直接开平方法课件
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华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
一元二次方程的解法_直接开平方法_第1课时
知识回顾
什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作x= a
即x= a 或x= 9的平方根是__±__3__
4
25
a
的平方根是___52___
尝试（利用平方根定义）
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的解为： x1=
，x2=
典型例题
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4一个球的表面积是100cm2， 求这个球的半径。 （球的表面积s=4R2，其中R是 球半径）
变成（x+h）2=k （k≥0）的形式；
解：（1）移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
例2解下列方程： 典型例题
（2） 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第2小题先将－3移到方程的右边，再 两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后 两边都除以-2即可。
什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作x= a
即x= a 或x= 9的平方根是__±__3__
4
25
a
的平方根是___52___
尝试（利用平方根定义）
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的解为： x1=
，x2=
典型例题
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4一个球的表面积是100cm2， 求这个球的半径。 （球的表面积s=4R2，其中R是 球半径）
变成（x+h）2=k （k≥0）的形式；
解：（1）移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
例2解下列方程： 典型例题
（2） 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第2小题先将－3移到方程的右边，再 两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后 两边都除以-2即可。
青岛版九年级数学上册_用直接开平方法法解一元二次方程课件_
2
课堂小结
(1)直接开平方法
x a（a 0)
2
(x+a)2=b(b≥0)
（ax b) (cx d )
2
2
你发现它们的联系了吗？
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块边长35m的正方形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,为使剩余部 分的面积为1089m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
35m
(35-x)2 ＝1089.
解这个方程,得 x1 ＝ 2
35m
x2 ＝68 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为2m.
用直接开平方法解一元二次方 程
复习引入:
一元一次方程的解法(1) 复习提问： 1、什么样的方程叫做一元一次方程、一 元二次方程？ 2、一元二次方程的一般形式是什么？其 中a应具备什么条件？
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
练习、用直接开平方法解下列方程：
口答
1x 0; 2x 349 y 2 121 0; 42 x 2 128;
2
2
16 0;
笔答
5x 17 2 6( x 3)
2
49; (2 x 5)
2 2
(7)4(x- 2) 9( x 3)
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
课堂小结
(1)直接开平方法
x a（a 0)
2
(x+a)2=b(b≥0)
（ax b) (cx d )
2
2
你发现它们的联系了吗？
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块边长35m的正方形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,为使剩余部 分的面积为1089m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
35m
(35-x)2 ＝1089.
解这个方程,得 x1 ＝ 2
35m
x2 ＝68 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为2m.
用直接开平方法解一元二次方 程
复习引入:
一元一次方程的解法(1) 复习提问： 1、什么样的方程叫做一元一次方程、一 元二次方程？ 2、一元二次方程的一般形式是什么？其 中a应具备什么条件？
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
练习、用直接开平方法解下列方程：
口答
1x 0; 2x 349 y 2 121 0; 42 x 2 128;
2
2
16 0;
笔答
5x 17 2 6( x 3)
2
49; (2 x 5)
2 2
(7)4(x- 2) 9( x 3)
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
2.直接开平方法和因式分解法(二)PPT课件(华师大版)
(2)(x＋10)2＝16.
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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参考答案
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)
即 x-5=1或x-5=-1
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
22..直接开平方法和因式分解法课件初中数学华师大版九年级上册
3(x – 3) (1 – x) = 0
得
x1 = 3，x2 = 1.
课堂小结
1.对于形如 a(x – k)2 = b(a ≠ 0，b ≥ 0)的方程， 只要把 (x – k) 看作一个整体，就可转化为 x2 = n (n ≥ 0) 的情势用直接开平方法解.
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
（2）x( x 2 3) 0； x1 0，x2 2 3.
（3）(x – 1)2 = 0；
x1 = x2 = 1.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
(3x – 9) (1 – x) = 0
直接开平方，得 ______2___x_=____2_3________.
所以 x1 = __2___2_3__，x2 = __2____23__.
你知道吗？
小张和小林一起解方程
x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小张将方程左边分解因式，得
所以 得
(3x + 2)(x – 6) = 0，
22.2 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法和因式分解法
华东师大版九年级上册
• 学习目标：
1. 会用直接开平方法解形如 a(x - k)2 = b（a ≠ 0， ab ≥ 0）的方程.
2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程.
3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.
• 学习重点：
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.
17.直接开平方法课件沪科版八年级数学下册
2
这种情势；
第二步 开平方；
第三步 解一元一次方程，求出方程的根.
随堂练习
用直接开平方法解下列方程.
(1) (4x- 5 ）(4x+ 5 )=3
2-( 5)2=3
(4x)
解：
16x2-5=3
16x2=8
1
2
x= ,
2
x=±
∴ x1=
2
2
2
2
, x2= −
2
2
(2) (2x-1)2=(3+x)2
解：2x-1=±(3+x)
开平方，得 x-1=±2
即 x-1=2 或 x-1=-2
∴ 原方程的根是
x2=-1
x1=3，
(2) 3(3-2x)2-12 = 0
解： 3(3-2x)2=12
(3-2x)2=4
3-2x=±2
即 3-2x=2 或 3-2x=-2
∴原方程的根是
1
5
x1= ，x2=
2
2
小结
1、用直接开平方法可解哪些类型的一元二次方程
(3)当p<0 时,方程无实数根.
