河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷
河北省保定市数学高二上学期文数期中考试试卷
河北省保定市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 如图，将边长为 5+ 的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体 积是（ ）.A.B.C.D. 2. （2 分） 已知过点 A（-2，m）和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（ ）A.2B.0C . -8D . 103. （2 分） 已知圆 为（ ）， 直线， 圆 C 上任意一点 A 到直线 的距离小于 2 的概率A.第 1 页 共 13 页B.C.D.4. （2 分） 在空间中，有下列命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。
其中正确的命题个数有（ ）A.1B.2C.3D.45. （2 分） (2020·山东模拟) 已知曲线，切点分别为，则直线 截圆，动点 在直线 所得弦长为（上，过点 ）作曲线的两条切线A. B.2 C.4D.6. （2 分） (2018 高一上·兰州月考) 已知异面直线 a ， b 分别在平面 α ， β 内，且 α∩β＝c ， 那么 直线 c 一定（ ）A . 与 a ， b 都相交B . 只能与 a ， b 中的一条相交C . 至少与 a ， b 中的一条相交D . 与 a ， b 都平行第 2 页 共 13 页7. （2 分） (2017·聊城模拟) 已知两点 A（﹣m，0）和 B（2+m，0）（m＞0），若在直线 l：x+ 存在点 P，使得 PA⊥PB，则实数 m 的取值范围是（ ）y﹣9=0 上A . （0，3）B . （0，4）C . [3，+∞）D . [4，+∞）8. （2 分） (2019 高二下·电白期末) 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨月考) 已知点 斜率为 ，则 的取值范围是（ ）在曲线A.B.C.第 3 页 共 13 页上移动，设曲线在点 处的切线D. 10. （2 分） 圆 C1：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0 与圆 C2: A . 0条 B . 1条 C . 2条 D . 3条公切线的条数是（ ）11. （2 分） (2012·重庆理) 设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 的棱异面，则 a 的取值范围是（ ）和 a，且长为 a 的棱与长为A . （0， ）B . （0， ）C . （1， ）D . （1， ）12. （2 分） 已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四 边形 ABCD 的面积为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·哈尔滨月考) 若直线 经过直线和的交点,且平行于直线第 4 页 共 13 页，则直线 方程为________.14. （1 分） 已知 A（2，5），B（4，﹣1）若在 y 轴上存在一点 P，使|PA|+|PB|最小，则 P 点的坐标为________．15. （1 分） (2017 高三上·济宁期末) 已知直线 l1：kx﹣y+4=0 与直线 l2：x+ky﹣3=0（k≠0）分别过定点 A、B，又 l1、l2 相交于点 M，则|MA|•|MB|的最大值为________．16.（1 分）(2019 高一上·中山月考) 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆 上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的表面积为________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， （1） 求 AC 与 A1D 所成角的大小； （2） 若 E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小．18. （10 分） (2017 高二上·海淀期中) 已知直线、 两点，且满足．（1） 求圆的方程．与圆相交于（2） 若，点 ，连，求四边形，为 轴上两点，点 在圆上，过 作与 的面积的取值范围．垂直的直线与圆交于另一第 5 页 共 13 页19. （10 分） (2019 高二上·大庆月考) 已知焦点在 轴上的椭圆经过点，焦距为.（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 点 是椭圆 上的任意点，求点 到直线 ：距离的最大值.20. （10 分） (2019 高二上·佛山期中) 如图，在长方形中，，，现将沿折起，使 折到 的位置且 在面的射影 恰好在线段 上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.21. （10 分） (2019 高一下·梅河口月考) 如图所示，四棱锥是四棱锥的高),, 为 的中点.中，为线段( 上一点，（1） 证明： （2） 求三棱锥平面；的体积.22. （10 分） (2018 高二上·重庆期中) 已知圆 C 经过，上，过点，且斜率为 k 的直线 l 交圆 C 于 M、N 两点．第 6 页 共 13 页，圆心 C 在直线（1） 求圆 C 的方程； （2） 若 O 为坐标原点，且，求直线 l 的方程．第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、 18-1、 18-2、19-1、第 9 页 共 13 页19-2、第 10 页 共 13 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知()1,3,2a =-- ，()1,1,b m =- ，且2a b ⋅=-，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．22．过点()1,4A 的直线的方向向量为()1,2m =，则该直线方程为（）A ．220x y -+=B ．260x y +-=C ．270x y -+=D ．50x y +-=3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c表示BO ，则（）A ．12BO a b c=-+ B ．12BO a c=+- C ．12BO a b c =-++ D ．1122BO a b c =-++ 4．已知离心率为2的双曲线2221y x m -=与椭圆222112x y n +=有相同的焦点，则22m n +=（）A ．21B ．19C ．13D ．115．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则椭圆E 的方程为（）A ．221182x y +=B ．221204x y +=C ．221248x y +=D ．221259x y +=6．P 是双曲线22916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．97．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为（）A ．[)1,1-B ．⎡⎣C ．(]{1,1-⋃D ．[){1,1- 8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不含端点）上运动，则下列结论正确的是（）①1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④二、多选题9．下列说法正确的是（）A10y ++=的倾斜角为120B ．经过点()2,1P ，且在x 轴，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C ．直线l ：20mx y m ++-=恒过点()1,2-D ．已知直线1l ：210ax ay ++=，2l ：()()1140a x a y --+-=，则“12l l ⊥”的充要条件是“3a =-或0a =”10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B C BD ⊥B ．点E 到直线1B C 的距离为C ．直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为23D ．点1C 到平面1B CE 的距离为2311．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b +=>>的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆22:154x y C +=，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=B ．矩形G 的四边均与椭圆C 相切，若G 为正方形，则G 的边长为C ．若H 是椭圆C 的蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18D ．若P 是直线:230l x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或43-三、填空题12．若(1,,2),(2,2,)a b λμ=--=- ，若//a b，则λμ+的值为.13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l，则双曲线的离心率为.四、解答题15．已知关于,x y 的方程C ：22240x y x y m +--+=．(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且||MN =m 的值．16．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.(1)证明：AM //平面PBC ；(2)若,AC AD PA ==AM 与平面PAB 所成角的正弦值.17．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>，与双曲线22142x y -=有相同的渐近线，且经过点M，(1)求双曲线C 的标准方程(2)已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值．18．如图1，在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，=1AD ，=2AB ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面A BC '⊥平面A BD '，如图2．(1)证明：A D '⊥平面BCD ；(2)在线段A C '上是否存在点M ，使得二面角M BD C --的大小为45°？若存在，求出A MA C''的值；若不存在，说明理由．19．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，122F F =，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过1F ，2F 的圆与直线x =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.若直线l 的斜率等于1，求OMN 面积的最大值．。
河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析
六校联盟高二年级期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+= D.50x y +-=3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -= B.双曲线E 的离心率为62C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为146.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.定义：设{}123,,a a a是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.68.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.511.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是912.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A .OM PD⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB 所成角的余弦值为10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.15.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.（1）求点M 的轨迹方程；（2倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”2222222(2)x y x y x y +--+-+.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P 截得的弦长为22.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足2OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.【详解】已知直线a 的方向向量是()1,0,1m = ，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，设直线a 与平面α所成角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以·sin cos ,0m n m n m nθ====，所以0θ︒=，故直线a 与平面α所成角为0︒.故选：A .2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+=D.50x y +-=【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程【详解】因为圆22:260C x y x y +--=，即()()221310x y -+-=，所以圆心为()1,3，又直线124x y +=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为12，∴所求直线的方程为()1312y x -=-，即250x y -+=.故选：C3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线sin30cos3050x y +︒-︒=的斜率sin 30cos303k ︒=-=-︒，所以该直线的倾斜角为150︒.故选：D.4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -=B.双曲线E 的离心率为2C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±【答案】A 【解析】【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【详解】由直线210y x =-过点F ，得()5,0F ，5c =，所以2225a b +=，又直线210y x =-与双曲线只有一个公共点，当直线210y x =-与双曲线渐近线平行时，2ba=，可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，双曲线方程为221520x y -=，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线22221210x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222224401000b a x a x a b a -++-=，()()()222222240441000a b a a b a ∆=---=，即2241000a b -++=，又2225a b +=，则25750a +=，无解，所以双曲线方程为221520x y -=，A 选项正确；离心率c e a ===B 选项错误；顶点坐标为()，D 选项错误；实轴长为2a =C 选项错误；故选：A.5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为25C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为14【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A 正确；根据蒙日圆方程定义可知C 正确；结合长方形G 的对角线长和基本不等式可求得BD 错误.【详解】对于A ，由椭圆M 方程知：2a =，3b =221c a b =-=，∴椭圆M 的离心率12c e a ==，A 正确；对于BC ，由A 知：椭圆M 对应的蒙日圆方程为：227xy +=，正方形G 是圆227x y +=的内接正方形，∴正方形G 对角线长为圆的直径27，∴正方形G ()227142=，B 错误，C 正确；对于D ，设长方形G 的长和宽分别为,m n ，长方形G 的对角线长为圆的直径27，2228m n ∴+=，∴长方形G 的面积22142m n S mn +=≤=（当且仅当14m n ==，即长方形G 的面积的最大值为14，D 正确.故选：B.6.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】寻找12MF F △的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据12MF F △面积的取值范围可以得到12MF F △的内切圆半径的取值范围.【详解】设12MF F △的内切圆半径为r ，椭圆方程为22221x y a b+=，则5a =，4b =，2229c a b =-=，即3c =，又()()1212121122822=++=+=△MF F S PF PF F F r a c r r ，所以1218=△MF F r S ，由于1212110641222<≤⋅=⨯⨯=△MF F S b F F ，所以302<≤r .故选：D7.定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++ ，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.6【答案】A 【解析】【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得向量p 在基底(){}2,,2a b b b c --下的坐标为：()1,2,1-，则()22222p a b b b c a b c =--+-=--，所以向量p 在{},,a b c下的坐标为：()2,2,1--，3=，故A 项正确.故选：A.①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④【答案】C 【解析】【分析】0a =时，两直线重合，①错误，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑12x x =和12x x ≠两种情况得到③正确，1λ=时不成立，④错误，得到答案.【详解】对①：当0a =时，直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=重合，错误；对②：若成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线斜率存在设为k ，则221119y x -=，222219y x -=，相减得到()()()()1212121209y y y y x x x x +-+--=，即2209k-=，解得9k =，直线AB ：98y x =-，229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得到272144730x x -+=，无解，错误；对③：当12x x =时，直线方程为1x x =；当12x x ≠时，直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，两种情况可以合并为：()()()()121121y y x x x x y y --=--，正确；对④：当1λ=时，()()1,2,1,1,2,1a b =-=--，a b =- ，夹角为π，错误；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n 为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔【答案】BCD 【解析】【分析】由()()2a b b c a c a +=++-+可判断选项A ；利用空间位置关系的向量证明判断B ，C ，D.【详解】选项A.设()()2a b x b c a y c a +=++++,即()()()1210x y a x b x y c --+--+= 由{},,a b c 为空间的一个基底，即,,a b c不共面，则101200x x y x y -=⎧⎪--=⎨⎪+=⎩，解得1,1x y ==-即()()2a b b c a c a +=++-+ ，所以,2,a b b c a c a ++++共面，即不能构成空间的另一个基底，故选项A 正确.选项B.若非零向量a与平面α平行，则所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，选项B 不正确；选项C.显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，选项C 不正确；选项D.由1v n ⊥，得直线l 与平面α平行，也可能直线l 在平面α内，选项D 不正确；故选：BCD10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.5【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离0，从而可判断求解.【详解】由题意得：圆心()2,0C ，半径：1r =，直线30kx y +-=过定点：()0,3P ，当圆心与定点P 的连线垂直直线时，M到直线有最大的距离且为：11CP r +=+=，当直线与圆相交时有最小距离0，故M到直线的距离范围为：01d ≤≤+故选项ABC 符合题意，D 项不符合题意.故选：ABC.11.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是9【答案】BC 【解析】【分析】根据2ABF △的周长为4a 即可判断A ；设()[],,5,5P x y x ∈-，根据120PF PF ⋅=求出P 点的坐标即可判断B ；根据椭圆的定义结合余弦定理求出12PF PF 即可判断C ；求出OP 的最大值，再根据max max 1PQ OP =+即可判断D.【详解】设椭圆C 的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则22225,9,16a b c ===，所以5,3,4a b c ===，对于A ，过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为420a =，故A 错误；对于B ，可取()()120,4,0,4F F -，设()[],,5,5P x y y ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则()()12,4,,4PF x y PF x y =---=--，所以222221291616916702525PF PF x y y y y ⋅=+-=-+-=-= ，解得[]575,54y =±∈-，所以椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，故B 正确；对于C ，由题意可得1212210,28PF PF a F F c +====，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，即()21212126431003PF PF PF PF PF PF =+-=-，所以1212PF PF =，所以12PF F △的面积为121sin 602PF PF ︒=C 正确；对于D ，设()[],,5,5P x y x ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则OP ==因为[]5,5y ∈-，所以[]20,25y ∈，所以[]3,5OP =，所以max max 16PQ OP =+=，故D 错误.