人教版数学高二作业第四讲一、数学归纳法

一、基础达标

1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()

A.n＝1成立

B.n＝2成立

C.n＝3成立

D.n＝4成立

解析因为多边形边数最少的是三角形，故应选C.

答案 C

2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()

A.假设当n＝k(k∈N＋)时，x k＋y k能被x＋y整除

B.假设当n＝2k(k∈N＋)时，x k＋y k能被x＋y整除

C.假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，x k＋y k能被x＋y整除

D.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，x k＋y k能被x＋y整除

解析由数学归纳的证明思想判断，应选D.

答案 D

3.设f(n)＝1＋1

2＋

1

3＋…＋

1

3n－1

(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()

A.

1

3n＋2

B.

1

3n＋

1

3n＋1

C.1

3n＋1＋

1

3n＋2

D.

1

3n＋

1

3n＋1

＋

1

3n＋2

解析因为f(n)＝1＋1

2＋

1

3＋…＋

1

3n－1

，

所以f(n＋1)＝1＋1

2＋

1

3＋…＋

1

3n－1

＋

1

3n＋

1

3n＋1

＋

1

3n＋2

.

所以f(n＋1)－f(n)＝1

3n＋

1

3n＋1

＋

1

3n＋2

.

答案 D

4.在数列{a n}中，a1＝2－1，前n项和S n＝n＋1－1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()

A.a n＝n＋1－1

B.a n＝n n＋1－1

C.a n＝2n－n

D.a n＝n＋1－n

解析由题意，可知S2＝a1＋a2＝3－1，

∴a2＝3－1－2＋1＝3－2；

S3＝a1＋a2＋a3＝4－1，

∴a3＝S3－S2＝4－3，

同理，可得a4＝S4－S3＝5－4，故可猜想a n＝n＋1－n.

答案 D

5.数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________.

解析a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想a n＝n2.

答案a n＝n2

6.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示).

解析f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，

f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1

2(n＋1)(n－2).

答案51

2(n＋1)(n－2)

7.已知数列1

1×4，

1

4×7

，

1

7×10

，

1

10×13

，…，

1

（3n－2）（3n＋1）

，…，计算

数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明.

解S1＝1

1×4＝

1

4，S2＝

1

4＋

1

4×7

＝

2

7，S3＝

2

7＋

1

7×10

＝

3

10，S4＝

3

10＋

1

10×13

＝

4

13.

上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可

以猜想S n＝n

3n＋1

.其证明如下：

(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝13×1＋1＝1

4，猜想成立.

(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时猜想成立，

即11×4＋14×7＋…＋1（3k －2）（3k ＋1）＝k 3k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，11×4＋14×7＋…＋1（3k －2）（3k ＋1）＋1[3（k ＋1）－2][3（k ＋1）＋1]

＝k

3k ＋1＋1

（3k ＋1）（3k ＋4）＝3k 2＋4k ＋1

（3k ＋1）（3k ＋4） ＝（3k ＋1）（k ＋1）

（3k ＋1）（3k ＋4）＝k ＋1

3（k ＋1）＋1

， 所以当n ＝k ＋1时，猜想成立，根据(1)(2)知猜想对任意n ∈N ＋，S n ＝n 3n ＋1

都

成立. 二、能力提升 8.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3

＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.

1

2n ＋1

B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.

12n ＋1－1

2n ＋2

解析 f (n )＝

1n ＋1＋1n ＋2

＋

1

n ＋3

＋…＋1

2n ， f (n ＋1)＝

1n ＋2

＋

1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1

2n ＋2， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1

＋

1

2n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1

2n ＋2，选D. 答案 D

9.用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )