课次20——第七章02图的遍历和连通性问题
【图论课件】第二课时·图的遍历
大意：在一个神奇的图中，对于每个点所在 路径求最小环
Luogu P2921
在之前的基础上分析：首先不能按照联通 块求了，而要每个点分别求出最小环。 但是直接搜索显然太睿智，所以需要利用 算过的结果来优化。先画一张适用于大部分 情况的路径图。
Luogu P2921
出度为1，考虑利用路径的唯一性。除了 染色和时间戳，还可以将环外与环分类讨论。
Luogu P2661
图的遍历是O(n)的。用时间戳记录第一 次到达的时间（形象理解）。当遇到之前到 达过的点时，用当前时间-时间戳就得到了这 个环的大小。 遍历时染色以避免多次搜索。如果遇到之 前染过色的点（时间戳不为0的点），跳出。 （据说用并查集很简单）
Luogu P2921 [USACO08DEC]在农 场万圣节Trick or Treat on the Farm
大意：在一个神奇的图中找最小环大小。
Luogu P2661
这好像是个很弱的图——每个点出度皆为 1！正因为如此，每当选定一个起始点，就已 经确定了之后的所有路径。 这也导致了一个特点：从任意一个点出发， 总能够遍历这个点所属联通块（形象理解） 的最小环。该命题易证（滑稽）。 于是，现在问题就简化为分别在每个联通 块中求最小环。
课程小结
图的遍历一般使用DFS，少用BFS。 不重不漏地经过所有边是欧拉路，如果又 回到起点是欧拉回路。求解要注意细节。 时间戳可以在遍历时帮助计算大小。
环外优化：记录之后入环时间，记为ic。 环优化：记录最小环大小，记为mc。
Luogu P2921
这部分的代码基本相同，只是在找到环时 更新起点的ic与mc数组。 优化的部分是之前遍历过时，利用唯一性 优化。同样分两类：在环中、不在环中。
图的连通性问题
G
H
图1 有向图G
A C
B D
F
G H
E
图2 逆置图G’
Step3：根据步骤1得到的遍历序列，按照结点结束访问时间递减 排序后的结果 EFGHACBD 下面，按照该结点序列顺序对逆置图G’所深度优先遍历，得到 的深度优先遍历森林如图3所示。森林中共有4棵树，其中(a)和(d) 只有一个结点，这里认为单结点也是一个强联通分量（在实际应 用中可以根据实际需要将这种情况过滤掉）。 A C E B D 图2 逆置图G’ F G A B D F G H
二、Kosaraju算法求解过程实 例
下面结合实例说明Kosaraju算法的基 本策略。图1给出了一个有向图G。
A
C
B
D
图1 有向图G
F
E
G H
Step1：假设从DFS在遍历时按照字母顺序进行，根据 Kosaraju算法，在步骤1中我们得到的遍历顺序可以表达为 [A,[C,[B,[D,D],B],C],A][E,[F,[G,[H,H],G],F],E] 越后出栈的点先访问 第一步所得到的顺序即为：EFGHACBD Step2：根据算法第2步，将图G逆置，得到对应的反向图G’ 如图2所示。 A C B D F E
有向图和它的转置的 强连通分量相同
所有SCC构成一个 DAG
求强连通分量使用 Kosaraju算法
一、Kosaraju算法步骤： Step1、对有向图G做dfs（深度优先遍历），记录每个结点结束访 问的时间(即节点出栈顺序，后出栈的点第二次先扫描) Step2、将图G逆置，即将G中所有弧反向。 Step3、按Step1中记录的结点结束访问时间从大到小对逆置后的 图做dfs Step4、得到的遍历森林中每棵树对应一个强连通分量。
图的遍历和联通
成都信息工程学院计算机系课程实验报告一【上机实验目的】给定一图，在遍历的基础上确定其是否是连通。
熟悉图的存储结构，深度和广度遍历以及其连通等。
二【实验环境】PC机每人1台三【上机实验内容】给定一图，在遍历的基础上确定其是否是连通。
其中要掌握图的存储结构在此基础上才能知道怎么遍历，然后要把深度遍历和广度遍历分析透，最后才解决连通的问题。
四【上机调试程序流程图】（注：可打印）（用传统流程图的形式表示）邻接矩阵存储L G)深度优先遍历int dfs(algraph gra,int i)判断图是否连通gl,int n,int e)int bfstra_fen(algraph gra)五【上机调试中出现的错误信息、错误原因及解决办法】上机过程中遇到了很多的问题，小到变量的引用，全局量的运用，地址符，指针等等。
其实这些都还好，自己可以一步一步慢慢地解决，最困难的就是一些逻辑错误，严重的时候会出现刷屏或者死机什么什么的。
六【上机调试后的源程序及还存在的问题】（注：源程序可打印）（同时记录下你对你编写此程序的其它具体想法，）#include <iostream>#include <>using namespace std;#define int_max 10000#define inf 9999#define max 20#define OK 1dj=int_max;[i][j].info=NULL;}for(int k=0;k!=;++k){cout<<"输入一条边依附的顶点和权例如:(a b 3)不包括“()”"<<endl;cin>>v1>>v2>>w;dj=w;[j][i].adj=w;}cout<<"图G邻接矩阵创建成功！"<<endl;return ;}void ljjzprint(MGraph_L G) dj<<" ";cout<<endl;}}int visited[max];ata=[i];[i].firstarc=NULL;}for(i=0;i!=;++i){for(j=0;j!=;++j){if[i].firstarc==NULL){if[i][j].adj!=int_max&&j!={arc=(arcnode *)malloc(sizeof(arcnode));arc->adjvex=j;[i].firstarc=arc;arc->nextarc=NULL;p=arc;++j;while[i][j].adj!