2011年学而思杯六年级数学试卷与答案
2011年学而思杯六年级数学试卷与答案
绝密★启用前2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（六年级 B 卷）时间：13:30 ~14:50 满分：150分考生须知：1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效填空题（每题8分，共40 分）1. 计算： 1 2 3136 ___.12 3 4【分析】原式= 1 12136 8.12 172. 如图，一个边长为10 厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距离为8 厘米，那么点C 距离地面的高度是厘米。
A8O分析】6+8=14 厘米3. 3 月11 日，日本发生里氏9 级大地震。
在 3 月15 日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生 5 级地震。
已知里氏的震级数每升 2 级，地震释放能量扩大到原来的1000 倍，那么 3 月11 日的大地震释放能量是15 日东海岸地震的倍.分析】差了 4 级，差了 1000× 1000=1,000,000倍.分析】 容易知道为 1则x 2011 _________ 。
填空题（每题 10分，共 50 分）1.在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，而三角形 ABO 的面积为 9，三角形 BOC 的面积 为 27，DO 上有一点 E ，而三角形 ADE 的面积为 1.2，则阴影部分三角形 AEC 的面积为【分析】 根据题意，由于三角形 ADO 的面积为 3，则阴影三角形 AEO 的面积为 1.8，所以有三角形 EOC 的 面积为 3.6，则阴影部分的面积为 4.8.2. 有四个人说话，分别如下：A ：我们中至少有一个人说的是正确的B ：我们中至少有两个人说的是正确的C ：我们中至少有一个人说的是错误的D ：我们中至少有两个人说的是错误的 请问：说错话的有人 .【分析】方法一：若没人说对，则 CD 说对，矛盾；若 1 人说对，则 ACD 说对，矛盾；若 2 人说对，则 ABCD 说对，矛盾；若 3人说对，则 ABC 说对， D 错，成立；若 4人说对，则 AB 说对， CD 说错，矛盾，因此只 能是 ABC 说对， D 说错.方法二：因为四个人，所以至少有两人说错或两人说对，因此 AB 一定是正确的，剩下的就容易知道 D 是错4.今天是 2011年 4月 9日， 20110409 这个九位数是 9 的倍数，则方框里应填入的数字是。
2011六年级学而思杯数学试题答案
2011学而思杯数学答案简单小数计算2011－201.1＋20.11－2.011+0.001 【解析】1828 1.分小四则混合运算(..)¸+´¸254138512311854【解析】541(3.8512.31)1854¸+´¸2()4(3.85 3.612.3 1.8)941.87.712.39436916´+´´=´+´=´==3 已知N *等于N 的因数个数，比如4*=3，则（2011*+10*+6*）*=_______ 【解析】（2011*+10*+6*）*=（2+4+4）*=4 4用字母表示数一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k ，已知k 是自然数，则三角形的周长为______. 【解析】k =2，周长为6+7+12=25. 5基础类型应用题1红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕75亩，照这样计算，4台5小时耕____亩. 【解析】2台1小时可耕75 ÷3＝25亩，4台5小时可耕地25×25×2×2×2×55＝250亩6基础类型应用题2 一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元。
则这个骗子一共骗了______钱？【解析】由于一开始骗子并没有骗钱，产生骗钱的是后用零钱换50元，所以共骗得50-5=45元。
7约数倍数已知A 、B 两数的最小公倍数是120，B 、C 两数的最小公倍数是180，A 、C 两数的最小公倍数是72，则A 、B 、C 三数的最小公倍数是______. 【解析】120=23×3×3×5 5 180=22×32×5 72=23×32所以最小公倍数是23×32×5=360 8简单的逻辑推理2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日。
学而思杯全国联考6年级数学试题
比宫保的多 25% ．宫保有__________张积分卡． 三． 填空题（每题 7 分，共 28 分）
9. 艾迪班上同学集体坐火车出游．火车完全通过一座长 1000 米的海湾大桥要花 25 秒，完全 4. 在 1 到 2013 中，除以 6 余 4 的数有__________个． 通过一条长 500 米的隧道要花 15 秒．得到这些信息之后，聪明的艾迪算出了火车的长 度，那么火车长为__________米．
CD 的中点，阴影部分面积为__________．
B E A D F C
8.
A 、 B 两 个 自 然 数 的 和 是 2013 ， 最 大 公 因 数 是 33 ， A 、 B 两 数 的 差 的 最 大 值 是
__________．
2 3. 宫保、艾迪、薇儿一共有 525 张积分卡，宫保卡数的 2 倍和薇儿的 一样多，艾迪的卡数 3
在一个边长为84米的正方形跑道上一只猫和一只老鼠同时从同一个顶点背向出发猫的速度为6米秒老鼠的速度为8米秒
绝密★启用前
二．
填空题（每题 6 分，共 24 分）
2013 年学而思综合能力测评（全国） 六年级 数学
考 生 须 知 1.本试卷共 8 页，20 题 2.本试卷满分 150 分，考试时间 90 分钟 3.在试卷密封线内填写学校、班级、姓名、考号
11. 有一杯盐水，先倒一半到甲碗里，并往杯里加满水；再从杯里倒一半到乙碗里，并把甲 碗盐水倒回杯里；最后倒掉半杯盐水，并把乙碗盐水倒回杯里．此时杯里盐水的浓度为
15% ，则开始时杯里盐水的浓度为__________ % ．
15. 如图， ABCD 为正方形， BEC 90 ， BE 35 ， CE 21 ，则阴影部分面积为 __________．
学而思六年级下册数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）1. 一个数的十分位是3，百分位是8，这个数写作（）。
A. 0.38B. 0.83C. 3.08D. 8.032. 下列分数中，最小的是（）。
A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{5}{6}$C. $\frac{2}{3}$D. $\frac{4}{5}$3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）。
A. 圆B. 正方形C. 等腰三角形D. 长方形4. 在一条直线l上，点A在点B的左边，点C在点D的左边，则下列说法正确的是（）。
A. AC < BDB. AC > BDC. AC = BDD. 无法确定5. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、3cm、2cm，则它的体积是（）。
A. 10cm³B. 15cm³C. 20cm³D. 30cm³6. 下列各数中，是质数的是（）。
A. 11B. 12C. 13D. 147. 下列各数中，是偶数的是（）。
A. 3.5B. 4.6C. 5.2D. 6.18. 下列图形中，面积最大的是（）。
A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 等边三角形9. 一个数是2的倍数，同时是3的倍数，那么这个数一定是（）。
A. 5的倍数B. 6的倍数C. 7的倍数D. 8的倍数10. 下列各数中，是正整数的是（）。
A. -3B. -2C. 0D. 1二、填空题（每题2分，共20分）1. $\frac{2}{3}$的倒数是（）。
2. 0.25的分数形式是（）。
3. 下列图形中，面积最小的是（）。
4. 下列各数中，是奇数的是（）。
5. 一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，则它的表面积是（）。
6. 下列各数中，是合数的是（）。
7. 下列各数中，是正数的是（）。
8. 下列图形中，周长最大的是（）。
9. 下列各数中，是负数的是（）。
10. 下列各数中，是整数的是（）。
2011学而思被六年级数学真题解析(上)
