人教版数学高二作业第四讲一、数学归纳法

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人教版高中数学课件第四册数学归纳法

人教版高中数学课件第四册数学归纳法一、教学内容本节课选自人教版高中数学教材第四册，主要讲述数学归纳法。

具体内容包括：数学归纳法的定义、数学归纳法的基本步骤、数学归纳法的应用。

涉及的章节为第四章第一节“数学归纳法”。

二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。

2. 培养学生运用数学归纳法证明数学命题的能力。

3. 提高学生解决实际问题时运用数学归纳法的意识。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中，第二步的递推关系。

教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、教材、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入通过讲述“棋盘与麦粒”的故事，让学生了解数学归纳法的来源，激发学生的学习兴趣。

2. 知识讲解（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤：基础步骤、递推步骤（3）数学归纳法的应用：例题讲解3. 例题讲解例题1：证明1+2+3++n = n(n+1)/2例题2：证明2^n > n (n为正整数)4. 随堂练习（1）n^2 n 为正整数（2）3^n > n (n为正整数)5. 课堂小结六、板书设计1. 板书定义：数学归纳法的定义2. 板书基本步骤：基础步骤、递推步骤3. 板书例题：例题1、例题2七、作业设计1. 作业题目（1）教材第四章习题1、2、3（2）运用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^22. 答案（1）教材第四章习题答案（2）证明：1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^2八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思2. 拓展延伸（1）探讨数学归纳法在生活中的应用，如计算机编程、经济学等领域。

（2）学习数学归纳法的其他类型，如完全归纳法、构造性归纳法等。

重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法证明过程中，第二步的递推关系。

2. 例题讲解：例题1和例题2的选择及其证明过程。

高二数学数学归纳法

当n = k + 时,
+ k + k+ + k+ = (k + k ) + k + k + = (k + k ) + k (k + ) + . 由假设知k + k能够被整除, 而k (k + )是偶数, 故
即(k + ) + (k + )能够被整除.因此,当n = k + 时命题成立. 由( ), ( )知, 命题对一切正整数成立, 即n + n (n ∈ N + )能够被整除. , , 在证明归纳递推时要注意使用归纳假设把"证明 . 的目标" 牢记在心 k (k + )能够被整除, 从而(k + k ) + k (k +
要证明这个问题 , 必须寻找一种有限个步骤 , 就能够处理完无限多个对象的方法 .
我们先从多米诺骨牌游戏说起 .这是一种码放骨牌的游戏, 码放时保证任意相邻的两块骨牌, 若前一块骨牌倒下, 则一定导致后一块骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨牌,由于第1 块骨牌倒下, 就可导致第2块骨牌倒下; 而第 2 块骨牌倒下, 就可导致第3块骨牌倒下 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅最后, 不论有多少块骨牌, 都能全部倒下.
( ) 证明当n = n 时命题成立; ( )假设当n = k (k ∈ N + , 且k ≥ n )时命题成立,
证明n = k + 时命题也成立. , 在完成这两个步骤后就可以断定命题对于 .这种证明方不小于n 的所有正整数都成立数学归纳法(mathematical induction ). 法称为
, 思考结合上面的证明你认为数学归纳法的 ? 基本思想是什么

人教版数学高二选修4-5讲义第4讲1数学归纳法

一数学归纳法1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理数学归纳法的概念阅读教材P46～P50，完成下列问题．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈N B．k＞1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋【解析】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]用数学归纳法证明等式1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 【精彩点拨】要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并．【自主解答】 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．成立．由①②知，等式对任意n∈N＋1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．[再练一题]1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，都成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋用数学归纳法证明整除问题．＋【精彩点拨】先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．【自主解答】(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N 由(1)(2)可知，对任何n∈N＋)．＋1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.【导学号：32750064】【证明】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.证明几何命题＋不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．【精彩点拨】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．【自主解答】当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝6.因此猜想f(n)＝n(n－1)2(n≥2，n∈N＋)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.∴n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，l k.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝k(k－1)2.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，l k的交点共有k个，∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)2＋k＝k2＋k2＝k(k＋1)2＝(k＋1)[(k＋1)－1]2，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．[再练一题]3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．【解】设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2.则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，l k，l k＋1，共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，l k，l k＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，l k－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．[探究共研型]数学归纳法的概念探究1数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?【提示】n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．探究2如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【精彩点拨】注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为a n＋1.【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.【答案】 C1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．[再练一题]4．当f(k)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，则f(k＋1)＝f(k)＋________.【解析】f(k＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12(k＋1)，∴f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1－12(k＋1).【答案】12k＋1－12k＋2[构建·体系]数学归纳法—⎪⎪⎪⎪⎪—概念和步骤—证明等式—证明整除问题—证明几何问题1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为()A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4【解析】当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.【答案】 C2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有()A．当n＝4时，该命题成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝6时，该命题不成立【解析】若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．【答案】 C3．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需乘以的代数式为( )【导学号：32750065】A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1【解析】当n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)．当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．比较n ＝k 和n ＝k ＋1时等式的左边，可知左端需乘以(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.【答案】 B4．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2，n ∈N ＋”时，若n ＝1，则左端应为________．【解析】当n ＝1时，左端应为1×4＝4.【答案】 45．用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a(a ≠1，n ∈N ＋)．【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1－a 1－a ＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立，即1＋a ＋a 2＋…＋ak －1＝1－a k 1－a . 那么n ＝k ＋1时，左边＝1＋a ＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝1－a k1－a ＋a k ＝1－a k ＋a k －a k ＋11－a ＝1－a k ＋11－a＝右边，所以等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋等式均成立．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

人教版高中数学选择性必修第二册4.4 数学归纳法(教学课件)

分析：该问题中涉及两个字母 x 和 n，x 是正实数，n 是大于 1 的正整数. 一种思路是不求和，而直接通过 n 取特殊值比较 Sn 与 n 的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出 Sn ，再通过 n 取特殊值比较 Sn 与 n 的大小关系后作出猜想. 两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确
答案：C
解析：由已知可得 n n0 n0 N* 时命题成立，则有 n n0 1 时命题成立，
证明：（1）当 n 1时，左边 a1 ，右边 a1 0 d a1 ，①式成立. （2）假设当 n k(k N ) 时，①式成立，即 ak a1 (k 1)d ，根据等差数列的定义，有 ak1 ak d ，于是 ak1 ak d [a1 (k 1)d] d a1 [(k 1) 1]d a1 [(k 1) 1]d ，即当 n k 1 时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何 n N 都成立.
2 A. k(k 2)
1 B. k(k 1)
1 C. (k 1)( k 2)
2 D. (k 1)(k 2)
答案：D
解析：当 n k 时，假设成立的等式为1 1 1
1
2k ，
12 123
1 2 3 k k 1
当 n k 1 时，要证明的等式为1 1 1
1
12 123
123 k
x
0
，可得 S3
3
.
由此猜想，当 x 0 ， n N* ，且 n 1时，都有 Sn n .

人教版数学高二A版选修4-5 4.1数学归纳法

课后训练1．设111()12331f n n ＝＋＋＋＋－(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．132n ＋ B ．11331n n ＋＋ C ．113132n n ＋＋＋ D ．11133132n n n ＋＋＋＋ 2．某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )．A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题成立D ．当n ＝4时，该命题不成立3．设1111()1232f n n n n n＝＋＋＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．121n ＋ B ．122n ＋ C ．112122n n ＋＋＋ D ．112122n n －＋＋ 4．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．5．用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，n ＝1时，原式＝__________，从k 到k ＋1时需添加的项是__________．6．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N ＋)．7．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是f (n )＝12n (n －3)(n ∈N ＋，n ≥4)． 8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N ＋)．(1)求a 1、a 3、a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N ＋，其中x 1＝0，x 2＝a (a ＞0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．参考答案1. 答案：D解析：因为111()12331f n n ＝＋＋＋＋－. 所以111111(1)1233133132f n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋－＋＋. 所以111(1)()33132f n f n n n n ＋－＝＋＋＋＋. 2. 答案：D解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 时命题不成立，所以n ＝4时命题不成立． 3. 答案：D解析：因为111()122f n n n n＝＋＋＋＋＋，所以11111(1)2322122f n n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋. 所以()11111(1)212212122f n f n n n n n n ＋－＝＋－＝－＋＋＋＋＋. 4. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2，而f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.5. 答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋46. 分析：当n ＝k ＋1时，左边的项应该增加两项(2k ＋1)2－(2k ＋2)2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，等式成立．7. 分析：利用“递推”法，f (k ＋1)－f (k )来寻找n ＝k ＋1比n ＝k 时增加的对角面的个数．证明：(1)当n ＝4时，四棱柱有2个对角面，12×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f (k )＝12k (k －3)，现在考虑n ＝k ＋1的情形，第k ＋1条棱A k ＋1B k ＋1与其余和它不相邻的k －2条棱分别增加了1个对角面，共(k －2)个，而面A 1B 1B k A k 变成了对角面，因此对角面的个数变为f (k )＋(k －2)＋1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k －2)(k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，即f (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．由(1)(2)可知，命题对n ≥4，n ∈N ＋都成立．8. 解：(1)∵(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)(n ∈N ＋)，且a 2＝6， ∴当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 3＝3(a 2－1)＝15；当n ＝3时，2a 4＝4(a 3－1)＝56，∴a 4＝28.(2)由a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13. 猜想a n ＋1－a n ＝4n ＋1，∴a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)． ∴a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，故猜想正确． ②假设当n ＝k 时，有a k ＝2k 2－k (k ∈N ＋，且k ≥1)． ∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(2k 2－k －1)． ∴a k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)．即当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．9. 解：(1)当n ≥3时，122n n n x x x －－＋＝. (2)a 1＝x 2－x 1＝a ， a 2＝x 3－x 2＝2122x x x ＋－＝2111()22x x a --－＝， a 3＝x 4－x 3＝3232x x x ＋－＝321111()()2224x x a -－＝－－＝．由此推测112n n a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，012112a x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＝＝，通项公式成立． ②假设当n ＝k 时，112k k a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1 ＝11111()222k k k k k k x x x x x a --＋＋＋＋－＝－＝11122k a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭－＝ (1)112k a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋－＝，通项公式成立．由①②知，112n n a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝(n ∈N ＋)．。

