圆锥曲线中的顶点三角形
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =；第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=；五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b +=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一手电筒模型恒过定点问题【例1】已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =.（1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数)，过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ，1l 交曲线E 于,A B 两点，2l 交曲线E 于,C D 两点，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点.题型二切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．题型三相交弦中恒过定点问题2:2(0)C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC 的内切圆的半径为4-．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【变式3-3】已知M ⎝，N ⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线5x =上的动点，直线AP ，BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．题型四动圆恒过定点问题【例4】已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N .当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【变式4-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。
焦三角的面积只与b 和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。
假设这个视角为θ，F 1、F 2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b 2tan 2θ,在双曲线里焦三角的面积S=b 2cot 2θ。
下面我们给出证明：若P 是椭圆22221x y a b +=（a>b>0）上一点，F 1、F 2是两个焦点，设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,三角形PF 1F 2的面积为S ，则S=121sin 2r r θ……（1） 在三角形PF 1F 2中，由余弦定理（2c ）2=222121212122cos ()2cos r r r r r r r r θθ+-=+-, (2)又r 1+r 2=2a ,……(3)代入（2）得：4c 2=4a 2-θcos 221r r ∴r 1r 2=θcos 22b 代入（1）中可得S=b 2tan2θ，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b 2cot 2θ。
在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。
例1（2004年高考福州）已知P 是椭圆2214x y +=的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积是___________。
由椭圆的焦三角面积公式，这里θ=600，2θ=300得△PF 1F 2的面积是3。
例2.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. C. 32 D. 42 解：由三角形外角性质可得∠F 1PF 2=3π，即θ=3π，再由双曲线的焦三角面积公式，S=b 2cot2θ=16cot 6π,故选A 。
例3.在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直。
圆锥曲线中的三角形
第15讲圆锥曲线中的三角形高屋建瓴1.阿基米德三角形定义圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫作阿基米德三角形，这条弦叫作阿基米德三角形的底，两切线的交点叫作阿基米德三角形的顶点.特别地，我们把底边过焦点的阿基米德三角形称为阿基米德焦点三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.以抛物线22(0)x py p =>为例，如图151-所示，抛物线上两个不同的点A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，以A ，B 为切点的切线PA ，PB 相交于点P ，我们称弦AB 为阿基米德PAB ∆的底边.2.阿基米德三角形性质性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴且点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明:如图15-2所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为()11x x p y y =+，过B 的切线方程为()22x x p y y =+，联立方程组得，()()221121122222x x p y y x x p y y x py x py ⎧=+⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩，解得两切线交点1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知//PM y 轴.性质2:PM 的中点Q 在抛物线上，且Q 处的切线与AB 平行.【证明】:如图15-3，由性质1知，1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，易得Q 点的坐标为()21212,28x x x x p ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，此点显然在抛物线上.过Q 的切线的斜率为121222x x x x x k y p +=+='=，而221212121212222AB x x y y x x p p k x x x x p --+===--，结论得证.性质3:若阿基米德三角形的底边AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点P 的轨迹一条直线.【证明】如图154-，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质1，122x x x +=，122x x y p =，所以122x x x +=，122x x py =.由A ，B ，C 点共线知2222211011222x x x y p p px x x x --=--，即()0121202x x x x x py +=+，将122x x x +=，122x x py =代入得()00x x p y y =+，即为P 点的轨迹方程.推论:若阿基米德三角形的底边(即弦)AB 过抛物线内一定点()0,(0)C m m >，那么:①另一顶点P 的轨迹方程为y m =-；②2AP BP mk k p⋅=-(定值).性质4:抛物线以C 点为中点的弦平行于P 点的轨迹.证明:如图15-5，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质3得P 点轨迹方程为()00x x p y y =+，它的斜率为0x p .由2112222,2,x py x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减得()2212122x x p y y -=-，即1212122x x y y p x x +-=-，有0AB x k p =.因此该弦与P 点的轨迹直线l 平行.性质5:若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上点为顶点的阿基米德三角形底边过定点.【证明】:如图15-5，设l 的方程为0ax by c ++=，且()11,A x y ，()22,B x y ，弦AB 过点()00,C x y ，由性质3可知P 点的轨迹方程()00x x p y y =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照000x x y y p -++=，0a cx y b b++=可得0ap x b =-，0c y b =，即弦AB 过定点,ap c C b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.性质6:底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p.【证明】:如图15-6所示，AB a =，设P 到AB 的距离为d ，由性质1知()2221212121212222444x x y y x x x x x x d PM p p p p-++=-=-= .设直线AB 方程为y mx n =+，则21a x =-=，所以()2221x x a - ，24a d p ，即3128a S ad p= .推论:PAB ∆的面积3128PABx x S p∆-=.【证明】:因为1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()222121212121222424x x y y x x x x x x PM p p p p -++=-=-=，所以31212128PAB x x S PM x x p∆-=-=.性质7:(1)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点P 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点P 在准线上，则底边过焦点.（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p .【证明】:(2)若底边过焦点，则00x =，02p y =，点P 的轨迹方程为2py =-，即为准线，易验证1PA PB k k ⋅=-，即PA PB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且P 为直角顶点，所以221212224y y x x p PM p ++=+=+2122224242x x p p p p p p p +=+= .而()212121122PAB S PM x x PM x x PM p ∆=-=+- .特别地，若阿基米德三角形的弦AB 过抛物线的焦点，那么:①另一顶点P 的轨迹为准线2py =-；②PA PB ⊥；③PF AB ⊥；④PAB ∆的面积的最小值为2p .性质8:在阿基米德三角形ABP 中，若F 为抛物线的焦点，则2||PF AF BF =⋅.【证明】:()21212122224p p p p AF BF y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭22221212244x x x x p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，222222212121212||222244x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫=+-=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2||PF AF BF =⋅.参考答案解析试题再现1.【解析】（1）设1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，则2112x y =，由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设()22,B x y ，同理可得222210tx y -+=.故直线AB 的方程为2210tx y -+=，所以直线AB 过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,2,2y tx x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+=.可得2210x tx --=.于是122,x x t +=()21212121y y t x x t +=++=+，121x x =-，因此()212||21AB x t =-==+.设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积21||(32S AB t =+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或评注：第（1）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，设01,2D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则AB 的方程可写为：012x x y =-，所以必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.2.【解析】（1）由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，)0(,2M x p -.由22x py =得22x y p =，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =.因此直线MA 的方程为()102x y p x x p +=-，直线MB 的方程为()202xy p x x p +=-.所以()2111022x x p x x p p +=-①，()0222222x p x x px +=-)②，由①②得121202x x x x x -=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+，所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.（2）由（1）知，当02x =时，将其代入①②并整理得2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又，222112210222AB x x x x p p k x px x P -+===-所以2AB k p =由弦长公式得|AB ==又||AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y=（3）设()33,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为123123,22x x x x x x Q ++++⎛⎫⎝⎭，由阿基米德三角形性质可知直线AB 的方程为0(2)x x p y p =-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，代入得033x y x p =.若()33,D x y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =，即(0,0)D 或20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.①当00x =时，12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意.②当00x ≠时，对于(0,0)D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0AB x k p =，AB CD ⊥，所以22012214AB CD x x x k k p p +⋅=⋅=-，即222124x x p +=-，矛盾.对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴，又00ABx k p =≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾.所以当00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点(0,2)M p -适合题意.评注:第（1）问背景就是阿基米德三角形性质1的应用.3.【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =(负值舍去)，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=.所以抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即2111122x y x y x =+-.因为21114y x =，所以1112x y x y =-.因为点()00,P x y 在切线1l 上，所以10012x y x y =-①.同理，20022xy x y =-②.综合①②得，点()11,A x y ，()22,B x y 的坐标都满足方程002xy x y =-.因为经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线是唯一的，所以直线AB 的方程为002xy x y =-，即02x x y --020y =.（3）由抛物线的定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以()()121212||||111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立2004,220,x y x x y y ⎧⎪⎨⎪=-=⎩-.