=int_max&&j!={tem=(arcnode *)malloc(sizeof(arcnode));tem->adjvex=j;[i].firstarc=tem;tem->nextarc=arc;arc=tem;++j;}--j;}}else{if[i][j].adj!=int_max&&j!={arc=(arcnode *)malloc(sizeof(arcnode));arc->adjvex=j;p->nextarc=arc;arc->nextarc=NULL;p=arc;}}}}=;=;cout<<"图G邻接表创建成功！"<<endl;return 1;}void adjprint(algraph gra) irstarc;while(p!=NULL){cout<<p->adjvex;p=p->nextarc;}cout<<endl;}}int firstadjvex(algraph gra,vnode v)ata;enqueue(q,i);while(!queueempty(q)){dequeue(q,e);for(we=firstadjvex(gra,[e]);we>=0;we=nextadjvex(gra,[e],we)){if(!visited[we]){visited[we]=1;cout<<[we].data;enqueue(q,we);}}}}}int dfs(algraph gra,int i)ata;for(we=firstadjvex(gra,[i]);we>=0;we=nextadjvex(gra,[i],we)){we1=we;if(visited[we]==0)dfs(gra,we);we=we1;}return 1;}int dfstra(algraph gra){int i,j;for(i=0;i!=;++i){visited[i]=0;}for(j=0;j!=;++j){if(visited[j]==0)dfs(gra,j);}return 0;}/*判断图GL是否连通*/void judgeconnect(algraph gl,int n,int e) {int i,b;int temp = 0; //temp记录图中的边数eb = 1;temp = n - 1;if(e < n-1) { //如果边数e小于定点数n-1,则图肯定不连通cout<<"这个图是不连通的！因为e < n-1。
图的遍历和连通性
• 如果使用邻接表来表示图，则BFS循环的总时间代价为 d0 + d1 + … + dn-1 = O(e)，其中的 di 是顶点 i 的度。
其算法也不是递归的。
• void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)){
• for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
•
visited[v] = FALSE; //初始化访问标志
• InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q
• for ( v=0; v<G.vexnum; ++v )
•（2）如何避免重复访问某个顶点？
•答：创建一个一维数组visited[0..n-1]（n是图中顶 点的数目），用来记录每个顶点是否已经被访问过。
•（3）广度优先搜索有回退的情况吗？
1•
•答：广度优先搜索是一种分层的搜索过程，每向前走
一步可能访问一批顶点，不像深度优先搜索那样有回
退的情况。因此广度优先搜索不是一个递归的过程，
•}
7•
DFS 算法效率分析:
（设图中有 n 个顶点，e 条边）
（1）如果用邻接矩阵来表示图，遍历图中每一 个顶点都要从头扫描该顶点所在行，因此遍历全 部顶点所需的时间为O(n2)。
（2）如果用邻接表来表示图，虽然有 2e 个表结 点，但只需扫描 e 个结点即可完成遍历，加上访 问 n个头结点的时间，因此遍历图的时间复杂度 为O(n+e)。
• 若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未曾 被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中 所有顶点都被访问到为止。
9•
图的连通性问题
思考题
给定一系列网络之间的关系，若1与2连通，2与3 连通那么1与3就是连通的，问能否找到一个节点使它 故障后导致整个网络都崩溃，输出找到的点以及故障 后禅僧的连通的子网络数。
思考题
一国有n个党派，每个党派在议会中都有2个代表， 现要组建和平委员会，要从每个党派在议会的代表中 选出1人，一共n人组成和平委员会。已知有一些代表 之间存在仇恨，也就是说他们不能同时被选为和平委 员会的成员，现要你判断满足要求的和平委员会能否 创立？
2.割点和桥
证明： 如图，考虑u的任意子结点v。 如果v及其后代不能连回f，则删除 u之后，f和v不在联通； 反之，如果v或者它的某一个后代 存在一条反向边连回f，则删除u之 后，以v根的整棵子树中的所有结 点都可以利用这条反向边与f连通。 如果所有子树中的结点都和f连通， 根据“连通”关系的传递性，整 个图就是连通的。
3.强连通分量
Kosaraju算法
3 12 11 8 10 9 6 2 1
7
5
4
第一遍DFS进行标号，根据搜索的顺序不同，标号结果也不同
3.强连通分量
Kosaraju算法
3
12
11
8
9
6
2
10
7 反向之后的图
5
4
1
11 12 8,9, 10
2,3
5,6, 7
4
1
根据反向后的图，确定联通分量
3.强连通分量
w u v w u v
? 图1
? 图2
3.强连通分量
Tarjan算法代码实现
思考题
