角平分线定理应用

合集下载

角平分线定理的应用

角平分线定理的应用最近忙于写《向量恒等式》，就发一下我的手写笔记啦字丑，勿怪。

先说一下角平分线的两大定理定理1:角平分线上的一点到角两边的距离相等。

定理2:三角形内角的平分线分为两条线段，与相邻的两条边成正比。

证明思路：第一个定理大家都很熟悉，初中课本上已经给过了。

至于第二个定理，虽然初中的课本已经删掉了，但是我听数学老师的意思是可以直接用(我这里针对的是高中汗)，但是很多同学都不知道这个定理(定理2)。

本文主要介绍定理2的神奇作用。

注意这两个定理的逆定理成立！可以作为角平分线的判定定理。

先发两道例题读者可以用搜索软件看看答案，用角平分线定理就简单多了。

读者：为什么狗不用搜题软件？择梦舟：因为我没有无限号（卑微）圆锥曲线的焦点三角形内心的轨迹方程我承认圆锥曲线内接圆圆心的轨迹方程有很多方法求解，但这个方法比定义法好，比如双曲线的焦点三角形内心的轨迹，角平分线定理可以知道它的范围我的版面比较糊，椭圆的焦点三角形内心轨迹你们可以参考一下 @fasnreis至于双曲线，知乎好像没有。

例题（看题号，好像都在压轴题上诶）例题1：湖北2021年模拟（改编）例2：例3：圆锥曲线的光学性质光从椭圆的一个焦点发出，光碰到椭圆边界反射的路径经过另一个焦点。

光线从双曲线的一个焦点射出，双曲线的边界反射的路径的反向延长线穿过另一个焦点从抛物线的焦点射出，抛物线的边界反射的路径平行于抛物线的对称轴即：椭圆的两个焦点分别与椭圆上的任意一点相连，两条直线与通过该点的切线的夹角相等。

双曲线的两个焦点与双曲线上的任意一点相连，两条直线与通过该点的切线之间的夹角相等。

连接抛物线焦点和抛物线上任意一点的直线与抛物线对称轴和该点切线的夹角相等。

我们可以利用这组等角进行证明：虽然光学性质的大题出现频率少之又少，但还是很有意思的，感兴趣的可以看看 @上进的z君他归纳的比较全。

平分角定理

平分角定理
平分角定理是平面几何中的一个重要定理，用于描述角的平分线的性质。

它的表述为：若有一条直线将一个角平分成两个角，那么这条直线所在的点与角的顶点连线的中垂线将这个角分为两个大小相等的角。

这个定理可以很容易地应用到各种几何问题中。

比如，在求解三角形内一些特殊角度时，使用平分角定理可以有效地简化问题。

在证明其他几何定理时，平分角定理也常常被用到，因为它具有一些很好的证明方法和技巧。

平分角定理的原理比较简单，但是要充分理解和掌握它的应用还需要大量的实践。

需要注意的是，在使用这个定理时，要注意判断角度的大小关系和角度所在位置是否在已知图形内。

同时，还要考虑到其他要素对定理的影响，例如线段的位置、长度等等。

总的来说，平分角定理是几何学中非常重要的一个定理，具有广泛的应用。

掌握这个定理可以丰富我们的数学知识，有助于我们更深入地理解和应用其他数学定理。

第3节角平分线的性质及应用

第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。

角平分线三个定理

角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。

本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。

第一个定理是角平分线定理。

所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。

换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。

证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。

通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。

熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。

希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。

愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。

在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。

下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。

第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。

这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。

通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。

第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。

这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。

通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。

在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。

角平分线性质定理之应用

角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．一、由角平分线的性质联想两线段相等例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF证明连结DB ，DC ．∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF ． ∵D 在BC 的垂直平分线上，∴BD=DC ．又∠BED=∠CFD=90°，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ．二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且AD=DC 求证：∠A+∠C=180°．证明延长BA 至F ，使BF=BC ．由BD 平分∠ABC 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，∴∠C=∠F ，DF=CD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+CE=DE ．证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠DBF=∠DFB∴BD=FD ，同理CE=FE ． ∴BD+CE=DF+FE=DE ．四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？解析：分别作△ABC 两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．图4。

