讲义：截长补短法
八年级上册数学截长补短法
八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。
1. 定义。
- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。
“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段，使得其中的一段或几段与已知线段相等；“补短”就是将一条较短的线段延长，使得延长后的线段与已知的较长线段相等。
- 例如，在三角形ABC中，要证明AB = AC+CD（假设AB>AC），“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC，然后去证明BE=CD；“补短”的做法可以是延长AC到F，使CF = CD，然后去证明AB = AF。
2. 适用情况。
- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时，常常考虑使用截长补短法。
- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。
如在等腰三角形的相关证明中，如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时，可能就需要用到这种方法。
二、截长补短法的解题步骤。
1. 截长法解题步骤。
- 第一步：观察图形和已知条件，确定要截的线段。
一般选择较长的那条线段进行截取。
- 第二步：根据已知条件截取合适的长度，使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。
例如，在三角形中，如果有角平分线的条件，可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。
- 第三步：连接截取点与其他点，构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。
- 第四步：利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理，得出要证明的结论。
- 例如：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B，求证：AB = AC+CD。
- 证明（截长法）：在AB上截取AE = AC，连接DE。
- 因为AD是角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。
- 在△AED和△ACD中，AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD，根据SAS（边角边）定理，△AED≌△ACD。
- 所以∠AED = ∠C，CD = ED。
- 又因为∠C = 2∠B，∠AED = ∠B + ∠EDB，所以∠B = ∠EDB。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：截长补短
中考经典几何题讲义系列：截长补短有一类儿何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题Ll一般可以釆取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是釆取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
截长法：(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
・••・・•补短法(1)延长短边。
(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
・・••••几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面儿种类型;类型①a±b=c 类型②a ÷ b=kc类型③—C类型④c2=a ∙ b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
对于②，可以将a±b与C构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。
对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与C构建在一个三角形中，与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
C b对于类型④，将c2=a∙ b化为匕二上的形式，然后通过相似三角形的比例关系进 a C行证明。
在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。
例：在正方形ABCD中，DE=DF, DG丄CE,交CA于G, GH丄AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG, GH, CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）(1)正方形ABCD 中，点E 在CD ±,点F 在BC ±, ZEAF=45" o求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，ZEAF=45" o 请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关系？（1）变形bF正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，ZEAF=45" o 请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关系？（1）变形CA正三角形 ABC 中，E 在 AB ±, F 在 ACjtZEDF 二45 J DB=DC, ZBDC=I20" □请问 现在EF 、BE 、CF 乂有什么数量关系？（1）变形d正方形 ABCD 中，点 E 在 CD ±,点 F 在 BC ±, ZEAD=I5‰ ZFAB 二30°。
截长补短法
截长补短法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。
截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
用法例题例1：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。
