垂线段定义
垂线的画法
垂线段是连接一点和它在给定直 线上垂足的线段。
垂线段与垂足概念
垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线 段的长度，叫做点到直线的距离 。
垂足
如果两直线的夹角为直角，那么 就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线 ，他们的交点叫做垂足。
垂线性质及其应用
垂线的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。简称：垂线段最短。
若两点都在直线外，则先确定其中一点到直线的垂足，再以该垂足和另一点为端点 画直线。
在复杂图形中确定垂足位置
观察图形特点，找出 与已知直线构成直角 的点或线段。
在确定垂足位置后， 按照过一点或两点作 已知直线垂线的方法 进行绘制。
使用直角三角板或量 角器等工具进行辅助 ，确定垂足位置。
04
垂线在几何图形中应用举 例
垂线的性质：垂线段最短，即垂足到线段两 个端点的距离相等。
04
1. 将三角板的一条直角边与已知直线重合 。
2. 沿着直线移动三角板，直到另一条直角 边与已知点重合。
05
06
3. 沿着这条直角边画一条直线，这条直线 就是已知直线的垂线。
学生自我评价报告分享
学生可以分享自己在垂线画法学习过 程中的心得体会，如遇到的困难、如 何克服这些困难以及取得的进步等。
使用铅笔沿着直尺的另一条边轻轻地 画出垂线，使其经过已选定的点。
放置直尺
将直尺的一条边与已有点所在的直线 重合，确保直尺边与直线紧密贴合。
使用量角器和三角板辅助绘制
选择量角器和三角板
01
选择一个合适的量角器和三角板组合，确保能够准确地测量和
绘制所需角度。
放置量角器
02
垂线、垂线段
谢 谢 观 赏
垂线、垂线段
1. 跳水比赛中，入水时水花的大 小直接影响跳水的成绩。那么，水花 的大小是什么原因造成的？ 2. 如果用一条直线代表水面， 用另一条直线表示身体，试画出无 水花、水花小 、水花大的示意图。
水花大 A
C B 无水花 A O C D
水花小
O
DBBiblioteka 直线AB、CD相交于点O.
垂线
当∠AOD=90°时, 直线AB、CD互 相垂直。 记作AB⊥CD, 交点O叫做 垂足。 读作:AB垂直于CD
过一点画已知直线的垂线 作法： 1、靠(边靠线、边靠边) 2 、过 3、画
垂线的性质
有且只有一条 过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直。
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
A B
Q O A
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如 图，他在P点，应选择什么样的路 线尽快游到岸边m呢？
连接直线外一点与直线上各点的所有 垂线段最短 线段中，垂线段最短。
生活中的垂直
垂线的定义有以下两层含义：
A
1 C D
B
1、∵AB⊥CD（已知） ∴∠1=90°（垂线的定义）
垂线的定义有以下两层含义：
A D
1
C
B
2、∵∠1=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂线的定义）
折一折
在一张半透明的纸上画一条直线l ，在l上任取一点P，在l外任取一 点Q，折出过点P且与l垂直的直 线。这样的直线能折出几条？过 点Q呢？
5.1.3 垂线——垂线段
知2－讲
导引：A项是判断PB是不是点P到直线l的垂线段；B项 是判断PA，PB，PC中，哪条线段是点P到直线l 的垂线段；C项是判断AC是不是点P到直线l的垂 线段；D项是判断线段PA是不是点A到直线PC的
垂线段．
知2－讲
画出P，Q两点的位置．
知3－讲
解：P，Q两点的位置如图所示．
知3－讲
例4 (实际应用题)如图，平原上有A，B，C，D四个 村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修 建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位
置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？ 并说明根据．
知3－练
3 如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P
可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是
(
)
B．3 C．4 D．5
A．2.5
垂线、垂线段和点到直线的距离的区别与联系： 区别：它们是三个不同的概念，不能混淆，垂线是直线；
垂线段是线段；点到直线的距离是垂线段的长度，是一
个数量． 联系：它们都与垂直相联系．
第 5章
相交线与平行线
5.1
相交线
第 3 课时
垂线——垂
线段
1
课堂讲解
垂线段 点到直线的距离 垂线段的基本事实
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知1－讲
知识点
1
垂线段
1.垂线段的定义：在图所示的方格纸中，点A是直线l外 一点， AB与直线l垂直，点B为垂足.点A与直线l上各 点的距离长短不一，我们可以发
所以AC· BC＝AB· CD，进而可得CD＝2.4 cm.