2011学而思杯六年级数学真题解析(上)试卷名称：2011年六年级学而思杯数学考试年级：六年级科目：数学试卷满分：150分答题时间：90分钟试题形式：全部为填空题能力分值：全部为0开放时间：2011年10月6日9:30－11:00一、填空题(每题4分，共40分)1．2011－201.1＋20.11－2.011＋0.001＝________(4分)2．(..)÷+⨯÷254138512311854＝________(4分)3．已知N *等于N 的因数个数，比如4*＝3，则(2011*10*6*)*++＝_______(4分)4．一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k ，已知k 是自然数，则三角形的周长为________(4分)5．红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕地75亩，照这样计算，4台5小时耕地________亩。
(4分)6．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元。
那么这个骗子一共骗了______元钱？(4分)7．已知A 、B 两数的最小公倍数是120，B 、C 两数的最小公倍数是180，A 、C 两数的最小公倍数是72，则A 、B 、C 三数的最小公倍数是_______(4分)8．2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日。
在女单决赛中，中国选手王仪涵2比0完胜中华台北选手郑韶婕，首次夺得世锦赛冠军，中国队也实现了女单项目的八连冠。
已知二人共得到67分，其中第二局，王仪涵竟然赢了整整11分，请问，第一局郑韶婕得了_______分。
(羽毛球为21分制)(4分)9．下图为面积100的平行四边形，则阴影部分的面积和是_______(4分)10．AB 间的路被平均分成三段，王先生驾车从A 地开往B 地，已知他这三段路上的平均速度分别为30 km /h ，40 km /h 和60km /h ，则王先生在AB 间的平均速度为_______km /h 。
2011年学而思杯数学试题答案
1.简单小数计算2011－201.1＋20.11－2.011+0.001【解析】18282.分小四则混合运算541??1)12.3?(3.85??1854541【解析】??1)??12.3?(3.8518544?(3.85?3.6?12.3?1.8)?94????1.8?12.37.7?94?36?9?16 3 已知N*等于N的因数个数，比如4*=3，则（2011*+10*+6*）*=_______【解析】（2011*+10*+6*）*=（2+4+4）*=44用字母表示数一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k，已知k是自然数，则三角形的周长为______.【解析】k=2，周长为6+7+12=25.5基础类型应用题1红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕75亩，照这样计算，4台5小时耕____亩.【解析】2台1小时可耕75 ÷3＝25亩，4台5小时可耕地25×2×5＝250亩6基础类型应用题2一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元。
则这个骗子一共骗了______钱？【解析】由于一开始骗子并没有骗钱，产生骗钱的是后用零钱换50元，所以共骗得50-5=45元。
7约数倍数已知A、B两数的最小公倍数是120，B、C两数的最小公倍数是180，A、C两数的最小公倍数是72，则A、B、C三数的最小公倍数是______.3×3×5【解析】120=222180=2×3×53272=2×332×3×所以最小公倍数是25=3608简单的逻辑推理2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日。
在女单决赛中，中国选手王仪涵2比0完胜中华台北选手郑韶婕，首次夺得世锦赛冠军，中国队也实现了女单项目的八连冠。
2011学而思杯六年级试卷
2011 第六届学而思综合素质测评
六年级（B 卷）
解答题 1. 阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地， n 个相同的因数 a 相乘： a a
n个
a 记为 a n ．如 23 8 ，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对数，记为
2011 学而思六年级综合能力测评试卷
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1 1 ， 而弟弟比哥哥少看了 ， 求妹妹比弟弟多看了 _______ 页. 6 6
3.
3 的分母增加了 16 ，要使分数的值不变，那么分子应增加（ 8
A. 6 4.
B.）
某股票 1 月底每股股价为 10 元， 2 月底比 1 月底上涨了 18% ，那么 2 月底的股价为（ A. 10.8 元 B. 11.8 元 C. 10.1 元 D. 11 元 如图，小圆的面积是大半圆面积的（ ）
1000 800 500
25. 已知猫跑 5 步的路程与狼跑 3 步的路程相同； 猫跑 7 步的路程与狗跑 5 步的路程相同。 而猫跑 3 步的时间与狼 跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与狗跑 7 步的时间相同，猫、狼、狗沿着周长为 300 米的圆形跑道，同 时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？
15. 速度为 60 千米/小时的火车从甲地开往乙地，出发 12 小时后，一架速度为火车 5 倍的飞机从甲地沿着和火 1 车同样的航线飞出，结果在全程 处飞机追上火车，则甲乙两地的距离是 千米。 4 16. 将 14 ， 30 ， 33 ， 35 ， 39 ， 75 ， 143 ， 169 八个数平均分成两组，使这两组数乘积相等，则这两组数分别 为 。 17. 用长和宽分别是 75 厘米和 45 厘米的长方形铁皮拼成一个正方形，需要 块这样的铁皮. 18. ⑴草坪上自动旋转喷灌装置喷灌的最远距离是 10 米，它的最大喷射面积是 平方米.
学而思六年级数学教材
学而思六年级数学测试1·计算篇1．计算=⨯+++++++128)288122411681120180148124181(2．=++⨯++++-+++⨯+++)1119171()131111917151()1311119171()111917151(3．计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1= 4．有一列数：……第2008个数是________ .5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + …+ 143第1讲 小升初专项训练·计算 四五年级经典难题回顾例1 求下列算式计算结果的各位数字之和：2576666666200562006⨯⨯个个例2 求数1911211111011++++ 的整数部分是几？小升初重点题型精讲例1=÷+÷+÷595491474371353251 .例2 =+⨯⨯÷+--+)19956.15.019954.01993(22.550276951922.510939519例3 =++÷++)25118100412200811()25138100432200831( .巩固 计算：=+⨯+⨯+⨯+⨯416024340143214016940146 .例4 计算：=⨯++⨯+⨯+⨯10199507535323112222.拓展计算：=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯10981943273215.例5 1⨯2+2⨯3+3⨯4+4⨯5+5⨯6+6⨯7+7⨯8+8⨯9+9⨯10= . 巩固：2⨯3+3⨯4+4⨯5+…+100⨯101= .拓展计算：1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+3⨯4⨯5+…+9⨯10⨯11= .例6 ［2007 –（⨯⨯1.5）÷10］÷160-0.3= .巩固计算：53×57 –47×43 = .例7 计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16 = .拓展计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + …+ 49×51 = . 