故选：BC.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A.OM PD ⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB ，由线面平行的判定定理即可判断C ，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【详解】连接OC ，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，又PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，AD CO ⊥，又PO CO O = ，,PO CO ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又OM ⊂平面POC ，所以AD OM ⊥，又//AD BC ，所以OM BC ⊥，故B 正确；当点M 为线段PC 的中点时，取BP 的中点N ，连接,MN AN ，则//MN BC ，且12MN BC =，又O 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以//MN AO ，且MN AO =，所以四边形AOMN 为平行四边形，所以//OM AN ，又OM ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ，所以//OM 平面PAB ，故C 正确；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为正三角形，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，又OD OC ⊥，OD OP O ⋂=，,OD OP ⊂平面OPD ，所以OC ⊥平面OPD ，又PD ⊂平面OPD ，所以OC PD ⊥，显然PD 与平面OPC 不垂直，故当点M 运动到点C 位置时，才有OM PD ⊥，故A错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,2,,0,,0,0,O A B C P ，又13PM PC =，所以0,,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,,33AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，(AP =- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则0n AB x n AP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =，则1,1y z =-=，所以)1,1n =-，设直线AM 与平面PAB 的夹角为θ，则sin cos ,10n AM n AM n AMθ⋅=<>==⋅，则310cos 10θ==，所以直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】先求出AM 在AN上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可【详解】AM 在AN 上的投影向量的模长32AN AM d AN⋅==.则点M 到直线AN的距离为112==故答案为：11214.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到3c b =，即可求出离心率.【详解】圆22680x y x +-+=即()2231x y -+=，圆心为()3,0，半径1r =，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，依题意1d ==，即3c b =，又222c a b =+，所以a =，所以离心率324c e a ===.故答案为：415.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得CF =，再在CDF 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD，且AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 2142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+--= ⎪⎝⎭，即CF =又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .【答案】4-【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线EF 的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到4MB MC AC +≥-，由此得解.【详解】如图，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，由题意得46MA MB -=<，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故24,2,26,3,a a c c b =====所以曲线EF 的轨迹方程为221(0)45x y x -=>，因为AC =所以244MB MC MC MA a AC +=+-≥-=，当且仅当,,A M C 共线时，等号成立，所以从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为()4km .故答案为：634-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 2倍.（1）求点M 的轨迹方程；（22倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.【答案】（1）22(6)32x y -+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；（2）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.【小问1详解】设点M 的坐标为(),x y ，由2MA =，2222(2)2(2)x y x y ++=-+221240x x y -++=，即22(6)32x y -+=.【小问2详解】设点M 的坐标为(),x y ，由MA k MB =，得2222(2)(2)x y x y ++=-+化简得()()()()2222221411410kxk x k y k -+++-+-=，当1k =时，方程为0x =，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当0k >且1k ≠时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥++=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以()2221,01k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241kk -的圆.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.【答案】2105.【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线AB 的方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由题意得23c a a ==，解得2,a c b ====，所以椭圆方程为22162y x +=，因为221121623+=<，所以()1,1P 在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB += ，所以点P 为线段AB 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以()()()()2121212130y y y y x x x x +-++-=，所以()()2121260y y x x -+-=，即()()212130y y x x -+-=，所以21213y y x x -=--，所以直线AB 为()131y x -=--，即340x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离5d ==.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证；（2）利用向量法求点面距离；（3）利用向量法求两个平面的夹角.【小问1详解】以点1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C ，()10,0,1,0,1,2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()111,1,0,0,0,1,1,1,2DB A A AE ⎛⎫===-- ⎪⎝⎭ ，所以10,0DB A A DB AE ⋅=⋅= ，所以1,BD AA BD AE ⊥⊥，又1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面1A AE ，因此BD ⊥平面1A AE .【小问2详解】平面1AB E 的法向量为()123,,m x x x =，()1110,1,1,1,0,2B A B E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则1231130,10,2m B A x x m B E x x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取11x =，可得()1,2,2m =，又()10,0,1B B = ，则点B 到平面1AB E 的距离为123B B m d m ⋅== .【小问3详解】设平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角为θ，因为平面1111D C B A 的一个法向量为()0,0,1n = ，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，故3sin θ=，所以平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值为3.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”.【答案】（1）10x y +-=（2）a ⎡∈⎣（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.【小问1详解】因为AC BC =，所以ABC 是等腰三角形，由三线合一得：ABC 的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设ABC 的欧拉线为l ，则l 过AB 的中点，且与直线AB 垂直，由()()1,01,2A B -､可得：AB 的中点1102,22D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()200,1,111AB D k -==--，所以1l k =-，故l 的方程为10x y +-=.【小问2详解】因为l 与圆222:(5)M x y r ++=相切，故r ==圆22()2x y a +-=的圆心坐标为()0,a，半径1r =，则要想圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤a ⎡∈⎣.【小问3详解】，所以该式子是表示点(),x y 到点()1,1、点()2,0的距离之和，又10x y +-=，所以上述式子表示直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值.设点()1,1E 关于直线10x y +-=的对称点为(),G s t ，则有11,11110,22t s s t -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得00s t =⎧⎨=⎩，即()0,0G .所以2FG =，所以直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值为2FG =.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P截得的弦长为.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.【答案】（1）224x y +=（2）（3）4【解析】【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为(),P a a -，结合圆与直线2x =相切得到半径，再利用弦长公式求解即可；（2）由（1）可知点P 即为原点，根据条件得到原点O 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式求解即可；（3）根据当1PQ l ⊥时，PQ 最小，此时四边形PMQN 的面积最小进行求解.【详解】（1）设圆P 的圆心为(),P a a -，半径为r ，因为圆P 与直线2x =相切，所以2r a =-.又直线20x y --=被圆P 截得的弦长为，=0,2,a r =⎧⎨=⎩即圆心坐标为()0,0,2r =，所以圆P 的方程为224x y +=.（2）依题意，P 即为坐标原点,2O OC OD ==，且30OCD ∠= ，则点()0,0O 到CD 的距离为1，于1=，解得k =，所以直线l 的斜率为（3）由切线长定理可得QM QN =，又因为PM PN =，所以PMQ PNQ ≅ ，所以四边形PMQN 的面积22PMQ S S PM MQ MQ ==⋅= ，因为||MQ =1QP l ⊥时，QP 取最小值，且min ||QP ==，所以四边形PMQN 的面积的最小值为4S ==.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）设()(),,,A A B x y A x y，根据OA = ，把B 点的坐标用A 点的坐标表示，再代入曲线22:186x y C +=即可得解；（2）设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再结合120k k +=可求出m ，即可得直线l 的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设()(),,,A A B x y A x y ，因为点A 在曲线22:186x y C +=上，所以22186A A x y +=，因为OA =，所以A A x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186A A x y +=可得22(2)(2)186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）知，Γ的右焦点为()1,0F ，令1x =，则21143y +=，解得32y =±，所以31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据题意设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，则121212112233232322,22y y y y k k my my my my ----====，于是由120k k +=得12122323022y y my my --+=，化简得()()121243*y y y y =+，由221,34120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消去x 整理，得()2234690m y my ++-=，()()222Δ(6)363414410m m m =++=+>，由根与系数的关系得12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，代入()*式得：2218363434m m m -=-++，解得2m =，所以直线l 的方程为210x y --=，方法一：()2121239Δ14421720,,416y y y y =+=+=-=-，所以154PQ ===，点M 到直线l的距离355d ==，所以1115359522458MPQ S PQ d ==⨯⨯= .方法二：由题意可知1324MPQ MPF MQF P Q P Q S S S MF x x x x =+=-=- ，210x y --=代入2234120x y +-=消去y ，得242110x x --=，所以()2111Δ(2)44111800,,024P Q P Q x x x x =--⨯⨯-=>+==-<，所以33448MPQ P Q S x x =-=== .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；,x y所满足（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.。
河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
(1)若直线 l 与第二、四象限的角平分线平行，求直线 l 的方程；
(2)若 b > 0 ，直线 l 与圆 M： x2 + ( y - b)2 = 5 相切于点 A，求直线 l 的方程．
18．已知双曲线
C
的实轴长为
4，且与双曲线
y2 2
-
x2 3
= 1有公共的焦点．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)已知 M (0,3) ，P 是 C 上的任意一点，求 PM 的最小值．
2 2
.
故选：D. 7．B 【分析】以最小横截面圆的直径为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据提供数据 可得双曲线方程，进而可得离心率. 【详解】以最小横截面圆的直径为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则可设双曲线的方程为
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a
> 0, b >
0)
，
( ) 则 2a = 10, a = 5 ， A 5 13, y1 , B (10, y2 ), y1 > 0, y2 < 0, y1 - y2 = 45 ，
圆心 M 的轨迹为 C． (1)求 C 的方程；
(2)若过点 F 的直线与 C 交于不同的两点 A，B，且 AB = 36 ，求直线 AB 的方程．
21．已知数列{an} 满足
a1 3
+
a2 5
+L+
an 2n +1
=
n2
．
(1)求{an} 的通项公式．
(2)记 bn
=
an
16 + 4n
+1
，数列{bn} 的前
uuur BA1
河北省保定市高二上学期期中数学试卷
河北省保定市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）(2018·石家庄模拟) 命题：，的否定为________2. （1分） (2016高一下·盐城期中) 直线x﹣y+1=0的倾斜角是________．3. （1分）有下列命题：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；其中是真命题的有：________ ．（把你认为正确命题的序号都填上）4. （1分）如图，已知矩形ABCD，AD=2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△ADE，使得点A'在平面EBCD上的投影在CD上，且直线A'D与平面EBCD所成角为30°，则线段AE的长为________．5. （1分） (2017高一下·牡丹江期末) 圆，，求圆心到直线的距离________．6. （1分） (2015高一上·扶余期末) 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是________．7. （1分） (2017高一上·嘉峪关期末) 自点（﹣3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L 所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为________．8. （1分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________9. （1分）若“m﹣1＜x＜m+1”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________10. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) 直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.11. （1分） (2018高二上·苏州月考) 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：① ②③ ④其中正确命题的序号是________．12. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．13. （1分） (2018高二上·苏州月考) 曲线上存在唯一的点到A（t ， -t+m）、B（-t ， t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，则实数m的取值范围是________．14. （1分） (2016高二上·友谊开学考) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （5分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1 ，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．16. （15分） (2017高一上·西安期末) 如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．17. （5分）已知 p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p”为假命题，“q”为真命题，求实数m的取值范围．18. （10分） (2019高三上·沈阳月考) 在平面直角坐标系xoy中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角 .（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆相交于两点，求的值.19. （5分）(2018·茂名模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为a ，在以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围．20. （10分） (2017高一上·嘉峪关期末) 圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0（m∈R）．（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共50分)15-1、16-1、16-2、16-3、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。
河北省保定市第三中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
由抛物线方程知 ，即 ，
∵ ，∴ ， ，即 ，∴ ，
设 ，则 ，在直角梯形 中， ，即 ，解得 ，
又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，
∴ ．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，抛物线的焦点弦，涉及抛物线的焦点弦 时，可作出 在准线上的射影 ，得 ， ， 轴，利用平行线的性质可求解线段长．
【详解】由题意， ( 为坐标原点)，
所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，
所以 ，即 ，
所以离心率 .