垂线(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。
什么是垂直线的定义及其性质
什么是垂直线的定义及其性质一、关键信息1、垂直线的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2、垂直线的性质垂线段最短。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
二、详细内容11 垂直线的定义阐述垂直线是数学中一个基础且重要的概念。
当两条直线相交，其夹角为 90 度时，这两条直线就被定义为互相垂直。
这种垂直关系具有明确的几何特征和重要的应用价值。
111 垂直关系的判定判断两条直线是否垂直，可以通过测量它们相交形成的角度。
如果角度准确为 90 度，则两条直线垂直。
在实际应用中，也可以利用几何图形的特点和相关定理来判定垂直关系。
112 垂直线在坐标系中的表现在平面直角坐标系中，两条直线的斜率乘积为－1 时，这两条直线互相垂直。
这为通过代数方法研究垂直线提供了便利。
12 垂直线的性质分析121 垂线段最短这一性质在解决几何问题和实际生活中的最短路径问题中经常用到。
从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。
例如，在点与直线的所有连线中，垂线段的长度是最短的。
122 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直这个性质强调了垂直关系的唯一性。
给定一条直线和一个点，在同一平面内，只能作出一条直线与已知直线垂直于该点。
123 垂直线性质的应用垂直线的性质在建筑设计、工程测量、地图绘制等领域有着广泛的应用。
例如，在建筑中，确保墙壁与地面垂直，以保证结构的稳定性；在工程测量中，利用垂直线来确定准确的高度和距离。
13 垂直线与其他几何概念的关系131 垂直线与平行线垂直线和平行线是两种不同的位置关系。
平行线是指在同一平面内永远不相交的直线，而垂直线则是相交且夹角为 90 度的特殊情况。
132 垂直线与三角形在三角形中，直角三角形的两条直角边互相垂直。
此外，垂线定理在证明三角形全等和相似等方面也有重要作用。
133 垂直线与四边形在矩形、正方形等特殊四边形中，相邻的边互相垂直，这是这些图形的重要特征之一。
4.5.2垂线的基本事实及垂线段同步练习含答案
4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记: 1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C 到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5 cm,则AB___________5 cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4 cm,5 cm,6 cm,则点P到直线l的距离( )A.是4 cmB.是5 cmC.不超过4 cmD.大于6 cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P 与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你两点之间线段最短笔直向他走过去人去河边打水总是垂直于河边方向走8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC 的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD===,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你笔直向他走过去两点之间线段最短人去河边打水总是垂直于河边方向走垂线段最短8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远.解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。
数学垂线的知识点总结
数学垂线的知识点总结知识要领：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直。
垂线垂线的定义其中一条直线叫做另一直线的垂线(perpendicular line)，交点叫垂足(foot of a perpendicular)。
显然，垂线是指两条直线的特殊位置关系。
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
垂线的性质1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知识归纳：显然，垂线段是指以直线外一点与垂足为两端点的线段。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
细说垂线、垂线段、点到直线的距离
细说垂线、垂线段、点到直线的距离作者：钱振洪来源：《初中生世界·七年级》2014年第02期关于垂线，同学们在小学里已接触过，但那仅仅停留在感性认识上，没有对垂线进行概念描述. 七年级上册教科书通过图片及“议一议”活动，带大家一起回忆了小学里学过的相关知识，并遵循从感性到理性的认知规律归纳了垂线的定义，进而引出垂线段、点到直线的距离等概念. 由于同学们的认识水平有限，往往会对这三个概念认识模糊，混淆不清，下面我们来一探究竟.一、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.二、垂线、垂线段、点到直线的距离的区别1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.三、概念辨析1. 下列判断错误的是（）.A. 一条线段有无数条垂线B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直D. 若两条直线相交，则它们互相垂直【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.【正确解答】D.2. 下列判断正确的是（）.A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.【正确解答】D.四、生活中的应用通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N 最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.。
