范数。
∞ 范数被广泛应用于信号处理中的滤波和去噪，可以衡量信号的最大振幅和偏移。
3. 矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质和特点，如：3.1 非负性任何矩阵范数都满足非负性，即||A||≥0，当且仅当A为零矩阵时，有||A||=0。
矩阵范数课件
中的任意一个向量 可唯一地表示成
n i 1
1, 2 ,, n 为其一组基底，那么对于 V
xi i , X x1 , x2 ,, xn F
n
又设 是 F 上的向量范数，则由 所定义的
n
V X
于是有
AB F A F B F
例 4 ：对于任意 A C
nn
，定义
1
A [Tr( A A)] 2 证明如此定义的 A 是矩阵 A 的范数。
H
证明： 首先注意到这样一个基本事实， 即 m n 1 2 1
[Tr( A A)] 2 ( aij )
H i 1 j 1
2
由一个例题可知此定义满足范数的性质。
i 1 j 1 k 1 l 2 i 1 j 1 k 1 l 2
m
n
l
2
m
n
l
2
[( aik )( bkj )]
i 1 j 1 m l k 1 k 1 l
( aik )( bkj )
2 2 i 1 k 1 2 F j 1 k 1
n
A
B
2 F
1
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。 （3）
A max( aij ) , i 1, 2, , m
i j 1
n
我们称此范数为矩阵 A 的行和范数。 例 1 ：设
2 1 0 0 2 3 A 1 2 0
计算 解：
1 ai
i 1
n
2 ( ai )
i 1
n
2 12
矩阵范数
5
因此， AB 1 ≤ A 1 B 1 。 ② 矩阵的 ∞ − 范数 称由向量的 ∞ − 范数诱导出来的矩阵范数为矩阵的 ∞ − 范数，记为 • ∞ 。
∀A = (aij ) ∈ C m×n , x ∈ C n , x ( Ax)i =
p i =1 j =1
p →∞
m
n
将 C m×n 上的矩阵拉伸开来，即 m × n 维向量。因此，与之前常用向量范数之 间的等价关系，同样的有：
A ′∞ ≤ x ′1 ≤ mn x ∞ ， A ′2 ≤ A ′1 ≤ mn A ′2 ， A ′∞ ≤ A ′2 ≤ mn A ′∞
我们将 A 按列分块，记 A = (a1 , a2 , ⋅⋅⋅, an ) ，则 A
x∈C , x
max (n) n
=1
Ax
(m)
证明：取 K = x ∈ C n x 得 lim xk = x ，则 lim xk
k →∞
k →∞
{
(n)
= 1 ，则 K 为闭集。事实上，任取 K 中序列 { xk } ，使 = x
(n)
}
(n)
(定理 1)。另一方面， Ax
(m)
是 x 的连续函数。
≤ A
F
b F ， ∀b ∈ C n 。为此，我们将 A 按行分块，
2 F
T T T ⎛ a1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ a1 b⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 记为 A = ⎜ # ⎟ ， 则 Ab = ⎜ # ⎟ b = ⎜ # ⎟ ， Ab T ⎟ T ⎟ T ⎟ ⎜ am ⎜ am ⎜ am ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b⎠
证明矩阵范数的三个公式
证明矩阵范数的三个公式一、矩阵的范数在线性代数中，范数（norm）是对向量或矩阵的度量，它可以衡量向量或矩阵的大小。
在矩阵范数（matrix norm）中，我们主要关注的是矩阵的大小。
矩阵范数有多种定义方式，其中常见的包括F范数、1范数和∞范数。
在本文中，我们将重点讨论这三种矩阵范数的定义和性质。
二、F范数的定义和性质F范数，也称为Frobenius范数，是矩阵范数中最常见的一种。
对于一个n行m列的矩阵A，其F范数定义为所有元素的平方和的平方根，即||A||F = sqrt(∑∑|aij|^2)，其中∑∑表示对矩阵中所有元素求和。
F范数有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，F范数始终大于等于0，即||A||F >= 0。
2. 齐次性：对于任意标量c，矩阵A和F范数，有||cA||F = |c| * ||A||F。
3. 三角不等式：对于任意矩阵A和B，有||A + B||F <= ||A||F + ||B||F。
4. 子多范数性质：对于任意矩阵A和B，有||AB||F <= ||A||F *||B||F。
三、1范数的定义和性质1范数是矩阵范数中的另一种常见形式。
对于一个n行m列的矩阵A，其1范数定义为矩阵的列向量的绝对值之和的最大值，即||A||1 = max{∑|aij|}，其中∑表示对矩阵中所有列向量求和。
1范数有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，1范数始终大于等于0，即||A||1 >= 0。
2. 齐次性：对于任意标量c，矩阵A和1范数，有||cA||1 = |c| * ||A||1。
3. 三角不等式：对于任意矩阵A和B，有||A + B||1 <= ||A||1 + ||B||1。
4. 子多范数性质：对于任意矩阵A和B，有||AB||1 <= ||A||1 * ||B||1。
四、∞范数的定义和性质∞范数是矩阵范数中的另一种常见形式。
对于一个n行m列的矩阵A，其∞范数定义为矩阵的行向量的绝对值之和的最大值，即||A||∞ = max{∑|aij|}，其中∑表示对矩阵中所有行向量求和。
矩阵范数的证明
矩阵范数的证明矩阵范数是一种用于衡量矩阵大小或其与其他矩阵之间差异的方法。
它们是一组广泛使用的矩阵度量标准，具有许多有用的性质和应用。
本文将介绍矩阵范数的定义、性质和证明方法。
首先，矩阵范数的定义为：设A是一个$ntimes m$的矩阵，$||cdot ||$是一个向量范数，则矩阵A的范数$||A||$定义为$||A||=text{sup}_xfrac{||Ax||}{||x||}$，其中$x$是一个非零向量。
其次，矩阵范数具有以下性质：1. $||A||geq 0$且$||A||=0$当且仅当$A=0$；2. 三角不等式：$||A+B||leq ||A||+||B||$；3. 数乘性质：$||alpha A||=|alpha ||A||$；4. 矩阵乘法性质：$||AB||leq ||A||cdot ||B||$。
最后，我们将证明这些性质：1. $||A||geq 0$显然成立。
当$||A||=0$时，由于$x$是非零向量，因此必须有$Ax=0$。
由于$x$是非零向量，因此A的列向量不可能线性无关，因此矩阵A必须是零矩阵。
2. 对于任意非零向量$x$，有$||Ax||leq ||A||cdot ||x||$和$||Bx||leq ||B||cdot ||x||$。
因此，$$begin{aligned} ||(A+B)x||&=||Ax+Bx|| &leq||Ax||+||Bx|| &leq (||A||+||B||)cdot ||x|| end{aligned}$$ 因此，$||A+B||leq ||A||+||B||$。
3. 对于任意标量$alpha$和任意向量$x$，有$||alphaAx||=|alpha|cdot ||Ax||$和$||x||$。
因此，$||alphaA||=|alpha|cdot ||A||$。
4. 对于任意向量$x$，有$||ABx||leq ||A||cdot ||Bx||leq||A||cdot ||B||cdot ||x||$。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。
因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
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即
本章约定：
AB A B
n 我们仅在 C nn （或 Rn）上研究方阵的范数。
n n 设 是数域 F (R或C)上所有n n矩阵全体构成 F 定义1
的线性空间。实值函数 : F nn R 称为矩阵范数，是
指对于任意矩阵 A, B F nn 满足下列性质 (1) 正定性:
n 2 n 2
n 2
n n
n
n
n
n
n
i 1 j 1 k 1
[( aik )( bkj )] ( aik )( bkj )
2 2 i 1 k 1
2 m2
i 1 j 1 n n
k 1
n
k 1 n
j 1 k 1
A
A
m2
B
2 m2
是定义在 C nn 上的矩阵范数。
量范数，若存在两个与x无关的正常数m、M，使得
m x
x
M x
则称 || x || 与 || x || 是等价的。
n n C 与向量范数类似， (或 R nn )上任意两个矩
阵范数等价。另外，仍然可以根据已知的矩阵范数 构造出新的矩阵范数。
例8 设 x
n n , x C 是线性空间 上的两个矩阵范数,
F
F
AV
A
所以
A
F
UA
F
AV
F
UAV
F
2.5.3 矩阵范数的性质
定理3
n n nn R A , B C 设 (或 )，则
(1)
Onn 0
(2)
A B A B
(3) ||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。 证明 与向量范数类似，略。
定义2
n n || x || ,|| x || C 是 设 中定义的任意两种向
证明 (3) 对 A
m
进行验证。
正定性，齐次性和三角不等式容易证明，下面
只证明满足相容性。
AB
m
aik bkj n max aik bkj n max i, j
i, j k 1
k 1
n
n
n n max aik max bkj
i ,k k, j
n max aik n max bkj
kA
m1
kaij k
i 1 j 1
n n
n