消去x 得()22200020y y x y y +-+=，所以212002y y x y +=-，2120y y y =.因为0020x y --=，所以()222222000000019||||21221225222AF BF y y x y y y y y y ⎛⎫⋅=-++=-+++=++=++⎪⎝⎭因此当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值92.评注：第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，因为()00,P x y 为直线l 上的定点，所以AB 的方程为()002x x y y =+.4.【解析】（1）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-，所以A 点坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++.因为点()01M y -在切线MA 及抛物线2C 上，于是0113(2244y -=-+=-①，20(12)32222y p p-=-=-②.由①②得2p =.（2）设(,)N x y ，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x ≠.由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22128x x y +=④，切线MA ，MB 的方程为()211124x x y x x =-+⑤，()222224x x y x x =-+⑥.由⑤⑥得MA ，MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204x x y =.因为点()00,M x y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦.由③④⑦得243x y =，0x ≠，当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足243x y =，因此AB 中点N 的轨迹方程为243x y =.练习巩固1.【解析】（1）设过点C 的直线方程为y kx c =+，所以2(0)x kx c c =+>，即20x kx c --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12x x k +=，12x x c =-，()11,OA x y = ，()22,OB x y = .因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，)22121212(2x x k x x kc x x c ++++=，所以222c k c kc k c --+⋅+=，即220c c --=，解得2c =(舍去1c =-).（2）设过A 的切线为()111y y k x x -=-，2y x '=，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为11,22x c M c x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2k Q c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，为12x x c =-，所以21c x x -=.则12,,222x x k M c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点M 和点Q 重合，因此QA 为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，因为若QA 为此抛物线的切线，则其方程为()21112y x x x x -=-，2112y x x x =-，与y c =-联立，可得点Q 横坐标为2211121211222x c x x x x x x x x -++===.由于PQ 与x 轴垂直，故点P 的横坐标也是为122x x +，即P 为线段AB 的中点.评注：第（2）问的背景就是设过点A ，B 的切线交于点M ，则ABM △为阿基米德三角形，由性质1可知点M的横坐标为122x x +，又弦AB 过定点(0,)C c ，点M 在直线y c =-上，故点M 的坐标为12,2x x c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点M 与点Q 重合，即QA 为此抛物线的切线.2.【解析】（1）设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为1l ，2l 分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线，所以直线1l 的斜率111x x x k y p ='==，直线2l 的斜率222x x xk y p='==.因为12l l ⊥，所以121k k =-，得212x x p =-（1）.因为A ，B 是抛物线C 上的点，所以2112x y p =，2222x y p =，故直线1l 的方程为()21112x x y x x p p-=-，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p -=-.由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎪-=⎧⎪⎪⎨=--⎪⎩-.计算得出12,2,2x x x p y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩=-.所以点D 的纵坐标为2p -.（2）因为F 为抛物线C 的焦点，所以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AF 的斜率为21221111122202AF x p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BF x p p y x p p k x x px ---===-.因为()()222222222112121212222AF BF x x p x x p x p x p k k px px px x ------=-=()()()()22212121212121212022x x x x p x x p x x p x x px x px x -+---+-===所以AF BF k k =，即A ，B ，F ，（3）不存在，证明如下.假设存在与题意相符的圆，设该圆的圆心为M ，根据题意得MA AD ⊥，MB BD ⊥，且||||MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥，所以四边形MADB 是正方形，有||AD BD =.因为点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12p -=-，得2p =，把点3,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l ，得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭，解得(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为A ，B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(4,4)B ，则||AD =||BD =可得||||AD BD ≠，这与||||AD BD =矛盾，所以经过A ，B 两点且与1l ，2l 都相切的圆不存在.3.【解析】（1）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N 为焦点，:2l y =-为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是28x y =.（2）由已知(0,2)N ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由AN = NB λ，得()()1122,2,2x y x y λ--=-，故()1212 22 x x y y λλ⎧⎪⎨⎪--=-⎩=①②，将①式两边平方并把2118x y =，2228x y =代入得212y y λ=③，解②③式得12y λ=，22y λ=，且有21222816x x x y λλ=-=-=-，抛物线方程为218y x =，求导得14y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11114y x x x y =-+，()22214y x x x y =-+，即2111148y x x x =-，2221148y x x x =-，解出两条切线的交点Q 的坐标为121212,,2282x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()22221221212121111,4,402288x x NQ AB x x y y x x x x +⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此NQ AB ⋅ 为定值，其值为0.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.4.【解析】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ，由已知条件，(0,1)F ，所以1b =，32c a =，222a b c =+，解得2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠，与抛物线方程联立，消去y ，并整理得2440x kx --=，所以124x x =-.因为抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11112y y x x x -=-，222)1(2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-，解得两条切线的交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭.()2221212121,,4x x AB x x y y x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，21,22x x MF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22222121022x x x x AB MF --⋅=-+= ，0AB MF ⋅= ，所以AB MF⊥（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)-.设过点M '且与抛物线C 相切的直线方程为()00012y y x x x -=-，其中点()00,x y 为切点，令0x =，1y =-，得()2000111042x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1)A '-，(2,1)B '，即直线A B ''过点F .综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，M B ''(A '，B '为切点)，能使直线A B ''过点F ，此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线中的三角形问题(含解析)
专题12 圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一 、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．2413D ．1913例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2∠=∠.PFy PQF ()2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点()D(AB不与x轴平行)，且0,4+=.过y轴上一点E作直线//6AF BFm x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】C 【解析】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以||||||||PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a=+，解得||2RM a =，同理||||||||FT RF QN RN =，即||336FT aa a=，解得 3||2FT a =，又||FT p =，所以32a p =，23a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则||MG ===，所以1||||2MNES EF MG =⋅=△ 132a ⨯⨯=2a =，故332p a ==. 故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S =，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-． 将直线AB 1方程4x c =-，代入椭圆方程后，222241x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得12228A B cy y b a+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==． 故答案为：12． 例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A．5B．5C ．2413D ．1913【答案】D 【解析】如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式， 由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ．例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169．例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（△）223144x y +=；（△）221x y +=，⎡⎢⎣⎦.【解析】（△）由题意可得，22||48F A F B AB a ++==， 故2a =，又有3c e a ==，∴c = 椭圆的标准方程为223144x y +=；（△）法1：设||OA m =，||OB n =，∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥， 设点(cos ,sin )A m m θθ，点(sin ,cos )B n n θθ-，22222222cos 3sin 144cos 3sin 144m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相加得22131144m n +=+， 2222m n m n +=⋅，222AB OA OB =⋅，∴1r =，442222222111||1111n n AB m n n n n n -+=+===++---，24,43n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AB ⎡∈⎢⎣⎦，OABS ⎡∈⎢⎣⎦△． 法2：()2222234136340x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， ()()22222236434131248160k m m k m k ∆=--+=-++>，1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++222444013m k k--==+， ∴221m k =+，∴1r ===，122||13AB xk=-==+当0k=时，||2AB=，当0k≠时，||AB=≤213k=时取到等号，此时243m=符合>0∆∴1,3OABS⎡∈⎢⎣⎦△．例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC EF⊥.（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求ABC∆面积的最小值及此时直线AC的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为30x y±-=.【解析】（1）由题意得抛物线24y x=的焦点()1,0F，准线方程为1x=-，设()2,2B t t，直线AB：1x my=+，则()1,2E t-，联立1x my=+和24y x=，可得244y my=+，显然40A By y+=，可得212,At t⎛⎫-⎪⎝⎭，因为EFk t=-，AB EF⊥，所以1AC k t=， 故直线AC ：2211y x t t t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 由224120y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 得224480y ty t---=. ∴4A C y y t +=，248A C y y t =--， 所以AC 的中点M 的纵坐标2M y t =，即M B y y =， 所以直线BE 经过AC 的中点M .（2）所以A C y A C =-== 设点B 到直线AC 的距离为d ，则2212t d ++==.所以1162ABCS AC d ∆=⋅=≥=，当且仅当41t =，即1t =±，1t =时，直线AD 的方程为：30x y --=，1t =-时，直线AD 的方程为：30x y +-=.