高考数学应用题

A 2

18．(本题满分16分)

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。设细绳的总长为y （1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

18. （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，

θ

cos 2

1=

CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθ

tan 22cos 2

331-+⋅

=+=CB CA y = 2cos )sin 3(2+-θθ（4

0π

θ<<）……7分

（Ⅱ）θ

θθθθθ222/

cos 1

sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ，

令0='y ，则3

1sin =θ ………………12分 当3

1sin >θ时，0>'y ；3

1sin <θ时，0<'y ，

∵θsin =y 在]4

,0[π

上是增函数

∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 2

2

2-=m …16分

19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量

()P t （单位：吨）与上

市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()

Q t

（单位：元／千克）

与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为

顶点）．

（1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份

（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；

（3） 由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘

法运算（如1233x y ≤-≤类比为2

313x y

≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相

应的最大值．

（图1） （图2）

19.解(Ⅰ)503,136,()1169,7912

t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪

=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩

21

()(4)6(012)16

Q t t t =-

-+≤≤．

21

()()(1)[(4)6]16

P t Q t t t ⋅=--

-+ （36)t <≤ '23

(()())[(3)33]16

P t Q t t ⋅=-

--0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增 当t =6时，max [()()]P t Q t =． ∴6月份销售额最大为34500元 ． (Ⅱ) ⎩⎨

⎧≤-≤≤+≤7

111

5y x y x ，z =x —5y ．

令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩

⎨

⎧=-=⇒⎩⎨

⎧-=-=+32

51B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ，

∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．

(Ⅲ)类比到乘法有已知⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤≤7111

5y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A ·(y x )B

⎩⎨

⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3

251B A B A B A ．∴251)(12112

≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴

25

343

1211≤

≤z ，则(z )max = 25343 ． 18．（本题满分15分）

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1111EFGH E FG H -转动α，如图乙，设α的对边长为x ．

（1）试用α表示x ；

（2

）求魔方增加的表面积的最大值．

18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．

解：（1）由题意得3sin tan x x x αα

++=， 解得()

3sin 0 1sin cos x αααα

π=∈++2，，，（6分）

（2）魔方增加的表面积为2

8tan x S α

=⋅

，

由（1）得()2

72sin cos 0 (1sin cos )

S αααααπ=

∈2++，，，

（10分） 令()

(

sin cos 1t t αααπ=+=+∈4

，， 则()()(22

36123613611081(1)

t S t t -=

=-⨯-=-++≤t =απ=4

时等号成立），

答：当απ=4

时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）

17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/2m 、100元/2m ，问当圆锥的高度为多少时，该仓

（图甲）