例8 计算：1×99 + 2×97 + 3×95 + …+ 50×1 = . 家庭作业1.=÷+÷+÷797291585381373172.2.=-⨯⨯+÷)5246.5(402323153236.3.=++÷++)2231966913200711()2237966973200771(.4. 计算：=-++-+++-++-++-+119951199511993119931717151513132222222222.5. 计算：11×29 + 12×28 + …+ 19×21 = .名校真题1. 如图，AD = DB，AE = EF = FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是_________平方厘米.2. 如图,ABCD与AEFG均为正方形,三角形ABH的面积为6平方厘米,图中阴影部分的面积为_________.3. 如图,长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点,AE = 2ED,则阴影部分的面积是 .4. 如图,边长为1的正方形ABCD中,BE = 2EC,CF = FD,求三角形AEG的面积.5. 如图，3个边长为3的正方形，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠，求甲、乙、丙叫共覆盖的面积是。
2011第九届“创新杯”全国数学邀请赛小学6年级试题答案
激发兴趣
培养习惯
塑造品格
学理科到学而思
343=73。所以商千位上的数字为 0。 7. 【答案】A 【考点】 定义新运算 【分析】 6 x 6 x 1 5 x ；
3 5 3 5 1 14
每种情况下 a 、 b 、 c 的和分别为： 21 、 20 、 19 、 18 、 17 、 10 21. 【答案】7 【考点】 平均数问题 【分析】 去掉一个数之后，和最大为： 2 3 最小为： 1 2
n 1 n (n 1)(n 2) ； 2
n(n 1) n2 n 。所以平均数的范围为 和 之间。 2 2 2
1 为 △BCO 的高。所以 S△BCO 5 4 10 。 2
1 ( AB DF) 4 ，即 2
激发兴趣
培养习惯
塑造品格
学理科到学而思
E
D A O
B
G C
F
23. 【答案】1056 【考点】 计数+数论
10000 1000 【分析】 所有能被 3 整除的四位数有 3000 个，减去不含 6 的即可。 3 3
1.4 51.4 71.96 ；对应的最小值分别为 2.5 16.5 41.25 ， 0.5 50.5 25.25 ，
3x 7 4 ，解得 5 x 7 ，对应的整数共 3 个 7
对比选项，答案为 D。
二、填空题． 11. 【答案】见分析 【考点】 简单行程问题 【分析】 第二次路程为第一次 2 倍，故走到第 11 根处 12. 【答案】270.27 【考点】 数字谜 【分析】 除数=117，具体如图
2011学而思杯六年级10.26号样题详解
2011年京城六年级学员综合能力测评（学而思杯）数学试题（样卷答案）1. 简单小数计算0.365×1.2+31-0.438【解析】312. 分小四则混合运算 计算：(...)(..)⨯⨯-+÷-÷--1352433366712313500925183=_______ 【解析】原式=13(4.3 3.6 3.6 6.7 3.6)(1.2350.09)241⨯⨯-+⨯-⨯-- 1365218523=⨯+=+=3. 简单分数裂项11111122446182040+++++⨯⨯⨯ 【解析】原式1111111111()222446182040=+-+-++-+ 111111()2222040=+-+191124040=++1=4. 换元(10.20.340.567+++)⨯(0.20.340.56789+++)-(10.20.340.56789++++)⨯(0.20.340.567++)【解析】设0.20.340.567++=A ，0.20.340.56789+++=B ，则原式变为（1+A ）×B -（1+B ）×A =B -A =89 。
5. 定义新运算定义如下运算：a △b =kab ，a ☆b =ka -b ，已知1△x =2☆x ，x △1=x ☆2，x 是非零数，则x =_____【解析】已知kx =2k -x =2x -k ，则k =x ，则x 2=x ，x ≠0，所以x =1.6. 用字母表示数一个三角形，三个角度数分别为a 、2a 、3a ，则最小的角为_______度。
【解析】180÷（a +2a +3a ）×a =30,7. 整系数方程()()x x x --=-+6412022【解析】x x x x x -+=--==644202441238. 分数或比例方程x x x x +-++=+231764612【解析】()()1232321772x x x x +++-=+12692277213655x x x x x x +++-=+==9. 简单方程组11118131122x y x y +⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-⎩则x y -=______.【解析】3223x y =⎧⎨=⎩9x y -=10. 简单的概率问题分别先后掷2次骰子，点数之和为5的概率为三十六分之______.【解析】先后掷2次，共可以掷出6×6＝36种可能情况，其中和为5的情况共有1+4＝2+3＝3+2＝4+1这四种情况，概率为436，答案为411. 基础类型应用题1一个农业专业户去年收小麦是玉米的4倍，小麦比玉米多13.5吨，去年收小麦___吨.【解析】差倍问题 13.5÷（4-1）×4＝ 18吨12. 基础类型应用题2商店运来83千克苹果，每5千克装成一个礼盒，已经卖出了9盒。
第11届学而思数学联考XMO一试参考答案
第十一届学而思数学竞赛联考一试试题时间：80分钟一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)1.方程2log 2(x −2)+log 2(x +1)=1的所有实数解为x =.解答(刘涵祚陈乐恒供题)1+√3原方程可以转化为(x −2)2(x +1)=2，化简得(x −1)(x 2−2x −2)=0，得出x =1或x =1±√3，又由于x ≥2，得出原方程的解为x =1+√3.2.已知实数k ∈R ，平面上的向量|−→b |=1，若满足−→a ,−→b 的夹角为150◦，且(−→a +−→b )⊥(−→a +k −→b )的非零向量−→a 恰好有两个，则实数k 的取值范围为.解答(刘涵祚陈乐恒供题)(−∞,0]∪{13}∪{3}由于(−→a +−→b )⊥(−→a +k −→b )，则(−→a +−→b )·(−→a +k −→b )=0；即：|−→a |2−√3(k +1)2|−→a ||−→b |+k |−→b |2=0所以，|−→a |2−√3(k +1)2|−→a |+k =0.不难发现，上述方程在(0,+∞)上恰好有一个实根.当k ≤0时，显然该方程有一正根和一非正根，满足条件；当k >0时，该方程的判别式∆=34(k +1)2−4k =0，化简得：3k 2−10k +3=0解得：k =3或k =13.综上所述，k 的取值范围是(−∞,0]∪{13}∪{3}.3.已知正实数a,b,c 依次构成等比数列，并恰好是△ABC 的三边长，则a +cb的取值范围是.解答(李纪琛供题)[2,√5)不妨设a =1,b =x,c =x 2(x ≥1)，则c 为该三角形的最长边，于是1+x >x 2，得出：1≤x <1+√52.而a +c b=1+x 2x=x +1x .设上述关于x 的对勾函数为f (x )，则不难发现在[1,1+√52)上，2≤f (x )<√5.4.已知F 为椭圆C :x 225+y 216=1的右焦点，P 为C 上一点，Q (7,8)，则|P F |+|P Q |的取值范围是.解答(刘涵祚陈乐恒供题)[4√5,10+2√41]不难发现，F (3,0)，一方面，|P F |+|P Q |≥|F Q |=4√5，并且在点P 位于线段F Q 与椭圆C 的交点时，可以取等；另一方面，考虑左焦点E (−3,0)，则|P F |+|P Q |=|P Q |+10−|P E |≤10+|EQ |=10+2√41在点P 位于QE 的延长线与椭圆C 的交点时可以取等；综上即得答案.5.如下图，对于正实数r (1<r <√2)，以点A 为球心，半径为r 的球面与单位立方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱产生6个交点，不难发现这六个点在同一个平面上.则这六个点构成的凸六边形的面积与周长的比值的取值范围是.解答(李纪琛供题)(√612,√68]如左图，不难发现这个六边形对边互相平行，并且每个内角均为120◦，并且其六条边长依次为x,√2−x,x,√2−x,x,√2−x ，其中x ∈R 且0<x <√2.