导数及其应用复习PPT课件
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数及其应用阶段复习课(共107张PPT)
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。强者征服今天，懦夫哀叹昨天，懒汉坐等明天 只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。人们总是在努力珍惜未得到的，而遗忘 告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。手莫伸,伸手必被捉。党与人民在监督,万目睽睽难逃脱。汝 不伸能自觉,其实想伸不敢伸,人民咫尺手自缩。思考是一件最辛苦的工作，这可能是为什么很少人愿意思考的原因。我们不能成为贵族的后代，但我们可以成为贵族的祖先 年后的自己。自信！开朗！豁达！无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。无人理睬时，坚定执着。万人羡慕 志者常立志，有志者立常志，咬定一个目标的人最容易成功。心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。学会以最简单的方式生活，不要让复杂的思想破坏生活的甜美。要无条件 的时候。一个人能走多远，要看他有谁同行；一个人有多优秀，要看他有谁指点；一个人有多成功，要看他有谁相伴。成功在优点的发挥，失败是缺点的累积。从绝望中寻 辉煌。当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下！当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。贫穷本身并不可怕，可怕的是贫穷的思想，以及认为自己命中 了贫穷的思想，就会丢失进取心，也就永远走不出失败的阴影请享受无法回避的痛苦。人的一生就是体道，悟道，最后得道的过程。人生就是一万米长跑，如果有人非议你 一点，这样，那些声音就会在你的身后，你就再也听不见了。人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。人生可如蚁而美如神。 变故、循环不已的痛苦和欢乐组成的。那种永远不变的蓝天只存在于心灵中间，向现实的人生去要求未免是奢望。是我们不认识自己的智慧，不明白自己拥有全宇宙的力量 是被命运安排！做好自己其他的让别人说去吧！成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践成功就是简单的事情不断地重复做。荆棘的存在是为了野草不轻易地任人践踏。 人贪安逸易失志没有目标的人永远为有目标的人去努力。没有人可以做你的双拐，你必须学会独立去闯荡。每天叫醒自己的不是闹钟，而是梦想。能把在面前行走的机会抓 都会成功。你既然认准一条道路何必去打听要走多久!你可以选择这样的“三心二意”：信心、恒心、决心；创意、乐意。你若花开，蝴蝶自来。盆景秀木正因为被人溺爱 梁之材的梦。潜龙怎能久卧于深水，勤奋，是步入成功之门的通行证。
导数及其应用课件PPT
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做 函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点 、 极小值点 统称 为极值点， 极大值 和极小值 统称为极值.
解析答案
12345
5.已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，若函数 f(x)在 x＝1 处取得 极值－43，则 b＝________，c＝________.
解析答案
课堂小结 1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变 量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值 的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的 交点问题.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出 实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法 等价转化思想的应用 例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值， 在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
解析答案
12345
2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值 情况为( )
A.极大值为247，极小值为 0
B.极大值为 0，极小值为247
C.极大值为 0，极小值为－247
D.极大值为－247，极小值为 0
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做 函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点 、 极小值点 统称 为极值点， 极大值 和极小值 统称为极值.
解析答案
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5.已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，若函数 f(x)在 x＝1 处取得 极值－43，则 b＝________，c＝________.
解析答案
课堂小结 1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变 量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值 的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的 交点问题.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出 实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法 等价转化思想的应用 例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值， 在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
解析答案
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2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值 情况为( )
A.极大值为247，极小值为 0
B.极大值为 0，极小值为247
C.极大值为 0，极小值为－247
D.极大值为－247，极小值为 0
导数及其应用复习PPT课件
当 x∈ 1a，1时，g′(x)<0，g(x)＝－a2x－21x为单调递减函 数，
所以当 x＝ 1a时，g(x)取得最大值，最大值为 g 1a＝－ a. 所以 b≥－ a.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
当 0<a≤1 时， 1a≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成 立，所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0,1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1.
＋0－0 ＋
f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4
所以函数 f(x)＝x3－6x2＋9x 在区间[0,4]上的最大值
是 4，最小值是 0.
第24页/共41页
第 2 讲 │ 要点热点探究
► 探究点五 函数、导数及不等式的综合 例 6 已知函数 f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示
第16页/共41页
第 2 讲 │ 要点热点探究
【点评】 不等式恒成立问题往往转化为研究函数最值问 题．但要注意满足 f′(x0)＝0 的点 x＝x0(称为驻点)只是它为极 大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极 值点，往往容易导致失误．
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第 2 讲 │ 要点热点探究
2x为单调递减函在区间01上恒成立所以gxax2x在区间01上单调递增当x1gx最大最大值为g1a132点评本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转化为不等式恒成立问题再转化为函数研究最值
所以当 x＝ 1a时，g(x)取得最大值，最大值为 g 1a＝－ a. 所以 b≥－ a.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
当 0<a≤1 时， 1a≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成 立，所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0,1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1.
