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2019 年 5 月
2019 高三数学复习讲义
一、函数的思维特征
（1）如何理解 y f (x) 是奇函数? 如何理解 y f (x) 是偶函数?
（2 ）函数 y f (2x 1) 是奇函数，如何用数学表达式表示？
（3）如何理解 y f (x) 满足 f (x a) f (a x) 2
（24）函数 y f x 的图象与函数 y f (x 1) 的图象的关系是什么？为什么？ 函数 y f x 的图象与函数 y f (x 1) 的图象的关系是什么？为什么？
（25）函数 y sin 2x 的图象与函数 y sin x 的图象是什么关系？
函数 y sin x 的图象与函数 y sin x 的图象是什么关系？ 2
如何表示函数 y f (x) 图象关于点 A(a,b) 中心对称？
（4）写出下列函数几何特征的代数形式
① y f (2x 1) 的图象关于点 (1 , 1) 为中心对称 2
② y f (x) 的图象关于点 (1, 2) 成中心对称.
③若函数 y f (x) 满足 f (x 1) f (1 x) 2 ，如何理解其含义？
A. 2
2
B.
C. － 1
1
D.
3
3
2
2
5
y
2
-2 O
x
11. 函数 f (x) ax3 bx2 cx d 的图象如上图所示，则 b 的符号是（ ）
A．等于 0
B．大于 0
12. 画出下列函数的示意图：
C．小于 0
D．小于或等于
①
y
ex ex
ex ex
②
y
x ex
③ f (x) ex x
y2 b2
1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F2 作
C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF1 6 OP ，则 C 的离心率为
9.若直线 l : ax y 2 0 与连接点 A (2,3) 和点 B(3, 2) 的线段有公共点，求 a 的取值范围.
2x y 1 0，
1.设偶函数 f (x) 满足 f (x) 2x 4(x 0) ，若 f (x 2) 0 ，求 x 范围.
2. 比较 In ， 1 ， In 2 这三个实数的大小，说明理由. e
x2 4x,
3.
已知函数
f (x)
4x
x2,
x0
，
x0
①若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a 的取值范围.②若 f (2 a2 )+f (a)>0, 则实数 a 的取值范
若存在函数 f (x) ，使得函数 g(x) 有且只有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围
是
.
（12）函数 f (2x 1) 是 R 上的偶函数，求 y f (2x) 的对称轴.
(13)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动.设顶点 P（x, y) 的 轨迹方程是 y f (x) ，则 f (x) 的最小正周期为为多少呢？
（19）已知定义在 R 上的偶函数 f (x) ，其图像关于直线 x 2 对称.当 x (2, 2) 时，
f (x) 1 x2, 则当 x (6, 2) 时， f (x)
.
（16）函数 f (x) 定义在 R 上， f (x 2) 1 . 若 f (1) 5 ，则 f ( f (5)) f (x)
⑤研究函数 f (x) 1 x ex 性质，画出其示意图. 1 x2
⑥研究函数
f
(x)
2x b (x 1)2
性质，画出其示意图.
15.设 a R ，若 x 0 时，均有(a 1)x 1(x2 ax 1) ≥0，则 a =__________.
16.设 a 1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x [a,2a] ，都有 y [a,a2 ] 满足方程
7.
已知 F1 ，F2 是椭圆 C：ax22
y2 b2
1(a b 0) 的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
且斜率为
3 6
的直线上， △PF1F2
为等腰三角形，
F1F2P
120
，则
C
的离心率为
A． 2 3
B． 1 2
C． 1 3
D． 1 4
8.设
F1
，F2
是双曲线
C：x a
2 2
.
2
（9）若 y f (x) 满足 f (x 1) f (1 x) ，其含义如何理解？
1
（10）如何理解“函数 f (x) (1 x2 )(x2 ax b) 的图象关于直线 x 2 对称”?
（11）已知函数 f (x) 的定义域为 R ， g(x) [ f (x) f (x) ](x2 ax a) .
2
（19） 函数 f (x) 的定义域为 R，若 f (x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，则( )
A. f (x) 是偶函数 B. f (x) 是奇函数 C. f (x) f (x 2) D. f (x 3) 是奇函数
（20）设函数 f (x) Asin(x ) ， A 0ຫໍສະໝຸດ Baidu 0 . 若 f (x) 在区间[ π , π ] 上具有单调性，且 62
3x 1 x 1 8. 设函数 f (x) 2x x 1
则满足 f ( f (a)) 2 f (a) ，求 a 的取值范围.
9.已知函数 f (x) x2 2x a(ex1 ex1) 有唯一零点，则 a=
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 2
D．1
10.已知函数 f (x) =Acos( x )的图象如图所示， f ( ) 2 ，则 f (0) =（ ） 23
（5）如何理解 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) ？
（6）若 y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，怎样用代数的符号语言表示呢？
（7）若函数 y f (2x 3) 是偶函数，则其数学表达式为
.
（8）函数 y f (2x 1) 的图象关于直线 x 1 对称，则其数学表达式为
义域为
； f ' (x) 的零点是
.
D
AC P
B
10. 满足条件 AB 2, AC 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值
11.能够使得命题“曲线 x2 y2 1(a 0) 上存在四个点 P ， Q ， R ， S 满足四边形 4a
PQRS 是正方形”为真命题的一个实数 a 的值为
.
