第17节 三角形与全等三角形
初中数学全等三角形
初中数学全等三角形
目录
1. 几何基础知识
1.1 点、线、面的概念
1.2 角的概念
1.3 直线、射线、线段的区别
2. 三角形的性质
2.1 三角形的定义
2.2 三角形的内角和为180°
2.3 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的特点
3. 三角形的分类
3.1 依据边长分类
3.2 依据角度分类
4. 三角形的全等性质
4.1 全等三角形的定义
4.2 全等三角形的性质
4.3 证明全等三角形的方法
5. 三角形全等定理
5.1 SSS全等定理
5.2 SAS全等定理
5.3 ASA全等定理
6. 全等三角形的应用
6.1 利用全等三角形证明几何定理
6.2 利用全等三角形解决实际问题
7. 总结与拓展
7.1 总结全等三角形的重要性
7.2 拓展全等三角形的相关知识
以上是目录，接下来将根据目录内容展开写作。
人教版八年级数学上册12.1《全等三角形》说课稿
人教版八年级数学上册12.1《全等三角形》说课稿一. 教材分析《全等三角形》是人教版八年级数学上册第12.1节的内容，本节内容主要介绍全等三角形的概念、性质和判定方法。
全等三角形是几何中的重要概念，是研究几何图形性质的基础，也是解决实际问题的有力工具。
通过学习全等三角形，学生可以培养观察能力、思考能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等，具备一定的观察和思考能力。
但全等三角形的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和掌握。
因此，在教学过程中，我将以生动形象的讲解和丰富的实例，帮助学生理解和掌握全等三角形的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定方法，能够运用全等三角形解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流和归纳，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：全等三角形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：全等三角形的判定方法，特别是SSS、SAS、ASA、AAS判定方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，以直观形象的方式展示全等三角形的性质和判定过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入全等三角形的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解全等三角形的性质：通过几何画板演示，引导学生观察、思考，总结全等三角形的性质。
3.讲解全等三角形的判定方法：分别讲解SSS、SAS、ASA、AAS判定方法，并通过实例进行分析。
4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。
5.总结与反思：让学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程，提高自我认知。
全等三角形教材分析.doc
全等三角形教材分析1．本节主要介绍全等三角形的概念和性质，重点要求学生会确定全等三角形的对应元素．2．教科书通过具体例子引出本章要研究的主题——形状、大小相同的图形，然后让学生通过观察得出形状、大小相同的图形的特征：放在一起能够完全重合，由此引出全等形的概念．本章主要研究全等三角形，因此在给出全等形的概念后，特别给出全等三角形的概念．3．一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．这个结论是运用全等形的概念得出的，从而起到巩固新概念的作用。
另一方面，掌握这个结论，对学生在某些情况下确定全等三角形的对应元素有帮助．4．在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角。
教学时，结合具体图形使学生理解“对应”的意义就可以了，不要过多地解释．以后还会遇到“对应”这个词，在后面多次运用中，学生会逐步加深对它的理解．因为全等三角形对应边、对应角很重要，以后常常用到，所以在这一节里要求学生能在全等三角形中正确地找出对应边、对应角．找对应边、对应角通常有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．由于两个三角形的位置关系不同，还可以根据具体情况，针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等．5．对应边、对应角、对边、对角容易混淆．对应边或角，是对两个三角形说的，是两条边之间或两个角之间的关系．而对边、对角，是对同一个三角形中边和角的关系说的，“对边”是对某个角说的，“对角”是对某个边说的，教学中可结合图形向学生说明，注意它们的区别．6．教科书是用“完全重合”来定义全等三角形的．根据这个定义，全等三角形的对应边相等、对应角相等．这个结论很重要，以后经常用到．。
人教版数学八年级上册《三角形全等的判定SAS》说课稿
人教版数学八年级上册《三角形全等的判定SAS》说课稿一. 教材分析《三角形全等的判定SAS》是人教版数学八年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握三角形全等的判定方法之一——SAS（Side-Angle-Side，即两边及其夹角相等）。
通过学习本节课，学生能够理解SAS判定全等的原理，并能运用SAS证明两个三角形全等。
在教材中，首先介绍了三角形全等的概念，然后通过实例引导学生探究三角形全等的条件。
在学习了SAS判定方法后，教材还提供了大量的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念、性质以及三角形的相似。
他们对这些知识有一定的了解，但对于三角形全等的判定方法还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步过渡到三角形全等的判定方法。
同时，学生需要具备一定的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
在教学过程中，教师应注重培养学生的这些能力，使他们能够更好地理解和掌握所学知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形全等的判定方法SAS，并能运用SAS证明两个三角形全等。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握三角形全等的判定方法SAS，并能运用SAS证明两个三角形全等。
2.教学难点：理解SAS判定全等的原理，以及如何运用SAS证明两个三角形全等。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念、性质和相似三角形，引导学生思考三角形全等的条件。
2.探究SAS判定方法：让学生观察实例，引导学生发现两边及其夹角相等时，两个三角形全等。
人教版八年级数学上册全等三角形的判定ASAAAS课件
自学检测1（ASA） 《课本》 P41：练习2
自学探究2 【范围】P40例题4至最后 【时间】3分钟 【要求】 1、在图中标出已知的等边、等角 2、熟记得到的判定方法
三角形全等的判定（4）——AAS
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角 形全等