某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统 计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省 政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇 间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连， 只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需 要建设多少条道路？Βιβλιοθήκη A BABD
数据结构与算法 图的遍历与连通性
数据结构与算法图的遍历与连通性数据结构与算法：图的遍历与连通性在计算机科学中，数据结构和算法是解决各种问题的基石。
其中，图作为一种重要的数据结构，其遍历和连通性的研究具有至关重要的意义。
让我们先来理解一下什么是图。
简单来说，图是由顶点（也称为节点）和边组成的结构。
顶点代表了事物或者对象，而边则表示顶点之间的关系。
例如，在一个社交网络中，人可以被视为顶点，而人与人之间的好友关系就是边。
图的遍历是指按照一定的规则访问图中的所有顶点。
常见的图遍历算法有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是一个勇敢的探险家，一头扎进未知的领域，勇往直前，直到走投无路，然后回溯。
它的基本思想是先访问一个顶点，然后沿着一条未访问过的边递归地访问下一个顶点，直到没有可访问的边，再回溯到之前的顶点，继续探索其他未访问的边。
想象一下你在一个迷宫中，选择一条路一直走到底，直到遇到死胡同或者已经没有新的路可走，然后再返回之前的岔路口，选择另一条路继续前进。
广度优先遍历则像是一个谨慎的旅行者，逐层探索。
它先访问起始顶点，然后依次访问其所有相邻的顶点，再依次访问这些相邻顶点的相邻顶点，以此类推。
这就好比你在散播消息，先告诉离你最近的人，然后他们再告诉他们附近的人，一层一层地传播出去。
那么，为什么我们要进行图的遍历呢？这是因为通过遍历图，我们可以获取图的各种信息，比如顶点之间的关系、图的结构特点等。
在实际应用中，图的遍历有着广泛的用途。
例如，在搜索引擎中，通过遍历网页之间的链接关系来抓取和索引网页；在社交网络分析中，遍历用户之间的关系来发现社区结构等。
接下来，我们谈谈图的连通性。
连通性是指图中顶点之间是否存在路径相连。
如果从图中的任意一个顶点都可以到达其他任意一个顶点，那么这个图就是连通图；否则，就是非连通图。
判断图的连通性是一个重要的问题。
一种常见的方法是从某个顶点开始进行遍历，如果能够访问到所有的顶点，那么图就是连通的；否则，图是非连通的。
图的连通性
1，2，4，3，9 5，6，7 8，10
A
2
3
A
B
B
1
4
9
F
J
C
1
D
2
4
3
9
E
G
H
IE
6
7
F
5
G
5
H
10
C
D
I
2
4
J
8
(a) 无向图 G5
A
B
I
(b) G5 的邻接表
径中的顶点均不相同。u 到 v 可能存在多条简单路径，由于遍历过程将走遍图中
的所有顶点，故可以在深度（或广度）优先搜索算法基础上加以适当的条件，就
能得到求解此问题的算法，因此可以将此问题看成是有条件的图遍历过程。
【算法思想】从顶点 u 开始，进行深度（或广度）优先搜索，如果能够搜索
到顶点 v，则表明从顶点 u 到顶点 v 有一条路径。由于在搜索过程中，每个顶点
对于以 v 为中心的那组边，新增加了一条从 k0 到 v 边，如果新边的权值 比 closedge[v].lowcost 小，则将 closedge[v].lowcost 更新为新边的权值。
【算法描述】 普里姆算法
struct {
VertexData adjvex;
int
lowcost;
} closedge[MAX_VERTEX_NUM];
pre[u]=u；
/*将 pre[u]置为非-1，表示第 u 个顶点已被
访问*/
第7章-2-(7.3图的遍历)
v2 v3
2 v2
v1 v4
v5
3 V3
v1 v6
v7
4 V4 v2 v8
5 v5 6 v6 7 v7 8 v8
v2 v8 v3 v7 v3 v6 v4 v5
v,1
v,2
v1 v,4
v5
v1
v2
v,8
v4
v,5
v2
v8
v,3
v,6
v7
0
1 v1
v2 v3
2 v2
v1 v4
v5
3 V3
v1 v6
v7
v,6
v7
v2
v,8
v3
v,7
v4
v,5
v2
v8
v3
v6
0
1 v1
v2 v3
2 v2
v1 v4
v5
3 V3
v1 v6
v7
4 V4 v2 v8
5 v5 6 v6 7 v7 8 v8
v2 v8 v3 v7 v3 v6 v4 v5
v,1
v,2
v,3
v1 v,4
v5
v1
v,6
v7
v2
v,8
v3
v,7
v4
v,5
v3
3 V3
v1 v6
v7
4 V4 v2 v8
5 v5
v2 v8
v1 v,4
v5
v2
v,8
6 v6 7 v7 8 v8
v3 v7 v3 v6 v4 v5
v4
v,5
v2
v8
0
v,1
1 v1
v2 v3
2 v2
v1 v4
数据结构-第7章图答案
7.3 图的遍历 从图中某个顶点出发游历图，访遍图中其余顶点， 并且使图中的每个顶点仅被访问一次的过程。 一、深度优先搜索 从图中某个顶点V0 出发，访问此顶点，然后依次 从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍 历图，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访 问到，若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中 一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程， 直至图中所有顶点都被访问到为止。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { // 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组 visited。 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q
