2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

解
dy dy dt sin t a sin t = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt π
dy dx
t=
所以
π
2
=
sin
2
当t =
π
2
时, x = a (
π
2
2 − 1), y = a.
1 − cos
π
= 1.
− 1)
15
所求切线方程为
y − a = x − a(
y = x + a(2 −
5
例4 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 求导得 方程两边对x
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
y′
x=0 y =1
(1)
1 = ; 4
将方程 (1)两边再对 x求导得
12 x 2 − 2 y′ − xy′′ + 12 y 2 ( y′ )2 + 4 y 3 y′′ = 0
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
6
二、对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
方法: 对数求导法: 方法: --------对数求导法 对数求导法
y = x sin x .
dy e = , dx t =0 2 e y − 1 = ( x − 3) 2
17
四、相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
例12. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 π R2 3 3 1π R2h − 1π r 2 (h − x) = [ h − (h − x) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r h− x = 2 dV π R V R h 2 dx 而 d = 25 (cm3 s) = 2 ⋅ (h− x) ⋅ , h− x dt dt h dt r= R 2 h dx 100 25h = 2 (cm s) , 故 2 2 dt π R π R (h − x)
13
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) d 2 y d dy = ( ) = ( ) 2 dx dx dx dx ϕ ′( t )
d ψ ′( t ) 1 ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ( ) ⋅ = 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t ) dt ϕ ′( t ) dx dt
11
三、由参数方程所确定的函数的求导
x = ϕ(t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确 定的函数
例如
2t x = 2t , 2 y = t ,
2
x t= 2
消去参数 t
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导 如
设 y= x
sin x
( x > 0), 求y′.
等式两边取对数得 ln y = sin x ⋅ ln x
上式两边同时对x求导得
1 1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ y x
1 所以 y ′ = y (cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ ) x
=x
sin x
sin x (cos x ⋅ ln x + ) x
令
y2 = x , ln y2 = x x ln x = e x ln x ln x
xx
dy2 xx x x −1 对数求导得： 对数求导得： = x [ x (ln x + 1) ln x + x ] dx
dy dy1 dy2 所以 = + =L dx dx dx
一般地
f ( x) = u( x)
π
即
π
2
)
2
x = a cos 3 t 例9 求由方程 表示的函数的二阶导数 . 3 y = a sin t dy dy dt 3a sin 2 t cos t = = = − tan t 解 2 dx dx 3a cos t ( − sin t ) dt d 2 y d dy d d dt = ( ) = (− tan t ) = (− tan t ) 2 dx dx dx dx dt dx
3 3 ( , ) 2 2
4
例3 求
设
由方程
确定 , 法2：若求
方程两边对x求导 求导, 解: 方程两边对 求导, 得
e y′ + y + x y′ = 0
y
①
再求导, 再求导, 得
e y y′2 +(e y + x) y′′ +2y′ = 0 ②
当 x = 0 时, y = 1, 故由 ① 得 1 y′(0) = − e 1 再代入 ② 得 y′′(0) = 2 e 再将 代入上式。 代入上式。
9
2+ x x dy xx 例7 y = ( 2 ) + x , 求 . x +1 dx
解：令
2+ x x dy1 2+ x x − 4x − x = ( 2 ) [ln 2 + ] 2 dx x +1 x + 1 (2 + x )( x + 1)
2 3
2+ x x y1 = ( 2 ) , 对数求导得： 对数求导得： x +1
21
r
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 对数求导法: 对方程两边取对数 按隐函数的求 导法则求导; 导法则求导 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 参数方程求导 实质上是利用复合函数求导法则 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 式求导法求解.
22
习题 2 − 4 P 111
1(2,3), 2,3(2, 4), 4(2, 4),5(2)
7(2),8(2, 4),
23
作业-煤炭工业出版
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 先在方程两边取对数 方法求出导数. 方法求出导数 适用范围: 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )v ( x )的情形 .
7
例5
( x + 1) ⋅ 3 x − 1 , 求y′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3
18
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
19
之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率
例11. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140m m , 当气球高度为500 m 时, 观察员 in 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角 h h 为α , 则 tanα = 500 α 500 两边对 t 求 导 dα 1 dh 2 sec2 α =1+ tan2 α sec α ⋅ = dt 500 dt dh 已知 =140m min , h = 500m 时, α =1,sec2 α = 2 , tan dt dα 1 1 ( rad/ min ) = ⋅ ⋅140 d t 2 500 20
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
= 1.
3
ex − y = x+ey
x=0 y=0
例2 设曲线 C的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C在该点的法 2 2 线通过原点 .
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数 四、相关变化率
1
一、隐函数的导数 定义: 定义: 若由方程 则称 可确定y 可确定 是x的函数 , 的函数 为隐函数 隐函数. 隐函数
显函数. y = f ( x) 形式称为 显函数 F ( x, y) = 0 y = f ( x ) 隐函数的显化 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导
解 方程两边同时对x求导, 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = − 1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
sec 4 t − sec2 t d 1 ( − tan t )′ = = = (− tan t ) = 2 3 dx (a cos t )′ − 3a cos t sin t 3a sin t dt dt
16
例10
x = 3t 2 + 2t + 3 设 y 确定y = f ( x ), e sin t − y + 1 = 0
解 等式两边取对数得
上式两边同时对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
( x + 1) ⋅ 3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 所以 y ′ = 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
8
例6 解
点的切线方程。 求曲线的对应 t = 0点的切线方程。
dy e cos t = , 解 第二个方程对 t求导 y dt 1 − e sin t
dy dy dt = dx dt dx
y
因为t = 0 ⇒ x = 3, y = 1,
所以
切线方程
dy 1 = dt dx dt
e y cos t 1 = ⋅ y 1 − e sin t 6t + 2
v( x)
可用对数求导法。 可用对数求导法。
10
说明:
y = uv 可用对数求导法求导: 1) 对幂指函数
注意:
ln y = v lnu 1 u′v y′ = v′ lnu + y u u′v v y′ = u ( v′ lnu + ) u y′ = uv lnu ⋅ v′ + vuv−1 ⋅ u′
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
d ψ ′( t ) dt = ( ) dt ϕ ′( t ) dx
14
x = a (t − sin t ) π 例8 求摆线 在t = 处的切线方程 . 2 y = a (1 − cos t )
x 2 x2 y=t =( ) = 4 2
1 所以y ′ = x 2
x = 3(t − et ) 2 y = 5(t − cos t )
dy 如何求 ? dx
12
x = ϕ( t ) 在方程 中, y = ψ( t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
ห้องสมุดไป่ตู้
所以 y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ (t ), y = ψ (t )都可导, 且ϕ '(t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
如 e + xy = sin x
y 2
dy ? 如何求 dx 隐函数求导法则: 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
2
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
方程两边同时对x求导,