解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。
∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF（AAS)∴AD=CF，AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
《截长补短法》课件
04
截长补短法的实例
实例一：几何图形
总结词
通过图形直观展示
详细描述
在PPT中，我们可以使用几何图形来展示截长补短法的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过将一个不规则 图形切割成几个规则图形，然后进行补充，从而得到一个新的规则图形。这种方法可以帮助学生更好地理解几何 图形的性质和特点。
实例二：数据可视化
原理的数学解释
截长补短法是一种基于几何和代数知识 的解题方法，其原理可以通过数学公式
和定理进行解释。
在几何学中，截长补短法可以用于证明 一些线段或角度的性质和关系，例如通 过截取线段来证明两个三角形相似或通 过补全角度来证明一个四边形是平行四
边形。
在代数中，截长补短法可以用于解决一 些方程和不等式问题，例如通过将一个 复杂的多项式方程进行截取和补全，来
索其在其他领域的应用。
拓展应用范围
尝试将截长补短法与其他几何 作图方法结合，拓展其应用范 围，解决更多复杂的几何问题 。
提高教学水平
在数学教学中，加强对截长补 短法的介绍和讲解，帮助学生 更好地理解和掌握该方法。
激发学习兴趣
通过引导学生运用截长补短法 解决实际问题，激发他们对数
学学习的兴趣和热情。
THANKS
简单、更易于解决的小问题。
补全短线段
补全短线段是指在解题过程中，将一些较短的线段或步骤进行补充和整合，使其形 成一个完整的解决方案。
通过补全短线段，可以将零散的信息和步骤整合起来，形成一个完整的知识体系或 解决方案。
在数学问题中，补全短线段通常用于将一些分散的条件和信息整合起来，形成一个 完整的证明或解题过程。
找到满足条件的解。
03
截长补短法的步骤
三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等之截长补短(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三角形全等之截长补短(整理)的全部内容。
12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。
中线倍长法及截长补短经典讲义
几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
例2、中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使连接BE方式2：间接倍长方式3：作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE连接CD例3、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BDCBCABCD图1-1平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE FE DCBA图1-2ADB CE F1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCDE 图3-2DCB A 12图4-1∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
讲义：截长补短法
F
A
B
D
C
E
变形 c 正 三 角 形 ABC 中 ， E 在 AB 上 ， F 在 AC 上 EDF=45 o 。 DB=DC， BDC=120 o 。请问现在 EF、BE、CF 又有什么数量关系？
A
E B
F jC
D
变形 d
正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上， EAD=15 o ， FAB=30 o 。
A
D
E
一个三角形有一个角为 30°，那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的。 ②在证题时，如果只知道一个三角形中的一角所对的边等于另一边的一半，那么 说这个角等于 30°，这得三角形是直角三角形也是错误的。
3. 等边三角形的判定方法 （1）运用定义：三条边相等 （2）三个角相等 （3）有一个角是 60°的等腰三角形
二、善于总结解题规律 规律 1：经过等腰三角形一腰上的点作底边平行线分得三角形 ADE 为
等腰三角形。经过等腰三角形腰上一点作另一腰的平行线分得△BDF 为等腰三 角形。如图所示，AB=AC，DE//BC，则△ADE 为等腰三角形。DF//AC，则△BDF 为等腰三角形。
规律 2：将图中的等腰三角形换成等边三角形，则△ADE、△BDF 均为等 边三角形。
截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量 关系。
截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边 相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……
例 1：在正方形 ABCD 中，DE=DF，DG CE，交 CA 于 G，GH AF，交 AD
第三讲 倍长中线与截长补短
第三讲倍长中线与截长补短法2021.1方法概述倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）加倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化。
截长补短：证明两条线段之间的倍分关系或几条（通常为3条）线段之间的和差关系时，将长线段截成两段分别与已知两条短线段相等，或者延长一条短线段，使其与长线段相等。
基本模型一、倍长中线AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则△ACD≌△EBD，（也可连CE，则△ABD≌△ECD），可看作旋转变化构造全等三角形。
△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（异于端点），连接ED并延长，使DF=DE，连接CF，则△FC D≌△EBD。