另解：2221112222ABC A C S BM y y t t t ∆=⋅-=++-3222122t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =，而2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以22412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,12、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得M，3(,22N -，所以||3MN ==，故选B ． 3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设PMN ∆外接圆半径为R ，|||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=21||||()2||||PM PN PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥8==4≥=， 当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．【答案】（1）2y x =（2）最小值 【解析】（1）当1s =时，5||24p PF s =+=， 所以12p =，故所求抛物线方程为2y x =. （2）点(),P s t 为抛物线2y x =上的动点，则2s t =，设过点2(,)P t t 的切线为2()x m y t t =-+， 21=， 得22222(1)2(2)(2)10(*)t m t t m t -+-+--=， 12,m m 是方程（*）式的两个根， 所以21222(2)1t t m m t -+=-，2123m m t =-， 设()()221122,,,A y y B y y ，因直线2:()l x m y t t =-+，与抛物线2:C y x =交于点A ，则212()x m y t t y x⎧=-+⎨=⎩得22110y m y m t t -+-=， 所以211ty m t t =-，即11y m t =-，同理22y m t =-，设直线()1212:AB x y y y y y =+-，则12||||AB y y =-，d =，又12122221t y y m m t t -+=+-=-， 2121223()()1t y y m t m t t -=--=-， 所以212121211|||||()|22PAB S AB d y y t t y y y y ==--++22222311t t t t t --=-⨯+--=令210u t=->，4(PAB S u u =++当且仅当2u =，即t =时，PAB S 取得最小值5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）【解析】（1）由已知得焦点F 的坐标为(1, 0)， 2p ∴=，∴抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立方程224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=， 216320m ∴∆=+>，124y y m +=，128y y =-，设直线l 方程为：()11y y k x x -=-，联立方程()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x 得：2114440y y y x k k-+-=， 由相切得：112164440k k y x ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，112110y x k k ∴-+=， 又2114y x =，21121104y y k k ∴-+=， 21102y k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，12k y ∴=， ∴直线l 的方程为：11220x y y x -+=，由4AB AM →→=，得12034x x x +=，12034y y y +=， 将12034y y y +=代入直线l 方程，解得221121888N yy y y x +-==， 所以01212ABN N S x x y y =-⨯-△212112138248x x yy y +-=-⨯-2212121632y y y y ++=⨯-31232y y -=311832y y +=，又118y y +≥ 所以42ABN S △，当且仅当1y =±时，取到等号，所以ABN面积的最小值为6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE △面积的最大值.【答案】()1证明见解析； ()2 【解析】()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的方程可得2x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =， 所以在P 处的切线方程为：()200042x x y x x -=-， 令0x =，可得204x y =-， 即2040,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 所以2014x FQ =+，而P 到准线的距离2014x d =+，由抛物线的性质可得PF d = 所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠，可证得：2PFy PQF ∠=∠.()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与抛物线联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，即20k m +>，124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，所以线段AB 的中垂线方程为：()212(2)y k m x k k -+=--，由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=，所以24226k m ++=，即222k m +=，②设()0,E b ，()222114AD x y =+-，AD 的中点的纵坐标为142y +，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：2214442y AD b ⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222112114444444y y x b b y ⎡⎤-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()221111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E所以E 到直线AB的距离为：d = 而弦长AB ==，所以1232EAB S AB d =⋅==-将①代入可得2322212ABE S k k =-+=+=设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，0k >>的情况即可，()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--' 令()0f k '=，6k =当06k <<，()0f k '>，()f k 单调递增；当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，所以(k ∈且0k ≠上，66f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值9，所以ABE S的最大值为：212+=。
专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法①焦点三角形面积椭圆x 2a2+y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2，双曲线x 2a2−y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)(1)S∆=12×底×高，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，如图，S∆PAB=12∙AB∙PC(其中底为弦长AB，高为点P到直线AB的距离)(2)S∆=12absinC，适合边角已知的题型；(3) 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S∆PAB=S∆PAC+S∆PBC=12∙PC∙|y A|+12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|当A,B是在x轴同侧时，S∆PAB=S∆PAC−S∆PBC=12∙PC∙|y A|−12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙|y A −y B |依然成立.若点P 在y 轴类似可得S ∆PAB =12∙PC ∙|x A −x B |. 情况2 如图，点P 在x 轴上，直线AB 的倾斜角为θ， 当AB 是在x 轴异侧时，S ∆PAB =S ∆PAC +S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin (π−θ)+12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.当AB 是在x 轴同侧时，S ∆PAB =S ∆PAC −S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin θ−12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙AB ∙sin θ依然成立.(点在y 轴类似)【典题1】设双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则离心率e = . 【解析】方法一 由题意可知a =1， 设|PF 2|=m ,|PF 1|=n ，可得|m －n|=2 ∵△PF 1F 2的面积为4 ∴12mn =4⇒mn =8(遇到焦点三角形△PF 1F 2，想到定义和解三角形的内容) ∵F 1P ⊥F 2P ∴m 2+n 2=4c 2∴(m −n )2+2mn =4c 2⇒4c 2=4+16=20⇒c =√5∴e =ca =√5.方法二 由双曲线焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2，(椭圆焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2)由题意可知b 2tan45°=4，∴b =2又∵a =1，∴c =√5， ∴e =c a=√5.【典题2】已知直线l 与双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的两条渐近线分别交于A (x 1 ,y 1)、 B(x 2 ,y 2)两点，且x 1x 2>0，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，且△AOB 的面积为2√3，则E 的离心率为 . 【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，S △AOB =2√3， ∴{OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−412OA ⋅OB ⋅sin∠AOB =2√3，∴tan∠AOB =−√3 , ∴∠AOB =120°， 故∠AOx =60° , 又直线OA 方程为y =ba x , ∴ba =tan60°=√3，即b =√3a ， ∴e =c a =2.【点拨】本题对“OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4”的处理是用数量积的定义得到OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−4， 而△AOB 的面积用到S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin∠AOB 比较合理.【典题3】已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于√3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点． (1) 求双曲线的方程；(2) 若△F 1AB 的面积等于6√2，求直线l 的方程． 【解析】(1)过程略，x 2−y 23=1.(2) 方法一 设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)，当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程x =2， 此时易得S △F 1AB =12≠6√2， 故可设直线l 的方程为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2−y 23=1，得(k 2−3)x 2−4k 2x +4k 2+3=0，∵有两个交点，∴k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3,x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|AB |=√1+k 2∙√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2∙6√k 2+1k 2−3=6(k 2+1)k 2−3, ∵F 1(−2 ,0)到直线l 的距离d =√1+k 2，∴△F 1AB 的面积S =12∙d ∙|AB |=12∙√1+k 2∙6(k 2+1)k 2−3=12|k |∙√k 2+1k 2−3=6√2，(利用三角形面积公式S ∆=12×底×高) ∴k 4+8k 2−9=0，解得k =±1， ∴所以直线l 的方程为y =±(x −2)． 方法二 设A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)，同方法一可得：k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|y 1－y 2|=|k(x 1－x 2)|=|k |∙√(4k 2)2−4(k 2−3)(4k 2+3)|k 2−3|=6|k|∙√k 2+1|k 2−3|，∴△F 1AB 的面积S =12|F 1F 2||y 1－y 2|=12∙|k|∙√k 2+1|k 2−3|=6√2，(由于点F 1在x 轴，利用S =12|F 1F 2||y 1－y 2|)化简得k 4+8k 2－9=0，解之得k 2=1，∴k =±1， 得直线l 的方程为y =±(x －2). 【点拨】① 注意分类讨论直线l 的斜率是否存在；② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式∆是否大于0，但要注意k 2－3≠0⇒k ≠±√3；③ 第二问方法一是利用三角形面积公式S ∆=12×底×高，得S =12∙|AB |∙d ，其中以弦长AB 为底，点F 1到直线AB 的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得S =12|F 1F 2||y 1－y 2|，此时要理解“不管AB 是在x 轴同侧还是异侧，公式依然成立”.【典题4】过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为π3的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且|AF|=|FC| ,|BC|=2． (1)求抛物线C 的方程；(2)直线l 交抛物线C 于D 、E 两点，且这两点位于x 轴两侧，与x 轴交于点M , 若OD →•OE →=4，求S △DFO +S △DOE的最小值．【解析】(1)过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A 1，过点B 作准线的垂线，垂足为 B 1， 设准线与x 轴交于点G ，如图所示，∵∠AFx =∠CBB 1=π3,BC =2，∴BB 1=1，∴BF =1，又点F 为AC 的中点， ∴AF =CF =BC +BF =3，∴|GF|=12|AA 1|=12|AF|=32，∴p =32，所以抛物线C 的方程为y 2=3x ．(注意抛物线定义和平几知识的运用) (2)设 D(x 1 ,y 1) ,E(x 2 ,y 2) , 设y 1>0 ,y 2<0， l DE ：x =my +t ，(这样设方程计算简便些)联立得方程组 {x =my +ty 2=3x ，得 y 2－3my －3t =0，∴{y 1+y 2=3m y 1y 2=−3t ， ∴OD →⋅OE →=x 1x 2+y 1y 2=y 123⋅y 223+y 1y 2=4，(曲线代换：利用抛物线方程消“x 1x 2”) ∴y 1y 2=3(舍去)或 y 1y 2=－12， ∴－3t =－12，∴t =4，即M(4 ,0)，∴S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅y 1+12|OM|⋅(y 1−y 2)=38y 1+2(y 1−y 2)=198y 1+(−2y 2)⩾2√198×2|y 1y 2|=2√194×12=2√57，(当且仅当198y 1=−2y 2，即y 1=8√5719,y 2=−√572时，取到等号) ∴S △DFO +S △DOE 的最小值为2√57．【点拨】在抛物线上设直线方程为l DE ：x =my +t 较为常见，同时也配合上三角形面积S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅|y 1|+12|OM|⋅|y 1−y 2|.【典题5】 已知A 、B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N ，交直线x =4于点P ，且直线PA 、PF 、PB 的斜率成等差数列，R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ 的中垂线交x 轴于T 点 (1)求椭圆C 的方程；(2)求△MNT 的面积的最大值.