2020届河北省中考系统复习：第17讲全等三角形(8年真题训练)

第17讲 全等三角形命题点 全等三角形的性质与判定1．(2020·河北T21·9分)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF. 又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF(SSS)． (2)AB ∥DE ，AC ∥DF. 理由：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE. ∴AB ∥DE ，AC ∥DF.2．(2020·河北T23·11分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°，得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F.(1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求∠ACE 的度数；(3)求证：四边形ABFE 是菱形．解：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC ＝∠DAE ＝40°，∠BAD ＝∠CAE ＝100°， 又∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝AD ＝AE. 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．(2)∵∠CAE ＝100°，AC ＝AE ，∴∠ACE ＝12(180°－∠CAE)＝12×(180°－100°)＝40°.(3)证明：∵∠BAD ＝∠CAE ＝100°，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝∠ACE ＝∠AEC ＝40°.∵∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝140°，∴∠BFE ＝360°－∠BAE －∠ABD －∠AEC ＝140°. ∴∠BAE ＝∠BFE.∴四边形ABFE 是平行四边形． ∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形．3．(2020·河北T23·9分)如图，∠A ＝∠B ＝50°，P 为AB 中点，点M 为射线AC 上(不与点A 重合)的任意一点，连接AP ，并使MP 的延长线交射线BD 于点N ，设∠BPN ＝α.(1)求证：△APM ≌△BPN ；(2)当MN ＝2BN 时，求α的度数；(3)若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．解：(1)证明：∵P 为AB 中点， ∴AP ＝BP.在△APM 和△BPN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，AP ＝BP ，∠APM ＝∠BPN ，∴△APM ≌△BPN(ASA)．(2)由(1)的结论可知：PM ＝PN ， ∴2PN ＝MN.又∵MN ＝2BN ，∴PN ＝BN. ∴α＝∠B ＝50°. (3)40°<α<90°.重难点 全等三角形的性质与判定某产品的商标如图所示，O 是线段AC ，DB 的交点，且AC ＝BD ，AB ＝DC ，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC ＝DB ，∠AOB ＝∠DOC ，AB ＝DC ， ∴△ABO ≌△DCO.你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．【思路点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS ”．【自主解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接BC ，由SSS 可先得△ABC 和△DCB 全等，由全等三角形的性质，可得到∠A ＝∠D ，再根据∠AOB ＝∠DOC ，AB ＝DC ，由AAS 判断得到△ABO ≌△DCO.【变式1】 如图，已知AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，求证：△ABC ≌△DCB. 【思路点拨】 先判定△AEB ≌△DEC ，再判定△ABC ≌△DCB.证明：∵AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△AEB ≌△DEC(AAS)．∴BE ＝CE ，∠ABE ＝∠DCE. ∴∠EBC ＝∠ECB. ∴∠ABC ＝∠DCB.在△ABC 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(SAS)．【变式2】 如图，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，OB ＝OC ，∠B ＝∠C.求证：△ABE ≌△ACD. 【思路点拨】先判定△DOB ≌△EOC ，再判定△ABE ≌△ACD.证明：在△OBD 和△OCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠C ，OB ＝OC ，∠DOB ＝∠EOC ，∴△OBD ≌△OCE(ASA)． ∴OD ＝OE.∴BE ＝CD. ∵∠A ＝∠A ，∠B ＝∠C ， ∴△ABE ≌△ACD(AAS)．【变式3】如图，已知AC ，BD 相交于点O ，∠DBA ＝∠CAB ，∠1＝∠2.求证：∠CDA ＝∠DCB. 【思路点拨】先判定△DAB ≌△CBA ，再判定△ADC ≌△BCD ，再由全等的性质得∠CDA ＝∠DCB.证明：∵∠DBA ＝∠CAB ，∠1＝∠2，AB ＝BA ， ∴△DAB ≌△CBA(AAS)． ∴AC ＝BD ，AD ＝BC.∵CD ＝DC ，∴△ADC ≌△BCD(SSS)． ∴∠CDA ＝∠DCB.【拓展】点D 在△ABC 的边BC 上，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为E ，F ，BE ＝CF ，请你判断AD 是不是△ABC 的中线，如果是，请给出证明．【思路点拨】由△BDE 和△CDF 全等，可得AD 是△ABC 的中线．证明：∵∠CFD ＝∠BED ，CF ＝BE ，又∵∠BDE ＝∠CDF ， ∴△BDE ≌△CDF(AAS)． ∴BD ＝DC.∴AD 是△ABC 的中线．方法指导1．要证三角形全等，至少要有一组边相等的条件，所以一般情况下，我们先找对应边相等． 2．在有一组对应边相等的前提下，找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以找第三组对应边相等，或者找这两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边求解．3．题目可能隐含着条件(公共边或公共角)，再根据三角形全等的判定方法还需要寻找什么样的条件．探究证明思路时，往往用到执因寻果，执果寻因，两头碰等方法．模型建立本例题大都含有基本图形“燕子图”，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称．归纳几何基本图形，然后对基本图形进行变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段．如： ①旋转模型②三垂直模型,,③一线三等角模型,,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA ”得不到两个三角形全等．【变式训练1】(2020·安顺)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点O ，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD(D)A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD【变式训练2】(2020·恩施)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE 于点O.求证：AD 与BE 互相平分．证明：∵FB ＝CE ，∴FB ＋FC ＝CE ＋FC ，即BC ＝EF. ∵AB ∥ED ，∴∠ABC ＝∠DEF. ∵AC ∥FD ，∴∠ACB ＝∠DFE.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF(ASA)．∴AC ＝DF.在△DFO 和△ACO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOF ＝∠AOC ，∠DFO ＝∠ACO ，DF ＝AC ，∴△DFO ≌△ACO(AAS)．∴OF ＝OC.∴BF ＋OF ＝CE ＋OC ，即BO ＝EO. ∴AD 与BE 互相平分．如图1所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为直角边，A 为直角顶点，在AD 左侧作等腰直角△ADF ，连接CF.(1)当点D 在线段BC 上时(不与点B 重合)，线段CF 和BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明； (2)当点D 在线段BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【思路点拨】 可证明△ACF ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得CF ＝BD ，CF ⊥BD. 【自主解答】 解：(1)CF ＝BD ，且CF ⊥BD.证明：∵∠FAD ＝∠CAB ＝90°，∴∠FAC ＝∠DAB.在△ACF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)．∴CF ＝BD ，∠FCA ＝∠DBA.∴∠FCD ＝∠FCA ＋∠ACD ＝∠DBA ＋∠ACD ＝90°，即FC ⊥CB. 综上，CF ＝BD ，且CF ⊥BD. (2)(1)的结论仍然成立． ∵∠CAB ＝∠DAF ＝90°，∴∠CAB ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠CAF ＝∠BAD.在△ACF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACF ＋∠ACB ＝45°＋45°＝90°，即CF ⊥BD. 综上，CF ＝BD ，且CF ⊥BD.【变式训练3】 已知：∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为D ，E.(1)如图1，①线段CD 和BE 的数量关系是CD ＝BE ； ②请写出线段AD ，BE ，DE 之间的数量关系并证明；(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD ，BE ，DE 之间的数量关系．解：(1)②结论：AD ＝BE ＋DE.理由： ∵AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，∴∠ACB ＝∠BEC ＝∠ADC ＝90°.∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠BCE ＋∠CBE ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠BEC ，∠ACD ＝∠B ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(AAS)．∴CD ＝BE.AD ＝CE.∵CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ，即AD ＝BE ＋DE.(2)②中的结论不成立．结论：DE ＝AD ＋BE.理由： ∵AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，∴∠ACB ＝∠BEC ＝∠ADC ＝90°.∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B. ∵AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(AAS)． ∴AD ＝CE ，CD ＝BE.∵DE ＝CD ＋CE ＝BE ＋AD ， ∴DE ＝AD ＋BE. 方法指导1．全等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法．2．变化题目中某些条件，结论是否成立，关键是得到结论的核心是否仍然存在，比如：两个三角形是否仍然全等或相似．易错提示思维定式是条件改变，结论必须改变，但本题AF ，AD 虽然长度改变，但仍相等；∠CAF ，∠BAD 虽然变大了，但仍相等，所以△ACF ，△ABD 尽管都变化，但全等的关系仍然存在，导致结论不变.1．如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，BE ＝5，则DE 的长为(A)A ．2B ．3C ．4D ．52．(2020·石家庄裕华区模拟)如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(C)3．(2020·黔西南)下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙4．(2020·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD 的长为(D)A．a＋cB．b＋cC．a－b＋cD．a＋b－c5．(2020·金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC或AD＝BE或DC＝EC．6．(2020·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是8．7．(2020·苏州)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC∥EF.证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.∵AF＝DC，∴AC＝DF.∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠ACB＝∠DFE.∴BC∥EF.8．(2020·陕西)如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.证明：∵AB∥CD，EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∠A＝∠D.∴∠BEC＝∠BFC，BE＝CF，∴∠AEG＝∠DFH.∵AB＝CD，∴AE＝DF.∴△AEG≌△DFH(ASA)，∴AG＝DH.9．(2020·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B)A．15B．12.5C．14.5D．17提示：过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，可证△ACD≌△AEB.10．【分类讨论思想】(2020·绍兴)等腰△ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP ＝BA，则∠PBC的度数为30°或110°．11．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．解：(1)AD＝DC＋AB.证明：延长AE交DC的延长线于点F.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F.∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠EAD. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F.∴∠EAD＝∠F.∴AD＝DF.∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB.(2)AB＝AC＋CF.证明：延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC.∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG. ∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G.∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.∴AB＝CG＝AF＋CF.。