AB//CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（异于端点），连接FE并延长，交DC的延长线于点G，则△AFE≌△CGE。
◎典型例题1-1AD是△ABC的边BC上的中线，AB=4，AC=8，则中线AD的取值范围是。
【分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用三边关系求范围。
【解答】【小结】1.三角形的三边关系是求线段范围的常用方法。
2.出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化。
◎典型例题1-2如图，已知D为△ABC的边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（）A.大于EFB.小于EFC.等于EFD.与EF的大小关系无法确定【分析】【小结】1.出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段。
2.出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形。
◎典型例题1-3（1）操作发现：如图1，矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE 折叠得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G。
猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论。
（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
【分析】（1）易证△EFG≌△ECG，得GF=GC；（2）E为BC的中点，可加倍延长AE与DC的延长线交于点H，构造出△CHE与△BAE全等，得AF=AB=CH，且△GAH为等腰三角形，GA=GH，易得出结论。
截长补短法
Ｃ
一分为二，使其中的一条线段等于已知
的两条较短线段中的一条，然后证明其
ＡＦ
Ｂ中在的A另B一上段截与取已知一的段另A一FA条等C线于段A相C等或者等于
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，
求证：ＥAB＝ＤAC＋B截D。长法
Ｃ
（1）在AB上截取AF=AC，连接EF
得到△ACE≌△AFE
Ａ Ｆ Ｂ （2）证明BD=BF，即要证△BFE≌
因此要证∠BFE=∠D或者∠FEB=
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，
求证：ＥAB＝Ｄ证A明C∵：＋AEEB在B平平AD分分B上∠∠。DC截ABBA取，AF而∠=AACF，E+∠连B接FEE=F180
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
专题：全等三角形之巧添辅助线—
截长补短线法段和差处理技巧
截长补短法：是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法， 也是把几何题化难为
易的一种思想． （1）截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使 其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证 明其中的另一段与已知的另一条线段相等。 （2） 补短法：一般有两种方式—— 一种是将某短线段延
20190704第2讲 截长补短法
知识目标
模块一 模块二 模块三 模块四 模块五
垂直与截长补短 角平分线与截长补短 等边三角形与截长补短 线段和相等与截长补短
截长补短综合应用
例 1、例 2 例3
例 4、例 5 例6
例 7、例 8
知识导航
如图：要证 AB＝CD＋EF，有以下辅助线的说法
难度：★★★★ 难度：★★★★ 难度：★★★★ 难度：★★★★ 难度：★★★★
2.已知△ABC 中，AC＝BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，点 E 为 AB 上一点，且∠EDB＝∠B， （1）如图，若∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD
（2）如图，若∠C＝100°，求证：AB＝AD＋CD
3.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，AO 平分∠BAC，交 CD 于 O，E 为 AB 上一点，OE∥ BC，求证：OD＋OE＝CD.
练习、如图，△ABC 是等边三角形，∠ADC＝120°，求证：BD＝AD＋CD.
例 5、如图，F 是等边△ABC 的边 AC 的中点，D 在边 BC 上，△DFE 是等边三角形，ED 的延长线交 AB 于 H，求证：CF＋CE＝CD.
第3页共6页
练习、已知如图，△ABC 为等边三角形，AE＝AC，BE 交 AC 于 D，AF 平分∠CAE 交 BE 于 F， 求证：AF＋EF＝BF.
题型四、“线段和相等”与截长补短 已知△ABC，∠BAC＝60°，∠ACB＝80°，∠BAC，∠ACB 的平分线交 BC，CA 于 P，Q，求证：AC＋CP＝ AQ＋CQ.
模块二 截长补短综合应用
例 7、如图，在△ABC 中，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB，点 E 为 BC 的中点，CN⊥AE 交 AB 于 N， 连 EN，求证：AE＝CN＋EN.
透彻解析截长补短法
透彻解析截长补短法【知识汇总】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型一】截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM 为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
截长补短法课件2
A
5
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
6
F C
3
B
∵CD=DF+CF
∴CD=AD+BC
例1、如图，AD∥BC，点E在线段AB上， ∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC.
D
A E F C B
截长法
例1、如图，AD∥BC，点E在线段AB上， ∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC.