人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法

第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法学习目标1 •理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；2.学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题.数学归纳法课前自主学案1.数学归纳法适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题.2.数学归纳法的步骤是: (1)(归纳奠基)验证当〃=必(必为命题成立的起始自然数)时命题成立：(2)(归纳递推)假设当n=k(k^N+,且&$必)时命题成立，推导1时命题也成圭.(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切MM%的自然数都成立.思考感悟在数学归纳法中的必是什么样的数？提示：弘是适合命题的正整数中的最小值，有时是兀0=1或必=2,有时兀0值也比较大，不一定是从1开始取值.课堂互动讲练考点突破用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明：用N+时，穆++ '''+(2n-l)(2n + l)=2n + V【证明】⑴当〃 =1时，左边=吉，右边= 左边=右边，.••等式成立.(2)假设n = k(k^l)时，等式成立，即有石+亦------- H1_ k（2k-i）（2k-\-r）=2k-\-r则当n=k-\r\时，丄+丄p -------------- ------- + -------- --------1・3 丁3・5丁^（2k- 1）（2氐+1）（2氐+ 1）（2氐+3）k | 1 氐(2 氐+3)+1 ---- + -------------- ---------------2k+r(2k+l)(2k+3) (2&+l)(2k+3) 2/+3&+1 &+1 (2k+l)(2k+3)=2k+3&+12伙+1)+1；.\n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切MWN+等式都成立.【名师点评】运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系.变式训练1 求证:(n + l)(n + 2)・•(n + n)= 2,te 1*3*5 (In—l)(n EN+).证明：⑴当兀=1时，等式左边=2, 等式右边=2X1=2,・•・等式成立.(2)假设兀=k(k G N+)等式成立,即仇+1)仇+2)…仇+Q=2忍1・3・5・・・・(2&—1)成立.那么n=k+l时，(k + 2)(* + 3)…仇+切(2& +1)(2* + 2) = 2(k +1)仇+ 2)仇+3)…仇+肪(2氐 + 1)=2*+1・1・3・5 (2k —1)-[2(^+1)-1]・即〃=&+1时等式也成立.由⑴⑵可知对任何7/ WN+等式均成立.3平面上有兀个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成~Tf(n)=n2—n+2部分.【思路点拨】用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k + l时比n=k时分点增加了多加了几块，本题中第&+1个圆被原来的&弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了个部分，问题就得到了解决.【证明】⑴当兀=1时，一个圆把平面分成两部分，且/⑴=1 —1 + 2 = 2,因此，〃=1时命题成立.(2)假设兀=k(k^l)时，命题成立，即&个圆把平面分成«切=护一&+2部分.如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前&个圆交于2&个点.这个点把这个圆分成％段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分.因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2&部分，即有f(k^l)=f(k)+2k=k2-k+2+2k = (k+^-(lc+1)+2.即当n=k+l时，f(n)=n2—n+2也成立.根据(1)、(2),可知兀个圆把平面分成了弘)=兀+2部分.【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚兀=比与〃=无+1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起AQ与张+1)之间的递推关系.变式训练2平面内有EN+)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线Z/2 —I—Ji—(― 2把平面分成/(〃)=——个部分.证明：(1)当〃=1时，一条直线把平面分成两部分, 而/(1)=乎+；+2=2,・・・命题成立.(2)假设当n=k(k刃时命题成立，即k条直线把平面分成/(Q= 2「个部分• 则当兀=&+1时，即增加一条直线2,因为任何两条直线不平行，所以2与&条直线都相交，有&个交点；又因为任何三条直线不共点，所以母个交点不同于&条直线的交点，且&个交点也互不相同，如此& 个交点把直线2分成& + 1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了& + 1个平面部分.z +a +^+z a +M Z +為+Z+4+Z41+4+ z+r+d I+4+Q)m +4)J ・・考点三報用数学归纳法证明整除性用数学归纳法证明（工+ 1）" + 1 + （工+2）2”-1（〃WN+）能被严+3兀+3整除.【思路点拨】证明多项式的整除问题，关键是在考点三報用数学归纳法证明整除性（工+1）"+1+（工+2）2"—1 中凑出x2+3x+3.【证明】⑴当兀=1时，(x + l)1+1+(x+2)2X1_1=x2+3x+3 能被工2+3工+3 整除，命题成立.(2)假设当兀=尤仇$1)时，a+iy+i+a+2)2—1能被屮+3兀+3整除，那么 (工 + 1)仇+1)+1+(工+2)2 仇+D—1=(工 + l)(x+1)“+1+(x+2)2, (x+2严—1= (x+l)(x + l)fc+1+(x + l)(x+2)2A:_1—(x+l)-(x +2)2ET + (工 + 2)2(" + 2)2RT= (x + l)[(x + lRi + (x+2)^-i] + (^ + 3x + 3)-(x +2严—1.因为（兀+1）*+1+（工+2严-1和0+3兀+3都能被0+ 3卄3整除，所以上面的式子也能被兀2+3兀+3整除. 这就是说，当〃=尤+1时，（兀+ 1）伙+1）+1 + （工+ 2严+1）—1也能被於+ 3工+ 3整除.根据⑴⑵可知，命题对任何MWN+都成立.【名师点评】用数学归纳法证明数或式的整除的方法很多，关键是凑成〃=尤时假设的形式. 变式训练3 求证：d" +1 + (° +1)2" T 能被/ +a + 1整除(neN +)・证明：⑴当兀=1 时，a1+1+(«+l)2X1_1=a 2+a+ 1,命题显然成立. 性问题时，常釆取加项、减项的配凑法，而配凑⑵假设当n=k(k^l)时，a k+i + (a + l)2k~1能被0 +° + 1整除，则当n=k+l时，a k+2+(a+l)2k^~l=a9a k^~l+(a+l)2(a+l)2k~l=a\a k+1 + (a + 1)2A:_1] + (a + l)2(a + l)2Ar_1~a(a +=a [a k+l+(a+1)2^-1]+(a2+a+l)(a + l)2k~l, 由归纳假设，以上两项均能被a^+a + 1整除，故当〃=氐+1时，命题也成立.由(1)、(2)可知，对〃GN+命题都成立.误区警示・・+戸+予=1—予(其中底N+).【错证】⑴当n = l时，左边=；，右边=—；=* 等式成立.(2)假设当n=k(kM\)时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和⑵可知，等式对任何n e N+都成立.【错因】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错误的.错误的原因在第⑵步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k-\-l时式子;+$+§+••• +2-1丁2"丁2"打的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视.【自我校正】(1)当〃=1时，左边=亍右边=1 (2)假设当时，等式成立，就是等式成立.这就是说，当M=k+1时，等式也成立• 根据⑴和⑵可知，等式对任何兀UN+都成立.1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证〃的初始值至关重要，它是递推的基础，但〃的初始值不一定是1,而是兀的取值范围内的最小值.2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时，应分析卩的与卩仇+1）的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发, 如仇+1）中分离出卩⑹再进行局部调整.3.在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明, 其一般解题步骤是：归纳一猜想一证明.。