回顾旧知 已知：如图，AC=BC,CE=CD 证明：∠CAD=∠CBE
三角形全等的判定 （ASA AAS）
学习目标
1、探究并掌握两个三角形全等 的判定方法：“ASA”和 “AAS”
2、能灵活运用“ASA”和 “AAS”判定两个三角形全等
师生探究
有志者能使石头长出青草来。
1、任意画一个△ABC 鸭仔无娘也长大，几多白手也成家。
符号语言： 在△ ABC 与△ A ' B ' C '中
A A'
B
B'
AC A ' C '
△ ABC ≌△ A ' B ' C ' ( AAS )
自学检测2(AAS) 《课本》 P41：练习1
课堂小结
1、我们这节课学过的三角形的 两个判定方法有哪些？
2、归纳总结三角形全等的判定 方法。 “SSS”、”SAS”、 “ASA”、“AAS”
桐山万里丹山路，雄风清于老风声 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎? 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎? 古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有坚忍不拨之志。
2、画一个△A’B’C’，使 志高山峰矮，路从脚下伸。
不怕路远，就怕志短。 鱼跳龙门往上游。
A’B’=AB，∠A’=∠A， 追踪着鹿的猎人是看不见山的。
全等三角形(SSS与SAS)
1第17节 全等三角形(SSS 与SAS)【知识要点】1．全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形. 2．全等三角形性质、符号:（1）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．（此性质今后常用来作为证明线段相等或角相等的依据）.（2）符号：“≅”读作“全等于”，如ABC ∆和C B A '''∆全等，记作C B A ABC '''∆≅∆． 3.边边边公理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”． 4.边角边公理（SAS ）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例1.如图所示，一张长方形纸片ABCD ，将C 角折起至E 处，作EFB ∠的平分线FH ，求HF G ∠的大小．例2．如图，A 、E 、F 、C 在一条直线上，AD=BC ，ED=BF ，AF=EC ，求证：ED ∥BF ．例3.已知，如图，AB=AC ，BD=DC ，F 是AD 的延长线上一点，求证：CDF BDF ∆≅∆．ABDCGEFH1 2 3DDA2例4.如图，已知，AE=ED ，BE=EC ，求证：DCB ABC ∆≅∆．例5.如图，AD ∥BC ，且AD=BC ，AE ⊥AD ，AB ⊥AF ，且AF=AB ，AE=AD 。
求证：AC=EF 。
【经典练习】1．已知B C B A ABC ∠'''∆≅∆,与C C ∠'∠,与B '∠分别是对应角，则下列结论错误的是（ ）A 、B A AB ''= B 、C B BC ''= C 、A A '∠=∠D 、B A AC ''= 2．下列说法中错误的是（ ） A 、全等三角形的对应边相等.B 、全等三角形的对应角相等.C 、若两个三角形全等，且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点.D 、若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角.3．如图ABC E DE AB DEB ABC ∠=∠=∆≅∆,,，则C ∠的对应角为 ，BD 的对应边为 ．4．如图若E C ADE B ADE ABC ∠=∠∠=∠∆≅∆,,，BAC ∠则对应角是 ，AC 对应边是 ．5．如图，DEF ABC ∆≅∆，且10,1231,52='︒=∠︒=∠ED B A cm ，则=∠F ，AB= ．6.如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD ，AE=BC ，DE=DC ，求证：DE ⊥AB 。
第17讲 三角形的五心
第17讲 三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HEFD ABCMABCDEFG显然EF∥=12BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，因为EF∥=12BC，HI∥=12，所以EFHI为平行四边形．所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
华师大版数学八年级上册《全等三角形》教学设计
华师大版数学八年级上册《全等三角形》教学设计一. 教材分析华师大版数学八年级上册《全等三角形》是初中的重要知识点，主要让学生了解全等三角形的概念、性质及判定。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本知识的基础上进行学习的，为后续学习相似三角形、解三角形等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于图形的认识有一定的基础。
但是，对于全等三角形的概念和判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例理解和掌握。
同时，学生可能对实际问题中的全等三角形判断感到困惑，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解全等三角形的概念、性质和判定方法，能够运用全等三角形的知识解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
四. 教学重难点1.教学重点：全等三角形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：全等三角形的判定方法在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握全等三角形的知识。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板、剪刀、胶水等。
2.学具：学生用书、练习册、草稿纸、剪刀、胶水等。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过多媒体展示两个形状、大小完全相同的三角形，引导学生观察并提问：“这两个三角形是什么关系？”学生可能回答“相等”、“一样”等，教师引导学生用“全等”这个词来描述。
教师总结：全等三角形是指形状、大小完全相同的三角形。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT展示全等三角形的性质和判定方法，引导学生观察、思考并总结。
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
判定方法：SSS（三边判定）、SAS（两边及夹角判定）、ASA（两角及夹边判定）、AAS（两角及非夹边判定）。
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是(
)
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
4．(2016·厦门)如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与