例1 用直接开平方法解下列方程.
(1) 16x2 -25=0
2=25
16x
解： 移项，得
25
2
x=
两边都除以16，得
开平方，得
∴ 原方程的根是
16
5
x=±455源自x1= ，x2=44
将方程化成 x2=p
的情势，再求解
(2) 2x 1 0
2
解：
(3) 2 x 7 -1
(1) x2=9
解:x1=3, x2=-3.
(2) x2=25 解:x1=5, x2=-5.
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
21.2.1.1 直接开平方法(复习课件)
解：20秒
18．(8分)已知m是不等式3m＋2≥2m－2的最小整数解，
试求关于x的方程x2＋4m＝0的解．
解：∵3m＋2≥2m－2，∴m≥－4，∴不等式的最 小整数解为－4，当m＝－4时，原式为x2－16＝0
，∴x1＝4，x2＝－4
19．(12分)某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项 拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足， 答：该工程队第一天拆迁的面积为 1 000 m2 第一天少拆迁了 20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁 2＝1 (2)设这个百分数为 x ， 则有 1 000(1 ＋ x) 2，求： 速度，第三天拆迁了 1 440 m 440，x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)， 答：这个百分数为20% (1)该工程队第一天拆迁的面积； (2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长 的百分比相同，求这个百分数．
B ．0
10．若方程(a－2)x2＋ ax＝3 是关于 x 的一元二次方程， 则 a 的取值范围是( C ) A．a≠2 B．a≥0 D．a 为任意实数
C．a≥0 且 a≠2
11．若 2x2＋3 与 2x2－4 互为相反数，则 x 的值为( D ) 1 A .2 B． 2 C．±2 ) 1 D．±2
21.2
解一元二次方程
21.2.1 配方法 第一课时 直接开平方法
1．若方程能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p 的形式，则 ± p ． ± p 或 mx＋n＝ x＝____ ____ 2．方程(x＋n)2＝m 有解的条件是m≥0 ____．
可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法
1．(3 分)一元二次方程 x2－4＝0 的根为( C A ．x ＝ 2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4 ) B．x＝－2 )
人教版初中九年级上册数学《直接开平方法》精品课件
（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一 元二次方程.
（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想.
推Hale Waihona Puke 新课知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
问题1 根据平方根的意义解导入列出的方程： x2=25.
解：根据平方根的意义，得 x= ±5
即 x1=5，x2=-5 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
根据平方根的意义解方程
x2=36； x=±6 x1=6，x2=-6
2x2-4=0；
3x2-4=8.
x2 2
x 2 x1 2, x2 2.
x2=4
x=±2 x1=2，x2=-2
当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 x1 - p, x2 p . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根.
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是
,
当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
(x+6)2－9=0 解：(x+6)2=9
x+6=+3 x1=－3, x2=－9
3(x－1)2－12=0
解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1
课堂小结
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
R·九年级上册
新课导入
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶
九年级数学上册第22章一元二次方程的解法1直接开平方法和因式分解法上课pptx课件新版华东师大版
解 （1）原方程可以变形为
(x + 1)2 = 4.
你是这样解的 吗？还有没有
直接开平方，得
其他解法？
x + 1 = ±2.
所以
x1 = 1，x2 = – 3.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
教学反思
本节课教师引导学生探讨直接开平方法和 因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论， 归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、 恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法， 在整个教学过程中注意整体划归的思想.
所以 得
x(x – 3) = 0. x = 0 或 x – 3 = 0. x1 = 0，x2 = 3.
例3 解下列方程： （1）(x + 1)2 – 4 = 0； （2）12(2 – x)2 – 9 = 0.
分析 两个方程都可以通过简单的变形，化 为
(
)2 = a (a ≥ 0)
的形式，用直接开平方法求解.
（直1接）开移平项方，，得得x2x==9±0300，，（所2以）(x左+边30因)(式x –分3解0)，= 得0，
∴x1 = 30，x2 = – 30.
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
得 x1 = 30，x2 = – 30.
（2）x2 = 3x
（2）移项，得
x2 – 3x = 0. 方程左边分解因式，得
对于题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得
(上)用直接开平方法解一元二次方程(最新)人教版九年级数学全一册课件(21张)-公开课
14．用直接开平方法解下列方程： (1)8x2＝2； (2)(3x＋1)2－9＝0； (3)100(1－x)2＝64； (4)3(2x＋3)2－75＝0； (5)x2－4x＋4＝3； (6)3x2＋7＝1.
