第17课时：等腰、等边三角形备课笔记(2019年3月20日)新
八年级数学上册 17 特殊三角形小结与复习冀教版
——————————教育资源共享步入知识海洋————————第十七章小结与复习【知识梳理】一．等腰三角形1.相关概念：有两边相等的三角形是等腰三角形（在未知是否为等腰三角形时，不能先说有两腰相等的三角形叫等腰三角形，防循环论证）；三边都相等的三角形叫等边三角形（也称之为正三角形），它是特殊的等腰三角形．2.等腰三角形及等边三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线就是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°．二．直角三角形１.直角三角形的性质定理：２.含30°角的直角三角形的性质：３.直角三角形的判定：4.直角三角形全等的判定：三．勾股定理勾股定理是初中数学中的一个重要定理，在直角三角形中，已知两边可利用此定理求第三边的长.可从三边的平方关系中判断一个三角形是否为直角三角形，可解决面积问题等等．1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 +b2 = c22.如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形；3.满足a2 +b2 = c2的三个正整数，称为勾股数．四．反证法1.用反证法证明找出命题结论的反面是关键，“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”；2.用反证法证明一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与定义、定理的矛盾．【典例分析】例1．等腰三角形顶角与底角之比为1:4，则三个角分别是_________．解：设顶角与底角分别为x ，4x ，根据题意，有x +4x +4x=180．（以下略）掌握概念、把握方法、灵活运用数学思想，善于数形结合，就能掌握等腰三角形．例2.如图1，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =425cm ，则AD 的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm分析:本题考查折叠的有关知识及勾股定理的应用.∵△ABC ≌△AEC ,∴∠EAC=∠BAC , 又∵四边形ABCD 为矩形,∴DC=AB=8,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC =∠FCA, ∴AF =FC =425,∴DF=DC-CF =8-425=47, 又∵∠D=090,∴AD =(),636474252222cm DF AF ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-故选C. 例3.如图2，有一木质圆柱形笔筒的高为h ，底面半径为r ，现要围绕笔筒的表面由A 至1A （1A A ，在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．分析:求几何体表面的最短距离时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转化成平面图形,于是问题可迎刃而解.把圆柱的侧面展开如图3,金属线的最短长度()22222212142h r h r B A AB AA +=+=+=ππ. 评析: 解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化.方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求.例4．如图，AB=AC ，D 为BC 上一动点，DE ⊥AB于E ，图1 图2 A1A 1ADF ⊥AC 于F ，∠BAC ＝120°，BC ＝10cm,则DE ＋DF ＝ 。
2019届冀教版中考《第16讲等腰、等边及直角三角形》知识梳理
第16讲等腰、等边及直角三角形关键点拨与对应举例）性其余均成＝°的等腰三角形是等边三角形定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角AC=6.30°角所对的直角边等于斜边的一半.cD DcDD2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．二次函数y ＝x 2﹣6x+m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当8＜x ＜9时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ） A.27B.9C.﹣7D.﹣162．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，AB ＝4，D ，F 分别是AC ，BC 的中点，等腰直角三角形DEH 的边DE 经过点F ，EH 交BC 于点G ，且DF ＝2EF ，则CG 的长为（ ）A ．B ． 1C ．52D 3．已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°4．下列运算中，结果正确的是（ ） A.235a a a +=B.236a a a =C.()236a a =D.623a a a ÷=5．浙江广厦篮球队5名场上队员的身高（单位：cm ）是：184，188，190，192，194．现用一名身高为170cm 的队员换下场上身高为190cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大6．用弹簧秤将一长方体铁块悬于没有盛水的水槽中，再向水槽匀速注入水，直至铁块完全浸没在水中（如图），则能反映弹簧秤的读数y （单位：N ）与水面高度x （单位：cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B ，C 重合），现将PCD ∆沿直线PD 折叠，使点C 落到点'C 处；作'BPC ∠的平分线交AB 于点E 。
湘教版九年级下册数学16讲 等腰、等边及直角三角形 中考知识点梳理.
湘教版九年级下册数学第16讲等腰、等边及直角三角形一、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=3021P COBAcDcD。
第四单元 三角形 第17课全等三角形
但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
考点训练
考点一: 全等三角形的性质与判定 1.如图，AD，BC 相交于点 O，OA＝OC，∠OBD ＝∠ODB.求证：AB＝CD.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质的综 合应用．
证明：∵∠OBD＝∠ODB， ∴OB＝OD. 在△AOB 与△COD 中，
知识点五:命题与证明
1、命题的定义： 表示判断的语句叫做命题。
2、命题的结构
命题由条件和结论两部分构成，常可写成“如果……那 么……”的形式
3、命题的分类 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
4、真、假命题的判断 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题
不成立就可以了，这种方法称为举反例；
B．4
C．6
D．5
【点拨】如图，过点 D 作 DF⊥AC，根据角平分
线的性质，可得 DF＝DE＝2，△ABD 的面积为
1 2
×DE×AB＝4，
又∵△ABC的面积为7 ，∴△DAC的面积为3， ∴ 1×DF×AC＝3，则AC＝3，故选A.
