第四单元 三角形 第17课全等三角形

注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
考点训练
考点一: 全等三角形的性质与判定 1.如图，AD，BC 相交于点 O，OA＝OC，∠OBD ＝∠ODB.求证：AB＝CD.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质的综 合应用．
证明：∵∠OBD＝∠ODB， ∴OB＝OD. 在△AOB 与△COD 中，
知识点五:命题与证明
1、命题的定义： 表示判断的语句叫做命题。
2、命题的结构
命题由条件和结论两部分构成，常可写成“如果……那 么……”的形式
3、命题的分类 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
4、真、假命题的判断 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题
不成立就可以了，这种方法称为举反例；
B．4
C．6
D．5
【点拨】如图，过点 D 作 DF⊥AC，根据角平分
线的性质，可得 DF＝DE＝2，△ABD 的面积为
1 2
×DE×AB＝4，
又∵△ABC的面积为7 ，∴△DAC的面积为3， ∴ 1×DF×AC＝3，则AC＝3，故选A.
2
方法总结： 题目中若有角平分线这一条件，常考虑作垂线， 利用角平分线的性质证明线段相等或求角度问题.
第四单元 三角形
第17课 全等三角形
知识点一：全等三角形的概念与性质 1．定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、 中位线)相等、周长相等、面积相等．
知识点二： 全等三角形的判定 1．如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么 这两个三角形全等，简记为 S.S.S.。 2．如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 S.A.S.。 3．如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 A.S.A.。
7．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分 线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为( )
A．6 B．7 C．8
D．9
解析：∵∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点 E， ∴∠MBE ＝ ∠CBE ， ∠NCE ＝ ∠BCE.∵MN∥BC ， ∴∠EBC ＝ ∠MEB ， ∠NEC ＝ ∠ECB.∴∠MBE ＝ ∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝NC， ∴MN＝ME＋EN，即 MN＝BM＋CN＝9.故选 D.
注意： 1.判定三角形全等必须有一组对应边相等； 2.判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA” 来判定.
知识点三：角平分线 1．角平分线的性质 (1)性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． (2)逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上．（角平分线的判定定理）
2．角平分线的表示方法 如图，OC 平分∠AOB，则
8.如图，在△ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于12AB 的长 为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D， 连接 AD.若△ADC 的周长为 10，AB＝7，则△ABC 的周长为( C )
A．7 C．17
B．14 D．20
[解析] MN是线段AB的垂直平分线，则AD＝BD，△ADC的周 长为10，则AC＋BC＝10，所以△ABC的周长为10＋7＝17.
【答案】 AC＝DF 或∠B＝∠DEF
方法总结： 根据题目给出的条件和图形隐含的条件，考虑能用哪种方法证明， 再看缺少的条件，添加即可.
考点三：角平分线的性质的应用 6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，
DE⊥AB 于点 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是( )
A．3
3．如图，在△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于 点 E，且∠A＝∠D，AB＝DC.
(1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC 的度数．
解：(1)证明：在△ABE 和△DCE 中，
∠A＝∠D， ∠AEB＝∠DEC， AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE.
(2)由(1)△ABE≌△DCE，可得 BE＝CE. ∴∠EBC＝∠ECB.∵∠AEB 是△EBC 的外角， ∴∠AEB＝∠EBC＋∠ECB＝2∠EBC. ∵∠AEB＝50°，∴∠EBC＝12∠AEB＝25°.
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有( C )
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
解析：①由 SSS 证明△ABC≌△DEF；
②由 SAS 证明△ABC≌△DEF；
③由 ASA 证明△ABC≌△DEF；
④满足两边及一边的对角分别相等，不能证明
△ABC≌△DEF.综上所述，故选 C.
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，这样的真命题叫做基本事实,也称为公理。
例如下列的真命题就是基本事实：
１、一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
倍 速
2、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
课 那么这两条直线平行；
时
学 练
3、全等三角形的对应边、对应角分别相等．
7. 定理的定义：
C 步骤：
1.画一条线段AC,使它等于4cm;
2.画∠ CAM= 45°;
A 45°
B
3.以C为圆心, 3cm长为半径画弧,
B′ M 交AM于点B;
4.连结CB.
结显论然：：△两边ABC及与其△一AB边'C所不全对等
△ ABC 与 △ AB'C 就是所
的角对应相等，两个三角 求做的三角形 .
形不一定全等.
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＿＜＿ 180°
这与 “三角形的内角和等于180°”矛盾.
所以假设不成立，因此在一个三角形中，至少有一 个内角大于或等于60°.
4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别 对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 A.A.S.。
5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别 对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为 H.L.。
以3cm、4cm为三角形的两边，长度3cm的 边所对的角为45°，画一个三角形。动手画一 画，你发现了什么？
因此它的逆命题为 同位角相等，两直 线平行.
归纳：
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的
条件改成结论，并将结论改成条件，便可得 到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的 逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等” 的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题 就是假命题．
(2)如果一个定理的逆命题也是定理，那么
5.如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DE，
BE＝CF.请你添加一个条件
(只需添加一个即
可)，使△ABC≌△DEF.
【点拨】因为 BE＝CF，所以 BC＝EF.又因为 AB ＝DE，所以考虑两种添加方法：(1)添加 AC＝DF，可 由“SSS”证明△ABC≌△DEF；(2)添加∠B＝∠DEF， 可由“SAS”证明△ABC≌△DEF.
(1)∠AOC＝∠BOC； (2)∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC； (3)∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB.
知识点四:线段的垂直平分线
1.定义: 垂直且平分 一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平 分线. 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段 两端点 的距离 相等. 3.逆定理:到一条线段 两端点 距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上. (线段垂直平分线的判定定理）
4．如图，已知 AD＝BC，AE⊥BD、CF⊥BD 于点 E、F，且 AE＝ CF，∠ADB＝30°，则∠DBC＝___3_0____°.
[解析] ∠AED＝∠CFB＝90°，AD＝BC，AE＝CF，斜边和直 角边对应相等的两直角三角形全等，全等三角形对应角相等．
·新课标
考点二：全等三角形的开放性问题
倍 速
判断一个命题是真命题，可以用演绎推理的方法证明。
课
时 5、反证法的含义:不是直接从 题设 推出结论,而是从命题 结论的反面 出发
学
练 引出与 已知条件、定义、公理、定理相矛盾的结论
,从而证明命题
成立.
反证法的一般步骤：
倍 速 课 时 学 练
6.基本事实的定义：
定义 ：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中
定义：有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进 一步判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性， 而且可以进一步作为判断其他命题真假的依据.
倍 速 课 时 学 练
8.逆命题，逆定理 说出下列命题的条件和结论：
·新课标
9.用反证法证明（填空）：在一个三角形中，至少有一个内 角大于或等于60°.
结论 已知：如图， △ＡＢＣ
条件 Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个内角大于或等于60°
证明： 假设△ＡＢBiblioteka 中没有一个内角大于或等于60°，Ｂ
Ｃ
即 ∠Ａ＿＜＿ 60° ， ∠Ｂ＿＜＿ 60° ，∠Ｃ＿＿＜60°
OA＝OC， ∠AOB＝∠COD， OB＝OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)． ∴AB＝CD.
2．如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有( )