4。邻接多重表
边结点
mark ivex
顶点结点
ilink
jvex
jlink
info
data
firstedge
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef emnu {unvisited, visited} VisitIf; typedef struct Ebox { VisitIf mark; // 访问标记 int ivex, jvex; // 该边依附的两个顶点的位置 struct EBox *ilink, *jlink; // 分别指向依附这两个顶点的下一条 边 InfoType *info; // 该边信息指针 } EBox; typedef struct VexBox { VertexType data; EBox *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边 } VexBox; typedef struct { VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum, edgenum; // 无向图的当前顶点数和边数 } AMLGraph;
图的连通性和性质
20
如果包含v的其中一个块是环，显然v是割点； 设包含v的两个块是B1与B2。如果包含v的两个块不是环， 那么两个块分别至少有两个顶点。假如v不是割点，在B1与 B2中分别找异于v的一个点x与y, x ∈V(B1), y ∈V(B2),则在Gv中有连接x与y的路P。 显然：B1∪B2∪P无割点。这与B1 ,B2是块矛盾！ 注：该定理揭示了图中的块与图中割点的内在联系：不 同块的公共点一定是图的割点。也就是说，图的块可以按割 点进行寻找。所以，该定理的意义在于：可以得到寻找图中 全部块的算法。
一个单图的任意生成树为路，则该图为圈或路，若为 圈，则G没有割点，矛盾，所以，G为路。
例7 求证：若v是单图G的割点，则它不是G的补图的 割点。
15
证明： v是单图G的割点，则G-v至少两个连通分支。
现任取
x, y V (G, 如v)果x,y在G-v的同一分支中，令u是
与x,y处于不同分支的点，那么，通过u，可说明，x与y
21
22
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25
26
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33
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37
Thank You !
38
图的连通性和性质
1
主要内容 图的连通性刻画 一、割边、割点和块 二、图的连通度与敏格尔定理 三、图的宽直径简介
教学时数
安排6学时讲授本章内容
2
本次课主要内容
割边、割点和块 (一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质
3
研究图的连通性的意义
研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是：
第07章_图c ppt课件
7.4 图的连通性
连通图：在路无径向, 则图称中顶, 若点从v1与顶v点2是v1连到通顶的点。v2有如
果图中任意一对顶点都是连通的, 则 称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通 分量。
强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj,
都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
所得生成树权值和
= 14+8+3+5+16+21 = 67
一般情况下所添加的顶点应满足下列 条件: 在生成树的构造过程中，图中 n 个 顶点分属两个集合：已落在生成树上的 顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集 V-U ，则应在所有连通U中顶点和V-U中 顶点的边中选取权值最小的边。
//新顶点并入U后重新选择最小边
if (G.arc[k][j].adj<closedge[j].lowcost) closedge[j]={G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj};
}//for i }//MiniSpanTree
取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根， 之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加 的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间 必定存在一条边，并且该边的权值在所有 连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之 后继续往生成树上添加顶点，直至生成树 上含有 n-1 个顶点为止。
例如:
a 19
b5
14 12
// 此时closedge[k].lowcost = // MIN{closedge[vi].lowcost | closedge[vi].lowcost>0, vi ∈V-U.
数据结构与算法 图的遍历与连通性
数据结构与算法图的遍历与连通性数据结构与算法：图的遍历与连通性在计算机科学的广袤领域中，数据结构与算法犹如基石，支撑着各种复杂系统的构建和高效运行。
其中，图作为一种重要的数据结构，其遍历和连通性问题是理解和应用图的关键所在。
让我们先从图的基本概念说起。
图是由顶点（vertex）和边（edge）组成的一种数据结构。
顶点代表着图中的元素，而边则表示顶点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图。
在有向图中，边是有方向的，从一个顶点指向另一个顶点；而在无向图中，边没有方向，两个顶点之间的关系是相互的。
图的遍历，简单来说，就是按照一定的规则访问图中的每个顶点。
常见的图遍历算法有深度优先遍历（DepthFirst Search，简称 DFS）和广度优先遍历（BreadthFirst Search，简称 BFS）。
深度优先遍历就像是一个勇敢的探险家，一头扎进图的深处。
它从某个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能地深入探索，直到无法前进，然后回溯到上一个还有未探索分支的顶点，继续探索其他分支。
这种遍历方式类似于在迷宫中选择一条路一直走到底，直到碰壁再回头。
我们通过一个简单的例子来理解深度优先遍历。
假设有一个无向图，顶点分别为 A、B、C、D、E，边的关系为 A B、A C、B D、C E。
从顶点 A 开始进行深度优先遍历，首先访问 A，然后选择与 A 相邻的B 进行访问，接着访问与 B 相邻且未被访问过的 D，因为 D 没有其他未访问的相邻顶点，所以回溯到B。
此时B 的其他相邻顶点都已访问，回溯到 A，再访问与 A 相邻且未被访问过的 C，接着访问 C 的相邻顶点 E。
这样就完成了整个图的深度优先遍历。
广度优先遍历则像是一个谨慎的观察者，逐层地扫描图。
它从起始顶点开始，先访问所有与起始顶点距离为 1 的顶点，然后再依次访问距离为 2、3……的顶点。
可以想象成是以起始顶点为中心，一圈一圈地向外扩展。
还是以上面的图为例，从顶点 A 开始进行广度优先遍历。
图的连通性总结
图的连通性总结图的连通性总结boboo⽬录1.图的遍历及应⽤1.1.DFS遍历1.2.DFS树的边分类1.3.DFS树的性质1.4.拓补排序1.5.欧拉回路2.⽆向图相关2.1求割顶2.2求图的桥2.3求图的块3.有向图相关3.1求强连通分量（SCC划分）3.2求传递闭包4.最⼩环问题⼀、图的遍历及应⽤1.1 DFS遍历DFS是求割顶、桥、强连通分量等问题的基础。
DFS对图进⾏染⾊，⽩⾊：未访问；灰⾊：访问中（正在访问它的后代）；⿊⾊：访问完毕⼀般在具体实现时不必对图的顶点进⾏染⾊，只需进⾏访问开始时间和访问结束时间的记录即可，这样就可以得出需要的信息了。
-发现时间D[v]:变灰的时间-结束时间f[v]:变⿊的时间-1<=d[v]伪代码：DFS(G)for every vertex u ∈ V[G] docolor[u] = WHITEπ[u] = NILtime = 0for every vertex u ∈ V[G] doif color[u] = WHITE then DFS_VISIT(u)DFS_VISIT(u)color[u] = GRAYd[u] = time += 1for every vertex v ∈ Adj[u] doif color[v] = WHITE thenπ[v] = uDFS_VISIT(v)color[u] = BLACKf[u] = time += 11.2 DFS树的边分类在深度优先遍历中，我们所关⼼的另⼀个问题是对产⽣的搜索树中的分进⾏分类，这种分类可以发现图中的很多重要信息。
⼀般地，我们可以把图G所产⽣的深度优先搜索树（或森林）的边分为四类：A）树枝：深度优先搜索树G中普通的边，即如果结点v在搜索边(u, v)时第⼀次被发现，那么边(u, v)就是⼀个树枝。
B）反向边：深度优先搜索树中连结结点u到它的祖先v的那些边，⾃环也被认为是反向边。
C）正向边：深度优先搜索树中连接顶点u到它的后裔的⾮树枝的边。
《数据结构》课程标准
《数据结构》课程标准一、概述(一) 课程的性质本课程为计算机专业技术人员提供必要的专业基础知识和技能训练，同时也是计算机应用相关学科所必须掌握的课程。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握计算机程序设计中常见的各种数据的逻辑结构、存储结构及相应的运算，初步掌握算法的时间分析和空间分析的技术，并能根据计算机加工的数据特性运用数据结构的知识和技巧设计出更好的算法和程序，并进一步培养基本的良好的程序设计能力。
（二）课程基本理念以培养学生如何合理地组织数据、有效地存储和处理数据，正确地设计算法以及对算法进行的分析和评价的能力，学会数据的组织方法和实现方法，并进一步培养基本的良好的程序设计能力。
（三）课程设计思路本课程标准从计算机软件技术及应用技术专业的视角出发，以满足本专业就业岗位所必须具备的计算机软件技术基础知识为基础，教学内容设计通过岗位工作目标与任务分析，分解完成工作任务所必备的知识和能力，采用并列和流程相结合的教学结构，构建教学内容的任务和达到工作任务要求而组建的各项目，以及教学要求和参考教学课时数。
