矩阵特征根

λ E − B = λ E − P −1 A P
= P −1 ( λ E ) P − P −1 A P = P −1 ( λ E − A ) P = P −1 λ E − A P = λE − A
线性变换的特征值与基 的选取无关
17
§5.3 特征值与特征向量
表示同一个线性变换在两个基(过渡矩阵为可逆 当 A , B 表示同一个线性变换在两个基 过渡矩阵为可逆 下的矩阵时: 阵 P )下的矩阵时 下的矩阵时 A , B 有相同的特征多项式 线性变换的特征值与基的选取无关. 线性变换的特征值与基的选取无关.
T 的属于特征值 λ1 = λ 2 = − 1 的全部特征向量 的属于特征值
k1ξ1 + k 2ξ 2
（ k1, k
2
不全部为零） 不全部为零）
14
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 λ 3 = 5 的线性无关的特征向量 的属于特征值
1 ξ 3 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) X 3 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 1
f (λ) = ( λ − λ1 )( λ − λ2 )L( λ − λn ) = λ n − (λ1 + λ2 +L+ λn )λ n−1 +L+ (−1)n λ1λ2 Lλn
的特征向量， (3) 如果 ξ 是 T 的属于特征值 λ0 的特征向量，则ξ 的任何一 个非零倍数 kξ 也是 T 的属于特征值λ0 的特征向量
T (kξ ) = kT (ξ ) = k (λ0ξ ) = λ0 (kξ )
零向量构成一个线性子空间 属于特征值λ0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间
(3) 对 A 的不同特征值 λi , 分别求解方程组 得基础解系 α 1 , α （
(λ i E − A) X = 0
2
,L ,α
r
即为λ 的全部特征向量。 其线性组合 α = k1α1 + k2α2 +L+ krαr 即为λi 的全部特征向量。 k1 , k 2 ,L , k
r
不全部为零） 不全部为零）
18
§5.3 特征值与特征向量
考察特征向量: 的特征向量: 考察特征向量: 设 X 为 A 的特征向量:
AX = λ0 X
B ( PX ) = PP−1 ( B ( PX ) )
= P ( P−1BP) X = PAX = P ( λ0 X ) = λ0 ( PX )
PX 为 B 的特征向量,而 X 和 PX 为同一个向量在 的特征向量, 两个基(过渡矩阵为可逆阵 两个基 过渡矩阵为可逆阵 P )下的坐标 下的坐标 线性变换的特征向量与基的选取无关. 线性变换的特征向量与基的选取无关. 向量与基的选取无关
求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题， 求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题， 存在的充要条件是： 存在的充要条件是： λ0 − a11 −a12 L −a1n
−a21 L an1
λ0 − a22 L
L an2
−a2n =0 O L L λ0 − ann
5
§5.3 特征值与特征向量
A 特征值
λ1 = 2 , λ 2 = λ 3 = 1
9
§5.3 特征值与特征向量
代入特征方程组 特征方程组, 将特征值 λ 1 = 2 代入特征方程组,得
(λ1E − A) X = 0
即
3 −1 0 x1 4 − 1 0 x2 = 0 −1 0 0 x 3
线性代数
第五章 线性变换
§5.3 特征值与特征向量
一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换，对 中的一个线性变换， 定义 于数域 P 上一个数 λ0 ，如果存在一个非零向量 ξ 使得
T (ξ ) = λ0ξ
则称 λ0 为 T 的一个特征值，非零向量ξ 称为 的属于λ0 的一 的一个特征值， 称为T 个特征向量 . 一些基本性质: 一些基本性质: (1) 一个特征向量只能属于一个特征值
1 X1 = 0 −1 0 X2 = 1 −1
(λE − A) X = 0
代入特征方程组 将特征值 λ 3 = 5 代入特征方程组 (λE − A) X = 0 得特征向量
X
3
1 = 1 1
13
§5.3 特征值与特征向量
f (λ) = λE − A
f (λ) = 0 的根称为 A 的特征根（或特征值） 的特征根（或特征值）
6
§5.3 特征值与特征向量
的一个特征值时， 当λ0 为 A 的一个特征值时，方程 称为特征方程组） （称为特征方程组） (λ0 E − A) X = 0 的非零解称为 A 的特征向量 显然： 显然： 当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量
19
§5.3 特征值与特征向量
三 特征多项式的基本性质 观察特征多项式： 观察特征多项式：
λ − a11
−a21 f (λ) = λE − A = L −an1
−a12 λ − a22 L −an2
L −a1n L −a2n O L L λ − ann
只有主对角线项 主对角线项可能包含 ⇒ 只有主对角线项可能包含 λn 和 λn-1 项 ⇒ λn 和 λn-1 项必定来自于 ( λ − a11 )( λ − a22 )L( λ − ann )
( k2 ≠ 0 )
11
§5.3 特征值与特征向量
的一个基， 例 设 ε1, ε2, ε3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基，线性 变换T 变换 在该基下的矩阵为
1 A = 2 2 2 1 2 2 2 1
特征值与特征向量. 求线性变换 T 的特征值与特征向量. 解: λ − 1 −2
T 的属于特征值 λ1 = λ 2 = − 1 的线性无关的特征向量 的属于特征值