证明:(截长法)在DC上截取DF=DA,连接EF 在△ADE和 △FDE中 1 2
D
AD=FD(辅助线所作）
∠1= ∠2 (已知） DE=DE(公共边） ∴ △ADE ≌△FDE（SAS) ∴ ∠A= ∠5 又∵ AD∥BC ，∴ ∠A+ ∠B=180°
A
1、可考虑补短法，延长DE至F， 使EF=BC,连AC，AF，证两次 全等即可求解。
F B C D E
2、注意，用截长法得不 到两次全等，故本题不 宜用截长法来做
比较例1和例2，一般出现什么条件时可以同时 使用截长补短两种办法？
A
D
A F
E
F
B C D
E
C B
M
已知△ABC中， BD , CE分别平分∠ABC 和∠ACB，BD , CE交于点O，且BC=BE+CD， 求∠A的度数。 A E O D
“截长补短法”的应 用
截长法即在较长线段上截取一段等于两较短 线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线 段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与 长线段相等。
数学的截长补短法
数学的截长补短法在数学的广阔领域中，解题策略多种多样，其中“截长补短法”以其灵活性和实用性在数学解题中占据了一席之地。
本文将详细阐述这一方法的基本原理、应用场景以及解题步骤，旨在帮助读者更深入地理解并掌握这一数学工具。
一、截长补短法的基本原理截长补短法，顾名思义，包含两个基本动作：“截”和“补”。
“截”指的是在复杂的数学问题中，通过截取一部分来简化问题，使之变得更容易处理；“补”则是在截取后，为了保持问题的完整性，对剩余部分进行适当的补充。
这两个动作相互配合，共同构成了截长补短法的基本框架。
在具体应用中，“截”和“补”的操作并非随意进行，而是需要遵循一定的原则。
首先，“截”的部分应该是问题中相对独立且易于处理的部分，这样才能确保截取后的问题能够得到有效的简化。
其次，“补”的部分应该与截取部分相互关联，且补充后的问题应该与原问题在本质上保持一致，这样才能确保解题的正确性。
二、截长补短法的应用场景截长补短法作为一种解题策略，可以广泛应用于数学的各个领域。
以下是一些典型的应用场景：1. 几何问题：在几何问题中，截长补短法常常用于处理复杂的图形。
例如，在面对一个复杂的几何图形时，我们可以通过截取其中的一部分来简化问题，然后再通过补充适当的辅助线或图形来恢复问题的完整性。
2. 代数问题：在代数问题中，截长补短法可以用于简化复杂的代数式。
例如，在面对一个包含多个项的代数式时，我们可以通过截取其中的一部分项来简化问题，然后再通过补充适当的项来保持等式的平衡。
3. 概率问题：在概率问题中，截长补短法可以用于处理复杂的概率事件。
例如，在面对一个包含多个独立事件的复杂概率问题时，我们可以通过截取其中的一部分事件来简化问题，然后再通过补充适当的事件来保持问题的完整性。
三、截长补短法的解题步骤虽然截长补短法在具体应用时需要根据问题的具体情况进行灵活调整，但其基本步骤可以归纳为以下几点：1. 分析问题：首先，我们需要对问题进行深入的分析，明确问题的主要难点和关键点。
三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________．二、精讲精练A1. 已知：如图，在△ ABC 中，∠ 1=∠2，∠ B=2∠C．12求证： AC=AB+BD．CB DA21CB DA21B D C2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，点 E 为 AB 边上一点，且 DE 平分∠ ADC，CE 平分∠ BCD．C 求证： CD=AD+BC．3.已知：如图，在正方形 ABCD 中， AD=AB，∠ B=∠ D=∠ BAD=90°，E，F 分别为 CD， BC 边上的点，且∠ EAF=45°，连接EF．求证： EF=BF+DE．DAEA DEB F C4.已知：如图，在△ ABC 中，∠ ABC=60°，△ ABC 的角平分线 AD，CE 交于点 O．求证： AC=AE+CD．BDEOA CBDEOA C5.已知：如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC，BD 平分∠ ABC，CE⊥BD 交 BD 的延长线于点E．1求证： CEBD． 2AEDB CAE【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长 AB 到 E，使∵∠ ABD 是△ BDE 的一个外角∴∠ ABD=∠ E＋∠ BDE∵BE=BD∴∠ E=∠BDE∴∠ ABD=2∠E∵∠ ABD=2∠C B∴∠ E=∠C 在△ ADE 和△ ADC 中E BE=BD，连接 DE．A12D CE C1 2AD AD∴△ ADE≌△ ADC（AAS ）∴AE=AC∴AC=AB＋BE=AB ＋BD截长法：证明：如图，在 AC 上截取 AF=AB，连接 DF ．