苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 瞬时速度与瞬时加速度 同步检测(二)

1.1.3《瞬时变化率——导数》同步检测 (二)

一、基础过关

1．下列说法正确的是________(填序号)．

①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线；

②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；

③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在；

④若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在．

2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．

3．已知f (x )＝1x ，则当Δx →0时，f (2＋Δx )－f (2)Δx

无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为____________．

5．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________.

6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v (t )＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度

为6 m/s 2，则t 0＝________ s.

二、能力提升

7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12

x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.

8．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可

能是________．(填序号)

9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.

10．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x

在x ＝1处的导数．

11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：

(1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

三、探究与拓展

13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状：

(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；

(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．

答案

1．③

2．f ′(x A )

3．－14

4．4x －y －4＝0或4x －y ＝0

5．1

6．38

7．3

8．①

9．3

10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝

11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·(1＋

1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－1

1＋Δx ·(1＋1＋Δx )

， ∴当Δx 无限趋近于0时，

－1

1＋Δx ·(1＋1＋Δx ) 无限趋近于－12

， ∴f ′(1)＝－12

. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3y ＝13

. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．

(2)∵y ＝x 2＋4，

Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx (Δx )2＋2x ·Δx Δx

＝Δx ＋2x ， ∴Δx →0时，Δy Δx

→2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，

即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；

在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.

12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)

＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，

∴Δy Δx

＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，

Δy

Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.

即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9

∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a

3)2－9－a 2

3.

当x 0＝－a

3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 2

3.

∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，

∴该切线斜率为－12.

∴－9－a 2

3＝－12.

解得a ＝±3.又a <0，

∴a ＝－3.

13．解 相应图象如下图所示．