故选：A.
7.如图，已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， 为椭圆 上一点， ，直线 与 轴交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得 ，代入点P的横坐标 可得 ，则有 ，解得 ，即可由此求出离心率.
（1）求图中 的值；
（2）求志愿者知识竞赛的平均成绩；
（3）从受奖励的15人中按成绩利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中，随机抽取2人在主会场服务，求抽取的这2人中其中一人成绩在 分的概率.
【答案】（1） （2）96.8（3）
【解析】
【分析】
(1)由频率分布直方图的性质结合条件即可求解；
（2）已知渐近线方程为 ，可以不考虑焦点所在轴，直接设双曲线方程为 ，代入其他条件求出 即可得．
18.某单位为了了解退休职工的生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查（满分100分），并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数
77
79
81
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河北省保定市高二上学期期中数学试卷(理科)
河北省保定市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）A . ﹣6或﹣2B . ﹣6C . 2或﹣6D . ﹣22. （2分）直线x=3的倾斜角是（）A . 0B .C . πD . 不存在3. （2分）设a，b是两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中的真命题的是（）A . 若a，b与α所成的角相等，则a∥bB . 若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC . 若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bD . 若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b4. （2分）(2018·天津) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2018高二上·綦江期末) 圆与圆的位置关系为（）A . 内切B . 外切C . 相交D . 相离6. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 直线l：（x+1）m+（y﹣1）n=0与圆x2+y2=2的位置关系是（）A . 相切或相交B . 相切或相离C . 相切D . 相离7. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A .B .C .D . -8. （2分）(2019高二下·温州月考) 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A .B .C .D .9. （2分）过点(4,4)引圆(x-1)2+(y-3)2=4的切线，则切线长是A . 2B .C .D .10. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 如图，在正方体AC1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A . 点H是△A1BD的垂心B . AH的延长线经过点C1C . AH垂直平面CB1D1D . 直线AH和BB1所成角为45°11. （2分）直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A .B . 2C . 2D .12. （2分）若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A . πB . 2πC . 3πD . 4π二、二.填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知点P（0，﹣1），Q（0，1），若直线 l：y=mx﹣2 上至少存在三个点 M，使得△PQM 为直角三角形，则实数 m 的取值范围是________14. （1分）某公司有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路km和2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.15. （2分） (2016高二上·金华期中) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________；表面积为________．16. （1分）若直线y=x+m和曲线y= 恰有一个交点，则实数m的取值范围是________．三、三.解答题 (共6题；共55分)17. （5分）分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．18. （5分） (2017高二下·湖州期中) 如图，点B是以AC为直径的圆周上的一点，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，点E为PB中点．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的大小．19. （10分） (2016高一下·黄石期中) 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6 ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=|10+2log3an|，求数列{bn}的前n项和Sn．20. （10分） (2019高一下·宿迁期末) 如图，已知圆与轴交于两点（在的上方），直线．（1）当时，求直线被圆截得的弦长；（2）若，点为直线上一动点（不在轴上），直线的斜率分别为，直线与圆的另一交点分别．①问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；②证明：直线经过定点，并求出定点坐标．21. （10分） (2016高二上·桂林开学考) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC中点，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为．（1）当EH与平面PAD所成角的正切值为时，求证：EH∥平面PAB；（2）在（1）的条件下，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．22. （15分） (2017高一下·廊坊期末) 已知圆C：（x+2）2+y2=5，直线l：mx﹣y+1+2m=0，m∈R．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷
河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·中山期末) 已知命题p：∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0，那么命题¬p为（）A . ∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0B . ∃x∈R，x2﹣x﹣2＜0C . ∀x∈R，x2﹣x﹣2≤0D . ∀x∈R，x2﹣x﹣2＜02. （2分）设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A ，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若（），且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·浙江期末) 若为实数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A . （x≠0）B . （x≠0）C . （x≠0）D . （x≠0）5. （2分） (2016高一下·天津期末) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A . 9.4，0.484B . 9.4，0.016C . 9.5，0.04D . 9.5，0.0166. （2分） (2019高一下·蛟河月考) 如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（）A . n≤5?B . n≤6?C . n≤7?D . n≤8?7. （2分） (2015高三下·湖北期中) 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·重庆期末) 已知点，点的坐标满足，则的最小值为（）A .B . 0C .D . －89. （2分） (2017高二下·临川期末) 已知变量x ， y具有线性相关关系，测得（x ， y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为，则的值是（）A . 1B . 0.9C . 0.8D . 0.710. （2分） (2017高二上·石家庄期末) 抛物线y= 的焦点坐标是（）A . （，0）B . （0，）C . （0，1）D . （1，0）11. （2分）(2017·枣庄模拟) 若双曲线的一条渐近线的倾斜角是直线l：x﹣2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·朝阳模拟) 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·天津期末) 某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取________人．14. （1分） (2017高二上·泰州月考) 双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为________ ．16. （1分） (2019高二上·阜阳月考) 已知为椭圆的下焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则当的值最大时点的坐标为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二上·六安月考) 已知命题p：和命题q：方程有两个不等的负实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围.18. （10分） (2019高二上·保定月考) 参加某高中十佳校园主持人比赛的甲、乙选手得分的茎叶统计图如图所示.（1）比较甲、乙两位选手的平均数；（2）分别计算甲、乙两位选手的方差，并判断成绩更稳定的是哪位.19. （10分） (2019·赣州模拟) 已知抛物线：的焦点为，点在上且其横坐标为1，以为圆心、为半径的圆与的准线相切.（1）求的值；（2）过点的直线与交于，两点，以、为邻边作平行四边形，若点关于的对称点在上，求的方程.20. （10分）设椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，点P在椭圆上，△PF1F2的周长为16，直线2x+y=4经过椭圆上的顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆同时被直线l1：10x﹣5y﹣21=0与l2：10x﹣15y﹣33=0平分，求直线l的方程．21. （10分） (2018高二上·东台月考) 一根直木棍长为6m，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2m的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2m的概率．22. （10分） (2018高二上·寻乌期末) 在圆上任取一点，点在轴的正射影为点，当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）点在曲线上，过点的直线交曲线于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2023-2024学年河北省保定市唐县一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省保定市唐县一中高二（上）期中数学试卷一、单选题1．已知数列{a n }的前4项分别为−1+122，2−342，−3+562，4−782，则该数列的一个通项公式为（ ） A ．a n =(−1)n n +(−1)n2n−14n 2 B ．a n =(−1)n n −(−1)n2n+14n 2C ．a n =(−1)n n −(−1)n−12n−12n 2D ．a n =(−1)n n +(−1)n−12n−14n 22．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM →=2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于（ ）A ．12a →−23b →+12c → B ．−23a →+12b →+12c → C ．12a →+12b →−23c →D ．23a →+23b →−12c →3．设等比数列{a n }的前n 项和是S n ．已知S 3＝30，S 6＝120，则S 9S 3=（ ） A ．13B ．12C ．6D ．34．已知直线l 1：2x ﹣ay +1＝0和l 2：（a ﹣1）x ﹣y +a ＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．15．按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（ ） A ．2023年11月12日 B ．2023年11月13日 C ．2023年11月14日D ．2023年11月15日6．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则点B 1到平面D 1BC 的距离为（ ）A ．3√55B ．2√55C ．√52D ．√57．正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列）则上起第2015行，左起第2016列的数应为（ ）A ．20152B ．20162C ．2015+2016D ．2015×20168．已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝12x 上三个动点，且△ABC 的重心为抛物线的焦点F ，若B ，C 两点均在x 轴上方，则BC 的斜率恒有k BC ＞m ，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．196二、多选题9．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）A ．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →+2b →，a →−b →，c →}也是空间的一个基底B ．已知a →=(−1，0，2)，b →=(1，2，3)，若(λa →+b →)⊥(2a →−b →)，则λ=45C ．任意向量a →，b →，c →满足(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(c →⋅b →)D ．若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →=12OA →+13OB →+16OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面10．已知曲线C ：mx 2+ny 2＝1（ ）A ．若n ＞m ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为1nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−m nx D ．若n ＝0，m ＞0，则C 是两条直线 11．下列结论正确的是（ ）A ．直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直是a ＝﹣1的必要不充分条件B ．已知直线l 过定点P （1，0）且与以A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2）为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[12，+∞）C ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0D ．已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2外一点，直线m 的方程是ax +by ＝r 2，则m 与圆相交12．已知圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4与直线l ：2kx +y ﹣k ﹣2＝0相交于C ，D 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点T(12，2) B ．若CD ⊥OM ，则k =12C ．|CD |的最小值为2√2D ．△MCD 的面积的最大值为2三、填空题13．已知空间向量a →=(1，0，1)，b →=(2，2，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量的坐标是 ． 14．