平面的垂线、平面的垂线段
5、求斜线与平面所成角的步骤： （1）过斜线上不同于斜足的点作平面 的垂线（选择可作垂线的点）； （2）连接垂足与斜足，找到斜线 在该 平面上的射影； （3）构造以垂线段、斜线段、斜线段 的射影为边的直角三角形，在此直角 三角形中以斜足为顶点的锐角是斜线 与平面所成的角，解此直角三角形。
O
P
O A
(4)PC⊥AB,PA⊥BC, PB⊥AC
(5)PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA
O
从平面外同一点向该平面能作多少条垂线段和斜线段？
有且只有一条 有无数条
从平面外同一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）垂线段唯一存在且最短； （2）射影相等的两条斜线段相等， 射影较长的斜线段也较长； （3）相等的斜线段的射影相等， 较长的斜线段的射影也较长。
.P
1、过点P引直线m的垂线，垂足为O， m 则垂足O叫做点P在直线 m上的射影
O
2、过点P引平面的垂线，垂足为O， 则垂足O叫做点P在平面上的射影
· P
O
3、平面的斜线在该平面内的射影： 从斜线上斜足O1以外的点P引平面的垂线， 过垂足O2和斜足O1的直线叫做斜线在该平面内的射影， 垂足和斜足间的线段叫做 斜线段在该平面内的射影。
如果直线m与平面相交且垂直，交点 为O，则直线m叫做平面的垂线，交点O 叫做垂足，
垂线m上的任意一点P与垂足O 间的线段PO叫做平面的垂线段 过空间一点的面的垂线及垂线段有且只有一条
如果直线n与平面相交且不垂直，交 点为M，则直线n叫做平面的斜线，交点 M叫做斜足，
斜线n上任意一点N与斜足之间的线段叫做平面的斜线段。 过空间一点的面的斜线和斜线段有无数条
P
A
ห้องสมุดไป่ตู้
垂线段最短的生活实例
垂线段最短的生活实例标题：探索垂线段最短的生活实例导言：在日常生活中，我们常常遇到需要寻找最短路径的情况。
而垂线段最短则是一个经常出现的几何问题。
垂线段最短的生活实例不仅有助于理解这一概念，还能启发我们运用最短路径原理解决实际问题。
本文将从几何概念入手，结合实际生活场景，探索垂线段最短的生活实例。
第一部分：垂线段最短的几何概念解析1. 定义：垂线段最短是指从一条直线外一点到直线上某点的连线中，与直线垂直的那条连线最短。
2. 直角三角形定理：垂线段最短的概念与直角三角形定理密切相关，这一定理指出：在一个直角三角形中，斜边上的垂线段是最短的。
第二部分：探索垂线段最短的实际生活实例在日常生活中，我们可以通过以下场景来探索和理解垂线段最短的概念。
1. 骑车选择最短路径：a. 场景描述：假设你需要骑自行车从家中到达某个目的地，而这个目的地位于一条笔直的道路上。
b. 运用垂线段最短的思考方式：通过绘制从自行车起点到道路上某个特定位置的连线，再将连线与道路上的某点连线绘制为垂线段。
我们可以通过观察发现，垂线段是最短的路径，从而选择最优的骑车路线。
2. 钟摆振动最短路径：a. 场景描述：考虑一个钟摆，钟摆线的一端固定不动，另一端悬挂着钟摆球。
b. 运用垂线段最短的思考方式：无论钟摆球在何处，它的运动路径总是沿着垂直线，这是因为钟摆的振动是垂线段最短的路径。
这种垂线段最短的性质使得钟摆运动更加高效和平稳。
3. 闪电直击建筑物的最短路径：a. 场景描述：想象一幢高楼大厦，当闪电发生时，它可能会被直接击中。
b. 运用垂线段最短的思考方式：如果我们在建筑物四周建立一个雷击杆，并确保所有的杆子都高于建筑物，那么闪电将会选择最短路径（垂直的路径）被吸引到杆子上，从而保护了建筑物的安全。
第三部分：垂线段最短的实用意义垂线段最短不仅仅是一个几何问题，它在实际生活中具有重要的实用意义。
1. 最短路径规划：交通规划、导航软件和物流配送中心等领域需要找到最短路径，而垂线段最短的概念可以为这些领域提供有效的解决方案。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
人教版数学七年级下册5.1《垂线》名师教案
活动一画图实践
1．作直线EF的垂线.
(1)直线EF，画出直线EF的垂线，能画几条?EF
小组内交流,明确直线EF的垂线有多少条？即存在,但位置有不______性.〔无数条〕〔不确定〕
(2)怎样才能确定直线EF的垂线位置呢?
在直线EF上取一点A,过点A画EF的垂线, 能画几条?再经过直线EF外一点B画直线EF的垂线,这样的垂线能画出几条?
垂线性质：
答案：1条，如图：
2条，如图：
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.
〔4〕如图AB与直线BC垂直。
点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以
发现其中最短的应该是线段AB。线段AB的长度就
是点A到直线BC的距离。请量一量线段AB的长度.
结论：.
简记为：.
(5)直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离.
(4)点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度，它是一个数量概念，只能量出或求出，而不能画出，画出的是垂线段，不是点到直线的距离;点到直线的距离问题通常伴随着过一点作直线的垂线，作图的准确性直接影响到计算与区分，务必仔细、标准.