2
方法总结： 题目中若有角平分线这一条件，常考虑作垂线， 利用角平分线的性质证明线段相等或求角度问题.
第四单元 三角形
第17课 全等三角形
知识点一：全等三角形的概念与性质 1．定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、 中位线)相等、周长相等、面积相等．
知识点二： 全等三角形的判定 1．如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么 这两个三角形全等，简记为 S.S.S.。 2．如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 S.A.S.。 3．如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 A.S.A.。
等腰、等边三角形
基础一般学生知识点一、等腰三角形1、等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 3、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
中考数学必考考点专题17等腰、等边三角形问题含解析
专题17 等腰、等边三角形问题专题知识回忆一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2. 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等〔简称“等边同等角〞〕．性质2：等腰三角形的顶角均分线、底边上的高、底边上的中线互相重合〔简称“三线合一〞〕．3. 等腰三角形的性质的作用性质 1 证明同一个三角形中的两角相等. 是证明角相等的一个重要依照．性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4. 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高〔顶角均分线或底边上的中线〕所在直线是它的对称轴，平时情况只有一条对称轴．5. 等腰三角形的判断若是一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简称“等角同等边〞〕 .要点讲解：等腰三角形的判断是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转变成边的相等关系的重要依照. 等腰三角形的性质定理和判判定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直均分线。
3. 判断〔1〕三个角都相等的三角形是等边三角形；〔2〕有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；〔3〕有两个角是60°的三角形是等边三角形。
1三、含30的直角三角形的性质在直角三角形中，若是有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1. 等腰〔边〕三角形是一个特其他三角形，拥有很多的特别性质，有时几何图形中不存在等腰〔边〕三角形，可依照条件和图形特色，合适增加辅助线，使之组成等腰〔边〕三角形，尔后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2. 常用的辅助线有：〔1〕作顶角的均分线、底边上的高线、中线。
九年级数学下册 等腰、等边及直角三角形知识点总结
第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求21P COBAPCO BADABC abccD。
等腰三角形和等边三角形培优精华
1 / 4等腰三角形和等边三角形知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴， 3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。
（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。
⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
5、等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。
7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高” 练习题1 2.7、3、5、22、如图，在等边△ABC 中，D 、E AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= 度。
3、如图，点D 为等边三角形ABC 内的一点，BD=AD ，BE=AB ， ∠DBE=∠DBC ，则∠BED 的度数是 度。
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备课笔记
备课时间：20 年月______日课题第16课时：等腰三角形、等边三角形课型新授课
教学设想
学习目标
1．知道等腰三角形的有关概念和性质；2．熟练运用等腰三角形的性质（①轴对称图
形、②等边对等角、③三线合一）和判定方法（①等角对等边、②两条边相等的三角
形）解决等腰三角形内角以及边的证明和计算问题；3．能运用等边三角形的性质和
判定准确解决问题．
教学重点能运用等腰三角形、等边三角形的性质和判定准确解决问题．
教学难点综合运用等腰三角形、等边三角形的性质与判定解决问题．
教学准备导学案、多媒体课件
教学内容三次备课
教学过程一
次
备
课
【教学过程】
【活动一】知识梳理
【设计意图】学生通过独立整理知识点，复习等腰三角形、等边三角形
的定义、性质和判定.
【活动二】基础检测
1、如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的
度数为（）
A．30°B．40°C．45°D．60°
2、如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，
交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（）
A．13 B．12 C．15 D．20
3、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P
关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4、（1）等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为．
（2）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为；
一个内角为80°，则另两个角的度数是．
布置学生复习教材：
八上第二章P60-P75
学生活动：组内讨论，
回顾知识点,完善知
识体系.
教师活动：课堂上多
媒体展示知识点，组
织小组讨论，完善知
识体系，建构知识框
架.
学生活动：独立思考，
自主完成.
第1题
第2题
5、已知:如图，在△ABC中,AB=AC ,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC ,垂足分别为点E、F,且DE=DF.则∠EDF的度数为．
6、如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．
7、如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，
∠FAD=45°，求∠CFE的度数．
【设计意图】通过基础训练，使学生熟练运用等腰三角形、等边三角形的性质和判定.
【活动三】综合检测
8、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D 不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．在点D 的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA等于度时，△ADE是等腰三角形．教师活动：请学生结合性质和判定，分析问题并解决问题,对暴露出来的问题及时提醒.
学生活动：1、独自练习；2、小组交流.
教师活动：1、指导学生在分析问题中总结注意点；2、对学生进行友情提醒；3、对难点问题加强指导、纠错．
第5题
9、如图，已知直线y＝﹣x+2与抛物线y＝（x+2）2相交于A、B
两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【设计意图】【设计意图】综合运用学过的知识解决涉及等腰三角形的问题.
【活动四】拓展提升
10、如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN 为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．学生活动：独立思考、自主探索、学生展示．
教师活动：适时点拨、评价．。