【名师示范课】上册 21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程-2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 21张PP T)-公 开课课 件（推 荐）
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5．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程的另一个根是( A )
A．3
B．－3
C．0
D．1
6．解关于 x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个根 x＝± n－m B．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m C．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m D．当 n≤0 时，无实数根
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5．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程的另一个根是( A )
A．3
B．－3
C．0
D．1
6．解关于 x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个根 x＝± n－m B．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m C．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m D．当 n≤0 时，无实数根
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第21章解一元二次方程(一)(直接开平方法)+课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)13x2－5＝0． 解：整理，得 x2＝15． 根据平方根的意义，得 x＝± 15， 即 x1＝ 15，x2＝－ 15．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 2．用直接开平方法解下列方程： (1)2x2－12＝0； 解：整理，得 x2＝14． 根据平方根的意义，得 x＝±12，即 x1＝12，x2＝－12．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)x2－3＝0． 解：整理，得x2＝3． 根据平方根的意义，得 x＝± 3， 即 x1＝ 3，x2＝－ 3．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝116； 解：根据平方根的意义，得 x＝±14， 即 x1＝14，x2＝－14．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)3(x＋3)2＝27． 解：整理，得(x＋3)2＝9． 根据平方根的意义，得x＋3＝±3， 即x＋3＝3，或x＋3＝－3． 于是，方程3(x＋3)2＝27的两个根为x1＝0，x2＝－6．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 3．用直接开平方法解下列方程： (1)(x＋1)2＝0.81； 解：根据平方根的意义，得x＋1＝±0.9， 即x＋1＝0.9，或x＋1＝－0.9． 于是，方程(x＋1)2＝0.81的两个根为x1＝－0.1，x2＝－1.9．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4有实数根，那么m的取值范围是
A．m＞3
B．m≥3
( D)
C．m＞－4
D．m≥－4
4．【代几综合】已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是
一元二次方程的解法(直接开平方法)课件湘教版九年级数学上册
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
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自主预习
平方根 ± 1若x 2 = a, 则x叫做a的 - - - - - - - - - - - ，即x = − − a− − . 2、预习课本P30问题（1）通过类比，探索，你能根据平 预习课本P30问题（ P30问题 通过类比，探索， 方根的定义找出方程 解：
x+3= ±
(x + 3)
2
=2
（ 1 ）3（x -1) = 6 2 （ 2 ）9x － 6x + 1 = 5
2
新知探究（ 新知探究（一）
例1：解方程 1）（ ）（x ( 1）（x - 2)
2 2
= 10
( 2）（3x - 2) = 5 2）（ ）（3x
归纳：若一元二次方程一边是完全 归纳：若一元二次方程一边是完全 平方式，另一边是非负数 非负数时 平方式，另一边是非负数时，可以 用直接开平方法。 用直接开平方法。
（ 1 ）（2x - 3) = （x + 2） ）（2x 2） 3） （ 2）9（x -1 ) = （x + 3）
2 2
22课堂检测Fra bibliotek一、填空题 2 1．若8x -16=0，则x的值是_________． 2 2．如果方程2（x-3） =72，那么，这个 一元二次方程的两根是________． 二、解方程
用直接开平方法解下列方程： 用直接开平方法解下列方程：
（ 1 ）（x + 6) （ 2 ）（5x
2
= 9
2
+ 1) = 6
新知探究（ 新知探究（二）
例2：解方程 1） ( 1）3（x + 6)
2 2
- 9 = 0
2
( 2）x – 6x + 9 = 8 2）
归纳：如果方程能化成x p或 归纳：如果方程能化成x = p或（mx+n) = p (p≥0)的的形式，那么可得x= (p≥0)的的形式，那么可得x= ± p 或 的的形式 mx+n = ±
的解法吗？ 的解法吗？
2
x + 3 = 2 , 或x + 3 = − 2; x1 = −3 + 2 , x2 = −3 − 2;
归纳：上面的解法中， 归纳：上面的解法中，实际上是通过直接开平方把一个一元二 次方程“降次”转化为两个一元二次方程， 次方程“降次”转化为两个一元二次方程，通过解一元二次方 从而得到一元二次方程的两个根，这种解法叫直接开平法。 程。从而得到一元二次方程的两个根，这种解法叫直接开平法。
p
2
用直接开平方法解下列方程： 用直接开平方法解下列方程：
（ 1 ）2（x + 3)
2
2
–
7= 0
（ 2 ）x – 4x + 4 = 5
新知探究（ 新知探究（三）
例3：解方程 （1）（2x-5） = (x – 3) ）（2x2x
2 2 2 2
（2）4（x-2） = 9(x + 3)
用直接开平方法解下列方程： 用直接开平方法解下列方程：
九年级数学组
学习目标
1、理解体会一元二次方程的基本思想： 、理解体会一元二次方程的基本思想： -—— 降次； 降次； 2、会运用开平方法解形如x2=p或 、会运用开平方法解形如 或 的一元二次方程。 （mx+n)2 = p(p≥0)的一元二次方程。 的一元二次方程
学习重难点
学习重点：运用直接开平方法解一元二次方程。 学习重点：运用直接开平方法解一元二次方程。 学习难点：认清具有（mx+n）2=p（m≠0,p≥0） 学习难点：认清具有（ ） （ ） 这种结构特点的一元二次方程， 这种结构特点的一元二次方程，并用 直接开平法解方程． 直接开平法解方程．