1 ξ1 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) X 1 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 = ε 1 − ε 3 −1 0 ξ 2 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) X 2 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 1 = ε 2 − ε 3 −1
2 −1 0 x1 4 − 2 0 x2 = 0 −1 0 −1 x 3 1 得基础解系 2 −1
属于特征值 的全部特征向量 属于特征值 λ 2 = λ 3 = 1 的全部特征向量
1 k2 2 −1
8
§5.3 特征值与特征向量
例 求矩阵
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
特征值与特征向量. 特征值与特征向量. 解:
0 λ + 1 −1 f (λ ) = λ E − A = 4 λ −3 0 −1 0 λ − 2 = (λ − 2)(λ − 1) 2
tr( A) = a11 + a22 +L+ ann
另外， 另外，在多项式 f (λ) 中令未知量 λ 为0，应得到常数项， ，应得到常数项， (4) 常数项的系数为 常数项的系数为
f (0) = − A = ( − 1) n A
21
§5.3 特征值与特征向量
另一方面，在复数域， 个根， 另一方面，在复数域，特征多项式 f (λ) 必定有 n 个根，因 此可以分解为： 此可以分解为：
sin θ
λ − cos θ λE − A = − sin θ
= λ 2 − 2λ cos θ + 1
如果 θ ≠ kπ ⇒ cos θ ≠ 1
λ − cos θ
λ E − A = 0 无解
16
§5.3 特征值与特征向量
定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 定理 证明: 证明 设 A ∼ B , 存在可逆阵 P 使得 P-1A P = B
f ( λ ) = λ E − A = −2 −2 = (λ + 1) 2 (λ − 5)
−2 λ − 1 −2 −2 λ − 1
A 特征值
λ1 = λ 2 = − 1 , λ 3 = 5
12
§5.3 特征值与特征向量
代入特征方程组 将特征值 λ1 = λ 2 = − 1代入特征方程组 得线性无关的特征向量
X = (x1, x2 ,..., xn )T
(ξ ≠ 0) AX = λ0 X ( X ≠ 0)
4
T (ξ ) = λ0ξ
§5.3 特征值与特征向量
( λ0 E − A) X = 0
也即
λ0 − a11 − a21 L an1
− a12 λ0 − a22 L an 2
L − a1n x1 L − a 2 n x2 =0 O L M L λ0 − ann xn
= λn − ( a11 + a22 +L+ ann ) λ n−1 +L
20
§5.3 特征值与特征向量
(1) 特征多项式 f (λ) 是关于λ 项的 n 次多项式 (2) n 次项( λn 项)的系数为 1 次项( (3) n-1 次项(λn-1 项)的系数为 – (a11+ a22+…+ ann) 次项( 括弧中主对角线元素之和称为矩阵 的迹， 主对角线元素之和称为 ⇒ 括弧中主对角线元素之和称为矩阵 A 的迹，记为
T 的属于特征值 λ 3 = 5 的全部特征向量 的属于特征值
k3ξ 3
不为零） （ k 3 不为零）
15
§5.2 线性变换的矩阵
上旋转变换T 例 R2 上旋转变换 θ 在单位向量组成的基 e1, e2 下的矩阵
cos θ A= sin θ
它的特征多项式 它的特征多项式
− sin θ cos θ
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量的步骤： 求矩阵的特征值与特征向量的步骤： (1) 计算矩阵 A 的特征多项式
λ En − A = (λ1 − λ )(λ2 − λ )L (λn − λ )
(2) 由
λ En − A = 0
1
得所有根 λ
, λ
2
,L , λ
n
即为矩阵A的特征值 即为矩阵 的特征值
T (ξ ) = λ0ξ T (ξ ) = λ1ξ
λ0ξ = λ1ξ
λ0 = λ1
2
§5.3 特征值与特征向量
(2) 如果 ξ1 、ξ2 都是 T 的属于特征值 λ0 的特征向量，则当 的特征向量， ξ1 + ξ2 ≠ 0 时，ξ1 + ξ2 也是 T 的属于特征值λ0 的特征向量
T (ξ1 + ξ 2 ) = T (ξ1 ) + T (ξ ห้องสมุดไป่ตู้ ) = λ0ξ1 + λ0ξ 2 = λ0 (ξ1 + ξ2 )
3
§5.3 特征值与特征向量
记
V λ 0 = {ξ T ( ξ ) = λ 0 ξ , ξ ∈ V
}
定义5.6 定义 子空间. 子空间
V λ 0 称为线性变换 T 的属于特征值λ0 的特征
二 特征值与特征向量的求法 的一个基， 设 ε1, ε2,…, εn 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基， 在该基下的矩阵为A 线性变换 T 在该基下的矩阵为 ，λ0 为 T 的一个特征 值，属于特征值 λ0 的特征向量ξ 在该基下的坐标为 因为
定义5.7 设 A 是数域 P 上一个 阶方阵，λ 为一个未知量， 上一个n 阶方阵， 为一个未知量， 定义 矩阵 λE - A 的行列式 λ0 − a11 −a12 L −a1n
−a21 λE − A = L an1
λ0 − a22 L
L an2
−a2n O L L λ0 − ann
的特征多项式， 称为 A 的特征多项式，记为
0 得基础解系 0 1
属于特征值 的全部特征向量 属于特征值 λ 1 = 2 的全部特征向量
0 k1 0 1
( k1 ≠ 0 )
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§5.3 特征值与特征向量
代入特征方程组 特征方程组, 将特征值 λ 2 = λ 3 = 1 代入特征方程组,得