＋0－0 ＋
f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4
所以函数 f(x)＝x3－6x2＋9x 在区间[0,4]上的最大值
是 4，最小值是 0.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
► 探究点五 函数、导数及不等式的综合 例 6 已知函数 f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示
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第 2 讲 │ 要点热点探究
【点评】 不等式恒成立问题往往转化为研究函数最值问 题．但要注意满足 f′(x0)＝0 的点 x＝x0(称为驻点)只是它为极 大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极 值点，往往容易导致失误．
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第 2 讲 │ 要点热点探究
2x为单调递减函在区间01上恒成立所以gxax2x在区间01上单调递增当x1gx最大最大值为g1a132点评本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转化为不等式恒成立问题再转化为函数研究最值
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
导数及其应用课件PPT
又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
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4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
《导数以及应用》PPT课件
就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所 使用的。 • 光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现 代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小 值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值， 此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定， 如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的 电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三 利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小 值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值， 此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定， 如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的 电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三 利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．
函数导数及其应用PPT课件
记 法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映 射
[思考探究1] 映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个 集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集.
2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 定义域 、值域 和 对应关系 . (2)相等函数
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解， 利用判别式可以求k的范围.
[课堂笔记] 由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2 －2x＋k＝0无实数根. ∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1. ∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案] A
分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周 期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.
[考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2 009)的值为 ( ) A.－
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的 任意
应关系f，使对于集合A 中的任意 一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的
导数及其应用复习小结PPT课件
yx yu ux ; 或 f [ ( x )] f (u ) ( x ). x
注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.
过p(x0,y0)的切线
返回
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方
法(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi , , xn1, b,
'
a
(5)( a ) a ln a
x ' x x ' x b a
b
a
1 x b a dx a |a ln a
x
(6)(e ) e e x dx e x |b a
b 1 1 (7)(log a x) dx log a x |b a a x ln a x ln a b 1 1 ' (8)(ln x) dx ln x |b a a x x '
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
函数的最值 在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和 最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
5.若f ( x) a x , 则f ' ( x) a x ln a 6.若f ( x) e x , 则f ' ( x) e x
导数及其应用讲导数在不等式中的应用课件pptx
介绍函数极值点的定义和 求解方法，为利用导数求 解极值点提供基础。
方法总结
总结利用导数求解函数极 值点的常用方法，如求导 、判断导数为零的点等。
案例分析
通过典型案例演示如何利 用导数求解极值点。
04
导数的实际应用举例
利用导数求解利润最大化问题
利润函数
首先明确利润函数，即销售收入减去成本和税金 ，通常表示为x的函数。
举例
以y=x^4为例，求该函数的凹凸性和 拐点。该函数的导数为y'=4x^3，在 区间(-oo,0)上，y'<0；在区间(0,)上 ，y'>0。因此，函数在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0,)上单调递增， 故函数在x=0处存在极值点，且该极 值点不是函数的极值点，故函数在 x=0处有拐点
利用导数求解函数的单调性和区间
利用导数求不等式的解
利用导数可以求出一些不等式的解。例如，利 用导数可以求出一些函数的极值点和转折点等 。
利用导数解决一些实际问题
利用导数可以解决一些实际问题，例如，利用 导数可以求出一些最优化的方案，以及利用导 数解决一些经济和金融问题等。
02
导数的定义和性质
导数的定义
函数f在点x0处可导
指当自变量x在点x0处有增量△x时，相应的函数值f(x0+△x)和f(x0)之差 △y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+o(△x)，其中A是与△x无关的常数
利用导数求解函数的极值和最值
总结词
导数的值为0的点可能是函数的极值点或最值点。
详细描述
利用导数求解函数的极值和最值
06
总结与回顾
本章主要内容总结
了解了导数的定义和计算方法 学习了不等式的性质和证明方法
方法总结
总结利用导数求解函数极 值点的常用方法，如求导 、判断导数为零的点等。
案例分析
通过典型案例演示如何利 用导数求解极值点。
04
导数的实际应用举例
利用导数求解利润最大化问题
利润函数