已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n +1，则数列{a n }的通项公式为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的左支上，|PF 2→|=3a ，|PF 1→+PF 2→|=2b ，则C 的离心率为 ．16．已知⊙O 1：x 2+(y −2)2=1，⊙O 2：(x −3)2+(y −6)2=9，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是M ，N ，当|PM |+|PN |取到最小值时，点P 坐标为 ． 四、解答题17．（10分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，边AC 上的高BH 所在直线过点（1，﹣2），且直线BH 的一个方向向量为（﹣2，﹣1）． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．18．（12分）已知△ABC 三个顶点坐标分别为：A （1，0），B （1，4），C （3，2），直线l 经过点（0，4）． （1）求△ABC 外接圆⊙M 的方程；（2）若直线l 与⊙M 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝2√3，求直线l 的方程．19．（12分）动点M 与定点F(√3，0)的距离和它到定直线l ：x =√33的距离比是常数√3，动点M 的轨与经过点（2，0）且倾斜角为π4的直线交于D 、E 两点．（1）求动点M 的轨迹方程； （2）求线段DE 的长．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，3S n +1+a n ＝3S n +5a n +1． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{na n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜2．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，PB ＝AC ＝AD ＝2，P A ＝3BC ＝3． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBC ．（2）若AD ⊥AB ，求平面PBC 与平面P AD 夹角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ，0＜b ＜2）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，PF 2⊥F 1F 2.若△PF 1F 2的周长为6，面积为32（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，过（12，0）直线与椭圆交于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．2023-2024学年河北省保定市唐县一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知数列{a n }的前4项分别为−1+122，2−342，−3+562，4−782，则该数列的一个通项公式为（ ） A ．a n =(−1)n n +(−1)n2n−14n 2 B ．a n =(−1)n n −(−1)n2n+14n 2C ．a n =(−1)n n −(−1)n−12n−12n 2D ．a n =(−1)n n +(−1)n−12n−14n 2解：根据题意，数列{a n }的前4项分别为−1+122，2−342，−3+562，4−782， 观察可知，该数列的一个通项公式为a n =(−1)n n +(−1)n−12n−1(2n)2=(−1)n n +(−1)n−12n−14n 2． 故选：D ．2．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM →=2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于（ ）A ．12a →−23b →+12c → B ．−23a →+12b →+12c → C ．12a →+12b →−23c →D ．23a →+23b →−12c →解：MN →=ON →−OM →=12(OB →+OC →)−23OA →=−23a →+12b →+12c →，故选：B ．3．设等比数列{a n }的前n 项和是S n ．已知S 3＝30，S 6＝120，则S 9S 3=（ ） A ．13B ．12C ．6D ．3解：因为数列{a n }是等比数列，所以S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6也是等比数列， 所以（S 6﹣S 3）2＝S 3（S 9﹣S 6），即（120﹣30）2＝30（S 9﹣120），解得S 9＝390， 所以S 9S 3=39030=13．故选：A ．4．已知直线l 1：2x ﹣ay +1＝0和l 2：（a ﹣1）x ﹣y +a ＝0平行，则实数a ＝（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1解：当l 1：2x ﹣ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣y +a ＝0不相交时，2×（﹣1）＝（﹣a ）×（a ﹣1）， 解得a ＝﹣1或a ＝2，当a ＝﹣1时，l 1：2x +y +1＝0，l 2：﹣2x ﹣y ﹣1＝0，即2x +y +1＝0，此时两直线重合，不符合题意， 当a ＝2时，l 1：2x ﹣2y +1＝0，l 2：x ﹣y +2＝0，两直线平行，符合题意． 故选：B ．5．按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（ ） A ．2023年11月12日 B ．2023年11月13日 C ．2023年11月14日D ．2023年11月15日解：根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天，他每天阅读《巴黎圣母院》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60，公差为﹣2， 则由60n +n(n−1)2×(−2)≤820，且60﹣2n ≥0，得n ≤20， 所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日． 故选：C ．6．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则点B 1到平面D 1BC 的距离为（ ）A ．3√55B ．2√55C ．√52D ．√5解：连接B 1C 、B 1D 1，设点B 1到平面D 1BC 的距离为d ， ∵V B 1−D 1BC =V D 1−B 1BC ， ∴13d •S △D 1BC =13•A 1B 1•S △B 1BC ，即d •12•D 1C •BC ＝A 1B 1•12•B 1B •BC ，∴d •√22+12=2•1，解得d =2√55， ∴点B 1到平面D 1BC 的距离为2√55．故选：B ．7．正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列）则上起第2015行，左起第2016列的数应为（ ）A ．20152B ．20162C ．2015+2016D ．2015×2016解：这些数字排成的是一个正方形上起第2015行，左起第2016列的数是一个2016乘以2016的正方形的倒数第二行的最后一个数字， 所以这个数是2016×（2016﹣1）＝2015×2016． 故选：D ．8．已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝12x 上三个动点，且△ABC 的重心为抛物线的焦点F ，若B ，C 两点均在x 轴上方，则BC 的斜率恒有k BC ＞m ，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．196解：依题意，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），由B ，C 在x 轴上方，故y 2，y 3＞0， ∵抛物线为y 2＝12x ，所以F （3，0），则y 22=12x 2，y 32=12x 3，∴（y 2﹣y 3）（y 2+y 3）＝12（x 2﹣x 3），则k BC =y 2−y3x 2−x 3=12y 2+y 3，注意到x 1+x 2+x 3＝9，故y 12+y 22+y 3212=9，即y 12+y 22+y 32=108，又y 1＝﹣（y 2+y 3），代入可得y 22+y 32+y 2y 3=54，故(y 2+y 3)2=54+y 2y 3≤54+(y 2+y 3)24，即34(y 2+y 3)2≤54，解得y 2+y 3≤6√2， 当且仅当y 2=y 3=3√2时，等号成立，而y 2≠y 3，故等号不成立， 因而k BC =12y 2+y 3126√2=√2，故m ≤√2，则m 的最大值为√2．二、多选题9．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）A ．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →+2b →，a →−b →，c →}也是空间的一个基底B ．已知a →=(−1，0，2)，b →=(1，2，3)，若(λa →+b →)⊥(2a →−b →)，则λ=45C ．任意向量a →，b →，c →满足(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(c →⋅b →)D ．若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →=12OA →+13OB →+16OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面 解：对于A ，因为{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则a →，b →，c →不共面，若a →+2b →，a →−b →，c →共面， 则存在实数x ，y ，使得a →+2b →=x(a →−b)+yc →，故(1−x)a →+(2+x)b →−yc →=0， 由于a →，b →，c →不共面，所以{1−x =0，2+x =0y =0，所以x ，y 无解，故a →+2b →，a →−b →，c →不共面，所以{a →+2b →，a →−b →，c →}也可以作为空间的一个基底，故A 正确；对于C ，因为向量a →，c →不一定是共线向量，因此(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(c →⋅b →)不一定成立，故C 错误； 对于B ，因为a →=(−1，0，2)，b →=(1，2，3)，所以λa →+b →=λ(−1，0，2)+(1，2，3)=(1−λ，2，2λ+3)，2a →−b →=2(−1，0，2)−(1，2，3)=(−3，−2，1)，又(λa →+b →)⊥(2a →−b →)，所以(λa →+b →)⋅(2a →−b →)=−3(1−λ)−4+2λ+3=0，解得λ=45，故B 正确；对于D ，因为OD →=12OA →+13OB →+16OC →，所以12OD →−12OA →=13OB →−13OD →+16OC →−16OD →，即DA →=−23DB →−13DC →，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故D 正确．10．已知曲线C ：mx 2+ny 2＝1（ ）A ．若n ＞m ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为1nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−m nx D ．若n ＝0，m ＞0，则C 是两条直线 解：对于A ，若n ＞m ＞0，则1m＞1n＞0，则mx 2+ny 2＝1即为x 21m+y 21n=1，故x 21m+y 21n=1表示焦点在x 轴上的椭圆，A 错误；对于B ，若m ＝n ＞0，则mx 2+ny 2＝1即为x 2+y 2=1n， 故C 是圆，其半径为√n，B 错误；对于C ，若mn ＜0，则不妨设m ＞0，n ＜0，则mx 2+ny 2＝1即为x 21m−y 2−1n=1，曲线C 此时表示焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =√−1n √1m=±√−mn x ，当m ＜0，n ＞0，则mx 2+ny 2＝1即为−x 2−1m+y 21n=1，曲线C 此时表示焦点在y 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =√1n √−1m=±√−mn x ，综上，若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mnx ，C 正确； 对于D ，若n ＝0，m ＞0，则mx 2+ny 2＝1，即为x 2=1m ，即x =±√1m， 则C 是两条直线，D 正确． 故选：CD ．11．下列结论正确的是（ ）A ．直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直是a ＝﹣1的必要不充分条件B ．已知直线l 过定点P （1，0）且与以A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2）为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[12，+∞）C ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0D ．已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2外一点，直线m 的方程是ax +by ＝r 2，则m 与圆相交解：对于A ；由直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直， ∴a 2×1+（﹣1）×（﹣a ）＝0，化为a 2+a ＝0．解得a ＝0或﹣1．∴“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充分但不必要条件．故A 正确； 对于B ：如图，k P A =−3−02−1 ＝﹣3，k PB =−2−0−3−1=12． ∵直线l 与连接A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2）的线段有公共点， ∴直线l 的斜率k 满足k ≤﹣3或k ≥12，故B 正确；对于C ：经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为：xa +y a=1，或y ＝kx ，将（1，1）代入得x +y ﹣2＝0，或y ＝x ，故③错误；对于D ：因为点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2外一点，所以a 2+b 2＞r 2，所以圆心到直线m 的距离d =r 2√a 2+b ＜|r |，可得m 与圆相交，故D 正确；故选：ABD ．12．已知圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4与直线l ：2kx +y ﹣k ﹣2＝0相交于C ，D 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点T(12，2) B ．若CD ⊥OM ，则k =12C ．|CD |的最小值为2√2D ．△MCD 的面积的最大值为2解：对于选项A ：将直线l ：2kx +y ﹣k ﹣2＝0整理为：（2x ﹣1）k +y ﹣2＝0，令{2x −1=0y −2=0，解得{x =12y =2，即直线l 过定点T(12，2)，故选项A 正确； 对于选项B ：由题意知，M （2，2），则直线OM 的斜率为2−02−0=1，若CD ⊥OM ，则直线CD 即直线l 的斜率为﹣2k ＝﹣1，解得：k =12，故选项B 正确；对于选项C ：因为直线l 过定点T(12，2)，所以当直线l 与MT 垂直时，|CD |取得最小值， 此时|CD|min =2√r 2−|MT|2=2√4−(2−12)2=√7，故选项C 错误；对于选项D ：设点M 到直线CD 的距离为d ， 则S △MCD=12|CD|⋅d =12×2√r 2−d 2⋅d =√(4−d 2)d 2≤4−d 2+d 22=2， 当且仅当4﹣d 2＝d 2，即d =√2时，等号成立， 故△MCD 的面积的最大值为2，故选项D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．已知空间向量a →=(1，0，1)，b →=(2，2，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量的坐标是 (23，23，13) ． 向量a →在向量b →上的投影向量为：a →⋅b→|b →|2⋅b →=2222⋅b →=39⋅b →=13(2，2，1)=(23，23，13)．故答案为：(23，23，13)14．已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n +1，则数列{a n }的通项公式为 a n ={12，n =16n +5，n ≥2 ．解：由数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2+8n +1，当n ≥2时，可得a n =S n −S n−1=3n 2+8n +1−[3(n −1)2+8(n −1)+1]=6n +5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12，所以数列{a n }的通项公式为a n ={12，n =16n +5，n ≥2．故答案为：a n ={12，n =16n +5，n ≥2．