【解析】(1)由题意知a =2，A(−2 ,0)，设P (4 ,y 0) ,F(c ,0)，∴k PA =y 06 ,k PB =y 02 ,k PF =y 04−c, 依题意可知2y 04−c=y 06+y 02，解得c =1 ,∴b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)设R (x 1 ,y 1) ,Q(x 2 ,y 2)，∵R 和Q 的横坐标之和为2 ， ∴x 1+x 2=2， ∵R 、Q 均在椭圆上， ∴x 124+y 123=1 ① x 224+y 223=1 ② (点差法)①−②得 y 1−y 2x 1−x 2=−32(y1+y 2)，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR =TQ ，即√(t −x 1)2+y 12=√(t −x 2)2+y 22，化简得2t =2+y 12−y 22x 1−x 2=2+(y 1+y 2)y 1−y 2x 1−x 2=2−32=12，∴t =14， 即T(14,0). 设M (x 3 ,y 3) ,N(x 4 ,y 4)，直线MN:x =my +1与椭圆联立可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y 3+y 4=6m 3m 2+4 ,y 3y 4=−93m 2+4，(因为直线MN 过椭圆内一点F ，故m 可取全体实数R ，不需要考虑判别式∆>0) ∴|y 3−y 4|2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=144m 2+1(3m 2+4)2，令n =m 2+1≥1，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围) 则|y 3−y 4|2=144∙n(3n+1)2=144∙19n+1n+6∵y =9n +1n 在[1 ,+∞)是递增的，∴y min =10，(由对勾函数图像易得，由于n ∈[1 ,+∞)不能用基本不等式) ∴|y 3−y 4|max 2=144∙110+6=9，即|y 3−y 4|max =3，故S max =12∙FT ∙|y 3−y 4|max =12×34×3=98. 【点拨】① “R 和Q 的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ 方程导致计算量增大； ② 本题最重要的想法是求△MNT 的面积，用到了公式S =12∙FT ∙|y 3−y 4|，同时设直线方程为MN:x =my +1，联立方程时消x 得到y 的一元二次方程较易得到|y 3−y 4|的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④ 求函数形如y =a 1x 2+b 1x+c1a 2x 2+b 2x+c 2最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型. 巩固练习1(★★) 设F 1 ,F 2是椭圆x 29+y 26=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△F 1PF 2的面积等于 . 【答案】 2√3【解析】由|PF 1|+|PF 2|=6，且|PF 1|：|PF 2|=2：1， ∴|PF 1|=4,|PF 2|=2，又|F 1F 2|=2√9−6=2√3 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=42+22−(2√3)22×4×2=12，∴sin∠F 1PF 2=√32∴S F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=2√32(★★) 过双曲线x 23−y 2=1的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l , 交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 . 【答案】3√32【解析】不妨设点A 在第一象限，点B 在第四象限，因为∠OFB =60°, 双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程：y =±√33x ， 所以∠AOF =30°，所以∠FOB =30°，所以∠OBA =∠OBF =90°，所以|OB|=|OF|cos30°=√3．又∠AOB =60°，则∠OAB =30°，所以|OA|=2|OB|=2√3，所以|AB|=3， 从而△OAB 的面积为：12⋅|OA||OB|sin60°=3√32． 故选：C ．3 (★★) 抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ,N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，且NM →⋅NF →=0，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为 . 【答案】 6√2【解析】由抛物线C ：y 2=8x 可得焦点F(2,0)，准线方程为x =－2 由题意设N(－2,m)，M(0,n),设n >0，MF 的中点E(1，n2)，因为E 在抛物线C 上，所以n 24=8×1，所以n =4√2，① 因为：NM →=(2,n －m)，NF →=(4,－m)，又NM →⋅NF →=0，所以2×4－m(n －m)=0，即m(n －m)=8②， ① 代入②可得m =2√2，所以S △NMF =S △MFO +S 梯形NN ′OM －S △NN ′F=12×2×4√2+12(4√2+2√2)×2−12×4×2√2=6√24 (★★) 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的离心率为√5，虚轴长为4． (1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0 ,1)，倾斜角为45°的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求∆OAB 的面积． 【答案】 (1) x 2−y 24=1 (2) 43【解析】(Ⅰ)依题意可得{ca=√5 2b=4c2=a2+b2，解得a=1,b=2,c=√5，∴双曲线的标准方程为x2−y24=1．(Ⅰ)直线l的方程为y=x+1设A(x1,y1),B(x2,y2)由{y=x+1x2−y24=1可得3x2−2x−5=0，由韦达定理可得x1+x2=23,x1x2=−53即|AB|=√1+k2∙√(x1+x2)2−4x1x2=√2∙√49+203=8√23原点到直线l的距离为d=√22于是S∆OAB=12∙|AB|∙d=12∙8√23∙√22=43∴∆OAB的面积为43.5(★★) 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1 ,32)，离心率为12，左、右焦点分别为F1 ,F2，过F1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2CD的面积为12√27时，求直线的方程．【答案】(1)x24+y23=1(2)x－y+1=0或x+y+1=0【解析】(1)∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1,32)，∴1a2+94b2=1①，又∵离心率为12，∴ca=12, ∴b2a2=34②，联立①②得a2=4,b2=3．∴椭圆的方程为：x24+y23=1(2)①当直线的倾斜角为π2时，取C(−1,32),D(−1,−32)．S△ABF2=12|CD|•|F1F2|=12×3×2≠12√27，不适合题意．②当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程l：y=k(x+1)，代入x 24+y23=1得：(4k2+3)x2+8k2x+4k2－12=0设C(x1,y1),D(x2,y2)，则x1+x2=−8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，∴|CD|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[64k4(4k2+3)2−4(4k2−12)4k2+3]=12(1+k2)4k2+3．点F2到直线l的距离d=√1+k2∴S△ABF2=12|AB|•d=12|k|√1+k24k2+3=12√27，化为17k4+k2－18=0，解得k2=1，∴k=±1，∴直线方程为：x－y+1=0或x+y+1=0．6(★★★)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 ,F2，线段OF1 ,OF2的中点分别为B1 ,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．【答案】(1)e=25,x220+y24=1(2)169√10【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F2(c,0)∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即b=c2∵c2=a2－b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴e=ca =25√5在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=12|B1B2||OA|=c2⋅b=b2∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为x220+y24=1；(Ⅰ)由(Ⅰ)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my－2代入椭圆方程，消元可得(m2+5)y2－4my－16=0①设P(x1,y1)，Q(x2,y2)∴y1+y2=4mm2+5，y1y2=−16m2+5∵B 2P →=(x 1−2,y 1)，B 2Q →=(x 2−2,y 2) ∴B 2P →⋅B 2Q →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5∵PB 2⊥QB 2，∴B 2P →⋅B 2Q →=0 ∴−16m 2−64m 2+5=0，∴m =±2当m =±2时，①可化为9y 2±8y －16=0， ∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=89√10 ∴△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2||y 1－y 2|=12×4×89√10=169√10．7 (★★★) 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 是椭圆的焦点， 点A(0 ,－2)，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A 的直线与C 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】(1)x 24+y 2=1 (2) y =±√72x －2【解析】(1)设F(c,0)，由题意k AF =2c =2√33， ∴c =√3，又∵离心率ca =√32，∴a =2，∴b =√a 2−c 2=1，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，方程为y =kx －2， 联立直线与椭圆方程：{x 24+y 2=1y =kx −2，化简得：(1+4k 2)x 2－16kx +12=0，由△=16(4k 2－3)>0,∴k 2>34，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∴|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2，坐标原点O到直线的距离为d=√k2+1S△OPQ=12√1+k2∙4√4k2−31+4k2∙√k2+1=4√4k2−31+4k2，令t=√4k2−3(t>0)，则S△OPQ=4tt2+4=4t+4t，∵t+4t ≥4，当且仅当t=4t，即t=2时等号成立，∴S△OPQ≤1，故当t=2，即√4k2−3=2，k2=74>34，∴k=±√72时，△OPQ的面积最大，此时直线的方程为：y=±√72x－2．8(★★★★) 已知双曲线C的一个焦点为(−√5 ,0)，且过点Q(2√5 ,2)．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P(x0 ,y0)(y0≥1)在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(−√5<m<√5)、N，设过点F1 ,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准方程；(2) 求△F2DE的面积最大值．【答案】(1)x24−y2=1(2) 4√30【解析】(Ⅰ)知双曲线的左、右焦点分别为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，又∵双曲线过点Q(2√5,2)，∴2a=||QF1|−|QF2||=√(2√5+√5)2+(2−0)2−√(2√5−√5)2+(2−0)2=4，解得a=2,b=√5−4=1,则双曲线C的标准方程为x 24−y2=1；(Ⅰ)由F1、F2为C 的左右焦点，F1(−√5,0),F2(√5,0)，直线PF1方程为y=0x+√5+√5)，直线PF2方程为y=0x−√5−√5)，即直线PF1方程为y0x－(x0+√5)y+√5y0=0，直线PF2方程为y0x－(x0−√5)y−√5y0=0,由点M(m,0)在∠F1PF2的平分线上，则点M到直线PF1与到直线PF2的距离相等，故0√5y0√y02+(x0+√5)2=0√5y0√y02+(x0−√5)2由−√5<m <√5，y 0≥1，以及y 02=14x 02－1，解得x 0≥2√2，∴y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2，∴√5+m √52x 0=√5−m √52x 0m =4x 0，即M(4x 0,0)，直线PM 的方程为：y −y 0−0x 0−4x 0(x −4x 0)，令x =0，得y =−4y 0x 02−4=−1y 0，故点N(0,−1y 0)，∴k NF 1=0+1y 0−√5=√5y 0由{y =√5y +√5)x 2−4y 2=4，消去x 得(5y 02－4)y 2+10y 0y +1=0,设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),则y 1+y 2=−10y 05y2−4,y 1y 2=15y2−4,∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√5y 02+1|5y 02−4|，∴△F 2DE 的面积S =S △F 1EF 2−S △F 1DF 2=12|F 1F 2|×|y 1－y 2|=12×2√5×4√5y 02+1|5y 02−4|=4√5√t +5t，设5y 02－4=t,∵y 0≥1 ∴t ≥1，则△F 2DE 的面积S =4√5•√t+5t=4√5×√5t 2+1t =4√5×√5(1t +110)2−120，∴t =1时，即P 为(2√2,1)时，△F 2DE 的面积最大值为4√30．。
圆锥曲线定值定点问题
圆锥曲线定值定点问题圆锥曲线问题的解题规律可以概括为：“联⽴⽅程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、⽤参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破⼝，⼀点破译全局活。