通过实践操作、案例分析，培养学生的综合职业能力，基本达到程序员级职业技能鉴定标准。
本课程建议课时为64学时，理论课时为20，实训课时为44，在具体教学过程中可进行进行调整。
二、课程目标（一）总目标本课程以培养学生的数据抽象能力和复杂程序设计的能力为总目标。
通过本课程的学习，学生可以学会分析研究计算机加工的数据结构的特性，以便为应用涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的运算，并初步掌握算法的时间分析和空间分析的技术；另一方面，本课程的学习过程也是复杂程序设计的训练过程，要求学生编写的程序结构清楚和正确易读，符合软件工程的规范。
（二）具体目标掌握各种主要数据结构的特点、计算机内的表示方法，以及处理数据的算法实现。
使学生学会分析研究计算机加工的数据结构的特性，以便为应用涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及相应的算法，并初步了解对算法的时间分析和空间分析技术。
《图的遍历和连通性》课件
目录 CONTENTS
• 图的遍历 • 图的连通性 • 图的遍历和连通性之间的关系 • 图遍历和连通性的实际应用 • 图遍历和连通性的算法复杂度分析
01
图的遍历
深度优先遍历
深度优先遍历是一种用于遍历或搜索树或图的算法。这个算法会尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的 起始节点。
计算机视觉和图像处理
图像分割
目标检测
图像拼接
图像增强
在计算机视觉和图像处理领 域，图遍历算法被广泛应用 于图像分割。通过图遍历算 法，可以将图像划分为不同 的区域或对象，便于后续的
识别和分析。
利用图遍历算法，可以对图 像中的目标进行检测和定位 ，为后续的目标跟踪、行为
分析等提供基础数据。
通过图遍历算法，可以将多 张图像拼接成一张完整的图 像，便于全景图的生成和展
关键节点和最短路径等重要信息。
输入 交通标拥题堵优
化
利用图遍历算法，可以分析交通拥堵的原因，找到拥 堵瓶颈路段，为交通管理部门提供优化建议，提高路 网的通行效率和运输能力。
交通路网分 析
路径规划
在物流配送领域，图遍历算法可以帮助企业找到最优 的配送路径，降低运输成本和提高配送效率。
物流配送优 化
通过图遍历算法，可以找到两点之间的最短路径或最 少拥堵路径，为出行者提供路线建议，提高出行效率 和舒适度。
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01
时间复杂度为O(V^3)，用于计算所有顶点对之间的最短路径。
Johnson算法
02
时间复杂度为O((V+E)logV)，适用于稀疏图，通过预处理计算
第七章图4图的连通性()
7.4 最小生成树问题
四.克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
34 B 12
B
A 19
26 E A
E
F
F
46 25
25 38
C
D
17
C
D
连通分量＝{A}, {B}, {C}, {D}, {E}, {F}
7.4 最小生成树问题
四.克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
34 B 12
B 12
A 19
26 E A
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A}
V-U={B, C, D, E, F} cost={(A, B)34,
(A, C)46, (A, D)∞, (A, E)∞, (A, F)19}
7.4 最小生成树问题
三.普里姆(Prim)算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
C
D
17
C
D
连通分量＝{A}, {B, E}, {C}, {D}, {F}
连通分量＝{A, F}, {B, E}, {C}, {D}
7.4 最小生成树问题
四.克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
34 B 12
B 12
A 19
26 E A 19
E
F
F
46 25
25 38
C
D
17
C
D
17
连通分量＝{A, F}, {B, E}, {C}, {D}
{b, d,e,f,g,h}
{a,c,b}
{d,e,f,g,h}
数据结构第15讲_图的遍历与连通性和最小生成树_C
(3)从那些其中一个端点已在 U 中，另一端点仍 在 U 外的所有边中，找一条最短（即权值最 小）的边，设该边为(Vi,Vj)，其中 Vi∈U， Vj∈V-U，并把该边和顶点 Vj分别并入 T 的 边集 TE 和顶点集 U；
基本思想
为使生成树上总的权值最小，应使每条边上 的权值尽可能小，自然应从权值最小的边选起， 直至选出n-1条权值最小的边为止，同时这n-1条 边必须不构成回路。因此，并非每一条当前权值 最小的边都可选。