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的左支上，|PF 2→|=3a ，|PF 1→+PF 2→|=2b ，则C 的离心率为 √3 ．解：依题意，设双曲线C 的半焦距为c ，则|F 1F 2|＝2c ，|F 1O |＝c ，因为O 是F 1F 2的中点，所以PF 1→+PF 2→=2PO →，故由|PF 1→+PF 2→|=2b 得|PO →|=b ， 因为|PF 2→|−|PF 1→|=2a ，|PF 2→|=3a ，所以|PF 1→|=a ，在△PF 1F 2中，cos ∠PF 1F 2=|PF 1|2+|F 1F 2|2−|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|=a 2+4c 2−9a 22a×2c =c 2−2a 2ac，在△PF 1O 中，cos ∠PF 1O =|PF 1|2+|F 1O|2−|PO|22|PF 1||F 1O|=a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−(c 2−a 2)2ac =ac，所以c 2−2a 2ac=a c，则ca=√3，即双曲线C 的离心率为√3．故答案为：√3．16．已知⊙O 1：x 2+(y −2)2=1，⊙O 2：(x −3)2+(y −6)2=9，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是M ，N ，当|PM |+|PN |取到最小值时，点P 坐标为 (34，0) ． 解：⊙O 1：x 2+(y −2)2=1的圆心为O 1（0，2），半径r 1＝1， ⊙O 2：(x −3)2+(y −6)2=9的圆心为O 2（3，6），半径r 2＝3， 设P （t ，0），则|PM|=√|PO 1|2−1=√t 2+4−1=√t 2+3， |PN|=√|PO 2|2−32=√(t −3)2+62−9=√(t −3)2+27， 所以|PM |+|PN |=√3+t 2+√27+(t −3)2=√(t −0)2+[0−(−√3)]2+√(t −3)2+(0−3√3)2， 取A(0，−√3)，B(3，3√3)，则|PM|+|PN|=|PA|+|PB|≥|AB|=√32+(4√3)2=√57， 当P ，A ，B 三点共线时取等号， 此时AB 直线：y +√3=4√33(x −0)， 令y ＝0，则x =34， ∴P(34，0)． 故答案为：(34，0)．四、解答题17．（10分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，边AC 上的高BH 所在直线过点（1，﹣2），且直线BH 的一个方向向量为（﹣2，﹣1）． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．解：（1）由直线BH 的方向向量可得直线BH 的斜率，即k BH =12，由AC ⊥BH ，则k AC ＝﹣2， 直线AC 的方程为y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0， 则{2x +y −11=02x −y −5=0，得顶点C 的坐标为（4，3）； （2）设点B （x ，y ），则AB 的中点M(x+52，y+12)，M 在CM 上， 即2×x+52−y+12−5=0，即2x ﹣y ﹣1＝0， BH 的方程为y +2=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣5＝0， 则{2x −y −1=0x −2y −5=0，得B 的坐标为（﹣1，﹣3）， 又C （4，3），所以直线BC 的方程为6x ﹣5y ﹣9＝0．18．（12分）已知△ABC 三个顶点坐标分别为：A （1，0），B （1，4），C （3，2），直线l 经过点（0，4）． （1）求△ABC 外接圆⊙M 的方程；（2）若直线l 与⊙M 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝2√3，求直线l 的方程． 解：（1）解法1：设⊙M 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，…（2分） 则由题意得{1+D +F =017+D +4E +F =013+3D +2E +F =0，解得{D =−2E =−4F =1，…（6分），∴⊙M 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0，或（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4…（8分） 解法2：∵A （1，0），B （1，4）的横坐标相同，故可设M （m ，2），…（3分）由MA 2＝MC 2得（m ﹣1）2+4＝（m ﹣3）2，解得m ＝1…（6分）∴⊙M 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，或x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0…（8分） 解法3：∵A （1，0），B （1，4），C （3，2），∴CA →=(2，2)，CB →=(2，−2)， ∴CA →⋅CB →=0，|CA →|=|CB →|，则△ACB 是等腰直角三角形， 因而△ACB 圆心为（1，2），半径为2，…（6分） ∴⊙M 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4…（8分）（2）当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为x ＝0，它截⊙M 得弦长恰为2√3⋯（9分） 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx +4…（10分） ∵圆心到直线y ＝kx +4的距离d =|k+2|√k +1（11分）由勾股定理得(|k+2|√k +1)2+(2√32)2=4，解得k =−34⋯（14分） 故直线l 的方程为x ＝0或3x +4y ﹣16＝0…（15分）19．（12分）动点M 与定点F(√3，0)的距离和它到定直线l ：x =√33的距离比是常数√3，动点M 的轨与经过点（2，0）且倾斜角为π4的直线交于D 、E 两点．（1）求动点M 的轨迹方程； （2）求线段DE 的长．解：（1）设M （x ，y ），由已知得√(x−√3)2+y 2|x−√33|=√3，即√3)22(x−√33)=3，即(x −√3)2+y 2＝3(x −√33)2，即2x 2﹣y 2＝2．整理得x 2−y 22=1，即动点M 的轨迹方程为x 2−y 22=1．（2）由已知条件得直线方程为y ＝x ﹣2，由x 2−y 22=1与y ＝x ﹣2联立，消y 得x 2+4x ﹣6＝0． ∵Δ＝16+24＝40＞0，∴直线与双曲线有两个交点， 设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝﹣6，所以|DE |=√1+12•|x 1﹣x 2|=√2•√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√2•√16+24=4√5． 故线段DE 的长为4√5．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，3S n +1+a n ＝3S n +5a n +1． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{na n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜2． 解：（1）由题意得3S n +1﹣3S n +a n ＝3a n +1+a n ＝5a n +1，得a n+1a n=12，则{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为a n =12⋅(12)n−1=(12)n ． （2）证明：由题意得T n =12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n ⋅(12)n ， 12T n =(12)2+2⋅(12)3+3⋅(12)4+⋯+n ⋅(12)n+1，两式相减，得12T n =12+(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)n−n ⋅(12)n+1=12[1−(12)n ]1−12−n ⋅(12)n+1=1−(12)n −n ⋅(12)n+1， 所以T n =2−(n +2)(12)n ， 因为(n +2)(12)n ＞0，所以T n ＜2．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，PB ＝AC ＝AD ＝2，P A ＝3BC ＝3． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBC ．（2）若AD ⊥AB ，求平面PBC 与平面P AD 夹角的余弦值．解：（1）证明：因为PB ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ， 所以PB ⊥AB ，在Rt △P AB 中，可求得AB =√32−22=√5． 在△ABC 中，因为BC ＝1，AC ＝2， 所以AC 2+BC 2＝5＝AB 2，所以AC ⊥BC ，又PB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PB ， 又PB ∩BC ＝B ，PB ，BC ⊂平面PBC ， 所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面PBC ；（2）因为AB ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，所以分别以AD →，BA →，BP →的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建系如图，则P(0，−√5，2)，C(2√55，−4√55，0)，D(2，0，0)，AD →=(2，0，0)，AP →=(0，−√5，2)． 由（1）知AC ⊥平面PBC ， 所以AC →=(2√55，−4√55，0)为平面PBC 的一个法向量． 设平面P AD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AD →=2x =0n →⋅AP →=−√5y +2z =0，取n →=(0，2，√5)， 设平面PBC 与平面P AD 的夹角为θ，则cosθ=|cos〈n →，AC →〉|=|n →⋅AC→|n →||AC →||=4√515． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ，0＜b ＜2）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，PF 2⊥F 1F 2.若△PF 1F 2的周长为6，面积为32（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，过（12，0）直线与椭圆交于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．（1）解：因为点P 在椭圆上，PF 2⊥F 1F 2.若△PF 1F 2的周长为6，面积为32， 则有{2a +2c =612⋅2c ⋅b 2a =32，结合a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；（2）证明：设直线MN 的方程为x ＝my +12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），又A （﹣2，0），B （2，0），联立方程组{x =my +12x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+3my −454=0，由x 224+y 223=1，可得x 2−2y 2=−43y 2x 2+2，所以k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2−2y 2=−43y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=−43y 1y 2(my 1+52)(my 2+52)=−43⋅y 1y 2m 2y 1y 2+52m(y 1+y 2)+254=−43⋅−4543m 2+4m 2⋅−4543m 2+4+52m⋅−3m 3m 2+4+254=15−454m 2−152m 2+754m 2+25=35为定值， 故k 1k 2为定值．。
2021-2022学年河北省保定市部分学校高二上学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省保定市部分学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，则下列不是数列{}n a 的项的是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】A【分析】根据数列的通项公式，判断是否存在N n *∈使得12n n a +=成立，可得答案.【详解】由于数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，故令122n n a +==，则0n = ，与N n *∈ 不符，故2不是数列{}n a 的项；令124,1n n +==，令128,2n n +==，令1216,3n n +==， 即4，8，16是数列{}n a 的项， 故选:A2．双曲线22124y x -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±【答案】D【分析】由标准方程及渐进性的定义可得.【详解】双曲线22124y x -=的渐近线方程为2y x =±．故选：D.3．数列{}n a 满足1711,2n na a a +=-=，则1a =（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】D【分析】根据数列的递推公式，由72a =逐步向前求出1a 即可. 【详解】解：因为1711,2n na a a +=-=， 所以7611a a =-，则65111a a =-=-，则541112a a ==-，则43121a a ==-， 则32111a a =-=-， 则211112a a ==-， 所以12a =. 故选：D.4．已知直线1:21l y x =+，直线2:4270l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为（ ） ABCD【答案】A【分析】直接利用两平行线减的距离公式即可求解.【详解】直线1l 的方程可化为4220x y -+=，则直线1l 与2l之间的距离d =故选：A5．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若378a a +=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．72【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】解：()()19379999836222a a a a S ++⨯====. 故选：B.6．若{},,a b c 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A ．a b +，a b -，b B ．a b -，a b c -+，c - C ．2a b +，2a b -，a c + D ．2a b -，42b a -，a c +【答案】C【分析】根据空间向量基本定理和空间向量的基底，直接判断. 【详解】选项A ：()2a b a b b +=-+，所以a b +，a b -，b 共面； 选项B ：()a b a b c c -=-+-，所以a b -，a b c -+，c -共面；选项C ：a c +不能用2a b +，2a b -表示，所以2a b +，2a b -，a c +不共面；选项D ：2a b -，42b a -共线，则2a b -，42b a -，a c +共面． 故选：C7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线右支上的一点，且12PF F △的周长为2242a a b ++，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞【答案】A【分析】根据三角形周长及椭圆的定义求出12PF PF 、，然后利用三角形两边之差小于第三边，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围.【详解】设双曲线C 的焦距为2c ，222122F F c a b c ∴=+=，.P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，122PF PF a ∴-=，12PF F △的周长为2242a a b ++22121242PF PF F F a a b ∴++=++12242PF PF c a c ∴++=+，124PF PF a ∴+=，121224PF PF a PF PF a ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩，123PF aPF a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，12121221PF PF F F F F PF PF ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩,3223a a c c a a -<⎧∴⎨-<⎩，2a c c a <⎧∴⎨<⎩，12e ∴<<, ∴双曲线C 的离心率的取值范围为()1,2.故选：A8．