人教新课标版数学高一-数学必修一课后训练 .3对数函数及其性质

一、选择题
1．函数y ＝log 12
[(x －1)(x ＋3)]的单调递增区间是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－3,1)
答案 A
解析 u ＝(x －1)(x ＋3)在(－∞，－3)上是减函数且u >0在(－∞，－3)上恒成立，而y ＝log 12
u 为减函数，由同增异减可知原函数的单调递增区间为(－∞，－3)．
2．下列四个数中最大的是( )
A ．(ln 2)2
B ．ln (ln 2)
C ．ln 2
D ．ln 2
答案 D
解析 由于0<ln 2<1，所以(ln 2)2<ln 2，ln (ln 2)<0，ln 2＝12
ln 2<ln 2，所以ln 2最大． 3．[2015·洛阳高一质检]设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 12
x ，则f (－
8)的值为( )
A ．3
B ．－3
C.14 D ．－14
答案 A
解析 f (－8)＝－f (8)＝－log 12
8＝－(－3)＝3.
4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12
C ．2
D ．4
答案 B
解析 y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)在[0,1]上单调性相同，∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (1)＋f (0)＝a ，即
log a 2＋1＝0，解得a ＝12
. 5．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )
A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤12，2 C ．[1,2] D ．[2，4]
答案 D
解析 由题意，得∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤21，∴12
≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4，即所求函数的定义域为[2，4]，故选D.
二、填空题
6．若log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，则x 的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＞0，x －1＞0，
2x ＞x －1，
∴x ＞1. ∴原不等式的解集为(1，＋∞)．
7．已知函数y ＝log 3(kx ＋1)的值域是R ，则实数k 的取值范围是________．
答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 当k ＝0时，函数y ＝log 3(kx ＋1)＝0，则k ＝0不合题意；当k ≠0时，函数u ＝kx ＋1的值域可以是(0，＋∞)，即k ≠0符合题意，综上所得，实数k 的取值范围是k ≠0，即(－∞，0)∪(0，＋∞)．
8．[2016·安徽安庆期末]已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ，(x ≥2)，f (x ＋1)，(x <2)，
则f (log 23)＝________. 答案 16
解析 因为1<log 23<2，所以f (log 23)＝f (log 23＋1)＝⎝⎛⎭
⎫12log 23＋1＝13×12＝16. 三、解答题
9．[2016·沈阳重点高中期中]已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．
(1)求函数f (x )的定义域并判断其奇偶性；
(2)求函数f (x )值域． 解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x >0，
x ＋1>0得－1<x <1. 函数的定义域为{x |－1<x <1}．
f (x )＝lo
g a [(1－x )(x ＋1)]＝log a (1－x 2)，
f (－x )＝lo
g a [1－(－x )2]＝log a (1－x 2)＝f (x )，
所以函数为偶函数．
(2)∵0<1－x 2≤1，故
当a >1时，f (x )≤0，值域为(－∞，0]； 当0<a <1时，f (x )≥0，值域为[0，＋∞)．
10．[2015·吉林高一质检]已知：2x ≤256且log 2x ≥12
. (1)求x 的取值范围；
(2)求函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2·log 2⎝⎛⎭
⎫x 4的最大值和最小值及对应的x 值． 解 (1)由2x ≤256，得x ≤8.
由log 2x ≥12
，得x ≥2，∴2≤x ≤8. (2)由(1)2≤x ≤8，得12
≤log 2x ≤3. f (x )＝(log 2x －1)·(log 2x －2)
＝⎝
⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32时，f (x )min ＝－14
，此时x ＝2 2. 当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，此时x ＝8.。