高二数学数学知识点归纳法

高二数学数学知识点归纳法归纳法是数学中一种重要的证明方法，即通过观察和总结一定数量的特例，得出一个普遍的结论。

在高中数学中，归纳法常常用于数列和集合等知识点的证明，同时也是培养学生逻辑思维能力和数学思维的有效方式。

本文将介绍高二数学中常用的归纳法，帮助学生掌握这一方法并应用于解题。

一、数列的归纳法数列是高二数学中常见的知识点之一。

在数列的归纳法中，我们通常需要进行以下几个步骤：1. 确定首项：首先观察数列的前几项，找出规律，确定首项及其值。

2. 假设成立：假设数列的某个命题成立，即前n项满足某种规律。

3. 根据假设得出结论：利用假设的成立，推导出第n+1项满足相同的规律。

4. 验证假设：通过计算、代入等方法，验证假设的成立。

通过以上步骤，我们可以得出数列的通项公式或者某个性质成立的结论，从而解决数列相关的问题。

二、集合的归纳法集合是数学中常见的概念，集合的归纳法主要用于证明关于集合的某个性质成立。

下面是集合的归纳法的基本步骤：1. 确定基础情况：观察集合的最小情况，即只有一个元素的情况。

2. 假设成立：假设当集合包含n个元素时，某个性质成立。

3. 根据假设得出结论：利用假设的成立，推导出当集合包含n+1个元素时，同样的性质成立。

4. 验证假设：通过具体例子验证假设的成立，或者用数学方法证明。

通过集合的归纳法，我们可以得出集合的性质，解决与集合有关的问题。

三、归纳法的应用归纳法不仅可以用于数列和集合的证明，还可以在其他数学知识点中得到应用。

1. 概率问题：在概率问题中，我们可以通过归纳法证明一些概率性质的成立，或者通过观察特殊情况来得出概率公式。

2. 几何问题：在几何问题中，我们可以通过观察特殊情况来探索一些定理的证明，利用归纳法得出结论。

3. 不等式证明：在不等式证明中，我们可以通过归纳法构造特殊的不等式形式，从而证明原不等式的成立。

通过合理的运用归纳法，我们可以在解题过程中更好地理解数学知识点，提高解题能力。

高二数学,人教A版,选修4-5第4讲, 数学归纳法,课件

所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的基本过程
n＋2 1 － a 1 ．用数学归纳法证明：“1 ＋ a ＋ a2 ＋„＋ an ＋ 1 ＝ 1－a
(a≠1)”在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为( A．1 C．1＋a＋a2 B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
)
解析：左端＝1＋a＋a2＋„＋an＋1 共 n＋2 项，当 n＝1 时 an＋1＝a2 ∴左端＝1＋a＋a2
[ 思路点拨]
要证明的等式左边有 2n 项，右边有 n 项， f(k)
与 f(k＋1)相比，左边增加二项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此，由 n＝k 到 n＝k＋1 时要注意项的合并．
[ 解题过程]
1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝1－＝， 2 2
1 右边＝，命题成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即有 1 1 1 1 1 1 1 1 1－＋－＋„＋－＝＋＋„＋ . 2 3 4 2k 2k－1 2k k＋1 k＋2 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－＋－＋„＋－＋－ 2 3 4 2 k 2k－1 2k＋1 2k＋2
数学归纳法证明不等式
一数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题. 1.数学归纳法的原理．(重点) 2.数学归纳法的应用； |a|≥0 ； a2 ＋ b2≥______ 2ab ； a ＋
答案： C
1 1 1 2．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－2＋3－4＋„
1 1 1 1 1 ＋－n＝2n＋2＋n＋4＋„＋2n 时．若已假设 n＝k(k≥2 为 n－1

