6.3-第六章-多项式回归-响应面

ln a y bx
a e ln a
(11·16)
第三节 多项式回归
一、多项式回归方程 二、多项式回归的假设测验
一、多项式回归方程
(一) 多项式回归方程式
多项式回归(polynomial regression)：当两个变数 间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式去逼近。
二次多项式，其方程为：
(三)多项式回归统计数的计算 可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归
的统计数。
令 x1 x，x2 x2 ， … xk xk，(11·19)可化为：
y ˆk a b 1 x 1 b 2 x 2 b k x k (11·20)
可采用矩阵方法求解。即由
1 x11 x21 xk1 1 x11 x121 x1k1
Uk Uk1 /[n(k1)]
可测验k 次多项式的适合性。
(三) 各次分量项的假设测验
偏回归平方和：
UPi bi2 c(i1)i(1)
(11·27) (11·28)
此U
具有
Pi
， 1故由：
F
Qk
UPi /[n(k
1)]
可测验i次分量是否显著。
(11·29)
第五节 响应面分析
响应面分析：在多因素数量处理试验 的分析中，可以分析试验指标(依变量) 与多个试验因素(自变量)间的回归关系， 这种回归可能是曲线或曲面的关系。
对于表13.66的数据可以采用二元二次多项式拟合， 那么产量可表示为：
y i jb 0 b 1 N i b 2 P j b 3 N iP j b 4 N i 2 b 5 P j 2 i j
表13.66 大麦氮磷肥配比试验结果
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
6 216.4 276.7 295.9 325.3 320.5 286.9 219.9
氮肥 9
274.7 342.8 363.3 336.3 353.7 322.5 278.0
12 274.3 343.4 361.7 381.0 369.5 345.9 319.1
ln a y bx
(11·5)
a e ln a
三、幂函数曲线方程 yˆ ax b 的配置
yˆ ax b
(11·6)
当 y 和 x 都大于0时可线性化为：
lnyˆlnablnx
(11·7)
若令 ylny，xlnx，即有线性回归方程：
yˆlnabx
(11·8)
若线性相关系数：
ryx
②能否以k-1次多项式代替k次多项式，即是否有必 要配到k次式？
③在一个k次多项式中，X 的一次分量项、二次分量 项、…、k-1次分量项能否被略去(相应的自由度和
平方和并入误差)？
(一)多项式回归关系的假设测验
多项式回归(Uk)由X的各次分量项的不同所引起，具
有： k。
离回归(Qk)：与X 的不同无，具有 n(。k1)
F
Qk
Uk /k /[n(k 1
)]
(11·24)
可测验多项式回归关系的真实性。
相关指数：Ry·x，x2， ，，kxk次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X
的多项式的相关密切程度。
Ry· x，x2， ，xk Uk /SSy
(11·25)
决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式
1 X
x12
x22
xk21
x12
x122
x1k2
1 x1n x2n xkn 1 x1n x12n x1kn
和
y 1
Y
y2
y n
求得 XX、XY和( XX)-1，并由
b=( XX)-1( XY)获得相应的多项式回归统计数。
(四) 多项式回归方程的估计标准误
y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：
SSy=Uk+Qk
(11·21)
SSy YY(1Y)2/n Qk YYbXY
Uk bXY(1Y)2/nSSy Qk
k 次多项式的离回归标准误可定义为：
(11·22)
s y/x，x2， ，xk
Qk n(k1)
(11·23)
即是多项式回归方程的估计标准误。
二、多项式回归的假设测验
多项式回归的假设测验包括三项内容： ①总的多项式回归关系是否成立？
a bx
y
1y
b
a＞， 0b＜0
a＞ 0，b＞ 0
x
a x
图11.4 方程 yˆ 的x图象
b
a bx
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故
又称生长曲线。
y
Logistic曲线方程为：
ln a
b
yˆ
1
k aebx
k
k 2
k 1 a
x
第二节 曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序 二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置 三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置
幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线，其方程为：
yˆ ax b
y
a＞0 y
b＞1
a＞， 0b＜0
a＞0
0＜ b＜1
x
x
图11.3 方程 yˆ 的ax图b 象
四、双曲函数曲线
双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程
一般有以下3种形式：
yˆ x a bx
yˆ a bx x
1 yˆ
一、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx
█一 世 爱 恋 ゞ 三世 缠绵/再 次、释 怀视金 钱如粪 土％是 男人、 就活出 你的高 傲。手 牵 手 我 们 一 起走过 小三、 永远也 当不了 原配该 放就、 放天长 地久CC化腐朽为神奇 以 身 报 国 ╯ 你是莪 此生不 变的坚 持丶丶 少负气 节折翼 天使不 孤单我 比想象 中勇敢 遇 弱 则 强 会 考加油 。天生 我才必 有用/再 见爱情 丶试着 让自己 坚强告 诉自己 、要坚 强 永 不 言 败 不能错 的决定 地势坤 ↗唯吾 独尊努 力是为 自已将 来铺路奋斗ゝ# 坚持下 去 断 翼 の 天 使明日 辉煌再 不努力 我们就 老了学 霸模式 开启拼 命菇凉 @追梦 生活不 相 信 眼 泪 ミ 逆袭学 霸@我 要坚强 °持之 以恒视 金钱如 粪土％ 我有一 颗坚定 不移的 心 在 眼 泪 中 学会坚 强新的 一年你 要努力 了ヅ寻 梦者@- 做 好自 己。你拥有只因为你 相 信 !活 好 自 己 .志 当存高 远i拿命 去拼未 来-一切 只为中 考一路 有你、 一路向 前仰起 头 不 流 泪 @别 跟自 己过不 去@学 会保护 自己荔 枝师励 志师青 春，要 拼搏° 好好学 习 天 天 向 上 好菇娘 。当自 强学霸 模式开 启穷不 穷你别 怂 -浪 子回头 金不换 低调做 人 ,高 调 做 事 y 加油 相信你 好好活 着@姑 娘坚强 好么！ 不再让 梦枯萎 ！为了 孩子他 娘 奋 斗 ， 努 力，考 试全过 ！争取 第一＇ 努力奋 斗 。抓 住机遇 因为我 要努力 了i拼