于是，其周长C =3(x +(√2−x ))=3√2.如右图，我们将这个六边形补成一个正三角形，即可得出其面积S =√34(√2+x )2−3√34x 2=−√32(x 2−√2x −1)=−√32(x −√22)2+3√34于是我们有√32<S ≤3√34.再结合C =3√2，则√612<S C ≤√686.设集合A ={x |ax 2+3x −2a =0}（其中a 为实常数）；集合B ={x |2x 2−5x −42≤0}，如果A ∩B =A ，则参数a 的取值范围是.解答(李纪琛供题)(−∞,−917]∪{0}∪[4241,+∞)不难得出，B =[−72,6]，我们需要A ⊆B ；当a =0时，A ={0}，满足条件；当a =0时，此时方程ax 2+3x −2a =0为二次方程，其判别式∆=9+8a 2>0并且根据韦达定理，其两个根x 1,x 2满足：x 1x 2=−2aa=−2<0则这两根必然是一正一负，再结合A ⊆B ，我们需要满足以下条件即可：f (0)=0;f (0)f (−72)≤0;f (0)f (6)≤0解得：a ≤−917或者a ≥4241综上所述，参数a 的取值范围是：(−∞,−917]∪{0}∪[4241,+∞).7.多项式(1+x +x 2+···+x 203)3的展开式在合并同类项以后，x 300这一项的系数为.解答(李纪琛供题)31192根据乘法分配律，这个问题等价于求方程x +y +z =300满足0≤x,y,z ≤203的整数解的组数；首先，该方程的非负整数解的组数为(3022)=45451；下面来考虑该方程有超出203的解的组数，不难发现x,y,z 中恰有一个数超过203，不妨设为z ，我们设w =z −204，即转化为求方程x +y +w =96的非负整数解的组数，为(982)，再结合x,y,z,的对称性，则原方程有超出203的非负整数解的组数为3(982)=14259；那么满足条件的解的组数为：45451−14259=31192.8.从4×4的方格表中随机选5个不同的方格，则选出的5个方格构成连通区域的概率是.注：连通区域是指，对于区域内部(不含边界)任意两点，均存在一条完全落在区域内部(不含边界)的折线连接这两个点.解答(王正供题)611092.我们按照这5格的形状来分类计算个数(旋转后重合也视为不同的形状).(1)若包含一个1×4矩形，此时1×4矩形有横竖两种，剩下的一格有8种不同的位置可以选，因此共16种形状.而每种形状在4×4方格表中的位置有3种，因此共16×3=48种选法.(下面假设不含1×4矩形)(2)若包含两个1×3矩形，则其必为一横一竖且有一个交点，此时共9种形状，每种形状在4×4矩形中的位置有4种，因此共9×4=36种选法.(3)若只包含一个1×3矩形，且剩下两格在该1×3矩形的异侧，此时1×3矩形有横竖两种，剩下两格有6种选法，因此共12种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有4种，因此共12×4=48种选法.(4)若只包含一个1×3矩形，且剩下两格在该1×3矩形的同侧且均和1×3矩形相邻，此时1×3矩形有横竖两种，剩下两格有6种选法，因此共12种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有6种，因此共12×6=72种选法.(5)若只包含一个1×3矩形，且剩下两格在该1×3矩形的同侧且有一格不和1×3矩形相邻，此时1×3矩形有横竖两种，剩下两格有4种选法，因此共8种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有3种，因此共8×3=24种选法.(6)若不含1×3矩形，则必为如图所示的形状旋转或对称得到，共4种形状.每种形状在4×4矩形中的位置有4种，因此共4×4=16种选法.综上，共244种选法构成连通区域，而总的选法有(165)种，因此构成连通区域的概率为244(165)=61 1092.二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10,11题各20分,共56分)9.已知x,y ∈R ，且满足(4x 3−3x )2+(4y 3−3y )2=1.求x +y 的最大值.解答((刘涵祚陈乐恒供题))√6+√22令4x 3−3x =cos 3θ,3y −4y 3=sin 3θ,θ∈R .再设x =cos α，不难发现cos 3α=cos 3θ，类似的，设y =sin β，则sin 3β=sin 3θ.注意到用π−β来代替β不会影响y 的取值，则可以不妨设α−β=2tπ3(t∈Z )，此时会产生如下三种情况：情形一：α=β此时x +y =√2sin(α+π4)≤√2.情形二：α=β−2π3此时x +y =sin(α+2π3)+cos α=2cosπ12cos(α+π12)≤√6+√22.情形三：α=β−4π3此时x +y =cos α+sin(α+4π3)=2cos(α+π12)cos 5π12≤√6−√22.综上所述，x +y 的最大值为√6+√22.10.设复数x,y,z满足：|x|=|y|=|z|=1，并且ty =1x+1z，其中t∈C为给定的复数；求|2xy+2yz+3xzx+y+z|的值.（用含t的代数式表示）解答(刘涵祚陈乐恒供题)|2t+3t+1|先证明一个结论：|x+y+z|=|xy+yz+xz|结合|x|=|y|=|z|=1，我们有，|x+y+z|2=(x+y+z)(¯x+¯y+¯z)=3+∑cyc x¯y+∑cyc¯x y|xy+yz+zx|2=(xy+yz+zx)(¯x¯y+¯y¯z+¯z¯x)=3+∑cyc x¯y+∑cyc¯x y所以，|x+y+z|=|xy+yz+xz|.回到原题，则有|2xy+2yz+3xzx+y+z |=|2xy+2yz+3xzxy+yz+zx|=|2+zxxy+yz+zx|=|2+1yz+yx+1|又由于yz +yx=y(1x+1z)=y·ty=t；那么|2xy+2yz+3xzx+y+z|=|2+1yz+yx+1|=|2+1t+1|=|2t+3t+1|.11.设p 为给定的正整数，点F 是抛物线Γ:y 2=2px 的焦点，点S 在x 轴上，且满足−→OS =m −−→OF ，其中m 是给定的正奇数；设经过点S 且不与坐标轴垂直的动直线l 与抛物线Γ交于A,B 两点，线段AB 的中垂线与AB 以及x 轴分别交于M,T 两点，记N 为线段MT 的中点，点N 的轨迹记为ω.(1)确定ω的形状以及方程，并证明：在ω上存在无穷多个整点（整点就是横纵坐标都是整数的点）.(2)如果正整数p 满足：p 的任意大于1的因数都不是完全平方数，求证：ω上的任意一个整点到原点O 的距离都不是整数.解答(李纪琛供题)(1)不难得出F (p 2,0)，则S (mp2,0)，我们设直线l 的方程为：l :x =ky +mp2(k =0)与抛物线Γ联立得：y 2−2pky −mp 2=0.由韦达定理，y 1+y 2=2pk ，则x 1+x 2=k (y 1+y 2)+mp =2pk 2+mp.点M 为线段AB 的中点，其坐标为(pk 2+mp2,pk ).再结合AB 的中垂线与l 垂直，则中垂线的方程为：y =−kx +pk 3+(m +2)pk2得出点T (pk 2+(m +2)p2,0)，则T M 中点N (pk 2+(m +1)p 2,pk2).不难发现点N 的轨迹方程为：4y 2=p (x −(m +1)p2)(y =0)其形状为一条去掉顶点的抛物线.并且由于m 为正奇数，则m +12为正整数，记它等于n ，则ω的方程可转化为：ω:4y 2=p (x −np )对于正整数t ，不难得知，点(p (4t 2+n ),pt )是ω上的整点，显然这样的点有无穷多个.(2)由(1)中的分析，我们得知ω的方程为：ω:4y 2=p (x −np ).反证法，若ω上存在整点到原点的距离为正整数；当p =1时，必然存在正整数x,y,a 满足：x 2+y 2=a 24y 2=x −n不难发现a ≥x +1，则x >x −n4=y 2=a 2−x 2=(a −x )(a +x )≥a +x >x 产生矛盾.当p 为大于1的奇数时，必然存在正整数x,y,a 满足：x 2+y 2=a 24y 2=p (x −np )不难发现p |y 2，又由于p 没有平方因子，则p |y ，进而得出p |x ，则p |a.我们记x =px 1,y =py 1,a =pa 1，其中x 1,y 1,a 1∈Z +，那么x 21+y 21=a 214y 21=x 1−n这转化为p =1的情况，产生矛盾.当p 为偶数时，由于p 无平方因子，设p =2q ，其中q 为不含平方因子的奇数，此时必然存在正整数x,y,a 满足：x 2+y 2=a 22y 2=q (x −2nq )容易得出，x 为偶数，记x =2x 1，则4x 21+y 2=a 2y 2=q (x 1−nq )易证q |y,q |x 1，则q |a ，我们令y =qy 2,x 1=qx 2,a =qa 2，其中x 2,y 2,a 2∈Z +，那么(2x 2)2+y 22=a 22y 22=x 2−n显然a 2≥2x 2+1，则2x 2>x 2−n =y 22=a 22−(2x 2)2=(a 2−2x 2)(a 2+2x 2)≥a +2x 2>2x 2产生矛盾.综上所述，ω上不存在整点到原点的距离为整数.。