在△ ABD 和△ AFD 中AAB AF1212F AD AD∴△ ABD≌△ AFD （SAS）B D C∴∠ B=∠AFD， BD=FD∵∠ B=2∠ C∴∠ AFD=2∠C∵∠ AFD 是△ DFC 的一个外角∴∠ AFD=∠ C +∠FDC∴∠ FDC=∠ C∴DF=FC∴BD=FC∴AC=AF+FC=AB+BD2. 证明：如图，在 CD 上截取 CF=CB．∵ CE 平分∠ CBDC ∴∠ 1=∠ 2F 1 2在△ CFE 和△ CBE 中D CF CB3 412CE CE A E B ∴△ CFE≌△ CBE（SAS）∴∠ CFE=∠ B∵∠ B=90°∴∠ CFE=∠ DFE =90 °∵∠ A=90°∴∠ DFE=∠ A∵DE 平分∠ ADC∴∠ 3=∠ 4在△ DEF 和△ DEA 中DFE A34DE DE∴△ DEF ≌△ DEA （AAS ）∴ DF=AD ∴ CD=DF+CF=AD+BC3. 证明：如图，延长 FB 到 G ，使 BG=DE ，连接 AG ．∵∠ D=∠ABC=90°A D∴∠ ABG=∠ D=90°21 3在△ ABG 和△ ADE 中EAB=AD ABG= DBG=DE G BF C∴△ ABG ≌△ ADE （SAS ） ∴ AG=AE ，∠ 1=∠2∵∠ BAD=90°，∠ EAF=45° ∴∠ 2+∠ 3=45° ∴∠ 1+∠ 3=45° 即∠ GAF=45° ∴∠ GAF=∠ EAF 在△ AGF 和△ AEF 中AG AEGAFEAFAFAF∴△ AGF ≌△ AEF （SAS ） ∴ GF=EF ∵ GF=BF+BG ∴ EF=BF+DE4. 证明：如图，在 AC 上截取 AF=AE ，连接OF ． ∵ AD ， CE 为△ ABC 的角平分线∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4B在△ AEO 和△ AFO 中AEAF ED1 2 O 75AOAO1 684∴△ AEO≌△ AFO（SAS）∴∠ 5=∠ 6∵∠ ABC=60°∴∠ 1+∠ 2+∠3+∠4=180∠B=18060=120∴∠ 2+∠ 3=60∴∠ AOC=180° 60=120°∴∠ 5=∠ 6=∠7=∠8=60°在△ OFC 和△ ODC 中∠8∠7OC OC∠3∠4∴△ OFC≌△ ODC（ASA ）∴CF=CD∴AC=AF+FC=AE+CD5.证明：如图，延长 CE，交 BA 的延长线于点 F．∵ CE⊥ BD∴∠ BEF=∠BEC=90°F ∵∠ BAC=90°A∴∠ CAF=∠ BAD=90°D E∵∠ 3=∠ 434∴∠ 1=∠ 515在△ BAD 和△ CAF 中B 2C15AB ACBAD CAF∴△ BAD≌△ CAF（ASA ）∴BD=CF∵BE 平分∠ ABC∴∠ 1=∠ 2在△ BEF 和△ BEC 中1 2BE BEBEFBEC∴△ BEF≌△ BEC（ASA ）∴EF=EC∴ CE= 1 CF2 ∴ CE= 1BD2三角形全等之截长补短每日一题1. （ 4 月 28 日）在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，∠B=2∠C ．求证： CD=AB+BD ．AB DC2. （ 4 月 29 日）如图，在△ ABC 中， AB>AC ，∠ 1=∠2，P 为 AD 上任意一点，连接 BP ，CP ．求证： AB AC>PB PC ．A1 2PB DC3.（4 月 30 日）已知：如图，∠ 1=∠2，P 为 BN 上一点，且PD⊥BC 于点 D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．NAP12B D CA D4. （ 5 月 2 日）如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边上任意一点，AF 平分∠ DAE，连接 EF．求证： AE=BE+DF ．FB E C【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取 DE=BD，连接 AE．A21B D E C∵AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ ADE=90°在△ ABD 和△ AED 中AD ADADB ADEDB DE∴△ ABD≌△ AED（SAS）∴∠ B=∠1，AB=AE∵∠ B=2∠ C∴∠ 1=2∠C∵∠ 1 是△ AEC 的一个外角∴∠ 1=∠ C+∠ 2∴∠ C=∠2∴AE=CE∴CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（如果延长 DB 到点 F，使 BF=AB，连接 AF 也可进行证明）2. 证明：如图，在线段AB 上截取 AE=AC，连接 PE．A1 2PEB D C则AB AC=AB AE=EB在△ AEP 和△ ACP 中AE AC1 2AP AP∴△ AEP≌△ ACP（SAS）∴PE=PC在△ PEB 中， PB PE<EB∴PB PC<EB∴AB AC>PB PC（延长 AC 到点 F，使 AF=AB，连接 PF，也可证明结论）3.证明：如图，在 BC 上截取 BE=BA，连接 PE．