点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( A ) A．∠B B．∠A源自C．∠EMF D．∠AFB
5．(2017·衢州)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于(
解”是假命题， 则在下列选项中，b的值可以是(
C )
A．b＝－3 B．b＝－2
C．b＝－1 D．b＝2
8．(2017·遵义)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC， AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( A ) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
C
B
11．如图， △ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD， CE交于点H，请 你添加一个适当的条件：AH__＝__C_B_(_只__要__符__合__要__求__即__可__)_____， 使△AEH≌△CEB.
16.(导学号 78324032)感知：如图①，AD平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°，易知：DB＝DC. 探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°， 求证：DB＝DC. 应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a， 求AB－AC的值．(用含a的代数式表示)
1．(20B17·淮安)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是 ()
A．14 B．10 C．3 D．2
2．(2017·黔东南州)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是(
) C
A．120° B．90° C．100° D．30°
3．(2017A·河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的
解：探究：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD， ∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DB＝DC.
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交 ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论： ①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共 有( A ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．(2017·黔东南州)如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE， AC∥DF，请你添加一个适当的条件___∠__A_＝__∠__D___，使得△ABC≌△DEF.
13．如图， 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO. 下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其 中所有正确结论的序号是______①__②__③_____．
)
A
A．30° B．40° C．60° D．70°
6．(2017·郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝
∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )
B
A．180° B．210° C．360° D．270°
7． (2016·安顺)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0， 必有实数
(2)如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相 交所成的锐角是__3_0_°______．
点拨：(1)弄清内心的定义是解题的关键；(2)构造三角形外角并利用外角的 性质可求．
全等三角形的判定与性质 【例3】已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝ ∠2. (1)求证：BD＝CE； (2)求证：∠M＝∠N.
要证明不在同一个三角形中的边或角相等，往往通过证明它们所在的三角 形全等，再根据全等性质得到对应边或对应角相等．三角形全等的证明方 法有SAS，ASA，AAS，SSS和HL(直角三角形全等的判定)，注意不能运用 SSA和AAA方法判定两三角形全等．
1．未考虑所给三角形有两种情况：①锐角三角形，②钝角三角形而出错 ． 【例4】已知△ACB和△A′C′B′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD，A′D′分 别是BC，B′C′边上的高，且AD＝A′D′.问：△ACB和△A′C′B′是否一定全 等？如果全等，给出证明，如果不全等，请举例说明．
14．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.
15．(2016·六盘水)我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两 个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三 角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是 _________钝__角__三__角__形__或__直__角__三__角__形____________时，它们也会全等；当这 两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是__钝___角__三__角__形_____时， 它们一定不全等．
解：不一定全等，举例如下：这两个三角形均为锐角(或钝角)三角形时全 等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形就不可能全等．如图①中 △ACB≌△A′C′B′，而图②中△ACB和△A′C′B′不全等
2．未考虑三角形三边关系而出错． 【例5】等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为 ( C) A．25 B．25或32 C．32 D．19
毕节地区
第17节 三角形与全等三角形
数学
三角形三边之间的关系 【例1】(2017·舟山)长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是( C ) A．4 B．5 C．6 D．9
三角形内角和与外角 【例2】(1)如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA ＋∠PAB＝____9_0___度；
18．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°， ∠ACB＝35°，则∠AOD＝_____7_5_°____．