已知数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11-，公差为2的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当n S 取得最小值时，n =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据等差数列的通项求出数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得数列{}n a 的通项，再令0n a ≤，求得n ，即可得解.【详解】解：因为数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11-，公差为2的等差数列，所以213n nn a =-，所以213n na n =-，令0213n n a n =≤-，则132n ≤，又*N n ∈，所以当n S 取得最小值时，6n =. 故选：B. 二、多选题9．已知(1,1,1)a =-是直线1l 的一个方向向量，(2,2,2)b =-是直线2l 的一个方向向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．(2,2,2)a b ⋅=-- B ．12//l lC ．12l l ⊥D ．直线1l ，2l 夹角的余弦值为13【答案】ABC【分析】根据向量的坐标运算和向量的位置关系，及夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量(1,1,1)a =-是直线1l 的一个方向向量，(2,2,2)b =-是直线2l 的一个方向向量，由(1,1,1)(2,2,2)12(1)21(2)2a b =-⋅-=⨯+-⨯+⨯--⋅=，所以A 不正确；设λa b ，可得(1,1,1)(2,2,2)λ-=-，此时121212λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，此时方程组无解，所以B 不正确；由2a b ⋅=-，所以1l 与2l 不垂直，所以C 不正确；由2a b ⋅=-，可得1|cos ,|3a b 〈〉==，所以D 正确.故选：ABC ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则（ ）A．a B ．2a b =C ．直线l 的斜率为1D ．直线l 的斜率为4【答案】AC【分析】根据椭圆离心率的定义可得a ；利用点差法可得2121221212y y x x b k x x y y a -+==-⋅-+，结合中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题意可得c e a ==a =．设()11A x y ，，()22B x y ，，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+， 则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+． 故选：AC11．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 作直线l 与x 轴垂直，且交C 于A ，B 两点，若三角形OAB 的外接圆与x 轴的一个交点坐标为(5,0)D ，则（ ） A ．1p = B ．2p =C ．四边形OADB 的面积为5D ．四边形OADB 的面积为10 【答案】BD【分析】由抛物线方程求得,A B 两点坐标，由对称性知圆心在x 轴，2OAD π∠=，用直角三角形中的射影定理求得p ，再求出四边形面积后可得正确选项． 【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AB 与x 轴垂直，所以A ，B 的横坐标均为2p，代入抛物线方程求得其纵坐标为p ±，不妨设,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合三角形OAB 的对称性可知，2OAD π∠=，所以2||||||AF OF DF =，则2522p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2p =．四边形OADB 的面积为11||||451022AB OD =⨯⨯=．故选：BD ．12．已知(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆22:68210C x y x y ++-+=上存在点P ，使得222||||4PA PB m +=，则m 的值可能为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】BCD【分析】设点(,)P x y 由222||||4PA PB m +=，即可得到222x y m +=，再将圆C 配成标准式，求出圆心坐标，再根据两圆的位置关系得到不等式，解得即可；【详解】解：设点(,)P x y ，由222||||4PA PB m +=，所以22222()()4x m y x m y m +++-+=， 则222x y m +=，即点P 是以(0,0)为圆心，m 为半径的圆上一点．圆22:68210C x y x y ++-+=，可化为22(3)(4)4x y ++-=，因为P 是圆C 上一点，所以|2|2m m -≤+，解得3m 7≤≤． 故选：BCD 三、填空题13．抛物线2(0)x ay a =>上的点(,1)M m 到其准线l 的距离为2，则=a ______． 【答案】4【分析】根据给定抛物线求出其准线方程即可列式计算作答.【详解】抛物线2(0)x ay a =>准线l 的方程为4ay =-，因为点(,1)M m 到准线l 的距离为2， 于是得124a+=，解得4a =， 所以4a =. 故答案为：414．过点(2,1)且与圆22210x x y -+-=相切的直线方程为______． 【答案】30x y +-=【分析】先求得圆的圆心和半径，再根据点(2,1)在圆22210x x y -+-=上求解.【详解】22210x x y -+-=可化为22(1)2x y -+=，其圆心为(1,0) 因为点(2,1)在圆22210x x y -+-=上， 所以切线的斜率k 满足10121k -⋅=--，解得1k =-， 则切线方程为11(2)y x -=--，即30x y +-=． 故答案为：30x y +-=15．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，若()200N m c m +<∈，则m 的最大值为__________． 【答案】14【分析】由题意可得到数列{}n a 与{}n b 的通项公式，进而得到数列{}n c 的通项公式，然后由()200N m c m +<∈求得答案.【详解】由题意，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列{}n a ， 首项为2，公差为3，则23(1)31n a n n =+-=- ，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列{}n b ， 首项为2，公差为5，,则25(1)53n b n n =+-=-，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列，组成首项为2，公差为15的等差数列{}n c ，则215(1)1513n c n n =+-=- ， 故由()200N m c m +<∈，令711513200,5m m -<< ， 由于N m +∈，故m 的最大值为14， 故答案为：1416．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，AB =AC =ABD △沿AD 翻折到AB D '的位置，使得四面体AB CD '为鳖臑，若G 为AB C '的重心，则直线DG 与平面AB C '所成角的正弦值为______．【答案】63【分析】根据题意可∠ADB′，∠ADC ，∠DB′C ，∠AB′C 为直角，求出四面体的棱长，然后在长方体中作出四面体ADB′C ，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.【详解】在直角ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，6AC =， 则3BC =，2AD =，1BD =，2CD =，即在四面体AB CD '中，2AD =，1B D '=，2CD =，3AB '=，6AC =，则B D CD '<．要使四面体AB CD '为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要B C '⊥平面ADB '， 此时ADB '∠，ADC ∠，DB C '∠，AB C ∠'为直角，满足四面体AB CD '为鳖臑， 则223B C CD B D ''=-=．312的长方体中作出四面体AB CD '， 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(002)A ，，3C ，，，(100)B '，，， 2323G ⎛ ⎝⎭，，，(102)AB '=，，，(03CB '=，，，2323DG ⎛= ⎝⎭，，． 设()m x y z =，，为平面AB C '的一个法向量，则2030m AB x z m CB ⎧⋅==⎪⎨⋅''=-=⎪⎩，令1z =，则2x 0y =，所以(201)m =，，．又2cos 3m DG m DG m DG⋅===〈，〉，所以直线DG 与平面AB C '所成角的正弦值为四、解答题17．已知数列{}n a 满足()()111,121n n a na n a n n +==+++，设nn a b n=． (1)判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由； (2)若n a 是数列{}n c 的前n 项和，求{}n c 的通项公式． 【答案】(1)数列{}n b 是等差数列,理由见解析 (2)43n c n =-【分析】（1）根据条件可得121n na a n n+-=+，即12n nb b ，即可作出判断；（2）利用（1）的结论，可求得n a 的表达式，继而利用1n n n c a a -=-求得答案. 【详解】(1)由()()111,121n n a na n a n n +==+++可得：121n na a n n+-=+ ， 故由nn a b n=可知，12n nb b ，故数列{}n b 为等差数列；(2)由（1）知，数列{}n b 为首项1111a b == ，公差为2的等差数列， 故12(1)21n b n n =+-=- ，即221,2nn a n a n n n=-=-， 由于n a 是数列{}n c 的前n 项和，故111c a ==，当2n ≥ 时，2212[2(1)(1)]43n n n c a a n n n n n -=-=-----=- ，11c = 适合上式，故43n c n =- .18．在①双曲线E 的焦点在x 轴上，②双曲线E 的焦点在y 轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点(A ，()1,3B ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线E 与双曲线C 的渐近线相同，______，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长．注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)22162y x -=(2)答案不唯一，具体见解析【分析】(1)设双曲线C 的方程为221mx ny +=，将点A 、B 的坐标代入计算即可； (2)由(1)可得双曲线C 的渐近线方程，若选①则设双曲线E 的标准方程为22221()00a x y a b b >-=>，，进而可得a 、b 、c 的关系式，计算即可；若选②则设双曲线E 的标准方程为22221(00)y x a b a b-=>>，，同理计算即可.【详解】(1)设双曲线C 的方程为221mx ny +=， 则6191n m n =⎧⎨+=⎩，解得1216m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22162y x -=；(2)双曲线C的渐近线方程为y =．选①，设双曲线E 的标准方程为22221()00a x y a bb >-=>，，所以22224ba c c ab ⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，b =所以双曲线E 的实轴长为2．选②，设双曲线E 的标准方程为22221(00)y x a b a b-=>>，所以22224ab c c a b ⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =1b =，所以双曲线E的实轴长为19．在数列{}n a 中，116,26n n a a a n +=--=-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知数列nn a b n=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求13T ．【答案】(1)27n a n n =-(2)42【分析】（1）根据条件利用累加法可求得答案；（2）写出7n n a b n n ==-，可得|7|n b n =-，继而求得答案. 【详解】(1)由题意116,26n n a a a n +=--=-得;121321()()()642(28)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=----+-2(214)72n n n n -==- , 即27n a n n =- ；(2)7n n a b n n==-，故|7|n b n =-, 故136765432101234562422T ⨯=++++++++++++=⨯=. 20．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，CF SD ⊥，210SC =，且//AD BC ，25SE ED ==，:5:3DF FA =，且4SA AB ==．(1)证明：平面SCD ⊥平面EFC ．(2)求二面角F EC B --的正弦值【答案】(1)证明见解析419 【分析】（1）由SA ⊥平面ABCD ，得到SA AD ⊥，结合题意得到FED SAD △∽△，得到SD EF ⊥，证得SD ⊥平面EFC ，即可证得平面SCD ⊥平面EFC ．（2）根据题意证得FC ⊥平面SAD ，以AD ，AM ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得平面BCE 和平面EFC 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：因为SA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以SA AD ⊥，又因为25245SD =⨯=， 在直角SAD 中，可得22(45)48AD =-=，所以5DF =，3AF =，所以545DF SD =，258DE AD =， 由FED SAD △∽△，所以90SAD FED ∠=∠=︒，即SD EF ⊥，又由CF SD ⊥，且EF FC F ⋂=，所以SD ⊥平面EFC ，又因为SD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面EFC ．(2)解：因为SD ⊥平面EFC ，所以SD EC ⊥，又因为SE ED =，可得DCE SCE △≌△，所以210DC SC ==，如图所示，连接AC ．因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA AC ⊥，SA FC ⊥，又因为FC SD ⊥，SD SA S ⋂=，所以FC ⊥平面SAD ，FC AD ⊥，所以22(210)426AC =-=，22(26)315FC =-=，过点A 作AM FC ∥交BC 于点M ，可得15AM FC ==，以AD ，AM ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，可得(1,15,0)B -，(3,15,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)S ，(8,0,0)D ．设平面BCE 的法向量为(,,)u x y z =，则00BC u CE u ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可取平面BCE 的一个法向量为(0,2,15)u =， 又SD ⊥平面EFC ，所以平面EFC 的一个法向量为(8,0,4)SD =-．设二面角F EC B --的平面角为θ，则 41557|cos |19||| |1945SD u SD u θ⋅===⨯， 则2419sin 1cos 19θθ=-=，所以二面角F EC B --的正弦值为41919．21．动点M 在圆22:4C x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．记点P 的轨迹为D ．(1)求D 的方程；(2)如果圆222:(1)E x y r +-=被曲线D 所覆盖，求圆E 半径的最大值．【答案】(1)22184y x +=【分析】（1）设(,)P x y ，()00,M x y ，由向量的数乘得出用,x y 表示00,x y ，M 点坐标代入圆方程可得轨迹方程；（2）设()11,G x y 是曲线D 上任意一点，(0,1)E ，求出GE 的最小值即可得，【详解】(1)设(,)P x y ，()00,M x y ，则()0,0N x ，()0,NP x x y =-，()00,NM y =．由2NP NM =，得0x x =，0y y =． 因为()00,M x y 在圆C 上，所以2242y x +=．故D 的方程为22184y x +=．(2)设()11,G x y 是曲线D 上任意一点，则2211184y x +=，||GE所以1||GE y =-≤当12y =时，min ||GE =所以圆E22．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若12AB =，求l 的方程．(2)以A ，B 为切点分别作抛物线C 的两条切线，证明：两条切线的交点P 一定在定直线上，且PF AB ⊥．【答案】(1)10x ±-=(2)证明见解析【分析】（1）首先设出直线方程，并和抛物线联立,然后配合韦达定理以及焦点弦弦长可待定系数求出直线方程（2）首先设出抛物线的切线方程，将（1）所设A 、B 点代入即可得两条切线方程，通过联立方程即可证明交点在定直线上，并进而通过斜率证明PF AB ⊥【详解】(1)解：由题意得(1,0)F ，设直线l 的方程为1x ty =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩消元得2440y ty --=，所以124y y =-，124y y t +=． 因为()22212122122||||||11244444y y y y y y AB AF BF t +-⎛⎫⎛⎫=+=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设知24412t +=，解得t =，所以l 的方程为10x -=．(2)设与抛物线C 相切的切线方程为x my b =+，则24,,y x x my b ⎧=⎨=+⎩化简得2440y my b --=． 由0∆=，可得2b m =-．将A 点坐标代入方程2x my m =-，可得221104y m my -+=，12y m =， 所以过A 的切线方程为21124y y x y =-．同理，过B 的切线方程为22224y y x y =-， 联立方程组可得1x =-，1222y y y t +==， 所以交点(1,2)t -在定直线1x =-上．当0=t 时，PF AB ⊥显然成立；当0t ≠时，2011PF t k t -==---，则1PF AB k k ⋅=-，所以PF AB ⊥． 综上所述，PF AB ⊥．。