角平分线在三角形中的比例关系

角平分线在三角形中的比例关系关于角平分线，除了知道它把一个角平分为二，以及平分线上任意一点到其两边的距离相等外，它在三角形中还存在一些美丽的对称性质。

1，角平分线定理：如图P2，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BD∶DC=AB∶AC【解析】用面积法来证明：如图P2-1，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。

则DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=AB∶BC；又S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，故BD∶DC=AB∶AC。

2，如图JP2，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，则有AB∶AC=BD∶DC。

【解析】用面积法可证明此结论，方法同上，具体略。

利用上述结论，我们可以快速解决一些问题：3，如图JP3，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于点D，求证：AI∶ID=（AB+AC）∶BC。

【解析】根据角平分线定理，AI∶ID=AB∶BD=AC∶CD，∴AI∶ID=（AB+AC）∶（BD+CD）=（AB+AC）∶BC。

4，如图JP4，已知：PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3。

求AD·DC的值。

【解析】如图JP4-1，过点P作∠APB的角平分线，交AC于点E。

根据角平分线定理，AP∶PD=AE∶ED=4∶3，∴ED=3AD/7；又∠APB=2∠ACB，∴∠EPD=∠BCD，∠ PDE=∠CDB，故△PDE∽△CDB，∴PD∶DC=ED∶BD，即ED·DC=PD·BD=3，∴（3AD/7）·DC=3，故AD·DC=7。

5，如图XZ5，已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，【解析】根据角平分线定理，AC∶AB=DC∶BD = EC∶BE，∴（CD+BD）∶BD=（EC+BE）∶BE，（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注）。

角平分线性质定理

角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。

它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。

根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。

以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。

我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。

通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。

同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。

通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。

对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。

角平分线定理及其应用

从这个结果出发,你还能联想到什么?
做一做
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. E 作法: 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
A
C
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. O
3.作射线OC.

课本：P32 1、2
堂堂清：

课本：P34 2
鲁教版课标九上
6.5 角平分线
回顾与思考你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你能证明这一结论吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE. A D 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE. 1 P O 2 C 而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). E B 故结论可证.
D
B
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
课内练习
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?
C
E D
B
A
F
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
随堂练习：
C
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望:你能写出规范的证明过程.
E B
Hale Waihona Puke 动手练一练逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.

高中数学角平分线定理

高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。

角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。

角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。

我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。

下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。

角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。

假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。

根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。

同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。

因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。

角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。

假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。

根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。

根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。

因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。

根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。

这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。

根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。

因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。

除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。

假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。

角平分线的性质例题

经典例题透析类型一：角平分线性质的应用1、如图，△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。

思路点拨:点到直线的距离是经过该点做直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。

解析：过D作DE⊥AB于E。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=CD∵BC=24，CD:DB=3:5∴CD=24×=9＝DE即点D到AB的距离是9。

总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。

举一反三：【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：AE=CF【答案】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF∴DE=DC在△ADE和△FCD中∴△ADE△FCD(ASA)∴AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF为∠BAC的平分线。

思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

解析：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)BF=CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF=EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。

如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。

举一反三：【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。

(2) 若D，E不是垂足，是否有着同样的结论？并证明你的结论。

【答案】（1）∵AB=AC,AD=AE∴BE=CD∵DB⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEO=∠CDO=90°在△BEO和△CDO中∴△BEO△CDO∴EO=DO∵EO⊥AB,DO⊥AC∴点O在∠A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO在△ABD和△ACE中∴△ABD△ACE∴∠B=∠C∵AB=AC,AD=AE∴EB=CD在△BEO和△CDO中∴△BEO△CDO∴EO=DO在△AEO和△ADO中∴△AEO△ADO∴∠EAO=∠DAO∴O点在∠A的角平分线上类型三、角平分线的综合应用3、已知：BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE求证：∠BAD=∠DAC+∠C思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。