定点、定直线、定值专题（2012?菏泽⼀模）已知直线l：y=x+，圆O：x2+y2=5，椭圆E：过圆O上任意⼀点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．2．（2012?⾃贡三模）；过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的⼤⼩是否为定值，并说明理由．3．（2013?眉⼭⼆模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离⼼率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的⾯积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．4．已知椭圆C的中⼼在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M．（1）求椭圆C的标准⽅程；（2）过圆O：上的任意⼀点作圆的⼀条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值．5．已知平⾯上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的⽅程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值②若直线BM，BN的斜率都存在并满⾜，证明直线l过定点，并求出这个定点．6．（2011?新疆模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离⼼率为，以原点为圆⼼，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的⽅程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另⼀点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；7．已知椭圆Ω的离⼼率为，它的⼀个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合．（1）求椭圆Ω的⽅程；（2）若椭圆上过点（x0，y0）的切线⽅程为．①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|，若存在，求出⼊的值；若不存在，说明理由．8．过椭圆C：的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2为定值．9．椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D 两点，并与x轴交于点P．直线AC 与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的⽅程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．10．（2008?闸北区⼆模）如图，椭圆C：，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最⼩值与最⼤值；（Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最⼤值为3，最⼩值为1．求椭圆C的标准⽅程；（Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满⾜AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．难题11．（2012?南京⼀模）在平⾯直⾓坐标系xoy 中，已知抛物线y 2=2px 横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（1）求抛物线的标准⽅程；（2）设点C 是抛物线上的动点，若以C 为圆⼼的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点．12．在四边形ABCD 中，已知A （0，0），D （0，4），点B 在x 轴上，BC ∥AD ，且对⾓线AC ⊥BD ．（Ⅰ）求点C 的轨迹⽅程；（Ⅱ）若点P 是直线y=2x ﹣5上任意⼀点，过点P 作点C 的轨迹的两切线PE 、PF ，E 、F 为切点，M 为EF 的中点．求证：PM ⊥x 轴；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF 是否恒过⼀定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．1、已知椭圆C 的中⼼在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最⼤值为3，最⼩值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2、已知椭圆C 的离⼼率3e 2=，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
圆锥曲线阿基米德三角形常用结论高中
圆锥曲线阿基米德三角形常用结论高中示例文章篇一：哎呀，亲爱的同学们，你们知道圆锥曲线里那个神奇的阿基米德三角形吗？这玩意儿可把我给难住好一阵子呢！咱先来说说什么是阿基米德三角形。
就好像我们搭积木，每一块积木都有它特定的位置和作用，阿基米德三角形在圆锥曲线里也是这样独特又重要的存在。
你看啊，当圆锥曲线和一条过它的焦点的直线相交，产生的两个交点和这条直线在准线上的射影，这三个点构成的三角形，就是阿基米德三角形啦！那它有啥常用结论呢？比如说，这个三角形的底边，也就是两个交点连成的线段，它的中点和抛物线的对称轴是平行的哟！这就好像我们走路，两条腿一左一右，保持平衡，而这个中点就像是平衡的中心点。
还有呢，阿基米德三角形的面积也有特别的算法。
这就好比我们计算自己零花钱的总数，得有个特定的公式才能算清楚。
老师在课堂上讲的时候，我同桌小明一脸懵，他悄悄跟我说：“这咋这么难啊？”我心里也嘀咕：“可不是嘛，这可真让人头疼！”但咱们不能被它吓倒啊，对不对？再比如说，阿基米德三角形的两条边和抛物线的切线之间还有特殊的关系。
这就好像是好朋友之间有着只有他们才懂的小秘密。
班上的学霸小红每次都能很快搞懂这些，我可羡慕啦，我就问她：“小红，你咋这么厉害，能教教我不？”小红耐心地给我讲解，我这才慢慢有点明白了。
总之，阿基米德三角形的这些常用结论虽然复杂，但只要我们认真去琢磨，多做练习题，就一定能掌握！难道我们还会被这点小困难打倒吗？肯定不会！我相信，只要我们努力，就一定能在圆锥曲线的世界里游刃有余！示例文章篇二：哎呀呀，一听到“圆锥曲线阿基米德三角形常用结论”这几个字，我就感觉脑袋嗡嗡的，这对于我这个小学生来说，简直就是超级大难题嘛！不过呢，为了搞清楚它，我还是硬着头皮去请教了我们学校的数学老师。
我记得那天，我小心翼翼地走进老师的办公室，心里像揣了只小兔子似的，怦怦直跳。
我怯生生地问老师：“老师，圆锥曲线阿基米德三角形常用结论到底是啥呀？”老师微微一笑，耐心地跟我解释起来。
圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用
46中学数学研究2021年第1期(上)圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用广西防城港市东兴市东兴中学(538100)吴中伟摘要求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•经过推导，发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式,并且这些表达式结构非常相似.关键词圆锥曲线；内接三角形;面积表达式求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•笔者发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式，并且这些表达式结构非常相似.引理在4ABC中，已知一B—(x i,y i),一1—(血,y2),则4ABC的面积S a abc—2|x i y2—血y i|.(x a cos a(a为y—b sin a参数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc——|sin(a2— a i)+sin(a i—a3)+sin(a3— a2)|.证明易知A(a cos a i,b sin a i),B(a cos a2,b sin a2), C(a cos a3,b sin a3),贝V a B—(a(cos a2—cos a i),b(sin a2—sin a i)),一1—(a(cos a3— cos a i),b(sin a3—sin a i)),由引理得，S a abc=2ab(cos a2— cos a i)(sin a3—sin a i)—ab(cos a3— cos a i)(sin a2—sin a i)ab=—cos a2sin a3— cos a2sin a i— cos a i sin a3+cos a i sin a i—(cos a3sin a2— cos a3sin a i S a abc-fx—a sec a，厶定理3已知A,B,C是双曲线|(a为参y—b tan a数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则sin(a2—a i)+sin(a i—a3)+sin(a3—a2)cos a i cos a2cos a3x b tan a 同理可证,焦点在y轴的双曲线=(a为参y—a sec a数)的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的双曲线的完全一样.接下来推导在参数方程条件下，抛物线的内接三角形的面积的统一表达式.x—2p t2定理4已知A,B,C是抛物线｛(t为参y=2pt数p>0)上的三点，它们对应的参数分别为t i,t2,t3,则S a abc—2p2|(t i—t2)血—t3)(t3—t i)|.特别的，若点C 为坐标原点，则S a abc—2p2|(t i—t2)t i t21证明易知A(2pt f,2pt i),B(2pt2,2pt2),C(2pt|,2pt3),则S a abc=2a B—a1=2p2|(t2—ti)(t3—t1)—(t3一ti)(t2一t1)=2p2(t i一 t2)(t2一t3)(t3一t i).显然，若C为原点，则S a abc—2p2|(t i— t2)t i t2〔.同理可证,其他情形的抛物线的内接三角形的面积表达式与定理4相同.基于以上的结论,本文从—cos a i sin+cos a i sin a i)豊|sin(a2-a i)+sin(a i— a3)+sin(a3-a2)同理可证,焦点在y轴的椭圆的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的椭圆的完全一样.利用类似的方法也易证得以下定理.亠.—x—a+r cos a「厶“定理2对于圆(a为参数)，A,B,Cy—b+r sin a是其三点，对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc r2—|sin(a2— a i)+sin(a i— a3)+sin(a3— a2)|.实例的角度，阐述这些公式在解决圆锥曲线的内接三角形面积问题的作用.例1已知椭圆C1:x+务=1(a>b>0)的左、右焦点为F i、F2,|F i F2—l/l,若圆Q方程(x—/l)l+(y—1尸=1,且圆心Q满足|QF i+|QF2=2a.(I)求椭圆C i的方程；(II)过点P(0,1)的直线l i:y—kx+1交椭圆C1于A、B两点，过P与l i垂直的直线h交圆Q于C、D两点, M为线段CD中点，若4MAB的面积为第1,求k的值.5解(I)略；(II)由(I)可知椭圆的参数方程为2021年第1期(上)中学数学研究47x—2cos ay=sin a(a为参数),与y—kx+1联立得V2sin a—2k cos a+1t i+t2—号,t i t2———.因为点M对应的参数为t—1,所以由定理3,得①S a ABM=8|(t i—t2)(t2—1)(1—t i)|代入sin2a+cos2a—1,整理得(2+4k2)cos2a+4k cos a—1=0.设A(2cos a.sin a i),B(2cos a2,sin a2)贝J-2k cos a i十cos a2=1+2k2联立①1①2得,■,■/2 sin a1十sin a2=1+2k2由①2①3得,|sin(a i-a2)|=|sin a2—sin a i|cos a i—cos a2—1 cos a i cos a2=2+4k2..1-4k2 sin a i sin a2=2+4k2V1+4k21+2k2，_2k/1+4k2=1+2k2，/2•/1+4k21+2k2因为Q(血,1)对应的参数为4,所以由定理1得①2①3S a qab=血 |sin(a i-a2)+sin(a2-寸)+sin(寸-a i)| =/2Lin(a i—a2)+(sin a2—sin a i)(cos a i—cos a2)=8J(t i+t2)2—4t i t2|—t i t2—1+t i+t2=\/(m2+4)(2m-3)2°令f(x)—(m2+4)(2m—3)2,贝」f z(m)—2(2m-3)(4m2-3m+8),33所以f z(m)—0的解为m=2,m e(—x>,2)时,f z(x)<0,322f(x)单调递减;m e$,+x>)时,f z(x)>0,f(x)单调递增;又因为m22,所以f(m)——f⑵—8,故三角形ABM面积的最小值为2/2.x2例3已知点F i是双曲线C:忑-y2—1的左焦点,点M为其右顶点，过点F i的斜率为1的直线交双曲线的左支于A,B两点，求AABM的面积.解由已知可知点F i(-/5,0),M(2,0),直线I ab:x—fx2sec a(a为参数),y—tan a得2sec a—tan a—a/5,即sin a—a/5cos a—2依题意得，sin(a i—a2)与cos a i—cos a2异号，所以①1S a qab—|sin a2-sin a i2W1+4k21+2k2因为M在线代入sin2a+cos2a—1,整理得6cos2a+cos a+3=0.段CD中点，所以MQ丄l2,又因为l i丄l2,所以MQ//l i,所以S a mab—S a qab,从而覚十誓—半，解得k—±/2.此时I2:y—士冷2x+1,圆心Q到^2的距离h=±畔x/2-1+1/<-,成立.例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2—设A(2sec a i,tan a i),B(2sec a2,tan02),贝」2/5一"3cos a i+cos a2联立①1①2得,sin a i+sin a2cos a i cos a212①24y,点P是C的准线I上的动点且其横坐标m22,过点P 作C的两条切线，切点分别为A,B.若点M的坐标为(4,4),求三角形ABM面积的最小值.{x—4t(t为参y=4t2数)，准线l:y——1,y z—1x.设A(4t i,4t f),B(4t2,4t2),点P(m,—1),则切线PA的方程为：y+1=2t i(x-m),把点A(4t i,4t f)代入上式，得4t f+1=2t i(4t i-m),即4t i-2mt i-1=0.同理可得,4t2-2mt2-1=0,故t i,t2是方程4t2-2mt-1—0的两个解.由根与系数关系得,23，2血I••=3,|s i n a2—sin a i1sin a i sin a2—------6①3^10因为由已知得M对应的参数为0,且sin(a i-a2)与由①①得，|sin(a i-a2)|sin a2—sin a i同号，所以由定理2,|sin(a i—a2)+sin a2+sin(—a i) S a abm—1----------------------------------------------|cos a i cos a22/2/10-丁；丁-竿(2+/5)2参考文献[1]吴中伟•一个三角形面积公式在解析几何中的应用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(3):40-42.。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
〔2〕双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。
〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
【高考数学】圆锥曲线20个速算公式和结论
( ) a(a2＋b2)
且以AB为直径的圆过双曲线的右顶点，则直线L过定点
，0
a2－b2
⑮ 中点弦结论：
x2 y2 已知双曲线 － =1（a＞0，b＞0），直线L：y=kx+m与双曲线交于A、B两点，
a2 b2
且AB中点为M（x0，y0），则有k=
b2 a2
x0 ·
y0
三、 抛物线 1、方程的公式、结论 ⑯ 切线方程、切点弦所在方程：
( ) a(a2-b2)
且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线L过定点
，0
a2+b2
⑨ 中点弦结论：
x2 y2 已知椭圆 + =1（a＞b＞0），直线L：y=kx+m与椭圆交于A、B两点，
a2 b2
且AB中点为M（x0，y0），则有k=－
b2 a2
x0 ·
y0
二、 双曲线
1、方程、离心率的公式、结论
【高考数学】 圆锥曲线20个速算公式
【考纲解读】
15.圆锥曲线与方程（理） （1）圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用。 ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的简单应用。 ⑤理解数形结合的思想。 （2）曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
过抛物线y2=2px（p＞0）上一点P(x0，y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)
过抛物线y2=2px（p＞0）外一点P(x0，y0)往抛物线作两条切线 分别切抛物线于A、B，则AB所在直线的方程为：y0y=p(x+x0)
专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点2 椭圆的直张角模型