4
三、函数的研究方法
10.设关于 x ， y 的不等式组 x m 0， 表示的平面区域内存在点 P x0 ，y0 ，满足
y m 0
x0 2y0 2 ，求得 m 的取值范围是
A．
，4 3
B．
，1 3
C．
，
2 3
D．
，
5 3
11. 若实数 x, y 满足 x2 y2 1，则 2x y 2 x 3y 6 的最小值是
f
π 2
f
2π 3
f
π 6
，则
f (x) 的最小正周期为________.
（21） y f (x) 与 y f (x) 的函数关系是什么？图像特征是什么？
（22） f (x 1) 与 f (1 x) 的函数关系是什么？图像特征是什么？
（23） y f (x 1) 与 y f (1 x) 的函数关系是什么？图像特征是什么？
点 P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为
.
3.如何理解“直线 x my 0 与直线 mx y m 3 0交于点 P ”
4. 如果圆 C: (x m)2 ( y 2m)2 4 总存在两点到原点距离为 1，求实数 m 的取值范围.
5.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A0,3 ，直线 l：y 2x 4 .设圆 C 的半径为 1，圆心在
的内切圆与 x
轴切于
P
点，
则 PF1 PF2 的值是
3．A,B 是两个定点， AB 2 ，动点 M 到 A 的距离为 4，线段 MB 的中垂线 l 交 AM 于点 P，
6
当 M 变化时，求 P 点的轨迹方程.
4.已知动圆 P 过定点 A( 3,0) ,并且在定圆 B:(x 3)2 +y2 =64 的内部与之相切，求动圆圆
二、平面解析几何的思维特征
1.若直线 x y 1通过点 M (cos，sin) ，则（ ） ab
A． a2 b2 ≤1
B． a2 b2 ≥1
C．
1 a2
1 b2
≤1
3
D．
1 a2
1 b2
≥1
2.已知圆 C : x 32 y 42 1和两点 Am, 0 ， Bm,0 m 0 ，若圆 C 上存在
直角三角形( O 是坐标原点)，则点 P(a,b) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为（ ）
A． 2 1
B． 2
C． 2
D． 2 1
8.已知点 A0, 2 , B2,0 . 若点 C 在函数 y x2 的图象上，则使得 △ABC 的面积为 2 的点 C
的个数为
9.如图，线段 AB=8，点 C 在线段 AB 上，且 AC=2 ，P 为线段 CB 上一动点，点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP=x ， △CPD 的面积为 f (x) .则 f (x) 的定
则 f ( px) 的一个正周期是 .
（17）若函数 y f (x) 满足 f (x 1) f (x 1) ，怎么理解？
若函数 y f (x) 满足 f (x 1) f (x 1) ，怎么理解？
（18）若函数 y f (x) 满足 f (x 1) f (x 1) 2 ，则 y f (x) 有什么性质呢？
心 P 的轨迹方程.
5. 直线 ax by b a 0 与圆 x2 y2 x 2 0 的位置关系是
6. 已知双曲线 C：x2 y2 1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐 3
近线的交点分别为 M ， N ．若 △OMN 为直角三角形，则 MN
l 上.若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 6.过点 M（4，2）任作互相垂直的两条直线 l1 和 l2 ，分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点，线段 AB 中点为 P，求 OP 的最小值.
7.直线 2ax by 1与圆 x2 y2 1相交于 A 、 B 两点（其中 a, b 是实数），且 AOB 是
loga x loga y c ，这时 a 的取值的集合为
.
四、平面解析几何的研究方法
1.直线 y=kx+1与圆 x2 y2 kx my 4 0 交于 M ,N 两点，且 M ,N 关于直线 x+y=0 对
称.求 m+k 的值.
2.双曲线 x2 16
y2 9
1，右支上一点
M， F1F2M
已知函数
f (x) x2
cos x ,
对于
[
2
,
2
]
上的任意
x1
,
x2
,
有如下条件:
① x1 x2 ② x12 x22 ③ | x1 | x2 ,
其中能使 f (x1) f (x2 ) 恒成立的条件序号是 .
7.已知函数
f
(x)
In(1
1 x ) 1 x2
，若
f
(x)
f
(2x 1) ，求 x 的取值范围.
（17）已知 y f (x) ，x R ，满足 f (x 3) f (x) ，且图象关于 ( 3 , 0) 成中心对称，
2
4
进一步分析函数 y f (x) 的性质
（18）已知函数 y f 2x 1 是定义在 R 上的奇函数，函数 y g x 的图象与函数
y f x 的图象关于直线 y x 对称，则 g x g x 的值
13. 画下列函数的示意图：
①研究函数 f (x) ex (2x 1) 性质，画出其示意图.
②研究函数 f (x) ex (2x 1) 性质，画出其示意图.
③研究函数 f (x) (2x x2 )ex 性质，画出其示意图.
④研究函数 f (x) ex In(x 1) 性质，画出其示意图.
(14) 函数 y f (2x 3) 的最小正周期为 2，如何用数学表达式表示？
（15）若存在常数 p>0，使得函数 f (x) 满足 f ( px) f ( px p ) ， 2
则 f (x) 的一个正周期为
.
（16）若存在常数 p>0，使得函数 f (x) 满足 f ( px) f ( px p ) ， 2
围.
4.
设函数
21x , x 1 f (x)
，则满足 f (x) 2 的 x 的取值范围是
1 log2 x, x 1
A．[1 ，2]
B．[0，2]
C．[1，+ ）
D．[0，+ ）
5.设函数
f
(x)
e x1 1
x 1 ，则使得 f (x) 2 的 x 的取值范围是
.
x3 x 1
6.