三角形角平分线定理的应用

浅谈三角型形的角平分线在高考题中的应用贵州省毕节市第二中学谢跃进 551700三角形角平分线定理已经在初中教材中销声匿迹很长时间了。

但是近年高考题中均有体现，考题一般都是以选择或填空的形式出现，知道定理的同学可以很快得出答案，不知道的同学则一筹莫展。

因此不得不让广泛师生引起重视。

定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两条边对应成比比例。

现在，我们来证明定理成立。

定理的证明方法很多，现在笔者用自己想出来的方法证明如下：已知中，的角平分线交对边于点。

证明：。

证明：如图所示：作的外接圆，并延长交圆周于。

_D_E_C_B_A易得，所以，同理 ,所以,又因为,所以，所以,所以。

定理应用：例1（2010全国II卷理8）中，点在上，平分．若，，，，则（A）（B）（C）（D）解析：由定理得,即,所以,又因为,_D_A_B_C且,所以,即即。

故而选B.评注：本题以向量的基本运算为载体，主要考察对角平分线的理解与应用。

例2（2011全国II卷理15）已知分别为双曲线的左右焦点，点在曲线上，点的坐标为，为的角平分线，则= ；_A_M_O_F2_F1_x_y解析：由角平分线定理有，即.又因为，，所以，，所以，所以，又因为所以；答案：6.评注：本题以圆锥曲线为载体，考察对角平分线定理的理解与应用。

本题中的曲线也可以是椭圆。

角平分线的性质与应用

角平分线的性质与应用角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。

在几何学中，研究角平分线的性质与应用有助于解决各种角相关的问题。

本文将探讨角平分线的性质以及它们在几何学中的应用。

一、角平分线的性质1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。

证明：设角AOB为已知角，AC是角AOB的平分线。

假设角CAC'和角C'AB是不等的，即角CAC'≠角C'AB。

因为角CAC'和角C'AB之和等于角AOB，即角CAC'+角C'AB=角AOB。

又因为角CAC'和角C'AB是不等的，所以它们的和必然小于角AOB，产生矛盾。

因此，角CAC'和角C'AB必然相等。

2. 定理2：如果一个角的两条平分线相交于一个点，则该点在角的内部，并且到角的各边距离相等。

证明：设角AOB为已知角，AC和BD是角AOB的两条平分线，交于点E。

我们分别证明点E在角AOB的内部以及到角的各边距离相等：a) 点E在角AOB的内部的证明：假设点E在角AOB的外部，我们取点F在射线EB上，使得EF = EC。

在△AFC中，角AFC =角AFC’ +角C’FA =角 ABD +角 BDA =90°。

另一方面，在△BFD中，角BFD=角BFD’+角DFB=角ABD’+角DBA=90°。

因此，角AFC和角BFD之和等于180°，即角AFCB为一直线，这与假设矛盾。

因此，点E在角AOB的内部。

b) 到角的各边距离相等的证明：由定理1可知，∠ACB =∠DCB。

又因为∠AEC和∠BEC分别是角ACB的两个相等的角，所以∠AEC=∠BEC。

由于∠AEB是锐角，所以点E到射线AB上的点的距离相等。

二、角平分线的应用角平分线在几何学中有广泛的应用，下面介绍几种常见的应用情况：1. 求角平分线的长度：已知一个角的两条边长以及夹角的大小，可以利用三角函数求出角平分线的长度。