②如果y是生长量或繁殖量，则可取3对观察值
（x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入
(11·11)
得：
y1 y2
k k
(1 (1
ae bx1 ) ae bx 2 )
y 3 k (1 ae bx 3 )
若令x2(x1，x3)解/2得：
ky22(y1y3)2y1y2y3 y22 y1y3
二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置
Baidu Nhomakorabea
yˆ aebx
两边取对数：
lnyˆlnabx
(11·1) (11·2)
令 ylny ，可得直线回归方程：
yˆlnabx
若 y 与x的线性相关系数：
ryx
S Pyx SSy SSx
(11·3) (11·4)
显著，就可进一步计算回归统计数：
b SP yx / SS x
yˆ2ab1xb2x2
(11·17)
三次多项式的方程式为：
y ˆ3ab1xb2x2b3x3
(11·18)
多项式方程的一般形式为：
y ˆka b 1 x b 2x2 b kxk
(二)多项式方程次数的初步确定
(11·19)
多项式回归方程取的次数：散点所表现的曲线趋势 的峰数＋谷数＋１。若散点波动较大或峰谷两侧不 对称，可再高一次。
曲线回归分析方法的主要内容有：
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律；
② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如 回归参数、极大值、极小值和渐近值等；
③ 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足 时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点
一、指数函数曲线 二、对数函数曲线 三、幂函数曲线 四、双曲函数曲线 五、S型曲线
第十章 曲线回归
➢ 第一节 曲线的类型与特点 ➢ 第二节 曲线方程的配置 ➢ 第三节 多项式回归
曲线回归(curvilinear regression)或非线性 回归(non-linear regression)：两个变数间 呈现曲线关系的回归。
曲线回归分析或非线性回归分析：以最小二 乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征 和规律的方法。
说明的部分所占的比率。
R2 y· x，x2， ，xk
Uk
SSy
(二) k 次多项式必要性的假设测验
若k次多项式的k次项不显著，可由（k-1）次方程 描述Y 与X 的曲线关系。
有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度， 对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是 否“合算”。因此由：
F Qk
一、曲线回归分析的一般程序
曲线方程配置(curve fitting)：是指对两个变数资料 进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过 程。
由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下3个基 本步骤：
1．根据变数X 与Y 之间的确切关系，选择适当的曲
线类型。 2．对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原
S Pyx SSy SSx
(11·9)
显著，回归统计数：
b SPyx / SS x
ln a y bx
a e ln a
(11·10)
四、Logistic曲线方程的配置
y
1
k aebx
（a、b、k均＞0） (11·11)
K 可由两种方法估计：
①如果y是累积频率，则显然k=100%；
移项，取自然对数得：
ln(kyˆ)lnabx yˆ
(11·12) (11·13)
令 y ln(k y) ，可得直线回归方程：
y
yˆlnabx
y 和 x 的相关系数：
r y x
SPyx
SS y SS x
回归统计数 a 和 b 由下式估计：
(11·14) (11·15)
b SP yx / SS x
理配置直线回归方程，并作显著性测验。 3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并
对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法
应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点： (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，
需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小(的y当 yˆ选)2。 (2) 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多 项式逼近， (3) 当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小 二乘法拟合。
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
其中Ni、Pj、ij分别表示N、P施用量和误差，按此模 型的方差分析见表13.67。结果表明b2和b3这两个偏
在响应面分析中，首先要得到回归方：
y ˆf(x1， x2， ， xl)
然后通过对自变量 x1，x2， ，xl 的合理取值，求
得使 y ˆf(x1， x2， ， xl)最优的值，这就是响应 面分析的目的。
[例13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为 每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施 磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35， 42kg 7个水平，共49个处理组合，试验结果列于表 13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
命 菇 凉 @白 手 起家 命由己 造.好好 学习i三 分天注 定，两 分靠打
y
yˆ ab x
a＞ 0，b＞ 0
a＞ 0，b＜ 0
x
图11.1方程 yˆ a的ebx图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆablnx
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程 yˆ=a+blnx 的图象
三、幂函数曲线