NAP1342B E DC在△ ABP 和△ EBP 中BA BE1 2BP BP∴△ ABP≌△ EBP（ SAS）∴∠ A=∠3∵∠ A+∠C=180°，∠ 3+∠4=180°∴∠ 4=∠ C∵PD⊥ BC∴∠ PDE=∠ PDC=90°在△ PDE 和△ PDC 中4CPDE PDCPD PD∴△ PDE≌△ PDC（AAS ）∴DE=DC∴BD=BE+ED=AB+CD（过点 P 作 PF⊥BA 于 F，也可进行证明）4.证明：如图，延长 EB 到点 G，使 BG=DF ，连接 AG．A D132 45FG B E C∵四边形 ABCD 为正方形∴AB=AD，∠ D=∠ABC=∠BAD=90°∴∠ ABG=∠ D=90°在△ ABG 和△ ADF 中AB ADABG ADFBG DF∴△ ABG≌△ ADF （SAS）∴∠ 1=∠ 2，∠ 5=∠ G∵AF 平分∠ DAE∴∠ 1=∠ 3∵∠ 1+∠ 5=90°∴∠ 3+∠ G=90°∵∠ 1+∠ 3+∠4=90°∴∠ 2+∠ 3+∠4=90°∴∠ 2+∠ 4=∠G∴AE=EG∵EG=BE+BG∴AE=BE+DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形 ABCD中， BC>AB， AD=DC，∠ C=60°，BD 平分∠ABC．求证： BC=AB+AD．ADB C【参考答案】1.证明略提示：在 BC 上截取 BE=AB，证明△ ABD≌△ EBD，再证明CE=AD．三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在△ ABC 中，∠ BAC=60°，∠ ABC=80°， AD 是∠ BAC 的平分线．求证： AC=AB+BD．AB D CAB D CA2.如图， AC 平分∠ BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°．求证： AE=AD+BE．D AD A CE B CE B3.如图，在△ ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC．求证： BC=AB+CE．AEDB CAEDB C4.如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，CE⊥AB 于 E，△ BDC 为等腰直角三角形，∠ BDC=90°，BD=CD，CE 与 BD 交于 F，连接AF．求证： CF=AB+AF．A DEFB CA DEFB C【参考答案】1.证明略提示：方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ ABD≌△ AED，再证明 CE=DE；方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，证明△ ADE≌△ ADC．2.证明略提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△ CDA≌△ CFA，再证明BE=FE．3.证明略提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF ，证明△ ABD≌△ FBD，再证明△ DFC≌△ DEC．4.截长法：证明：如图，在 CF 上截取 CM=BA ，连接DM ．∵△ BDC 为等腰直角三角形， BD=CD∴∠ 1=∠ DCB=45°A D∵ CE⊥ AB，∠ BDC=90°7E86∴∠ CEB=∠ BDC=90°23 F∵∠ 2=∠ 34M∴∠ 4=∠ 551C在△ ABD 和△ MCD 中B AB MC45BD CD∴△ ABD≌△ MCD （SAS）∴DA=DM ，∠ 6=∠ 7∵AD∥ BC∴∠ 7=∠ 1=45°∴∠ 6=45°∴∠ 8=45°∴∠ 7=∠ 8在△ ADF 和△ MDF 中DA DM78DF DF∴△ ADF ≌△ MDF （SAS）∴AF=MF=AB+AF补短法：证明：如图，延长 BA 交 CD 的延长线于点 G ． ∵△ BDC 为等腰直角三角形∴∠ GDB=∠ BDC= 90°，∠ 5=45° ∵ CE ⊥ AB∴∠ CEB=∠ BDC=90°G∵∠ 1=∠ 2 A 7 D ∴∠ 3=∠ 4E6在△ GBD 和△ FCD 中21FGDB FDC34DB DC5C3B4∴△ GBD ≌△ FCD （ASA ） ∴ BG=CF ，DG=DF ∵ AD ∥ BC ∴∠ 6=∠ 5=45° ∴∠ 7=45° ∴∠ 6=∠ 7在△ GDA 和△ FDA 中DG DF76DA DA∴△ GDA ≌△ FDA （SAS ） ∴ AG=AF ∵ BG=AB+AG ∴ CF=AB+AF。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：截长补短
中考经典几何题讲义系列：截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±a b c类型④c²=a·b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。