角平分线的性质定理及应用

角平分线的性质定理及应用角平分线的性质定理可以分为下面几个方面进行详细阐述：1. 定理一：角平分线的定义及性质角平分线是指将一个角分成两个相等的部分的直线。

具体来说，设角AOB的内部有一条直线OC（O是角AOB的顶点），且∠AOC=∠COB，则称OC为角AOB 的角平分线。

特性：角平分线的两个性质如下：（1）OC是角AOB内角的平分线，即∠AOC=∠COB；（2）OC上的点到角AOB的两边的距离相等，即OD=OE。

2. 定理二：角平分线存在唯一性角平分线存在唯一性是指在一个角中，只存在一条角平分线。

证明如下：假设在角AOB中有两条角平分线OC1 与OC2。

不妨设OC1 与AB交于E1，OC2与AB交于E2。

由于OC1 是角AOB的角平分线，所以∠AOC1=∠C1OB。

同理，由于OC2 是角AOB的角平分线，所以∠AOC2=∠C2OB。

因为OC1 与OC2 都在角AOB内部，所以C1、C2两个点是可以重合的。

不管C1与C2 是重合还是不重合，都有∠C1OC2=0。

又因为OC1 与OC2 是交于同一条直线上的两个点，所以也有∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。

将∠C1OE2、∠E2OC2、∠C2OE1、∠E1OC1在图上绘出，我们可以发现角AOB的度数，使用的角平分线有两种情况：（1）∠C1OE2和∠E2OC2同时等于180，此时C1 与C2 必须是同一个点，所以OC1和OC2 是同一条线。

（2）∠C1OE2=∠C2OE1，∠E2OC2=∠E1OC1=0 ，此时C1 与C2 可以是同一个点，也可以是两个不同的点。

但无论如何选择，∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=0+0+0+0=0，不满足∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。

综上所述，角平分线存在唯一性。

3. 定理三：角平分线与等分点的关系设在角AOB的内部有一点M，并且OM是角AOB的角平分线。

角平分线定理及其应用

角平分线定理及其应用角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它是指一个角的平分线将该角分成两个相等的角。

这个定理是很多其它定理的基础，而且在各种应用中也有着广泛的应用。

角平分线定理的表述很简洁，即一个角的平分线将该角分成两个相等的角。

对于一个角ABC，假设BD是角ABC的平分线，那么角ABD和角CBD是相等的。

这个性质可以通过严谨的证明得出，但在此不再详述。

角平分线定理的应用非常广泛。

首先，它可以用来证明其它定理。

例如，利用角平分线定理可以证明“一个角所对的弧等于该角所对的另一个角所对的弧”的定理。

具体来说，如果一个角ABD的平分线BD所对的弧是AC，那么角CBD所对的弧也是AC。

这个定理在圆的相关问题中有着重要的应用。

其次，角平分线定理还可以用来解决一些有关角度的问题。

例如，在解决三角形的相关问题中，可以利用角平分线定理求解未知的角度。

假设有一个三角形ABC，若角BAD和角CAD是相等的，即平分了角BAC，那么可以根据已知的角度求得角BAD和角CAD的具体数值。

这在解决三角形的角度问题时是非常有用的。

除了以上两个应用之外，角平分线定理还可以在一些几何建模问题中有所应用。

例如，在设计建筑物或道路时，需要进行各种测量和角度确定。

利用角平分线定理可以确保所设计的结构物的角度准确无误。

这对于保证建筑物的安全和美观性非常重要。

总的来说，角平分线定理是平面几何中一个非常重要的定理，它的应用涉及到了各个领域。

在证明其它定理、解决角度问题以及几何建模中都有着广泛的应用。

它不仅是数学研究的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。

对于学习数学的学生来说，理解和掌握角平分线定理是至关重要的。

角平分线定理不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，它也可以在生活中的各种场景中得到运用。

例如，当我们使用罗盘进行导航时，角平分线定理可以帮助我们确定正确的方向。

在使用罗盘时，我们需要将罗盘的指针对准北方，以便获得准确的方向信息。

然而，在实际使用中，我们很难完全准确地判断罗盘指针是否指向了北方，因为我们无法直接看到罗盘的指针和地球北极。

角平分线的性质及应用

利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交，那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个点之间的距离。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求解两个相等的线段之间的距离。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这两个相等的线段之间的距离就是所求的距离。因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。

高考题中的角平分线问题

高考题中的角平分线问题
在高考数学中，角平分线问题可以以各种形式出现，常见的有以下5种：1.角平分线的性质：角平分线将角分成两个相等的角，且角平分线上的点到角
的两边距离相等。