学而思杯11届数学试题
2014 年春·超常班&目标班选拔考试·数学·五升六
考试时间：120 分钟 考 生 须 知 考试科目：五升六数学 总 分：120 分 1． 请考生务必认真填写试卷上的考生信息以方便正常通知； 2． 请使用蓝色或黑色签字笔或者钢笔作答； 3． 请将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效；考试结束后需上交答题纸。
A
D
B
C
二、 解答题。 （每题 8 分，共 40 分） 21. 一个非零自然数， 如果从左到右顺读和从右到左逆读都是一样的， 则这个数称为“回文数”， 如 8 、66 、 151 、 5335 都是回文数，而 332 不是回文数．那么从小到大的第 2014 个回文数是多少？
22. 如图所示：在三角形 ABC 中， DC 3BD ，DE EA ，若三角形 ABC 的面积是 1 ，那么阴影部分的面 积是多少？
一、 填空题。 （每题 4 分，共 80 分） 1. 计算： 1 19 2 19 3 19 37 19 ________．
17 37 39 37 39 31 17 37 39 31 37 39 ________． 2. 计算： 31 53 91 53 91 51 31 53 91 51 53 91
15. 学校运动会开幕式的旗手们排成一行，首先从左向右 1 至 3 循环报数，最右端的旗手报 2 ；然后从右 向左 1 至 4 循环报数， 最左端的旗手报 3 ， 两次都报 1 的旗手有 12 人． 那么， 开幕式一共有旗手________ 人． 16. 正整数 A ，B 满足
1 1 1 ，其中 A 是一个三位数，则 A ________． A B 2014
学而思六年级秋季加冬季答案版[修改版]
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第一篇：学而思六年级秋季加冬季答案版第八讲钟面上的数学【练习1】【基础】因上钟表显示的时间是镜子里面的时间，不难看出图1表示的正确时间是8:20，图2表示的示的正确时刻是9:30，经过的时间是1小时10分。
列式：9小时30分8小时20分1小时10分小龙写这篇作文用了1小时10分。
【提高、精英】共敲了21下，从3时开始，依次减去整时敲钟的次数：21318，18117，17413，13112，1257，716，660。
所以共敲了21下时，应该到6时。
【练习2】【基础】因为八点钟的时候时针指向正“8”，分针指向正“12”，它们之间的间隔是四大格，所以夹角是430120度。
【基础、提高】因为五点的时候，分针落后时针305150度，经过十分钟以后，分针比时针多走了10(60.5)55度，所以分针还落后时针1505595度，也就是说此时时针和分针的夹角是95。
【精英】从六点开始计算，六点时两针夹角是180，再过20分钟，分针比时针多走180110 70度。
20 5.511，于是此时夹角是0【练习3】（1）从两点开始计算，此时夹角是60，那么分针需要比时针多走15060210度或者是360(15060)270度，即需要的时间是210 5.538211分钟或者270 5.549111分钟。
综上所述，2点38211分钟或者是2点49111分钟时，分针与时针的夹角是150。
（2）五点的时候，分针落后时针530150度，所以当分针比时针多走了1509060度或者是多走了15090240度的时候，两针夹角是90度，也就是说经过的时间可以是60(60.5)101011分钟或者是240(60.5)43711分钟，即5点101011分钟或者是5点43711分钟的时候，两针成直角。
【练习4】【基础、提高】第一次重合的时候，分针应该比时针多走1030300度，所以需要经过的时间是300(60.5)54611分钟。
经过这一次重合以后，如果需要第二次重合，那么分针需要比时针学习改变命运*思考成就未来六年级秋季班Class A 第八讲答案版多走一圈，也就是360度，从而需要再经过的时间是360(60.5)65一次重合经过的时间是54611511分钟。
2011 学而思被六年级数学真题解析(下)
12011学而思杯六年级数学真题解析(下)三、填空题(每题6分，共60分)21．今天是2011年10月6日，已知六位数2011□□能被106整除，则该六位数的末两位是______(6分)22．1000千克青菜早晨测得它的含水量为90%，这些菜到了下午测得含水量为80%，那么这些菜的重量减少了______千克。
(6分)23．一项工程，乙单独做要12.5天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，第三天一起做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天一起做，第三天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法少用半天完工。
已知甲乙工效不相等，则甲单独做需要______天。
(6分)24．用0、1、2、3、4这5个数字(可以重复)，共能组成______个比2011小，比1006大的偶数。
(6分)25．有一个三位数，它们除以2、4、6、7所得到的余数互不相同(不能余0)。
这样的三位数中最大的是______(6分)26．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯。
已知该自动扶梯每秒运行1.5级阶梯，警察要想在自动扶梯上抓住小偷的话，自动扶梯至少要有_______级。
(6分)27．如图，有一座圆柱塔，在地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，已知塔内底面圆周长为30米，塔高140米，通道共转了三圈半。
问：通道共长______米。
(6分)28．如图，以直角三角形ABC 的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是75.36厘米，那么三角形ABC 的面积最大是______平方厘米。
( 取3.14) (6分)C B A2 29．学而思杯数学考试时间为8：00－9：30，请问在考试时间内分针与秒针共重合了______次。
(8点为第一次)(6分)30．B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来。
2012年六年级学而思综合能力测评(学而思杯)数学试卷及答案
甲说： “我看到的三个数字和是一个质数” ； 乙说： “我看到的三个数字和是 6” ； 丙说： “我看到的三个数字和也是一个质数” 。
那么，请你判断正方体上数字 2 的对面数字是_________．
甲 乙
丙
30. 如下图，在正六边形 ABCDEF 中，M、N、P、Q、R、S 分别为六条边上的 中点．如果阴影部分的面积为 100cm 2 ，那么正六边形 ABCDEF 的面积为 _________ cm 2 ．
A S F R E Q D P M B N
C
考试提醒：请将所有的答案用 2B 铅笔填涂在答题卡上，试卷作答无效。
6
启用前★绝密
2012 年六年级学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
考生须知：请将所有的答案用 2B 铅笔填涂在答题卡上
一、
填空题（每题 4 分，共 40 分）
1. 在 1 到 18 中共有_________个奇数． 2. 已知：六位数 14285a 是 9 的倍数，那么 a _________． 3. 计算： 32 55 32 16 32 29 _________．
B
A
12cm
C
26. 甲、乙两船在静水中的速度相同，两船分别从 A、B 两港同时出发，相向而 行，甲船顺流而下，乙船逆流而上．已知水速是船在静水中速度的 12% ，那 么当两船第一次相遇时，甲船航行的路程占两港间距离的_________ % ．
27. 请用数字 0，2，5，8 各一次，组成一个既能被 61 整除又能被 11 整除的四 位数，那么这个四位数是_________．
15. 下图是由三角形 A、半圆 B 和三角形 C 三张卡片重叠而成，A、B、C 的面 积分别为 20、23、18，覆盖桌子的总面积为 46．如果 A 与 B 公共部分的面 积为 6，A 与 C 公共部分的面积为 4，B 和 C 公共部分的面积为 8，那么图 中阴影部分面积为_________．