对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对于类型④，将c²=a·b化为ca=bc的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。
例：B A在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）B A方法二（好证不好想）B AM例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）E（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。
《截长补短法》课件
案例三：个人发展中的截长补短法
总结词
发挥个人优势，弥补不足
Hale Waihona Puke 详细描述在个人发展中，截长补短法可以帮助我们发 挥自己的优势，同时弥补自己的不足。例如 ，一个人可能在某个领域具有很强的天赋和 经验，但在其他领域存在明显的短板。通过 截长补短法，这个人可以专注于发挥自己的 优势，同时通过学习和实践来弥补自己的不 足，从而实现全面发展。
总结词：执行计划
详细描述：按照制定的计划执行任务，并确保所有相关人员 都清楚自己的责任和任务。在实施过程中，需要保持灵活性 和适应性，以应对可能出现的意外情况。
评估效果
总结词
效果评估与反馈
详细描述
项目完成后，需要对实施效果进行评估，以确定是否达到了预期目标。如果未 达到预期目标，需要分析原因并采取相应的改进措施，以确保未来的项目能够 更加成功。
05
CHAPTER
总结与展望
截长补短法的总结
截长补短法的概念：截长补短法是一 种常用的解题方法，通过将一个复杂 的问题分解为若干个简单的问题，然 后分别解决，最后将结果综合起来， 得到原问题的解。
截长补短法的应用范围：截长补短法 可以应用于各种领域，如数学、物理 、工程、计算机科学等。在数学领域 中，它可以用于解决代数、几何、概 率统计等问题。在物理领域中，它可 以用于解决力学、电磁学、光学等问 题。在工程领域中，它可以用于解决 机械、电子、化工、建筑等问题。在 计算机科学中，它可以用于解决算法 设计、数据结构、软件工程等问题。
04
CHAPTER
截长补短法的案例分析
案例一：时间管理中的截长补短法
总结词
有效利用时间，提高工作效率
详细描述
在时间管理中，截长补短法可以帮助我们合理安排时间，将长时间的任务分解为多个小 任务，并利用零散时间完成，从而提高工作效率。例如，将一个需要长时间阅读的文件 分成多个部分，利用上下班途中的时间、午休时间和闲暇时间进行阅读，以便更快地完
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截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法：
（1）过某一点作长边的垂线
（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
…… 补短法
（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……
例1：在正方形ABCD 中，DE=DF ，DG ⊥CE ，交CA 于G ，GH ⊥AF ，交AD 于P ，交CE 延长线于H ，请问三条粗线DG ，GH ，CH 的数量关系
方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想）
B
A
B
A
M
B
A
例2、正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o。
求证：EF=DE+BF
变形a
正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？
F
E
变形b
正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF 又有什么数量关系？
变形c
正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上∠EDF=45o。
DB=DC，∠BDC=120o。
请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？
变形d
正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o。
AD=3，求∆AEF 的面
积
例3、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC 。
求证：AC/2=AD -EO
加强版
正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM=AN ，点E 在BD 上，NE 平分∠DNM 。
过E 作EF ⊥MN 于F,请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？