专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点2 椭圆的直张角模型专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点2 圆锥曲线的直张角模型 【微点综述】圆锥曲线的弦对一些特征点（顶点、中心、焦点等）张角为直角的问题，是圆锥曲线中非常典型的问题，蕴涵着解析几何丰富的思维方法和思想精髓．近年来全国各地的高考对这方面内容的考查也方兴未艾、精彩不断．本文试图对历年的高考数学试卷中的这类问题罗列、归纳与思考，以便于我们的高考复习作些参考． 一、中心直张角模型【定理1】直线:1l Ax By +=与椭圆()2222:10,0,x y C a b a b a b+=>>≠交于,P Q 两点，O为椭圆中心，设O 到PQ 的距离为d ，则OP OQ ⊥的充要条件是22222111A B a b d+=+=，即d =证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线l 设为y kx m =+，联立得2222,1,y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()2222222220a kb x mka x a m b +++-=，判别式()()()()222222222222222440mka a k b a m b a b a k b m ∆=-+⋅-=+->，由韦达定理()22221212222222,a m b mka x x x x a k b a k b-+=-=++． 必要性：()()2212121212,10OP OQ OP OQ x x y y k x x mk x x m ⊥∴⋅=+=++++=，()()22222222222210a m b mka k mk m a k b a k b -⎛⎫∴+⋅+-+= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222221a b m k a b +=+． 从而原点O 到直线l的距离22222111d A B a b d =∴+=+=． 充分性：因为原点O 到直线l的距离d =2222221m a b k a b =++， ()()()()()()22121212122222222222222222222221110,OP OQ x x y y k x x mk x x m a m b a b m k a b mka k mk m a k b a k b a k b ∴⋅=+=++++-+-+⎛⎫=+⋅+-+== ⎪+++⎝⎭OP OQ ∴⊥．拓展：在OP OQ ⊥前提下，能否解决Rt POQ ∆面积或弦长PQ 的最值问题． 【定理1推广】直线:1l Ax By +=与椭圆()2222:10,0,x y C a b a b a b+=>>≠交于,P Q 两点，O 为椭圆中心，设O 到PQ 的距离为d ，若OP OQ ⊥，则（1）d =（2）2222,2POQ a b ab S a b ∆⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（3）,PQ ⎡∈． 证明：（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，121111,,cos ,sin OP r OQ r x r y r θθ====，则()()2222cos 90,sin 90x r y r θθ=+︒=+︒．,P Q 在椭圆()2222:10,0,x y C a b a b a b +=>>≠上， ()()()()222222112222cos 90sin 90cos sin 1,1r r r r a b a bθθθθ+︒+︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴+=+=， 即222222222212cos sin 1sin cos 1,a b r a b r θθθθ+=+=，两式相加得2222122222222212121111,r r a b a b r r a b r r +++=+∴=， 又OP OQ ⊥，OP OQd PQ⋅∴====．（2）由于()2222224422224422121cos sin sin cos 111sin cos sin cos r r a b a b a b a bθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222222442222442211211sin cos sin 24a b a b a b a b a b a b θθθ-⎛⎫=+-+=+⎪⎝⎭， 且()2222440,0sin 214a b a bθ->≤≤，()2222222122244222212112,,,,42POQ a b a b a b ab r r ab S r r a b a b a b a b ∆⎡⎤+⎡⎤⎢⎥∴∈∴≤≤∴∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦． （3）22121222112,,22POQa b S rr PQ d rr PQ d PQ d PQ ab a b ∆==⋅∴=⋅∴≤⋅=≤+，PQ ≤≤PQ ∈． 同定理1的方法可得如下的定理2～定理6（证明过程省略）．【定理2】直线:1l Ax By +=与双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>交于,P Q 两点，O 为双曲线中心，设O 到PQ 的距离为d ，则OP OQ ⊥的充要条件是22222111A B a b d+=-=，d =即【定理3】直线:1l Ax By +=与抛物线()2:20C y px p =>交于,P Q 两点，O 为抛物线的顶点，则OP OQ ⊥的充要条件是21Ap =，此时直线l 过定点()2,0p ． 对于双曲线、抛物线，仿椭圆情形证明有如下推广： 【定理2推广】直线:1l Ax By +=与双曲线()2222:10x y C b a a b -=>>交于,P Q 两点，O 为双曲线中心，设O 到PQ 的距离为d ，若OP OQ ⊥，则（1）d =（2）2222,POQ a b S b a ∆⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭；（3）PQ ⎡⎫∈+∞⎪⎭． 【定理3推广】直线:1l Ax By +=与抛物线()2:20C y px p =>交于,P Q 两点，O 为抛物线的顶点，若OP OQ ⊥，则（1）直线l 过定点()2,0p ；（2）)24,POQ S p ∆⎡∈+∞⎣． 二、非中心直张角模型【定理4】直线l 与椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，00(,)M x y 为椭圆上不同于,A B 两点的一个定点，则MA MB ⊥的充要条件是直线l 恒过定点()()2222002222,x a b y b a N a b a b ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭． 【定理5】直线l 与()2222:1,0,x y C a b a b a b-=>≠交于,A B 两点，00(,)M x y 为双曲线上不同于,A B 两点的一个定点，则MA MB ⊥的充要条件是直线l 过定点2222002222,a b b a N x y b a a b ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭． 【定理6】直线l 与()2:20C y px p =>交于,A B 两点，00(,)M x y 为抛物线上不同于,A B两点的一个定点，则MA MB ⊥的充要条件是直线l 过定点202,2y N p y p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 三、应用举例例1．（2022山东山东·高二月考）1．已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值；(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由． 例2．（2022重庆一中高三月考） 2．已知椭圆C ：22142x y +=.(1)若直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()1,1E ，求直线l 的斜率；(2)如图，已知椭圆Γ：()222210,2x y a b a a b +=>>>与椭圆C 有相同的离心率，过椭圆Γ上的任意一动点()()000,2P x y x ≠±作椭圆C 的两条不与坐标轴垂直的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率1k ，2k 的积恒为定值，试求椭圆Γ的方程及12k k ⋅的的值. 例3．（2022·浙江绍兴·高二期末）3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =过椭圆C 的焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l x y t λ=+交椭圆C 于A 、B 两点，若y 轴上存在点P ，使得PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，求PAB 的面积的取值范围． 例4．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）4．设点()00,P x y 是抛物线2:4y x Γ=上异于原点O 的一点，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交Γ于()11,A x y 、()22,B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同）． (1)已知点()3,0Q ，求PQ 的最小值； (2)若06y =，直线AB 的斜率是3k ，求123111k k k +-的值； (3)若02y =，当0PA AB ⋅=时，B 点的纵坐标的取值范围． 例5．（2022·四川达州·高二期末）5．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点是圆22:1O x y +=与x 轴的交点，椭圆C 的长半轴长等于圆O 的直径．(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 的右顶点，点B 在线段F A 上，直线BD ，BE 与椭圆C 的一个交点分别是D ，E ，直线BD 与直线BE 的倾斜角互补，直线BD 与圆O 相切，设直线BD 的斜率为()0k k <．当BD =时，求k ． 例6．（2022·福建漳州·二模）6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BQ AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？ 【强化训练】 （2022河北·二模）7．已知圆x 2+y 2=17与抛物线C :y 2=2px (p >0)在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y =x 对称. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM ⊥AN ，求点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程.（2022河南·中牟县第一高级中学模拟预测）8．已知圆2217x y +=与抛物线C ：()220y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C的准线在x 轴上方的交点为B ，且A ，B 两点关于直线y x =对称． （1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程．（2022北京八中高二期末）9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点到准线的距离为2，直线过x 轴正半轴上定点(,0)M a 且交抛线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)若12OA OB ⋅≤，求a 的取值范围． （2022·江西·临川一中高二期末）10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =过点)2．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试探究在平面内是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅是一个确定的常数？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． （2022·广东珠海·高三期末）11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左顶点A 到上顶点B F 为右焦点．(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （不同于A ，B 两点），且直线BM BN ⊥时，求F 在l 上的射影H 的轨迹方程．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. （2022·山西运城·高三月考）13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点Q 在椭圆C 上，且满足124QF QF +=. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 为椭圆C 的右顶点，设直线l 与椭圆C 交于异于点P 的,M N 两点，且PM PN ⊥，求||||PM PN ⋅的最大值. （2022全国·高三月考）14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为(2,1)P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，则直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． （2022·安徽六安·一模）15．已知椭圆()222:11x C y a a+=>的左右焦点分别是1F ，2F ，右顶点和上顶点分别为A ，B ，2BF A △的面积为32(1)求椭圆C 的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角BMN ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.16．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率为k 的直线l 过1F 且与椭圆E 相交于A ，B 两点，2ABF △的周长为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设线段AB 的中垂线m 交x 轴于N ，在以NA ，NB 为邻边的平行四边形NAMB 中，顶点M恰好在椭圆E上，求直线l的方程.17．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是()1,0F，O为坐标原点．(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有222||||||OA OB AB+<，求a的取值范围．18．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．（⊥）写出C的方程；（⊥）若OA⊥OB，求k的值；（⊥）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|．参考答案：1．(1)2214x y +=(2)83(3)存在；点T 的个数为2【分析】（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS 的方程，表达出点M ，N 的坐标，利用基本不等式求出线段MN 的长度的最小值；（3）先求出BS 的长度，得到T 到直线BS的距离等于2S SB =，利用点到直线距离得到T 所在的直线方程，结合根的判别式得到点T 的个数.【详解】（1）220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.（2）直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN的长度的最小值为83.（3）由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故SB == 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：456225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=，则由=解得：32t=-或52t=-，当32t=-时，32x y+-=，联立椭圆方程2214xy+=得：275304y y--=，由9350∆=+>得：32x y+-=与椭圆方程有两个交点；当52t=-时，52x y+-=，联立椭圆方程2214xy+=得：295504y y-+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T的个数为2．2．(1)12-(2)22184x y+=，1212k k=-【分析】（1）设()11,M x y，()22,N x y，利用点差法计算即可得出结果；（2）由题意设椭圆Γ：22222x y b+=，设椭圆C过点()00,P x y的切线方程为l：y kx m=+，联立，由()222200Δ04242m k y kx k=⇒=+⇒-=+，化简整理得2220000(4)220x k x y k y--+-=，则212224yk kx-=-，而2220022x y b=-+，化简可得()212222224yk ky b-=---,要使之恒为定值，只需212224b=-，计算可得结果.（1）设()11,M x y，()22,N x y，则221124x y+=，222224x y+=两式相减并整理得：()()121212121202MNy yx x y y kx x--+-=⇒==--；（2）由题得椭圆Γ的离心率e=222a b=，因此椭圆Γ：22222x y b+=，设椭圆C过点()()000,2P x y x≠±的切线方程为l：y kx m=+，其中00y kx m=+，即00m y kx=-，且2220022x y b+=，即2220022x y b=-+联立：()22222,214240142y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 因为l 与椭圆C 相切，所以()222200Δ04242m k y kx k =⇒=+⇒-=+整理得2220000(4)220x k x y k y --+-=，视为k 的一元二次方程，则其两根即为1k ，2k由韦达定理，得20122024y k k x -=-，而2220022x y b =-+，故()22001222220022224224y y k k y b y b --==--+--- 上式要恒为定值，即与0y 无关，则212224b =-，得24b =， 此时()201220212842y k k y -=-=---， 综上，椭圆Γ：22184x y +=，1212k k =-.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．(1)2214x y +=(2)416,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由条件可得222221c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解出即可； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，取AB 的中点()00,M x y ，联立直线与椭圆的方程消元，算出AB ，00,x y ，然后可算出MP ，然后由AB PM 21=可得22544t λ=+≥，然后表示出PAB 的面积可得答案. （1）令x c =，得2by a =±，所以222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程：2214x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，取AB 的中点()00,M x y ，因为PAB 为以AB 为斜边的等腰直角三角形，所以PM AB ⊥且AB PM 21=， 联立2244x y t x y λ=+⎧⎨+=⎩得()2224240y ty t λλ+++-=，则12221222444t y y t y y λλλ-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩．⊥12AB y =-=又⊥120224y y t y λλ+-==+，⊥00244tx y t λλ=+=+，且MP k λ=-，0p x =，⊥0244tMP λ==+，由AB PM 21=得22544t λ=+≥，⊥245t ≥． ⊥()()()2222222116161532254PABt S AB PM PM t t λλ=⋅==+=-⋅+△2163525t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭416,55⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．4．(1) (2)3；(3)()(),610,-∞-⋃+∞；【分析】（1）根据两点之间的距离公式，结合点P 坐标满足抛物线，构造PQ 关于0x 的函数关系，求其最值即可；（2）根据题意，求得点P 的坐标，设出AP 的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得A 点坐标，同理求得B 点坐标，再利用斜率计算公式求得123111k k k +-即可；（3）根据题意，求得点P 的坐标，利用坐标转化0PA AB ⋅=，求得关于1y 的一元二次方程，利用其有两个不相等的实数根，即可求得2y 的取值范围. （1）因为点P 在抛物线上，故可得2004y x =，又PQ ==≥01x =时，取得最小值故PQ 的最小值为 （2）当06y =时，故可得09x =，即P 点的坐标为()9,6；则PA 的直线方程为：()169y k x -=-，联立抛物线方程：24y x =，可得：211424360k y y k -+-=，故可得1146y k +=， 解得：11146k y k -=，又21114x y ==2121(46)4k k - 故可得211211(46)46(,)4k k A k k --同理可得：222222(46)46(,)4k k B k k --， 又AB 的斜率3k =2121212121222221212122222121464646464(46)(46)(46)(46)44k k k k y y k k k k k k k k x x k k k k -------==⨯------- 22122121121222221221121212(46)(46)4()44(46)(46)(4412)(44)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅--⋅--=⨯=⨯---+--1212121214114(3)3k k k k k k k k =⨯=+-+-，即1231113k k k +-=.故123111k k k +-为定值3. （3）当02y =时，可得200114x y ==，此时()1,2P ， 因为,A B 两点在抛物线上，故可得221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222121121(1,2),(,)444y y y PA y AB y y =--=--，因为0PA AB ⋅=，故可得222121121(1,2)(,)0444y y y y y y --⋅--=，整理得：222121121(1)()(2)()044y y y y y y --⋅+-⋅-=，212121121(4)()()(2)()044y y y y y y y y --+⋅+--=， 因为,,P A B 三点不同，故可得1212,y y y ≠≠， 则121(2)()1016y y y +++=，即21212122160y y y y y ++++=，21212(2)2160y y y y ++++=，此方程可以理解为关于1y 的一元二次方程，因为1121,?2,y R y y y ∈≠≠，故该方程有两个不相等的实数根， 222(2)4(216)0y y ∆=+-+>，即2222448640y y y ++-->， 故2224600y y -->，则22(10)(6)0y y -+>，解得210y >或26y <-.故点B 纵坐标的取值范围为()(),610,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考察直线与抛物线相交时的范围问题，定值问题，解决问题的关键是合理且充分的利用韦达定理，本题计算量较大，属综合困难题. 5．(1)22143x y +=；(2)-1.【分析】（1）由题设可得2,1a c ==，求出参数b ，即可写出椭圆C 的方程；（2）延长线段DB 交椭圆C 于点E '，根据对称性设B ()(),012m m <<，DE '为x ty m =+，0t <，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得()()22227434t m m t -=-+，直线DE '与圆O 相切可得221m t =+，进而求参数t ，即可求直线BD 的斜率.（1）因为圆22:1O x y +=与x 轴的交点分别为1,0，()1,0，所以椭圆C 的焦点分别为1,0，()1,0，⊥221a b -=，根据条件得2a =，⊥23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）延长线段DB 交椭圆C 于点E '，因直线BD 与直线BE 的倾斜角互补，根据对称性得BE BE ='． 由条件可设B 的坐标为()(),012m m <<，设D ，E '的纵坐标分别为1y ，()2120y y y >>，直线DE '的方程为x ty m =+，0t <．由于BD =，即BD '=，所以12y y =． 由223412x ty m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2223463120t y tmy m +++-=． ⊥122634tm y y t +=-+，212231234m y y t -=+．⊥222634tm y y t =-+⊥，222231234m y t -=+⊥，由⊥得：22634tm y t =+，代入⊥得()()2222222364931234346t m m t t -⨯=++，⊥()()22227434t m m t -=-+．⊥直线:DE x ty m '=+与圆22:1O x y +=相切，1=，即221m t =+．⊥()()()222271334t t t t -+=-+，解得21t =，又0t <，⊥1t =-，故11k t==-，即直线BD 的斜率1k =-．【点睛】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D ，E '的纵坐标的数量关系，设直线DE '的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可. 6．(1)221102x y +=(2)存在【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解. （1）依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b +=，将点)P代入C 得251110b +=， 解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+， 1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅， 又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k mk mkx xmk x x mm k k +-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得NQ NA ⋅等于定值1. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 7．(1)y 2=16x (2)2x +y -38=0【分析】（1）通过所给的作图分析，尤其是关于y =x 对称点的条件，可以求出抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用向量表达垂直的方法，可以得出结论. （1）依题意，作图如下：由于点B 在准线上，设,2p B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于关于y =x 对称，所以,2p A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，由22172p m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，以及222p pm ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得p =8，m =1， 所以抛物线的方程为：216y x = ，()1,4A - ； （2）设M (2116y ，y 1)，N (2216y ，y 2)，直线MN 的方程为x =my +n ，将直线MN 的方程代入y 2=16x 得y 2-16my -16n =0， 所以y 1+y 2=16m ，y 1y 2=-16n . 因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN =(2116y -1，y 1+4)·(2216y -1，y 2+4)=2212(-16)(-16)256y y +(y 1+4)(y 2+4)=0，由题意可知y 1≠-4，y 2≠-4，所以(y 1+4)(y 2+4)≠0. 所以12(-4)(-4)256y y +1=0，即y 1y 2-4(y 1+y 2)+272=0，所以-16n -64m +272=0，即n =-4m +17，所以直线MN 的方程为x =m (y -4)+17，所以直线MN 过定点P (17，4)， 当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大， 此时直线MN 的方程为2x +y -38=0. 故答案为：216y x =，2x +y -38=0. 8．（1）216y x =；（2）2380x y +-=．【分析】（1）先求点B 根据对称性得点A ，再将点A 代入抛物线方程即可求得p 值； （2）设直线MN 的方程为x my n =+，代入抛物线方程，得1216y y m +=，1216y y n =-，结合AM AN ⊥即可得417n m =-+，所以直线MN 过定点()17,4P ，当MN AP ⊥时，点A 到直线MN 的距离最大，则方程可解．【详解】解：（1）将2p x =-代入2217x y +=，得y =所以2p B ⎛- ⎝，由点A ，B 关于直线y x =对称，可得2p A ⎫-⎪⎪⎭，将A 的坐标代入抛物线C 的方程得224p =8p =， 所以抛物线C 的方程为216y x =． （2）由（1）得()1,4A -，设211,16y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的方程为x my n =+，将直线MN 的方程代入216y x =，得216160y my n --=，()26440m n ∆=+>，所以1216y y m +=，1216y y n =-． 因为AM AN ⊥，所以()()()()22221212121216161,41,44401616256y y y y AM AN y y y y --⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由题意可知14y ≠-，24y ≠-，所以()()12440y y ++≠， 所以()()124410256y y --+=，即()121242720y y y y -++=，所以16642720n m --+=，即417n m =-+，满足0∆>，所以直线MN 的方程为()417x m y =-+，所以直线MN 过定点()17,4P ，当MN AP ⊥时，点A 到直线MN 的距离最大当MN AP ⊥时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2380x y +-=．【点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；(2)强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 9．(1)24y x = (2)06a <≤【分析】（1）由焦点到准线的距离为焦参数p 可得抛物线方程；（2）设直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入12OA OB ⋅≤可得a 范围． （1）焦点到准线的距离为2，则2p =，抛物线方程为24y x =； （2）直线斜率不为0，设直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24x ty ay x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty a --=，所以124y y t +=，124y y a =-， 12221212()()OA OB x x y y ty a ty a y y ⋅=+=+++221212(1)()t y y at y y a =++++，因为12OA OB ⋅≤，所以2224(1)412a t at a -+++≤，又0a >，解得06a <≤．10．(1)221128x y +=(2)存在，定点8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线AB 的方程并与椭圆方程联立，结合QA QB ⋅是常数列方程，从而求得定点Q 的坐标. （1）222222221c a b b e a a a-===-，2223b a =， 由题可得：222222222123:11286481b a x y a C b a b ⎧=⎪⎧=⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩. （2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()2y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组22(2)1128y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222223121220k x k x k +++-=，可得21221223k x x k -+=+，()212212223k x x k -=+ 所以()()()()()()11221212,,22QA QB x a y b x a y b x a x a kx k b kx k b ⋅=--⋅--=--++-⋅+- ()()()2222212121244k x x k bk a x x k kb b a =++--++-++()()()2222222221221212442323k k k k bk a k kb b ak k --=+⋅+--⋅+-++++ ()()22222233124821223ab a k kb a b kλ++--++-=+则()()2222233124382120a b a k kb a b λλ++---++--=恒成立，则2222331243080120a b a b a b λλ⎧++--=⎪=⎨⎪+--=⎩，解得83a =-，0b =，449λ=-，此时8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即存在定点8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件449QA QB ⋅=-当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝－2，可得A ⎛- ⎝，2,B ⎛⎝-， 设(),Q a b 要使得QA QB ⋅是一个常数，即()221622,23a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--⋅--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，也使得449QA QB ⋅=-成立；综上所述：存在定点8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件449QA QB ⋅=-.11．(1)2214x y +=(2)223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由题意可得24a =，225a b +=，可求出,a b ，再由222a b c =+可求得c ，从而可求出椭圆C 的方程和离心率；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程消去y ，整理后利用根与系数的关系，结合1BM BN k k ⋅=-，可求出m 的值，从而可得直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，求出,M N 的坐标，结合1BM BN k k ⋅=-可求出t 的值，得F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，从而可求出射影H 的轨迹方程 【详解】（1）由题意可得：24a =，225a b +=，222a b c =+， 可得2a =，c =1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a ==（2）当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程2214x y +=，得：()()222418410k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩． 因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为1-，所以1BM BN k k ⋅=-，所以()()()22121212111BM BNk x x k m x x m k k x x +-++-⋅==-．将()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩代入，整理化简得：()()1530m m -+=， 所以1m =或35m =-．由直线:l y kx m =+，当1m =时，直线l 经过()0,1，与B 点重合，舍去， 当35m =-时，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，则M t ⎛ ⎝，,N t ⎛ ⎝， 因为1BM BNk k ⋅=-1⎛ =- ⎪⎝⎭，解得0=t ，舍去． 综上所述，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆， 其30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)F，所以圆心310⎫-⎪⎪⎝⎭，半径5r =所以圆的方程为223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即为点H 的轨迹方程． 12．（1）2219x y +=；（2）不存在.【分析】（1）列a,b,c 的方程组即可求解；（2）设直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，由点差法得kk'1==-，得0x 推出矛盾即可【详解】（1）由题意:点（c,13±）在椭圆上，故222222c a c 11a 9bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，⊥2a 9=，2b 1=，⊥椭圆C 的标准方程为：22x y 19+=；（2）（点差法）：设()11A x ,y ，()22B x ,y ，AB 的中点为()00P x ,y ，椭圆C的右焦点为()F ，直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，则：22112222x 9y 9x 9y 9⎧+=⎨+=⎩，⊥()()()()12121212x x x x 9y y y y 0-++-+=，⊥()0121212120x y y x x k x x 9y y 9y -+==-=--+，k'=⊥kk'1==-，即：()0x 3,34=-，故不存在. 【点睛】本题考查椭圆方程，点差法应用，遇到“弦中点”问题，注意点差法的应用，是中档题13．(1)22143x y +=；(2)28849.【分析】(1)根据题意求出a 、b 、c 即可；(2)根据题意设l ：x my t =+(t ≠2)，联立l 与椭圆C 的方程，由0PM PN ⋅=求出t 为定值，再求出弦长MN ，求出点P 到直线l 的距离d ，即可求出PMN S △，根据m 的范围求出PMN S △的最大值，又根据12PMN S PM PN =⋅△即可求出||||PM PN ⋅的最大值. （1）22222122241431c a a x y a b C a b c c ⎧==⎪⎧⎪⎪=⇒=+=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩：； （2）()2,0P ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()()11222,,2,PM x y PN x y =-=-， ⊥PM ⊥PN ，⊥0PM PN ⋅=，且12PMN S PM PN =⋅△. 由题可知直线l 斜率不为0，设l 方程为x my t =+(t ≠2)，()222224363120143x my t m y mty t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 22Δ043t m >⇒<+(*)，则122643mt y y m -+=+，212231243t y y m -=+，则122843t x x m +=+，2212241243t m x x m -=+，()()()12121212122224PM PN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++++222222841231224434343t t m t m m m --=-⋅++++++2222216412312161243t t m t m m -+-+-++=+ 22716443t t m -+=+， ⊥227164043t t m-+=+，即22716407t t t -+=⇒=或t ＝2(舍). 27t =时，l 过定点(27，0)，则(*)恒成立.P (2，0)到直线l ：x －my －t ＝0的距离d =12127M y y N =-=1112227PMNSd MN =⋅=⨯=8s =≥，则226449s m -=，则()2236443449s m -+=+，则()22727272·449433643449PMNs s Ss s s s ===+-++， ⊥43s s+在s ≥8时单调递增，⊥当s ＝8时，PMN S △取最大值72144449388=+⨯，⊥1144249PMNSPM PN =⋅≤，⊥28849PM PN ⋅≤. 即PM PN ⋅的最大值是28849. 【点睛】本题关键是利用⊥PMN 的面积的最大值来求PM PN ⋅的最大值，将问题转化为常规的椭圆内部三角形面积的问题. 14．(1)22182x y +=(2)直线l 过定点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)由题意列出相应的方程组,解得答案;（2）考虑直线斜率是否存在的情况，然后斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合0PA PB ⋅=，化简整理,从而可得直线过定点，直线斜率不存在时同理可求直线过该定点，由此可得答案. （1）由题意得222222411,,c a ba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得a b c = 所以椭圆C 的方程是22182x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0PA PB ⋅=可知，A ,B 异于点P , 若直线l 的斜率存在，设直线方程为y kx t =+，联立22182y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()222148480k x ktx t +++-=， 由Δ0>得22280k t +->，则有2121222848,1414kt t x x x x k k -+=+-=+, 又0PA PB ⋅=，所以()()()()121222110x x y y --+--=，又1122,y kx t y kx t =+=+，所以()()()()12122211PA PB x x kx t kx t ⋅=--++-⋅+-()()()()2212121214k x x kt k x x t =++--++-+，故()()()()222221488(2)2541014kt kt kt k t t k PA PB k+----+-++⋅==+，即2212165230k kt t t ++--=，又22212165231216(53)(1)(653)(21)0k kt t t k kt t t k t k t ++--=+++-=+++-=． 故6530k t ++=或210k t +-=，若210k t +-=，则直线l 为21y kx k =-+，过定点(2,1)P ，与题意矛盾， 所以210k t +-≠，故6530k t ++=，所以直线l 为6355y kx k =--，过点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为1x x =，则2121,x x y y ==-，又2211182x y +=，所以221124x y =-，所以()()()()()()()22121211111522112114304x x y y x y y x x --+--=-+---=-+=， 解得165x =或12x =（舍去），故直线l 的斜率不存在时，l 也过点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线l 过定点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时过定点的问题，综合性较强，解答的关键是要理清解题的思路，条理要清晰，难点是运算量大而且繁杂，要十分细心.15．(1)2219x y +=(2)存在，有三个【分析】（1）由()()2113222BF ASa cb ac =-=-=3a c -=-然后可解出答案； （2）设BM 边所在直线的方程为1y kx =+，联立直线与椭圆的方程，解出点M 的坐标，然后可得BM ，用1k-代替BM 中的k 可得BN ，然后由BM = BN 求解即可.（1）由题意得 2221,b a c =-= ⊥ 因为()()2113222BF ASa cb ac =-=-=，所以3a c -=-⊥ 由⊥⊥得3a c +=+，由⊥⊥得3,a c ==所以椭圆C 方程为2219x y +=；（2）假设能构成等腰直角BMN ，其中B (0， 1)，由题意可知，直角边,BM BN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BM 边所在直线的方程为1y kx =+(不妨设0k >)联立直线方程和椭圆方程得：22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2291180k x kx ++= 2222181818,,1919191M k k k x M k k k ⎛⎫∴=-∴--+ ⎪+++⎝⎭BM ∴=，用1k -代替上式中的k，得21BN k ==+ 由BM BN ==， 即329910k k k -+-=，()()2181014k k k k k ∴--+=∴==或，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形. 16．（1）22184x y +=；（2）)2y x =+.【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义即可求出椭圆标准方程；（2）先设出直线方程及A ，B 点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得到A ，B 点坐标之间的关系.再利用中垂线性质及平行四边形中的向量等式得到M 点坐标，最后把M 点坐标代入椭圆方程求出斜率得到直线方程.【详解】解：（1）由2ABF △的周长为4a =，所以a = 又椭圆E的离心率e =则2c =，2b =，故椭圆E 的标准方程为：22184x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率0k ≠，设直线l ：()2y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y 由()222{28y k x x y =++=可得()2222128880kxk x k +++-=显然0∆>，2122812k x x k +=-+，21228812k x x k -=+ 则AB 中点22242,1212k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，AB 中垂线m 方程为：2222141212k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 所以222,012k N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM NA NB =+， 即2221122222222,,,121212M M k k k x y x y x y k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以221222261212M k k x x x k k =++=-++，122412M k y y y k =+=+由22264,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在椭圆E 上，则()()42222236161812412k k k k +=++，解得42k =，即k =故直线l 的方程为)2y x =+.【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程、性质及直线与椭圆的位置关系，关键是利用向量工具表示点的坐标，采用设而不求，属于中档题. 17．(1)22143x y +=(2)⎫⎪⎝+⎭∞⎪【分析】（1）根据1c =，结合短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a ，b ，求出椭圆的方程即可；（2）首先利用222OA OB AB +<的几何条件，将其转化为0OA OB ⋅<.然后设AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助韦达定理，将结果代入向量的坐标关系中即可求出参数a 的取值范围. （1）设M ，N 为短轴的两个三等分点，MNF 为正三角形，所以OF =，213b =，解得b =2214a b =+=， 所以椭圆方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， （⊥）当直线AB 与x 轴重合时，2222OA OB a +=，()22241AB a a =>，因此，恒有222OA OB AB +<.（⊥）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入22221x y a b+=，整理得()2222222220a b m y b my b a b +++-=，2122222b m y y a b m +=-+，22212222b a b y y a b m-=+因恒有222OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角， 即()()11221212,,0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立．()()()()21212121212121111x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++()()22222222222222222222221210mb a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m +--+-+=-+=<+++， 又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对R m ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对R m ∈恒成立，当R m ∈时，222m a b 最小值为0，所以22220a b a b +-<，()22241a b a b <-=，0a >，0b >，221a b a ∴<=-，即210a a -->，解得a >a <（舍去），即a >i ）（ii ），a 的取值范围为⎫⎪⎝+⎭∞⎪．18．（⊥）2214y x +=，（⊥）略.【详解】(I)根据椭圆定义可知a=2,c =所以b=1,再注意焦点在y 轴上，曲线C 的方程为2214y x +=.(II) 直线与椭圆方程联立，消y 得关于x 的一元二次方程，再根据OA ⊥OB 坐标化为，借助直线方程和韦达定理建立关于k 的方程，求出k 值.(III)要证：|OA |>|OB |,2222221122()OA OB x y x y -=+-+12123()()x x x x =--+1226()4k x x k -=+，再根据A 在第一象限，故10x >,120x x ->,从而证出结论.解：（⊥）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==， 故曲线C 的方程为2214y x +=． 3分（⊥）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足 221{4 1.y x y kx +==+， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 5分 若OA OB ⊥，即．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++，化简得2410k -+=，所以12k =±． 8分（⊥）2222221122()OA OB x y x y -=+-+22221212()4(11)x x x x =-+--+12123()()x x x x =--+ 1226()4k x x k -=+．因为A 在第一象限，故10x >．由12234x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故220OA OB ->，即在题设条件下，恒有OA OB >． 12分。
圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
（3）在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。
又因为此种问题找得分点比较容易，所以千万不要放弃。