2011第一届学而思杯六年级
2011年第一届全国学而思综合能力测评 小学六年级（2011年10月6日）一、填空题（每题4分，共40分）1．2011201.120.11 2.0110.001-+-+__________．2．541(3.8512.31)21854÷+⨯÷=__________．3．已知N *等于N 的因数个数，比如43*=，则(2011106)****++=__________．4．一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k ，已知k 是自然数，则三角形的周长为__________．5．红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕地75亩，照这样计算，4台5小时耕地__________亩．6．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这是他又说自己有零钱，于是给了店员5员的零钱，并且要回了开始给出的50员．那么这个骗子一共骗了__________钱． 7．已知A 、B 两数的最小公倍数是120，B 、C 两数的最小公倍数是180，A 、C 两数的最小公倍数是72，则A 、B 、C 三数的最小公倍数是__________．8．2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日．在女单决赛中，中国选手王仪涵2比0完胜中华台北选手郑韶婕，首次夺得世锦赛冠军，中国队也实现了女单项目的八连冠．已知二人共得到了67分，其中第二局，王仪涵竟然赢了整整11分，请问，第一局郑韶婕得了__________分．（羽毛球为21分制）9．下图为面积100的平行四边形，则阴影部分的面积和是__________．10．A B 间的路被平均分成三段，王先生驾车从A 地开往B 地，已知他这三段的平均速度分别是30/km h ，40/km h 和60/km h ，则王先生在A B 间的平均速度为__________/km h ．二、填空题（每题5分，共50分） 11．15191113()142612203042+--+-⨯=__________． 12．111113572011113572011+=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯……__________．13．解一元一次方程[(8)88]88x +⨯-÷=，则x =__________．14．解一元一次方程32132[(1)2]23423x x ⨯⨯++-=，则x =__________．15．解方程组292232202a bc a cb b ca +⎧+=⎪⎪+⎪+=⎨⎪+⎪+=⎪⎩，则b =__________．16．分别先后掷2次骰子，点数之积为8的概率为三十六分之__________．17．小明看一本书，计划每天看全书的九分之一．按计划看了3天后，由于急于知道结局，于是跳过了200页，并将看书速度提高了一倍，又看了1天，把书看完．已知小明计划每天看书的页数相同，则这本书共__________页．18．一次超难的数学考试，某班前五名同学共得20分（得分是任意正整数），并且分数各不相同，也没有得0分的，则有__________种得分的情况．19．用1、2、3、4、5这几个数字组成一个5位数，要求每个数字均出现1次，且3必须在2前面（但它们不一定相邻），2必须在1前面，则共能组成__________个不同的五位数．20．如图所示，直角三角形PQR 的短直角边长为5厘米．正方形EFRQ 的面积是89平方厘米，则正方形PQDC 的面积为__________．三、填空题（每题6分，共60分）21．今天是2011年10月6日，已知六位数2011□□能被106整除，则该六位数的末两位是__________．22．1000千克青菜早晨测得它的含水量为90%，这些菜到了下午测得含水量为80%，那么这些菜的重量减少了__________千克．23．一项工程，乙单独做要12．5天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，第三天一起做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天一起做，第三天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法少用半天完工．已知甲乙工效不相等，则甲单独做需要__________天．24．用0、1、2、3、4这5个数字（可以重复），共能组成__________个比2011小，比1006大的偶数．25．有一个三位数，它们除以2、4、6、7所得到的余数互不相同（不能余0）．这样的三位数中最大的是__________． 26．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯．已知该自动扶梯每秒运行1．5级阶梯，警察要想在自动扶梯上抓住小偷的话，自动扶梯至少要有__________级．27．有一座圆柱塔，在地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图，已知塔内底面圆周长为30米，塔高140米，通道共转了三圈半．问：通道共长__________米．28．如右图，以直角三角形ABC 的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是75．36厘米，那么三角形ABC 的面积最大是__________平方厘米(取3．14)．29．学而思杯数学考试时间为8：00－9：30，请问在考试时间内分针与秒针共重合了__________次．（8点为第一次）30．B 地在A 、C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用__________分钟．（注：甲，乙出发后不停留也不转向）CBA2011年第一届全国学而思综合能力测评小学六年级参考答案部分解析一、填空题（每题4分，共40分）1．2011201.120.11 2.0110.001-+-+__________． 【考点】小数计算 【难度】★ 【答案】1828【解析】2011201.120.11 2.0110.001(201120.110.001)(201.1 2.011)2031.111203.1111828-+-+=++-+=-=．2．541(3.8512.31)21854÷+⨯÷=__________． 【考点】分小混合计算 【难度】★★ 【答案】16【解析】541189499494(3.8512.31)2(3.8512.3)(3.85212.3)(7.712.3)185455955959÷+⨯÷=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯ 94201659=⨯⨯=．3．已知N *等于N 的因数个数，比如43*=，则(2011106)****++=__________． 【考点】因数个数 【难度】★★ 【答案】4【解析】一个合数的因数个数等于将这个数分解质因数后，指数加1相乘．2011是质数，因数个数为2，1025=⨯，623=⨯因数个数均为(11)(11)4+⨯+=，因此题目化简为(2011106)(244)104******++=++==．4．一个非等腰三角形，一边长为6，一边长为7，还有一边长为6k ，已知k 是自然数，则三角形的周长为__________．【考点】三角形三边关系 【难度】★ 【答案】25【解析】三角形的任意两边之和大于第三边，由于是非等腰三角形，因此1k ≠，且667k <+，则2k =，周长为671225++=．5．红光大队用拖拉机耕地，2台3小时耕地75亩，照这样计算，4台5小时耕地__________亩． 【考点】归一、归总应用题 【难度】★★ 【答案】250【解析】11753245754525032÷÷⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（亩）．6．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这是他又说自己有零钱，于是给了店员5员的零钱，并且要回了开始给出的50员．那么这个骗子一共骗了__________钱．【考点】逻辑【难度】★★ 【答案】45【解析】骗子一共拿出50元和5元，从店员手里拿回45元和50元以及5元的东西，因此他一共骗得了4550550545++--=（元）．7．已知A 、B 两数的最小公倍数是120，B 、C 两数的最小公倍数是180，A 、C 两数的最小公倍数是72，则A 、B 、C 三数的最小公倍数是__________． 