高二数学人教A版选修4-5课件：4.1 数学归纳法

D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
点评
利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
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Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
1.已知
1
a1=2,an+1=
��3��+��3,猜想
an
等于(
)
1234
A.��+3 2
B.��+3 3
C.��+3 4
1 2��+1
-
1 2��+2
+
1 ��+1
=��+1 2
+
��+1 3+…+21��
+
1 2��+1
+
1 2��+2
=(��+11)+1 + (��+11)+2+…+(��+11)+�� + (��+1)+1 (��+1),

人教版数学高二作业2.3数学归纳法

2.3 数学归纳法明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n，试写出a 1，a 2，a 3，a 4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n(n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k (已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k (k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立．探究点三用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14； S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ] ＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1) ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 答案 C解析将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *) 证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．[呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对答案 B解析由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0答案 C解析因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( ) A ．1B.13 C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1，∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1 答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2， ∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________．答案缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2. 即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2，(n ≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2(n ≥2，n ∈N *). 三、探究与拓展13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1). 下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1，所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k＋1＝1(k＋1)(k＋2)＝1(k＋1)[(k＋1)＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．。

高中数学人教A版选修课件：4.1 数学归纳法

1
(k-3)(k≥4).
2
当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在凸 k 边形的基础上增加了一条边,
增加了一个顶点 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连
线再加上原凸 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线条数为
(k+1-3)+1=k-1.
题型一
题型二
题型三
1
题型四
1
1
f(k+1) = 2 (k-3)+k-1 = 2 (k2-k-2) = 2 (k+1)(k-2) =
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.
结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
=
1
1+1
1
【变式训练 2】用数学归纳法证明: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ +
1
2
1
1
1
= +1 + +2 + ⋯ + 2 (n∈N+).
1
证明:(1)当 n=1 时,左边=1 − 2

人教版高中数学选修第四讲《数学归纳法》ppt课件

一.用数学归纳法证明等式问题
特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
课堂练习:
C
B
B
C
B
D
B
二.用数学归纳法证明几何问题
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k 到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假设.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法.
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明. 完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.
什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n立;

人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(原卷版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)23.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋35.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．13.(5分)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m的最大值为________．15.(15分)已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝1 3.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(解析版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4D解析：当n＝1时，n＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4.2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2D解析：当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.故选D．3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析：当n＝k＋1时，目标不等式为122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.5.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k k＋1＋1k＋1<(k)2＋(k＋1)2＋1k＋1＝2(k＋1)k＋1＝2k＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对C解析：当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比可知，C正确．10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确B解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法()A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确D解析：n ＝1的验证及假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D ．12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．(k ＋1)2＋k 2解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以等式左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.13.(5分)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．2(2k ＋1)解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1).14.(5分)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m 的最大值为________．36解析：f (1)＝36，f (2)＝36×3，f (3)＝36×10，…，猜想m 的最大值为36.15.(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解：(1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立．②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1.因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1.所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立．由①②可知命题对任意n ∈N *都成立．。

高中数学讲义：数学归纳法

数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。

证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。

在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。

第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。

可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=×³+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。

高二数学选修II 数学归纳法知识精讲人教版

高二数学选修II 数学归纳法知识精讲人教版一. 本周教学内容：高三数学选修（II ）数学归纳法学习指导：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种重要方法。

证明原理与步骤：10︒=证明当（命题中最小的正整数）时命题成立n n20︒=≥∈假设当时命题成立n k k n k N (*)由此证明当时命题也成立n k =+1则由、知对所有的正整数，原命题均成立。