2024学年保定市清苑区高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年保定市清苑区高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线10x y ++=的倾斜角是（）A ．4π-B ．4πC ．2πD ．34π2．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则a 的值是（）A ．B ．33C ．1D ．3．在四面体OABC 中，记OA a = ，OB b = ，OC c = ，若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点，则MN =（）A ．111222a b c ++B ．111222a b c-++C ．111222a b c-+ D ．111222a b c+- 4．已知直线l 的一个方向向量是()1,2,1a =-，平面α的一个法向量是()1,1,1n =-，则l 与α的位置关系是（）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂5．若直线l 与圆221:430C x y y +-+=相切，且点()3,2-到直线l 的距离为3，则这样的直线的条数为（）A ．4B ．3C ．2D ．16．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，A 为其右顶点，直线1y =与双曲线C 交于M 、N 两点，若90MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．C ．D ．7．已知圆C 过点()3,2A ，()0,1B -，设圆心(),C a b ，则22a b +的最小值为（）A ．B ．2C ．D ．48．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别1F ，2F ，M 是椭圆上一点，直线2MF 与y 轴负半轴交于点N ，若110MF NF ⋅=，且22:2:3MF NF =，则椭圆的离心率为（）A ．B ．12C ．D ．二、多选题（本大题共3小题）9．已知1F ，2F 分别是椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的焦距为6B ．12PF F 的周长为10C ．椭圆C 的离心率为49D ．12PF F 面积的最大值为10．在三棱锥P ABC -中，△PAC 为边长为2的正三角形，2AB =，90BAC ∠=︒，设二面角P AC B --的大小为α，PAB β∠=，G 为PBC △的重心，则下列说法正确的是（）A ．若30α=︒，则PB B ．若PB ，则150α=︒C ．若90α=︒，则PB 与AC 所成的角为60︒D ．若90β=︒，则43AG =11．已知曲线()22*:20N m C x y x m +-=∈，则下列说法正确的是（）A ．02x ≤≤B ．曲线C 关于直线1x =对称C ．曲线C 围成的封闭图形的面积不大于πD ．曲线C 围成的封闭图形的面积随m 的增大而增大三、填空题（本大题共3小题）12．若圆22:(2)(3)4C x y -++=上存在两点关于直线10ax y +-=对称，则a 的值为.13．已知点()0,1,1A ，()0,0,1B ，1,1,0，则点A 到直线BC 的距离是.14．过椭圆2217x y +=上一点P 作圆22:(3)1C x y +-=的两条切线，切点为A ，B ，当AB PC ⋅最大时，点P 的纵坐标为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线:220l x y -+=，圆22:(3)5C x y -+=.(1)求与直线l 平行且与圆C 相切的直线方程；(2)设直线1l l ⊥，且1l 与圆C 相交于A ，B 两点，若AB =1l 的方程.16．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，1F ，2F ，分别是C 的左、右焦点，A 是C 左支上一点，且1AF 与x 轴垂直，直线2AF 与C 的另一个交点为B .(1)若直线AB 的倾斜角为3π4，求C 的离心率；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为2，且23AB F B =，求a ，b .17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点G 在棱1AA 上，且112AG GA =．(1)证明：1D ，G ，E ，F 四点共面．(2)设平面1D GEF 与棱1CC 的交点为H ，求1D H 与平面11D ABC 所成角的正弦值．18．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．(1)在正四棱柱1111ABCD A B C D -（底面为正方形的直棱柱）中，1AB =，1AA =A ，B 在该正四棱柱外接球上的球面距离．(2)如图1，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠= ，112BC AD ==，DC =ABD △沿边BD 折起到P ，如图2，使得点P 在底面BCD 的射影H 在CD 上．①求点P 到底面BCD 的距离；②设棱锥P BCD -的外接球为球O ，求P ，C 两点在球O 上的球面距离．参考数据：27π2cos1003=，47π1cos 10011=．19．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()2,0A ，(B ，(C ，(0,D ，点P 在线段OA 上，点Q 在线段AC 上，且OP CQt OA CA==，设直线BQ 与DP 交于点M ．(1)证明：当t 变化时，点M 始终在某个椭圆W 上运动，并求出椭圆W 的方程．(2)过点()4,0E 作直线与椭圆W 交于S ，T 不同的两点，再过点1,0作直线ST 的平行线与椭圆W 交于G ，H 不同的两点．①证明：ES ET FG FH⋅⋅为定值．②求EGH 面积的取值范围．参考答案1．【答案】D【详解】由题10x y ++=的斜率1k =-,故倾斜角α的正切值为-1,又[)0,απ∈,故34απ=故选：D 2．【答案】A【详解】2221(0)x y a a-=>的渐近线为1y x a =±，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0，半径为1.由对称性，1y x a=到()2,0距离为1，则2114a a =⇒+=⇒故选：A 3．【答案】B【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：B.4．【答案】D【详解】因为()1,2,1a =- ，()1,1,1n =-，所以()()1121110a n ⋅=-⨯+⨯+⨯-=，则a n ⊥ ，又a是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，所以//l α或l α⊂.故选：D.5．【答案】A【详解】圆221:430C x y y +-+=可化为22(2)1x y +-=，圆心为(0,2)，半径为1，因为直线l 与圆221:430C x y y +-+=相切，当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为1x =-或1x =，当直线l 的方程为1x =-时，点()3,2-到直线l 的距离为4，不满足题意；当直线l 的方程为1x =时，点()3,2-到直线l 的距离为2，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则有13==，即()()()2222213291b k k b k ⎧-+=+⎪⎨++=+⎪⎩，即()()223292k b b ++=-+，解得314k b =-或342kb =+，当314k b =-时，有2232114k k ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，解得0k =或247k =；当342k b =+时，有2232412k k ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，整理得2524120k k ++=，此时22445120∆=-⨯⨯>，即方程有两个解，且不为0k =或247k =；综上，k 的取值有四种情况，对应的b 也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条.故选：A.6．【答案】C【详解】将1y =代入双曲线的方程可得22211x a b -=，解得x =不妨取点M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、N ⎫⎪⎪⎝⎭，易知点s 0，,1AM a b ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，,1AN a b ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，因为90MAN ∠=o，则()2222221110a b a AM AN a b b+⋅=-+=-= ，可得b a =，所以，c ==，因此，该双曲线的离心率为ce a==故选：C.7．【答案】B【详解】根据题意，得CA CB =，又()3,2A ，()0,1B -，(),C a b ，所以()()()2222321a b a b -+-=++，化简得2a b +=，故()()22222224a b a b ab a b +≥++=+=，则222a b +≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，所以22a b +的最小值为2.故选：B.8．【答案】C【详解】因为22:2:3MF NF =，不妨设()220MF m m =>，则23NF m =，由椭圆的定义与对称性可得122MF a m =-，123NF NF m ==，5MN m =，因为110MF NF ⋅= ，所以22212MF NF MN +=，则()()()2222235a m m m -+=，解得3a m =，则14MF m =，故1124cos 5MF F MF MN∠==，则在12F MF ∠中，由222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，得222441642425c m m m m =+-⨯⨯⨯，解得355c m =，所以椭圆的离心率为55c a =.故选：C.9．【答案】BD【详解】对于A ，因为椭圆22:195x y C +=，所以3,5,2a b c ===，所以椭圆C 的焦距为24c =，故A 错误；对于B ，由椭圆的定义可知1226PF PF a +==，所以12PF F 的周长为12126410PF PF F F ++=+=，故B 正确；对于C ，椭圆C 的离心率为23c a =，故C 错误；对于D ，当点P 为椭圆的短轴的一个端点时，点P 到x 轴的距离最大，此时12PF F 面积取得最大值，为121145522F F b ⋅=⨯D 正确.故选：BD.10．【答案】ABD【详解】如图，取AC 中点O ，过O 作//OM AB 且2OM AB ==，连接OP MB ，，则M ∈平面ABC .因为△PAC 为正三角形，所以OP AC ⊥，3OP =因为90BAC ∠=︒，所以BA AC ⊥，所以OM AC ⊥，所以二面角P AC B --的平面角为POM ∠，则POM α∠=.以OA ，OP ，OM 为基底向量，则0OA OP ⋅=，0OA OM ⋅= .对于A 项，若30α=︒，即30POM ∠=︒，所以2cos 3OM OP POM ⋅=⨯∠=.因为PB PO OA AB OP OA OM =++=-++ ，所以PB === 故A 正确；对于B 项，由A知PB == 所以314214OP OM ++-⋅= ，所以3OP OM ⋅=-，所以2cos 3α⨯=-，解得cos α=，所以150α=︒，故B 正确；对于C 项，若90α=︒，即90POM ∠=︒，所以0OM OP ⋅=.由A 知PB OP OA OM =-++ ，又2AC OA =-，所以()()222222PB AC OP OA OM OA OP OA OA OM OA ⋅=-++⋅-=⋅--⋅=-,PB == ，2AC = ，设PB 与AC 所成的角为θ，则2cos cos ,4PB AC PB AC PB ACθ⋅===⋅ ，所以PB 与AC 所成的角不是60︒，故C 错误；对于D 项，若90β=︒，即90PAB ∠=︒，所以AB PA ⊥，又AB AC ⊥，PA AC A = ，PA AC ⊂，平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又//OM AB ，所以OM ⊥平面PAC ，则OA OM OP ，，三线两两垂直，建立如图坐标系.则()0,1,0A-，(P ，()2,1,0B -，()0,1,0C，则根据三角形重心坐标公式得23G ⎛ ⎝⎭，所以2,1,33AG ⎛= ⎝⎭，所以43AG == ，故D 正确.故选：ABD .11．【答案】ABD【详解】对于A ，因为曲线()22*:20N m C x y x m +-=∈，所以2202m y x x =-≥，解得02x ≤≤，故A 正确；对于B ，因为曲线()22*:20N m C x y x m +-=∈，可化为()2211m x y -+=，设点(),a b 是曲线C 上任一点，则其关于1x =对称的点为()2,a b -，将()2,a b -代入曲线C 方程，得()()22222111m m a b a b --+=-+=，所以曲线C 关于直线1x =对称，故B 正确；对于CD ，因为()2211m x y -+=，所以21m y ≤，则1y ≤，设点(),a b 是曲线22:20m C x y x +-=上任一点，则1b ≤，点(),a r 是曲线()212:20m C x y x ++-=上的一点，则1r ≤，则()2211m a b -+=，()()22111m a r +-+=，故()212m m b r +=，易知当01r <<时，xy r =在其定义域内单调递减，所以()212m mrr+≤（当且仅当1r =或0r =时，等号成立），故()2212m m mb r r +=≤，又()2*N m y x m =∈在[)0,∞+上单调递增，所以b r ≤，故当m 增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，又曲线C 围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，即曲线C 围成的封闭图形的面积随m 的增大而增大，故D 正确，又当1m =时，曲线C 为()2211x y -+=，即其图形是半径为1的圆，此时其面积为2π1π⨯=，则曲线C 围成的封闭图形的面积不小于π，故C 错误.故选：ABD.12．【答案】2【详解】圆22:(2)(3)4C x y -++=的圆心为(2,3)C -圆心，半径为2，圆上存在两点关于直线10ax y +-=对称，则圆心在直线上，所以2310a --=，解得2a =.故答案为：2.13．【答案】【详解】因为点()0,1,1A ，()0,0,1B ，1,1,0，所以()0,1,0AB =- ，()1,1,1BC =- ，则1AB BC ⋅=-，1,3AB BC == ，所以点A 到直线BC 的距离是()22cos ,d AB AB AB BC =-〈〉21cos ,AB AB BC =⨯-〈〉 21AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅ ⎪=⨯- ⎪⎝⎭211113-⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭63=.故答案为：63.14．