4.克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
具体做法
先构造一个只含 n个顶点的森林，然后依权 值从小到大从连通网中选择边加入到森林中去， 并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为 止。
6
23 12
5
7
4
5
8
3
7
25 15
10
6
4
20
图b
2.广度优先搜索(BFS)
基本思想： 从图中某个顶点V0出发，并在访问此顶点后依
次访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些 顶点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直 至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到；
若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一 个未曾被访问的顶点作起始点；
重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到 为止。
(4)如此进行下去，每次往生成树里并入一个顶点 和一条边，直到 n-1 次后，把所有 n 个顶点 都并入生成树 T 的顶点集 U 中，此时 U=V， TE中包含有（n-1）条边；这样，T 就是最后 得到的最小生成树。
例：求下图最小生成树。假设开始顶点就选为顶点1， 故有U={1}，V-U={2，3，4，5，6}
2 二 图与遍历算法 习题参考答案
第二章部分习题参考答案1.证明下列结论：1）在一个无向图中，如果每个顶点的度大于等于2，则该该图一定含有圈； 2）在一个有向图D 中，如果每个顶点的出度都大于等于1，则该图一定含有一个有向圈。
1）证明：设无向图最长的迹,10k V V V P =每个顶点度大于等于2，故存在与1V 相异的点'V 与0V 相邻，若,'P V ∉则得到比P 更长的迹，与P 的取法矛盾。
因此，P V ∈'，是闭迹，从而存在圈.0'10V V V V证明*：设在无向图G 中，有n 个顶点，m 条边。
由题意知，m>=(2n)/2=n ，而一个含有n 个顶点的树有n-1条边。
因m>=n>n-1，故该图一定含有圈。
（定义：迹是指边不重复的途径，而顶点不重复的途径称为路。
起点和终点重合的途径称为闭途径，起点和终点重合的迹称为闭迹，顶点不重复的闭迹称为圈。
）2）证明：设有向图最长的有向迹,10k V V V P =每个顶点出度大于等于1，故存在'V 为k V 的出度连接点，使得'V V k 成为一条有向边，若,'P V ∉则得到比P 更长的有向迹，与P 矛盾，因此必有P V ∈'，从而该图一定含有有向圈。
2.设D 是至少有三个顶点的连通有向图。
如果D 中包含有向的Euler 环游（即是通过D 中每条有向边恰好一次的闭迹），则D 中每一顶点的出度和入度相等。
反之，如果D 中每一顶点的出度与入度都相等，则D 一定包含有向的Euler 环游。
这两个结论是正确的吗？请说明理由。
如果G 是至少有三个顶点的无向图，则G 包含Euler 环游的条件是什么？证明：1）若图D 中包含有向Euler 环游，下证明每个顶点的入度和出度相等。
如果该有向图含有Euler 环游，那么该环游必经过每个顶点至少一次，每经过一次，必为“进”一次接着“出”一次，从而入度等于出度。
从而，对于任意顶点，不管该环游经过该顶点多少次，必有入度等于出度。
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8 2020/8/5
7.3 图的遍历（3）
一、深度优先搜索( DFS )
Depth_First Search
基本思想：——仿树的先序遍历过程。
遍历步骤：
• 访问起始点 v;
• 若v的第1个邻接点没访问过，深度遍历此邻接点；
• 若当前邻接点已访问过，再找v的第2个邻接点重新
遍历。
9 2020/8/5
1 2020/8/5
7.2 图的存储结构（9）
邻接表（链式）表示法:
顶点表 出边表
用数组构建邻接表的顶点表，下标依次为0、1、2… 用链表建立出边表。
2 2020/8/5
7.2 图的存储结构（10）
例1：无向图的邻接表
顶点表 出边表
v1
v2
v3
v4
v5
注：邻接表不唯一， 因各个边结点的链入 顺序是任意的。
2. 区别： ① 对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编
号一致），但邻接表不唯一（链接次序与顶点编号无关）。 ② 邻接矩阵的空间复杂度为O(n2),而邻接表的空间复杂度为
O(n+e)。 3. 用途：邻接矩阵多用于稠密图的存储（e接近n(n-1)/2)；而邻接
表多用于稀疏图的存储（e<<n2)
邻接表的优点： 空间效率高；容易寻找顶点的邻接点； 邻接表的缺点： 判断两顶点间是否有边或弧，需搜索两
结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。
5 2020/8/5
7.2 图的存储结构（13）