【考点】最小公倍数 【难度】★★★ 【答案】360【解析】3120235=⨯⨯，22180235=⨯⨯，327223=⨯，所以最小公倍数是32235360⨯⨯=．8．2011年8月14日，伦敦羽毛球世锦赛进入最后一个比赛日．在女单决赛中，中国选手王仪涵2比0完胜中华台北选手郑韶婕，首次夺得世锦赛冠军，中国队也实现了女单项目的八连冠．已知二人共得到了67分，其中第二局，王仪涵竟然赢了整整11分，请问，第一局郑韶婕得了__________分．（羽毛球为21分制）【考点】体育中的数学 【难度】★★★ 【答案】15【解析】第二局相差11分，因此第二局比分为21:10，第一局总分为67211036--=（分），所以第一局郑韶婕得了362115-=（分）．9．下图为面积100的平行四边形，则阴影部分的面积和是__________．【考点】一半模型 【难度】★ 【答案】50【解析】没有特殊说明，一半模型是指，图形中阴影部分的面积和是整体和一半．长方形的一半模型，平行四边形都满足．附：平行四边形中的一半模型10．A B 间的路被平均分成三段，王先生驾车从A 地开往B 地，已知他这三段的平均速度分别是30/km h ，40/km h 和60/km h ，则王先生在A B 间的平均速度为__________/km h ． 【考点】平均速度 【难度】★★ 【答案】40【解析】平均速度=总路程÷总时间，因此可以采用赋值法，设每段路程均为120km ，则王先生在这硬仗路的时间分别为4h ，3h ，2h ，因此总时间为9h ，平均速度为1203940(/)km h ⨯÷=．二、填空题（每题5分，共50分）11．15191113()142612203042+--+-⨯=__________． 【考点】分数裂项 【难度】★★★ 【答案】12【解析】1519111311111111111()14[(1)()()()()()]14261220304222334455667+--+-⨯=-++---+++-+⨯111111111116[1]141412223344556677=-++-+--++--⨯=⨯=12．111113572011113572011+=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯……__________．【考点】换元法 【难度】★★★ 【答案】1【解析】设13572011A ⨯⨯⨯⨯⨯=…，则原式变为11111A A 111A 11A 1A 1A A 1A 11A A++=+=+==+++++++． 说明：1A表示求A 的倒数．13．解一元一次方程[(8)88]88x +⨯-÷=，则x =__________． 【考点】方程【难度】★★ 【答案】1【解析】[(8)88]88x +⨯-÷=[856]88x +÷=85688x +=⨯86456x =- 1x =14．解一元一次方程32132[(1)2]23423x x ⨯⨯++-=，则x =__________．【考点】较复杂的一元一次方程【难度】★★★ 【答案】6【解析】32132[(1)2]23423x x ⨯⨯++-= 31232[2]26323x x ⨯++-= 13213423x x ++-= 3214234x x -=- 55122x = 6x =15．解方程组292232202a bc a cb b ca +⎧+=⎪⎪+⎪+=⎨⎪+⎪+=⎪⎩，则b =__________．【考点】整体法 【难度】★★★ 【答案】10【解析】将三个式子相加得2()29232036a b c a b c ++=++⇒++=，将每个式子乘2后减去36得4a =，10b =，22c =．16．分别先后掷2次骰子，点数之积为8的概率为三十六分之__________． 【考点】概率 【难度】★★★ 【答案】2【解析】先后掷2次，共可以掷出6636⨯=种可能情况，其中积为8的情况有2442⨯=⨯这2种，概率为三十六分之二．17．小明看一本书，计划每天看全书的九分之一．按计划看了3天后，由于急于知道结局，于是跳过了200页，并将看书速度提高了一倍，又看了1天，把书看完．已知小明计划每天看书的页数相同，则这本书共__________页． 【考点】分百应用题 【难度】★★★ 【答案】450【解析】小明计划每天看全书九分之一，即原计划9天看完全书．速度提高了1倍，看了1天，相当于原计划的2天，因此小明看了原计划的5天，还剩4天没看，所以原计划一天看200450÷=（页），这本书共509450⨯=（页）．18．一次超难的数学考试，某班前五名同学共得20分（得分是任意正整数），并且分数各不相同，也没有得0分的，则有__________种得分的情况． 【考点】计数——枚举法 【难度】★★★ 【答案】7【解析】有序枚举．（1、2、3、4、10）（1、2、3、5、9）（1、2、3、6、8）（1、2、4、5、8）（1、2、4、6、7）（1、3、4、5、7）（2、3、4、5、6）共7种．19．用1、2、3、4、5这几个数字组成一个5位数，要求每个数字均出现1次，且3必须在2前面（但它们不一定相邻），2必须在1前面，则共能组成__________个不同的五位数． 【考点】计数——排列组合 【难度】★★★ 【答案】20【解析】由于1、2、3排列就只有321这一种顺序，因此先在5个位置中选3个放这三个数，然后再将4和5在剩下的2个位置中排列．共225220C A =．20．如图所示，直角三角形PQR 的短直角边长为5厘米．正方形EFRQ 的面积是89平方厘米，则正方形PQDC 的面积为__________．【考点】弦图勾股定理 【难度】★★★ 【答案】64【解析】由勾股定理得222289564PQ RQ PR =-=-=．三、填空题（每题6分，共60分）21．今天是2011年10月6日，已知六位数2011□□能被106整除，则该六位数的末两位是__________． 【考点】整除 【难度】★★【答案】201188【解析】用试除法，201199106189811÷=……，20119911201188-=．22．1000千克青菜早晨测得它的含水量为90%，这些菜到了下午测得含水量为80%，那么这些菜的重量减少了__________千克． 【考点】分百应用题 【难度】★★★ 【答案】500【解析】找不变量，上下午菜除去水份的重量不变，为1000(190%)100()kg ⨯-=，因此下午的菜总重量为100(180%)500()kg ÷-=，共减少了1000500500()kg -=．23．一项工程，乙单独做要12．5天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，第三天一起做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天一起做，第三天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法少用半天完工．已知甲乙工效不相等，则甲单独做需要__________天． 【考点】工程问题 【难度】★★★ 【答案】25【解析】将甲做1天，乙做1天，合作一天，看成一个周期，那么不可能是整周期做完，这样无论是哪种顺序时间都一样．①若最后完成时甲多做1天，那么这1天的活乙要做半天，因此，乙单独12.5天完成，甲单独25天完成．②若最后完成时甲多做1天，乙多做1天，那么这两天的活乙要做1天，再合作半天，得到合作半天相当于甲1天，即甲与乙的工作效率相同，与题目矛盾．因此甲单独做需要25天．24．用0、1、2、3、4这5个数字（可以重复），共能组成__________个比2011小，比1006大的偶数． 【考点】计数 【难度】★★★ 【答案】76【解析】千位为1时，个位有3种选择，其余位均有5种选择，共55375⨯⨯=种，去1000，1002，1004，共72个；千位为2时，共2000，2002，2004，2010共4个；一共有76个．25．有一个三位数，它们除以2、4、6、7所得到的余数互不相同（不能余0）．这样的三位数中最大的是__________． 【考点】余数 【难度】★★★★ 【答案】947【解析】除以2只能余1，除以4只能余2（否则除以2不会有余数），除以5只能余3，除以7可以余2、4、6（余1、3、5时除以2不会有余数），三位数中满足除以2余1，除以4余3，除以5余3最大为995，每小12都成立，975除以7余1，983除以7余3，959除以7余0，947除以7余2，成立．26．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯．已知该自动扶梯每秒运行1.5级阶梯，警察要想在自动扶梯上抓住小偷的话，自动扶梯至少要有__________级．