【答案】12-/0.5-【详解】圆22:(3)1C x y +-=的圆心(0,3)C ，半径1r =，由,PA PC 切圆C 于点,A B 知，PC AB ⊥，则22||1PAC AB PC S PA AC PC ⋅===- ，因此AB PC ⋅最大，当且仅当||PC 最大，设00(,)P x y ，220077x y =-，则22220000013570||(3)66166()222PC x y y y y =+-=--+=-++≤，当且仅当012y =-时取等号，所以点P 的纵坐标为12-.故答案为：12-15．【答案】(1)210x y --=或2110x y --=；(2)220x y +-=或240x y +-=【详解】（1）依题意，设所求直线方程为20x y c -+=，因为所求直线与圆22:(3)5C x y -+=相切，且圆心为()3,0，半径为5，1c=-或11c=-，∴所求直线方程为210x y--=或2110x y--=；（2）依题意，设直线1l的方程为20x y m++=，因为直线1l与圆C相交于A，B两点，||5AB=，∴圆心()3,0到直线1l的距离为=2m=-或4m=-，∴直线1l的方程为220x y+-=或240x y+-=.16．【答案】(1)1(2)12a b==，【详解】（1）设()()12,0,0F c F c-，，因1AF与x轴垂直，设()()00,0A c y y->，代入22221(0,0)x y a ba b-=>>，得222221,yc bA ca b a⎛⎫-=⇒- ⎪⎝⎭，又()2,0F c，则22223πtan12224ABbak b ac c a acc===-⇒=⇒-=-222221012e e e+--=⇒==；（2）设AB与y轴交点为C，则2OC=，因O为1F，2F中点，1//AF CO，则C为2AF中点，则由中位线定理可得124AF OC==.因23AB F B=，设2F B t=，则24AF t=，123AB t F F==，.由双曲线定义，211214454AF AF t BF BF BF t-=-=-⇒=-.因A，B，2F三点共线，则121121πcos cos0ABF F BF ABF F BF∠+∠=⇒∠+∠=，由余弦定理得121121πcos cos0ABF F BF ABF F BF∠+∠=⇒∠+∠=，则22222211211212122AB BF AF BF BF F FAB BF BF BF+-+-+=⇒⋅⋅()()()()22222295416541616064160960654254t t t t t t t t t t t +--+--++=⇒-+=--.则2325302t t t -+=⇒=或1t =.当1t =时，120F F ==不合题意，则32t =.则2144221AF AF t a a -=-==⇒=.122F F c c ====⇒=，则2b ===.综上，12a b ==，.17．【答案】(1)证明见解析；(2)13.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令6AB =，则1(0,0,6),(6,3,0),(3,6,0),(6,0,2)D E F G ，则1(3,3,0),(0,3,2),(6,3,6)EF EG ED =-=-=--，于是123(6,6,0)(0,9,6)(6,3,6)EF EG ED +=-+-=--= ，即向量1,,EF EG ED共面，又向量1,,EF EG ED有公共点E ，所以1D ，G ，E ，F 四点共面.（2）设(0,6,)H t ，则1(0,6,6)D H t =-，由点H ∈平面1D GEF ，得1D H EF EG λμ=+ ，即(0,6,6)(3,3,0)(0,3,2)t λλμμ-=-+-，则0363362t λλμμ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解得0,2,2t λμ==-=，即(0,6,2)H ，1(0,6,4)D H =-，而(6,0,0),(6,6,0)A B ，则1(6,0,6),(0,6,0)AD AB =-=，设平面11D ABC 的法向量(,,)n x y z = ，则166060n AD x z n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n = ，令1D H 与平面11D ABC 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|13||||n D H n D H n D H θ⋅=〈〉===，所以1D H 与平面11D ABC所成角的正弦值为13.18．【答案】(1)π3；(2)①.【详解】（1）正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球直径12AC ==，球半径1R '=，因此球心与点,A B 构成正三角形，弦AB 所对球过,A B 的大圆圆心角为π3，弧长为π3，所以顶点A ，B 在该正四棱柱外接球上的球面距离为π3.（2）①在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，90BCD ∠= ，112BC AD ==，DC =，2BD AD ===，9060ADB BDC ∠=-∠= ，则ABD △为正三角形，在棱锥P BCD -中，PH ⊥平面BCD ，而⊂BC 平面BCD ，则BC PH ⊥，又BC CD ⊥，,,PH CD H PH CD =⊂ 平面PCD ，则⊥BC 平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，因此PC BC ⊥，PC ==在PCD △中，12cos PDPDH CD ∠=，sin PDH ∠=，sin PH PD PDH =∠=，所以点P 到底面BCD的距离为3.②取BD 中点1O ，则1O 为BCD △外接圆圆心，令正PBD 的外接圆圆心为2O ，连接1112,,,,BO O H OO OO OB，则12113O O PO ==2OO ⊥平面PBD ，1OO ⊥平面BCD ，于是1//OO PH，1211cos sin 3PH OO O PO H PO ∠=∠==，在12Rt OO O中，12112cos O O OO OO O =∠P BCD -的外接球半径R ，有222211118R OB O O O B ==+=，球O 的弦PC 所对大圆的圆心角为COP ∠，222113214cos 112114R PC COP R --∠===-，即COP ∠是钝角，而47π1cos 10011=，则47π53π100100πCOP -=∠=，COP ∠在大圆中所对劣弧长为53π100R =所以P ，C 两点在球O 上的球面距离为5322π400.19．【答案】(1)22143x y +=(2)①证明见解析；②【详解】（1）解：设点(,)Q x y ，依题意可知CQ tCA =，即(2,(0,x y t -=，所以2)x y t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即))Q t -；同理可得(2,0)P t .于是直线BQ的斜率为BQ k =-，所以BQ的直线方程为y =+直线DP的方程为12x t =，即2y x t=-设直线BQ 与DP 的交点M 坐标为(,)x y ，由2y y x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得223(()4y y t x x ⨯=-，整理可得22143x y +=，所以当t 变化时，点M 始终在椭圆W ：22143x y +=上运动.（2）①证明：设直线ET 的方程为4x my =+，联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，22(34)24360m y my +++=，因为直线ET 与椭圆W 交于两点11(,)S x y ，22(),T x y ，所以22(24)436(34)0m m ∆=-⨯⨯+>，即2m <-或2m >，由韦达定理可知1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+，又12ES y ET y ==2212236(1)(1)34m ES ET y y m m +⋅=+=+，设直线GH 的方程为1x my =+，直线ET 与椭圆W 交于两点33(,)G x y ，44(,)T x y ,联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，22(34)1890m y my ++-=，同理可得：3421834m y y m +=-+，342934y y m -=+223429(1)(1)34m FG FH y y m m -+⋅=+=+,所以4ES ET FG FH⋅=⋅（定值）.又当直线ET 的方程为0y =时，直线GH 与直线ET 重合不符合题意.故4ES ET FG FH⋅=⋅（定值）.②因为341()2EGH EFG EFH S S S EF y y =+=+ ，又因为3429034y y m -=<+，所以3412EGHS EF y y =⨯-整理可得EGHS = 令231n m =+，因为24m >，所以13n >，所以2222311139(34)692566m n m n n n n+==<+++++，又因为当2m →+∞时，96n n ++→+∞，所以222310(34)m m +→+，所以0EGHS <= 即EGH 面积的取值范围为(0,)8.。
河北省保定市高二上学期期中数学试卷
河北省保定市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在△ABC，a=， b=， B=，则A等于（）A .B .C .D . 或2. （2分） (2020高一下·邢台期中) 在中，分别为角所对的边，，面积，则a为（）A .B .C .D .3. （2分） {an}是等比数列且an＞0，且a2•a4+2a3•a5+a4•a6=25，则a3+a5═（）A . 5B . ±5C . 10D . ±104. （2分）若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角的公差为（）A . 0°B . 15°C . 30°D . 45°5. （2分）(2019高一上·上海月考) 已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件6. （2分）(2017·安庆模拟) 等比数列{an}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{an}的公比等于（）A . 3B . 2或3C . 2D . 67. （2分） (2016高一下·攀枝花期中) △ABC中，若 = ，则该三角形一定是（）A . 等腰三角形但不是直角三角形B . 直角三角形但不是等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形8. （2分） (2019高二上·郾城月考) 已知两个等差数列和的前项和分别为和 ,且，则（）A .B .C .D .9. （2分）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．其中所有的正确结论的序号（）A . ①B . ①②C . ②③D . ①②③10. （2分）(2017·渝中模拟) 实数x，y满足且z=2x﹣y，则z的最大值为（）A . ﹣7B . ﹣1C . 5D . 711. （2分） (2020高一下·南昌期中) 等比数列中，首项为，公比为q，则下列条件中，是一定为递减数列的条件是（）A .B . ，C . ，或，D .12. （2分）(2019高一下·上杭期中) 若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·丰台期末) 如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离．观察者找到了一个点C，从C可以观察到点A，B；找到了一个点D，从D可以观察到点A，C；找到了一个点E，从E可以观察到点B，C．并测量得到图中一些数据，其中，CE=4，∠ACB=60°，∠ACD=∠BCE=90°，∠ADC=60°，∠BEC=45°，则AB________．14. （1分） (2017高一下·怀远期中) 已知等比数列{an}，的前n项和为Sn ，且S2=2，S4=8，则S6=________．15. （1分）数列{﹣n2+15n+3}最大项的值是________．16. （1分） (2019高一上·攀枝花月考) 已知函数（其中），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是________.三、计算题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高一上·葫芦岛月考) 设 .（1）当时，比较的大小；（2）当时，比较的大小.18. （5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，S3=0．（1）求{an}的通项公式；（2）{bn}为等比数列，且b1=2a1 ， b2=a6 ，求{bn}的前n项和Bn ．19. （5分）关于x的不等式a2x+b2（1﹣x）≥[ax+b（1﹣x）]2（1）当a=1，b=0时解不等式；（2）a，b∈R，a≠b解不等式．20. （5分）(2018·北京) 在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- ，（Ⅰ）求∠A：（Ⅱ）求AC边上的高。
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河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
2. （2分）若直线的倾斜角为，则等于（）
A . 0
B .
C .
D . 不存在
3. （2分） (2018高一上·阜城月考) 四面体中，各个面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）
A . 90°
B . 60°
C . 45°
D . 30°
4. （2分）(2017·武邑模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2019·黄冈模拟) 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为
A .
B .
C . 或
D . 或
6. （2分）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2019·湖州模拟) 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）
A . 1
B . 2
C . 4
D .
8. （2分） (2019高三上·西湖期中) 已知变量x,y满足约束条件，则的最小值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 6
9. （2分）若直线l1:2x-5y+20=0和直线l2:mx+2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m 的值为（）
A . 5
B . -5
C . 5
D . 以上都不对
11. （2分） (2015高一下·广安期中) 在△ABC中，a=7，b=5，c=3，则cosA等于（）
A . ﹣
B .
C .
D .
12. （2分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60º，且A1A=3，则A1C的长为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）将下列集合用区间表示出来：
（1）＝________；
（2）＝________；
（3）＝________.
15. （1分）圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________ .
16. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y= 相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角可以是：①30°；②45°；③60°；④120°⑤150°．其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2016高三上·贵阳模拟) 等比数列{an}的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{ }的前n项和Sn．
18. （10分） (2019高三上·鹤岗月考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为
（为参数）．
（Ⅰ）求曲线的普通方程；
（Ⅱ）经过点作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的普通方程．
20. （5分）(2017·蚌埠模拟) 如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4
，∠ABC=30°．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若二面角B﹣AC﹣D为45°，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．
21. （10分）将一枚骰子连续抛掷两次，得到向上的点数第一次为m，第二次为n．
（1）求m+n=6的概率；
（2）求方程x2+mx+n=0有两个不相等实根的概率．
22. （10分） (2016高二上·吉安期中) 若直线L：mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（﹣2，3），B（3，2），求m的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
13-2、
13-3、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
20-1、
20-2、答案：略21-1、
21-2、
22-1、。