讨论：邻接表与邻接矩阵有什么异同之处？
1. 联系：邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结 点个数等于一行中非零元素的个数。
6 2020/8/5
7.3 图的遍历（1）
遍历定义： 从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一
些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅 被访问一次，就叫做图的遍历，它是图的基 本运算。
遍历实质：找每个顶点的邻接点的过程。 图的特点：图中可能存在回路，且图的任一顶点都可能与其它顶
点相通，在访问完某个顶点之后可能会沿着某些边又 回到了曾经访问过的顶点。如何避免重复访问？
7.2 图的存储结构（8）
二、邻接表（链式）表示法
邻接表是图的链式存储结构，由顶点表和出边表两部分构成。 顶点表包括顶点(data)和指向下一个邻接点的指针(firstarc)； 出边表中每个结点由三个域组成：
邻接点域(adjvex)：指示与顶点vi邻接的点在图中的位置； 链域(nextarc)：指示下一条边或弧的结点。 数据域(info)：存储和边或弧相关的信息（如权值）；
（设图中有 n 个顶点，e 条边） 如果用邻接矩阵来表示图，遍历图中每一个顶点都要从头
扫描该顶点所在行，因此遍历全部顶点所需的时间为 O(n2)。 如果用邻接表来表示图，虽然有 2e 个表结点，但只需扫 描 e 个结点即可完成遍历，加上访问 n个头结点的时间， 因此遍历图的时间复杂度为O(n+e)。
辅助数组 visited [n ]
DFS 结果
00 1 1 1 1
v0 → v1 → v2 → v3
1 0 0 1 1 1 注意：在邻接表中，并非每 2 0 0 0 1 1 个链表元素（表结点）都被
30 0 0 0 1
13 2020/8/5
扫描到,遍历速度很快。
7.3 图的遍历（8）
DFS 算法效率分析:
怎样根据邻接表计算无向图顶点的度？ TD(Vi)=单链表中链接的结点个数
4 2020/8/5
7.2 图的存储结构（12）
分析2: 在有向图中，邻接表中除了n个头结点外，只有e个表结
点,空间效率为O(n+e)。若是稀疏图，则比邻接矩阵表示法合适。
怎样计算有向图顶点的出度？OD(Vi)＝单链出边表中链接的结点数 怎样计算有向图顶点的入度？ID(Vi) ＝邻接点为Vi的弧个数 怎样计算有向图顶点Vi的度：TD(Vi) = OD(Vi) + I D(Vi) 需遍历全表
例2：有向图的邻接表
v1
v2
v3
v4
3 2020/8/5
0 v1 1 v2 2 v3 3 v4 4 v5
3
1^
4
2
4
3
4
2
3
2
顶点表 出边表
0 V1
1 V2 ^
2 V3 3 V4
2
3^ 0^
1^
0^ 1^ 0^ 1^
7.2 图的存储结构（11）
邻接表存储法的特点：—它其实是对邻接矩阵法的一种改进
分析1: 对于n个顶点e条边的无向图，邻接表中除了n个头结点 外，只有2e个表结点,空间效率为O(n+2e)。 若是稀疏图(e<<n2)，则比邻接矩阵表示法O(n2)省空间。
7 2020/8/5
7.3 图的遍历（2）
怎样避免重复访问？
解决思路： 可设置一个辅助数组 visited[n]，用来标记每个被访问过的
顶点。它的初始状态为0，在图的遍历过程中，一旦某一个顶 点i 被访问，就立即改 visited[i]为1，防止它被多次访问。
图常用的遍历：
一、深度优先搜索(DFS) 二、广度优先搜索(BFS)
v2→v1→v3→v5→v4→v6
11 2020/8/5
7.3 图的遍历（6）
例2：
10 1 1 1 1 1 1 1 1
v1
20 0 1 1 1 1 1 1 1
v2
v3
30 0 0 0 0 0 1 1 1
40 0 0 1 1 1 1 1 1
v4 v5 v8
v6 v7 5 0 0 0 0 0 1 1 1 1
60 0 0 0 0 0 0 1 1 70 0 0 0 0 0 0 0 1
DFS 结果
80 0 0 0 1 1 1 1 1
v1→v2→v4→v8→v5→v3→v6→v7
讨论2：邻接表中如何进行DFS？
12 2020/8/5
—仍然借用visited [n ]！
例：
0 起点 1
2 3
7.3 图的遍历（7）
101110 0
邻 210001 0
接 矩
310001 0
阵 410000 1
A 501100 0
10 0 1 1 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1 30 0 0 1 1 1 1 40 0 0 0 0 1 1 50 0 0 0 1 1 1
600010 0
60 0 0 0 0 0 1
起点
DFS 结果
7.3 图的遍历（4）
例： v1
v2 v4 v5
v8
起点
v3 v6 v7
DFS 结果
v1→ v2→v4 →v8 → v5→ v3→v6→v7
讨论1：邻接矩阵条件下如何实现DFS？
开辅助数组 visited [n]！
10 2020/8/5
7.3 图的遍历（5）源自例1： 1 2 3 4 5 6
辅助数组 visited [n]