【考点】行程——扶梯问题【难度】★★★ 【答案】113【解析】30秒扶梯走30 1.545⨯=级，小偷逆行1秒上3 1.5 1.5-=（级）阶梯，警察1秒上4 1.5 2.5-=级阶梯，比小偷多上1级，因此45秒就可以追上，至少需要45(4 1.5)112.5-=级，由于阶梯是整数，因此需要113级．27．有一座圆柱塔，在地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图，已知塔内底面圆周长为30米，塔高140米，通道共转了三圈半．问：通道共长__________米．【考点】立体几何 【难度】★★★★★ 【答案】175【解析】将圆柱沿高剪开成长方形，如图，通道长即为图形中斜线长．将斜线连在一起与底面周长的3．5倍及高形成一个直角三角形．底面周长的3．5倍为3.530353⨯=⨯，高为140354=⨯，由勾股数得通道长为355175⨯=（米）．28．如右图，以直角三角形ABC 的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是75．36厘米，那么三角形ABC 的面积最大是__________平方厘米(π取3.14)．【考点】几何最值 【难度】★★★★ 【答案】288【解析】根据条件得3.14()275.36AB AC ⨯+÷=，48AB AC +=．两个数和一定，差小积大，三角形面积2AB AC ⨯÷最大为24242288⨯÷=（平方厘米）．CBA11 / 1129．学而思杯数学考试时间为8：00－9：30，请问在考试时间内分针与秒针共重合了__________次．（8点为第一次）【考点】行程——钟表问题【难度】★★★★【答案】89【解析】秒针1分钟走60格，分针1分钟走1格，每重合1次，秒针追分针60格，需要6060(601)59÷-=分重合一次，609088.559÷=，算上8点的1次，共89次．30．B 地在A 、C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用__________分钟．（注：甲，乙出发后不停留也不转向）【考点】行程问题【难度】★★★★★【答案】90【解析】根据题意当丙发现甲乙把信拿反时，甲乙的位置如下：由于追乙用的时间较短，要使总时间最少，则丙先去追乙．速度比丙：乙=2:1，快2份，因此10分钟的路程，丙5分钟即可追上．丙返回B 地需要5分钟，此时甲已离B 地30分钟，丙去追甲需要30(2-1)15÷=（分），再返回B 地需要15分钟，丙还要继续给乙换回，此时三人位置如图丙离乙有1055151550++++=（分）的路程，丙追上乙需要50225÷=分，返回B 地也需25分，所以共需5+5+15+15+25+25=90（分）．。
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绝密★启用前
2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（六年级B 卷） 时间：13:30~14:50 满分：150分
考生须知： 1. 请在答题纸上认真填写考生信息；
2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效
一．
填空题（每题8分，共40分）
1. 计算：
123136___.1234⎛⎫
÷+⨯= ⎪⎝⎭
【分析】原式= 112
1368.1217
⨯⨯=
2. 如图，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距离为8厘米，那么
点C 距离地面的高度是 厘米。
B
C
O
D
A
8
10
【分析】6+8=14厘米
3. 3月11日，日本发生里氏9级大地震。
在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生5级地
震。
已知里氏的震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是15日东海岸地震的倍.
【分析】差了4级，差了1000×1000=1,000,000倍.
4. 今天是2011年4月9日，20110409这个九位数是9的倍数，则方框里应填入的数字是。
【分析】容易知道为1
5. 一列数，我们可以用：1x 、2x …表示，已知：12x =，11
2n n
x x +=-()1,2,3
n =，如213222
x =-
=，则2011____x =。
【分析】由于
213222x =-
=；324233x =-=；435244x =-=；找规律，可知：1n n x n +=，所以20112012
2011x =。
二．
填空题（每题10分，共50分）
1. 在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，而三角形ABO 的面积为9，三角形BOC 的面积
为27，DO 上有一点E ，而三角形ADE 的面积为1.2，则阴影部分三角形AEC 的面积为
B
【分析】根据题意，由于三角形ADO 的面积为3，则阴影三角形AEO 的面积为1.8，所以有三角形EOC 的面积为3.6，则阴影部分的面积为4.8.
2. 有四个人说话，分别如下：
A ：我们中至少有一个人说的是正确的
B ：我们中至少有两个人说的是正确的
C ：我们中至少有一个人说的是错误的
D ：我们中至少有两个人说的是错误的 请问：说错话的有人.
【分析】方法一：若没人说对，则CD 说对，矛盾；若1人说对，则ACD 说对，矛盾；若2人说对，则ABCD 说对，矛盾；若3人说对，则ABC 说对，D 错，成立；若4人说对，则AB 说对，CD 说错，矛盾，因此只能是ABC 说对，D 说错.
方法二：因为四个人，所以至少有两人说错或两人说对，因此AB 一定是正确的，剩下的就容易知道D 是错
的.
3. n 是一个三位数，且组成它的各位数码是从左到右是从大到小的连续数字。
则n 除以28的所有可
能的余数之和为． 【分析】由于n 只能是987，876，765，654，543，432，321，210。
其除以28的余数分别为：24，21，18，15，12，9，6，3，求和得到：
()32482741082
+⨯=⨯=。
4. 如果a b c 、、均为质数，且222318a b c ++=，则a b c ++的是
【分析】根据题意，根据奇偶性，其中一定有一个是2，有一个是5，另一个数2
289c =，此时17c =，
此时251724a b c ++=++=。
所以其最小值为24。
5. 如果一个三位数是去掉百位数字后剩下的两位数的5倍，则称这样的数为“学而思数”。
所有的“学
而思数”的和是. 【分析】原数是5的倍数，那么后两位也是5的倍数，那么三位数是25的倍数，那么后两位只能25，,5,75，所以学而思数为125,250,375，和为750. 三．
填空题（每题12分，共60分）
1. 如下图是一个6×6的方格表，现将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列、每一条对角
线数字1~6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1~6也恰好都只出现一次，那么方格A 中应该填数字，方格B 中应该填写的数字为。
【分析】方格A 应该填写5，方格B 应该填写6.
B A
2. 如图，一个四分之一圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是16，那么图中的扇形面积是。
（π取3）
【分析】由于阴影正方形的面积为16，则边长为4，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：
2222640r =+=，所以图中扇形的面积为：1
40304
⨯=π。
3. 在下列的数表中，数字以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.
2011在整张数表中共出现次.
【分析】第12项的值为：1131921122+++
++=；
观察可知，由于12011n d +⨯=，而201023567=⨯⨯⨯，2010有16个因数，所以编码2011共出现了16次。
4. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时相向出发，往返跑步，第一次相遇地点距离AB 的中点100米，
甲到B 地、乙到A 地后立即返回，乙的速度保持不变，甲的速度变为原来的2倍，第二次相遇恰好在AB 的中点，那么，A 、B 两地相距米. 【分析】如果甲未提速，甲共走的路程为1.25个全程，乙共走的路程为1.5个全程，甲乙速度比为：: 1.25:1.55:6乙甲V V ==，令半程为x ，则有：()()100:1005:6x x -+=，则有：1100x =，所以A 、B 两
地相距2200米。