120︒︒≥n n例1. 用数学归纳法证明：112131412112111212-+-++--=+++++∈ n n n n nn N * 证明：111121212︒==-==当时，左边右边n∴=左边右边，即等式成立21︒=≥∈假设当时n k k k N (*)112131412112111212-+-++--=+++++ k k k k k当时n k =+11121314121121211221112121211221213121122-+-++--++-+=+++++++-+=++++++++ k k k k k k k k k k k k k等式成立∴︒︒由、知，等式成立12例2. 已知中，，{}*a a S a a n N n n n n n>=+∈021用数学归纳法证明：a n n n N n =--∈1(*) 证明：112111111111︒==+=>⎧⎨⎪⎩⎪⇒=当时，由n a S a a S a an n --=--=∴11111成立21︒==--假设当时，n k a k k k当时n k =+1a S S k k k ++=-11=+--++121111[]a a a a k k k k ⇒-+--+--=++a a k k k k k k 1111110a ka k k +++-=121210 ∴=-++=+->++a k k k k a k k 11244210() 即时成立n k =+1∴︒︒=--∈由、知成立121a n n n N n (*)例3. 设，，用数学归纳法证明且p p p np n n N n>-≠+>+≥∈10112()(*) 证明：1211212022︒=+=++>+≠当时，成立n p p p p p ()() 211︒=+>+假设时，n k p kp k ()当时n k =+1()()()()()111111+=++>+++p p p kp p k k=+++>++>1111022()()()k p kp k pkp所以成立由、知，原不等式成立12︒︒例4. 用数学归纳法证明能被整除n n n N 356+∈(*)证明：11515163︒=+=+⨯=当，成立n n n2563︒=+假设时，能被整除n k k k当时n k =+1()()()k k k k k k k k k k +++=+++++=++++151331555316332331661k k k k ()()+++能被整除［为偶数］∴++++由假设知，能被整除成立k k k k 353166()由、知，命题成立12︒︒例5. 证明能被整除3584121n n +++证明：113536846853︒==+==⨯当时，原式成立n23584121︒=+++假设时，能被整除n k k k当时n k =+13533554523414212k k k k +++++=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅-⋅=++-=+-⨯++++++++++333555353355533355654144212124214412121244412121k k k k k k k k k k ()()()由假设知，能被8整除 ∴︒︒由、知命题成立12例6. 证明凸边形的对角线条数为n f n n n n ()()=-≥1234 证明：1442124432︒====⨯-=当时，左边，右边n f()() 所以成立24123︒=≥=-假设时，n k k f k k k ()()() 当时n k =+1f k f k k k k k k k ()()()()()()+=+-+=-+-=+-12112311212成立 ∴1︒︒由、知命题成立21. 用数学归纳法证明：124146168122241⨯+⨯+⨯+++=- n n n n ()()2. 用数学归纳法证明：121321211612⋅+-+-++-⋅+⋅=++n n n n n n n n ()()()()() 3. 用数学归纳法证明对于n ≥0的整数A n n n =+++1112221能被133整除。

2017-2018学年高二数学人教A版选修4-5课件：第4讲 1

【自主解答】立．
1 1 1 ①当n＝1时，左边＝1－ 2 ＝ 2 ＝＝右边，所以等式成 1＋1
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋…＋－2k＝＋＋…＋2k，则当n＝k＋1时， 2k－1 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－ 2 ＋ 3 － 4 ＋…＋－ 2k ＋－＝ 2k－1 2k＋1 2k ＋ 2
1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋ 1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
1 1 1 1 1 ＋＋ … ＋ k＋1 k＋2 ＋2k＋1－2k＋2 2 k
1 1 1 1 1 ＝k＋2＋…＋2k＋2k＋1＋k＋1－2k＋2
1 1 1 1 ＝＋…＋2k＋＋＝右边， k＋2 2k＋1 2k＋2 所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n∈N＋成立．
∵[(3k＋1)· 7k－1]和9(2k＋3)· 7k都能被9整除， ∴[ (3k＋1)· 7k－1]＋9(2k＋3)· 7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]· 7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)· 7n－1能被9整除 (n∈N＋)．
(2)假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

高中数学第四讲1数学归纳法课件a选修45a高二选修45数学课件

归纳升华利用数学归纳法证明恒等式的注意点
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
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[变式训练] 用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋…＋ 2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n≥1，n∈N*)．
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对角线 A1Ak，1 条；而顶点 Ak＋1 与另外(k－2)个顶点 A2，A3，…，Ak－1 可画出(k－2)条对角线．所以凸(k＋1)边形的对角线的条数是： 12k(k－3)＋1＋(k－2)＝12(k2－3k＋2k－2)＝12(k2－k－ 2)＝12(k＋1)(k－2)＝12(k＋1)[(k＋1）－3]．
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1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1 时结论成立．( ) (2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( ) (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
第四讲数学(shùxué)归纳法证明不等式
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4．1 数学归纳法
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[学习目标] 1.了解数学归纳法的原理(难点)． 2．了解数学归纳法的使用范围． 3．会用数学归纳法证明一些简单问题(重点、难点)．
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归纳升华用数学归纳法证明整除问题的关键点