《等比数列》教案(2)

等比数列
教学目标：
灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾
等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?
(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝
a ＋b
2
，A 为等差中项.
那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝b G
，即G 2
＝ab
反之，若G 2
＝ab ，则G a ＝b G
，即a ，G ，b 成等比数列
∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2
＝ab (a ·b ≠0)
总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a
与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)
另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？
由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1
不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2
若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q
下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.
分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得：
解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42
又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.
［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .
则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n
数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n
.
数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1
·b 1·q
n －1
与a 1·p n ·b 1·q n
，即为
a 1
b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n
∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1
＝pq 它是一个与n 无关的常数，
∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.
特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数
由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64，
又∵G 2＝m ·n ，∴G 3
＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10 ∴⎩⎨
⎧m ＝2n ＝8
或⎩⎨
⎧m ＝8n ＝2
即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习
课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：
(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2
＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业
课本P 52习题 5，6，7，9
等比数列(二)
1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20
2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）
A.9
B.10
C.11
D.12 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）
A.10
B.12
C.14
D.16
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.
6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x
能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
等比数列(二)答案
1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20
分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.
解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5
＝25
即a 12q 4(q 2＋1)2
＝25，又a n ＞0，得q ＞0
∴a 1q 2(q 2
＋1）＝5
a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25
由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52
＝25
即(a 3＋a 5)2
＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5
评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）
A.9
B.10
C.11
D.12
解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1
又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1
，∴m ＝11. 答案：C 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）
A.10
B.12
C.14
D.16
解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2
＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2
＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12
答案：B
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d
则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2
＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12③
解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2
＝4a a －d ＝11
解得⎩⎨
⎧a ＝25d ＝14
或⎩⎨
⎧a ＝9d ＝－2
故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.
5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.
分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.
解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1①
a n ＋12
＝b n b n ＋1②
∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d
又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝9
2 ，
∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝2
2
∴b n ＝ 2 ＋
22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12
（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝
n （n ＋1）
2
③ 且a 1＝1时适合于③式，故 a n
b n
＝
n
n ＋1
.
评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.
6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x
能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 y x
和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.
解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 y x
＜1＜x －y 当 y x ＜x －y 时，由 y x
，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列.
则有⎩⎪⎨⎪⎧y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2
＝（x －y ）xy
解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋7
2 2
∴所求等比数列为
22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋99
2
2 . 当 y
x ＞x －y 时，由x －y ，y x
，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列
则有⎩⎨⎧y x
·xy ＝（x ＋y ）2
y
x （x ＋y ）＝（x －y ）xy
解方程组得y ＝
1
12
，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.
解法一：设所求的四个数为 （x －d ）
2
x
，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有
⎩⎪⎨
⎪⎧（x －d ）
2
x ＋（x ＋d ）＝21
（x －d ）＋x ＝18
，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝27
4 d ＝92
274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，9
4 .
分析二：从前三数入手.
解法二：设前三个数为 x
q
，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .
依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18
，解得⎩⎨⎧x ＝6
q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝45
4 q ＝35
故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，9
4 .
分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2
＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3
y ＝6
或⎩⎨⎧x ＝754 y ＝454
∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，9
4 .。