n
a
i 1 j 1
n
n
n
ij
k A
m1
满足三角不等式
A B
m1
aij bij ( aij bij )
i 1 j 1 n i 1 j 1 n n n
n
aij bij
i 1 j 1 i 1 j 1 m1
i 1 k 1
m1
n
n
n
j 1 k 1
A
A
B
m1
m1
是定义在 C nn上的矩阵范数。
证明
(2) 对 A
m2
进行验证。
根据范数的定义，显然正定性和齐次性成立。 下证三角不等式和相容性。 满足三角不等式 利用Minkowski不等式
A B
m2
n n 2 aij bij i 1 j 1
|| A || 0
当且仅当: A 0,
A 0
(2) 齐次性： kA k A
(3) 三角不等式： A B A B (4) 相容性：
称实数||A|| 是矩阵A 的 范数。
AB A B
C nn 上常用的矩阵范数
A
m1
aij
i 1 j 1
n
n
m1-范数
1 2
A
m2
i ,k k, j
A
m
B
m
观察 C nn上常用的矩阵范数 m1-范数 A m∞-范数
m1
aij ,
i 1 j 1
n
n
m2-范数 A
m2
n n 2 aij i 1 j 1
1 2
A
m
n max aij
i, j
m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推 广，而矩阵的m∞-范数与向量的∞-范数却并不相同，这是为 什么呢？先看一个例子
证明 A max{ A
, A } 也是 C
n n
上的矩阵范数。
证明
非负性，齐次性和三角不等式的成立是显
然的，下面只要证明相容性成立即可。
A B max{ A B max{ A max{ A
A B
, AB
}
B
, A
B
} , B
, A } max{ B
矩阵论讲义 矩阵论教程 A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
§2.5
矩阵范数
2.5.1 C nn上常用的矩阵范数 线性空间C nn 中任意一个m n矩阵，都可以看 做是一个 m n维的向量，因此，可以用定义向量范
数的方法来定义矩阵的范数。 由于矩阵之间具有向量所没有的乘法运算，为 了计算上的方便，常常要求矩阵范数满足相容性，
A
F
UA
F
AV
F
UAV
F
证明 由已知 U HU UU H E ,
UA
2 F H H H
因此
H 2 F
tr[(UA) (UA)] tr[ A U UA] tr[ A A] A
F
V也是酉矩阵，同理有 V H AH 而
V H AH AH
F F
AH
F
F
( AV ) H
1 2
m2
m2-范数
又被称为Frobenious范数，简称F-范数。记做||A||F
定理1 A (aij )nn C nn , A 的F-范数||A||F满足：
(1)
(2)
A
A
2 F
αj
j 1
F
n
2 2
j 1, 2, , n; , 其中 i 为A的第j列，
F
AH
2
1 2
1 2
n n n n 2 2 aij bij i 1 j 1 i 1 j 1
A
m2
1 2
B
m2
满足相容性
AB
2 m2
利用Hőlder不等式
2 ( a b ) a b ik kj ik kj i 1 j 1 k 1
H
n
H
的迹，i ( A A) 是 A A 的特征值。
H
i 1 H
a11 a A H A= 12 a1n
n ai 1 i 1 = *
a21 an1 a11 a a22 an 2 21 a2 n ann an1
n n 2 aij i 1 j 1
m2-范数 m∞-范数
A
m
n max aij
i, j
下面我们逐一验证。
证明 (1) 对 A
满足正定性
m1
进行验证。
A
m1
aij 0
i 1 j 1
n
n
当且仅当A为零矩阵时，||A||=0。 满足齐次性
2 2
由向量2-范数定义知 α j
aij
i 1
n
2
，故
j 1
n
αj
F
2 2
= aij = A F2 j 1 i 1 Nhomakorabean
n
2
(2)
A F AH
;
n n 2 aij = AH i 1 j 1
1 2
因为
A
F
F
(3)
A
2 F
H H A tr( A A ) tr( A A) i ( A A), 其中 为 A
}
n n n n S C C 例9 设 可逆，|| ||α为给定的 中的
1 n n A S AS A C 矩阵范数， ，定义函数
证明||A||也是 C nn 中的矩阵范数。
证明 当A≠0时，由于S可逆，则S-1AS ≠0，从而
A S 1 AS
0
对任意的k ∈C，有
;
n H i 1
(3)
AF
H H A tr( A A ) tr( A A) i ( A A), 其中 为 A
H
H ( A A) 是 A H A 的特征值。 的迹， i
证明
(1) A F αj
2 j 1 n 2 2
j 1, 2, , n; , 其中 i 为A的第j列，
1 1 1 0 若定义 A max | aij |, 对 A ,B 0 1 , i, j 1 1