D
F
E
例4、、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF；
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．
例5、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．
（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE．
变形1．
F
E
M
B
D C
A
N
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。
过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF。
变形2
已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．
（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
（2）求证：∠MPB＝90°－ 1
2 ∠FCM．
等腰三角形专题
一、知识点复习
1. 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（1）该定理的作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
（2）注意：该定理不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。
因为在没有判定出它是等腰三角形以前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”。
（3）等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 2. 等腰三角形判定定理的推论
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
说明：
（1）推论1和推论2是等边三角形的判定定理，其中推论2中的60°角可以是顶角，也可以是底角。
（2）推论3是由等边三角形的性质推出的关于直角三角形的一个性质，它反映了直角三角形中边与角之间的关系。
注意：推论3的大前提是：“在直角三角形中”。
①在证题时，如果只知道一个三角形有一个角为30°，那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的。
②在证题时，如果只知道一个三角形中的一角所对的边等于另一边的一半，那么说这个角等于30°，这得三角形是直角三角形也是错误的。
3. 等边三角形的判定方法 （1）运用定义：三条边相等 （2）三个角相等
（3）有一个角是60°的等腰三角形
二、善于总结解题规律
规律1：经过等腰三角形一腰上的点作底边平行线分得三角形ADE 为等腰三角形。
经过等腰三角形腰上一点作另一腰的平行线分得△BDF 为等腰三角形。
如图所示，AB=AC ，DE//BC ，则△ADE 为等腰三角形。
DF//AC ，则△BDF 为等腰三角形。
规律2：将图中的等腰三角形换成等边三角形，则△ADE 、△BDF 均为等边三角形。
规律3：如果一个三角形有一个角为30°，则应想办法将30°角放在一个Rt △内；如果一个三角形有一个角为60°，则应想办法构造等边三角形。
以上规律的总体思路是
规律4：有角平分线或中点时，常用到的辅助线
一般三角形等腰三角形等边三角形
运用全等知识
等边角对等角边三边角相等
特殊特殊−→−−−→−−()()()
B F C
（1）在角的两边截相等的线段，构造全等三角形； （2）过角平分线上一点向角两边作垂线；
（3）如有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形； （4）有中线或有以线段中点为端点的线段时，常加倍它们，构造全等三角形。
作业
1、如图所示，BD=DC ，BF 交AD ，AC 于E 、F ，若AF=EF ，求证：BE=AC 。
2、如图所示，，求证：。
3、已知：中，∠A ＝108°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 。
求证：BC ＝AB ＋CD
∠=∠∠=∠⊥ACB B CD AD D 312，，于AB AC CD =+2∆ABC A
F E
B D C
A
1 2
D
B C
4、如图，已知 ABC 中，E 是AB 延长线上的一点，AE=AC ，AD 平分∠A ，BD=BE 。
求证：∠ABC=2∠C 。
5、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．
求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．
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A
B
C D
A C
D
B
E
1
2。