在解题时，这些性质可以作为解题的重要依据。

2.等面积公式变换：在解题时，有时需要利用等面积公式进行变换，使问题得
到简化。

例如，在求两个三角形面积之比时，可以将两个三角形分别补形为平行四边形，然后通过计算平行四边形的高和底边长度的比值，得到两个三角形面积的比值。

3.角平分线定理：角平分线定理有两条，一条是三角形内角平分线定理，一条
是三角形外角平分线定理。

在解题时，可以利用这些定理进行列方程解题。

4.二倍角关系：在解题时，有时需要利用二倍角公式进行变换，使问题得到简
化。

例如，在求两个角和的一半时，可以将两个角分别用二倍角公式展开，然后将两个二倍角相加再除以2，得到两个角和的一半。

5.同起点角互补关系或者外角关系：在解题时，可以利用同起点角互补关系或
者外角关系进行列方程解题。

例如，已知一个三角形的内角和为180度，可以列出三角形内角和的方程：A+B+C=180度。

如果再已知其中一个角的某个倍数的补角与另一个角的外角互补，可以列出另一个方程，与前面的方程联立解出两个未知数的值。

1/ 1。

三角形的角平分线几何语言

三角形的角平分线几何语言三角形的角平分线是指从三角形的顶点出发，将对应的角分成两个相等的角的直线。

这条直线称为角平分线。

角平分线是三角形的重要性质之一，它在几何学中有着广泛的应用。

我们来看一下角平分线的定义和性质。

设ABC为一个三角形，角A 的角平分线交边BC于点D。

则有以下性质：1. 角BAD和角CAD是相等的，即角BAD=角CAD。

2. 点D在边BC上。

接下来，我们来探讨一些与角平分线相关的重要定理。

一、角平分线定理角平分线定理是指：如果一条直线分别平分一个角的两个相邻边所对应的两个内角，那么这条直线就是该角的角平分线。

证明：设角BAD和角CAD是相等的，点D在边BC上。

我们需要证明角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。

1. 证明角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。

由三角形内角和定理可知，角BAD+角BDA+角ADB=180°，角CAD+角CDA+角ADC=180°。

而角BDA和角CDA是相等的，因为它们都是直角，即角BDA=角CDA。

所以，角BAD+角BDA+角ADB=角CAD+角CDA+角ADC。

将已知条件代入，即有角BAD+角BAD+角ADB=角CAD+角CAD+角ADC。

化简得2角BAD+角ADB=2角CAD+角ADC。

进一步化简可得2角BAD=2角CAD+角ADC-角ADB。

由已知条件可知角ADC=角ADB+角BDA，代入上式得2角BAD=2角CAD+角ADB+角BDA-角ADB。

化简得2角BAD=2角CAD+角BDA。

再次化简可得角BAD=角CAD+角BDA。

这就证明了角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。

2. 证明点D在边BC上。

由角平分线的定义可知，直线AD是角A的角平分线，即角BAD=角CAD。

而根据角BAD和角CAD所对应的两个内角相等的证明可知，角BAD=角CAD+角BDA。

将已知条件代入，即有角CAD=角CAD+角BDA。

化简得角BDA=0。

角平分线的原理及应用

角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。

角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。

2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。

2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。

这是角平分线的基本性质之一。

2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。

这是角平分线的另一个重要性质。

具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。

2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。

也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。

3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。

这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。

3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。

如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。

3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。

这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。

总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。

它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。

角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。

角平分线定理应用

角平分线定理的应用

平分角定理

第3节 角平分线的性质及应用

角平分线三个定理

角平分线性质定理之应用

角平分线在三角形中的比例关系

角平分线性质定理

角平分线定理及其应用

高中数学角平分线定理

角平分线的性质例题

三角形角平分线定理的应用

角平分线的性质与应用

角平分线的性质定理及应用

角平分线定理及其应用

角平分线的性质及应用

高考题中的角平分线问题

三角形的角平分线几何语言

角平分线的原理及应用

第3节角平分线的性质及应用