首先明确利润函数，即销售收入减去成本和税金 ，通常表示为x的函数。
举例
以y=x^4为例，求该函数的凹凸性和 拐点。该函数的导数为y'=4x^3，在 区间(-oo,0)上，y'<0；在区间(0,)上 ，y'>0。因此，函数在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0,)上单调递增， 故函数在x=0处存在极值点，且该极 值点不是函数的极值点，故函数在 x=0处有拐点
利用导数求解函数的单调性和区间
利用导数求不等式的解
利用导数可以求出一些不等式的解。例如，利 用导数可以求出一些函数的极值点和转折点等 。
利用导数解决一些实际问题
利用导数可以解决一些实际问题，例如，利用 导数可以求出一些最优化的方案，以及利用导 数解决一些经济和金融问题等。
02
导数的定义和性质
导数的定义
函数f在点x0处可导
指当自变量x在点x0处有增量△x时，相应的函数值f(x0+△x)和f(x0)之差 △y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+o(△x)，其中A是与△x无关的常数
利用导数求解函数的极值和最值
总结词
导数的值为0的点可能是函数的极值点或最值点。
详细描述
利用导数求解函数的极值和最值
06
总结与回顾
本章主要内容总结
了解了导数的定义和计算方法 学习了不等式的性质和证明方法
导数应用ppt课件
工具
第二章 函数、导数及其应用
x
(－3，－2) －2
－2，23
2 3
23，1
f′(x)
＋0－0 Nhomakorabea＋
f(x)
极大值
极小值
工具
第二章 函数、导数及其应用
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝ 23 处取得极小值 f32＝9257，又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9257.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
工具
第二章 函数、导数及其应用
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3
由原点到切线 l 的距离为 1100，则 3|m2＋| 1＝ 1100，
工具
第二章 函数、导数及其应用
解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ . 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－
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例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2) 求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A 处的切线方程？
变式：求过点A的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2)
常用的还有:
1
1 x
1 x2
2 x 1 2x
②.导数的运算法则 u f x,v gx
（1）函数的和或差的导数
(u±v)/＝u/±v/.
（2）函数的积的导数
(uv)/＝u/v+uv/. 特例:(Cu)/ =Cu/ (C为常数)
（3）函数的商的导数
（ u ） / = u ' v uv ' (v≠0)。
变式: 求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
设切点为A x0 , x03 3x02 2x0 , k f x0 3x02 6x0 2 切线为y x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x x0 过0,0 x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x0
∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 解得x0=1或x0=－
1 2
①当x0=1时1，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x ②当x0=－ 2 时，所求的切线方程为：
y－2=
－
1 4
(x－1),即x+4y－9=0
点评:①在A点的切线,A为切点 ②过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线
平均变化率为:(
y
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
2.函数的瞬时变化率
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim
x 0
lim
x 0
f (x) lim f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
x2 x1
分母是分子中两
f (x) f '(x)
导数 个自变量的差.
x
例1已知f
x0
2, 求 lim k 0
f
x0
1 k 2
k
f
x0
_________
lim 解 : f x0 x 0
f
x0
( 1 k) 2 -1k
f
x0
-2 ,
x
1 2
k
2
lim k0
f
x0
1 k 2
k
f
x0
1 2
lim k0
f
x0
1 k 2 -1k
（4）对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . (2)
x
（5）指数函数的导数:
(loga
x)
1. x ln a
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
乘以lna
易混的是 : (a x ) __a_xl_n_a__ 与(xa ) __a_x_a-_1__ 例 (3x ) __3_xl_n_3___, (x3) __3_x_2_____
3x03
2 x03
x0
0或x0
3 2
所求曲线的切线方程为y=2x与
y1x 4
4公式①.基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）三角函数 （：1）(sin x) cos x
（2）(cos x) sin x (3)(tanx)/ =?
h
4
3.导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则此极限称为
x x0
x0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f /(x0)，或y| xx0
f
x0
2
1 2
f
x0
1 2
2
1
可将分母的系数直 接乘过去
练习:1 若f
x0
2,则lim k0
f
x0
k
2k
f
x0
__-1__
f
x0
lim k 0
f
x0
k
k
f
x0
2
2若f
x0
4,则lim h0
f
x0 f x0
2h
h
___2____
f
x0
lim h0
f
x0
f h
x0
2．导数的几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切
线的斜率，所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f /(x0)·(x－x0)．
3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数， 即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s// (t)
v
v2
5.导数与单调性 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x)在这个区间（a,b) 内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b) 内单调递减。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
第一章 导数及其应用复习
本章知识结构
导数概念 导数 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
1.函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 Y=f(x)
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为常函数. 返回
6.极值点与极值
y
ax
x
函数y f x在x a的左侧f 'x
a点, 若f 0, 右侧f
'x 'x
x 0x 00,,则a叫极1 大_2_值点3 ,
f
bx
4
a叫极大__值.
a的左侧f 'x 0,右侧f 'x 0,则a叫极_小_值点, f a叫极_小_值
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值 统称为极值.
注意:1,极值点 指 x的值. 极值 指 y 的值.