4、随堂检测
一、选择题
1.如下图,以下说法不正确的选项是( )
4、学习难点
掌握垂线的性质，并会利用所学知识进展简单的推理.
二、教学设计
〔一〕课前设计
1、预习任务
任务1
阅读教材P3-4，思考：垂线的定义是什么？我们用符号语言怎么表示？
任务2
阅读教材P4-5垂线有哪些性质？过一点如何作直线的垂线？
任务3
阅读教材P5，什么是点到直线的距离？
2、预习自测
〔1〕、两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做.假设“直线AB垂直于直线CD，垂足为O〞，那么记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.
3_垂线段
思考：如图，怎样测量 点A 到 直线m 的距离？
A
10m
B
20m
1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
0m
m
例1、如图,量出（1）村庄A与货场B 的距离,（2）货场B到铁道的距离。 20m
30m
A
25m
0m
8m
C B
10m
练习
1、如图， 1)画出线段BC的中点M，连结AM； 2)比较点B与点C到直线AM的距离。
G D M· C
┏
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你 帮它画出爬行的最佳路线。并 F 说明理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上，你认为它的最佳路线 是什么？
· A
N
B
E
问题3：若蚂蚁在点M处，想 爬到棱BC上，请你设计一条最 佳路线。
1、垂线性质2：垂线段最短。
2、点到直线的距离的应用。
作业：
9页6、10 题
9cm ∴BP=CQ
A Q
9cm C
20cm
B
M 0cm P 10cm
30c
2、如图，点M、N分别在直线AB、CD上， 用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 的长， 2)M点和N点的距离是线段____ MF 的长。 3)M点到CD的距离是线段____ M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是(
(C) CD
(D) 不能确定 C
A B
D
想一想： 已知： 如图AD＜AE ＜AC＜AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗？
相似三角形的垂线定理与垂足
相似三角形的垂线定理与垂足相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但大小可能不同。
在相似三角形中，垂线定理和垂足是关于垂直线和垂线段的理论。
本文将探讨相似三角形的垂线定理和垂足及其应用。
一、相似三角形的垂线定理在研究相似三角形的垂线定理之前，我们首先需要了解什么是垂线。
垂线是指与另一条线段或直线形成直角的线段或直线。
在相似三角形中，垂线定理表明如果两个三角形的对应边成比例，那么它们的高也成比例。
具体而言，假设有两个相似三角形，分别记作ΔABC和ΔDEF，其中∠A ≌∠D、∠B ≌∠E、∠C ≌∠F。
若边长比为AD/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以得出结论：ΔABC和ΔDEF的高之比也与边长比相等。
以ΔABC为例，记三角形ABC的高为AM，三角形DEF的高为DN，则有AM/DN = BC/EF。
垂线定理的重要性在于可以通过已知的边长比例来计算未知的高之比例，进一步求解相关问题。
在实际应用中，垂线定理可以用于计算物体的高度、测量间距等方面。
二、相似三角形的垂足垂足是指从一个点到一条线段或直线上的垂线所形成的垂直交点。
在相似三角形中，垂足与垂线定理有着密切的关系。
垂足的存在可以帮助我们证明相似三角形中的一些性质，例如高线之比、角度之比等。
此外，通过垂足还可以构造相似三角形的一些特殊线段，如角平分线、中位线等，进而推导出更多的几何性质。
例如，考虑两个相似三角形ΔABC和ΔDEF，其中∠A ≌∠D、∠B ≌∠E、∠C ≌∠F，并假设高线交于点M和N。
我们可以得到以下结论：1. 根据垂线定理可知，AM/DN = BC/EF；2. 由高线之比可推导出AB/DE = AM/DN；3. 根据全等三角形的性质可得AMN和DEF全等，进而可得到更多的几何性质。
通过垂足的存在，我们可以在相似三角形中找到更多的几何性质，进一步推导和解决相关问题。
三、应用举例相似三角形的垂线定理与垂足在解决实际问题中有着广泛的应用。
垂线与垂足五年级数学上册知识点
垂线与垂足五年级数学上册知识点
垂线与垂足五年级数学上册知识点
垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直(perpendicular)，其中一条直线叫做另一直线的垂线(perpendicularline)，交点叫垂足(footofaperpendicular)。
显然，垂线是指两条直线的特殊位置关系。
垂线的性质：
1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂足：
1.如果两直线的`夹角为直角,那么就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
2.一条直线垂直交于另一直线，其交点称为该直线的垂足
【垂线与垂足五年级数学上册知识点】。