1.1.2 弧度制 优秀课件
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课件13： 1.1.2 弧度制
跟踪训练 1.将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________；②－15°＝________；③－151π＝________． 解析：①20°＝20×18π0＝π9. ②－15°＝－15×18π0＝－1π2. ③－151π＝－151π×180π°＝－396°. 答案：π9 －1π2 －396°
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心 角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，
l＋2r＝10，① 依题意有12lr＝4，②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4. 当 r＝1 cm 时，l＝8 cm，此时 θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当 r＝4 cm 时，l＝2 cm，此时 θ＝24＝12(rad)．
自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度指的是 1 度的角．( × )
(2)弧长为 π，半径为 2 的扇形的圆心角是直角．( √ )
解析：(1)错误.1 弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为 π，半径为 2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．
2.85π弧度化为角度是(
c 所以当 l＝2c时，Smax＝1c62 ，此时 α＝rl＝c－2 2c＝2，
2
所以当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形的面积有最大值1c62 .
规律方法 (1)求扇形的弧长和面积 ①记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12αr2(其中 l 是 扇形的弧长，α 是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)． ②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的 计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵 活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
1.1.2弧度制PPT(共18张)
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
第13页，共18页。
三、例题(lìtí)
例1：把67°30′化成弧度。 解：
例2：把
3 —π
弧度化成度。
5
解：
第14页，共18页。
零角的弧度数
正数
负数 零
第6页，共18页。
任一已知角α的弧度(húdù)数的绝对值
l
r
α 其中 l为以角 作为圆心角时所对圆弧的长,r
为圆的半径.
l = |α| r (弧长计算公式) 第7页，共18页。
提问：为什么可以用弧长与其(yǔqí)
半径的比值来度量角的大小呢？即
这个比值是否与所取的圆B 的半径大
60°
90°
第3页，共18页。
小问题2：在平面几何中，1弧度的角是怎样 定义的？
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫
做1弧度(húdù)的角。“弧度”常用“rad”表示。
设弧AB的长为L，
若L=r， 则∠AOB=
L r
=1
弧度
B
L=r
1弧度
Or A
若L=2r，则∠AOB
=
L r =2
第4页，共18页。
弧度
若L=3r，则∠AOB =
L r
=3
弧度
3r
3rad
r
若圆心角∠AOB表示(biǎoshì)一个负角，且
它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧
度数的绝对值是
L r
=
3，
即∠AOB=－
第13页，共18页。
三、例题(lìtí)
例1：把67°30′化成弧度。 解：
例2：把
3 —π
弧度化成度。
5
解：
第14页，共18页。
零角的弧度数
正数
负数 零
第6页，共18页。
任一已知角α的弧度(húdù)数的绝对值
l
r
α 其中 l为以角 作为圆心角时所对圆弧的长,r
为圆的半径.
l = |α| r (弧长计算公式) 第7页，共18页。
提问：为什么可以用弧长与其(yǔqí)
半径的比值来度量角的大小呢？即
这个比值是否与所取的圆B 的半径大
60°
90°
第3页，共18页。
小问题2：在平面几何中，1弧度的角是怎样 定义的？
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫
做1弧度(húdù)的角。“弧度”常用“rad”表示。
设弧AB的长为L，
若L=r， 则∠AOB=
L r
=1
弧度
B
L=r
1弧度
Or A
若L=2r，则∠AOB
=
L r =2
第4页，共18页。
弧度
若L=3r，则∠AOB =
L r
=3
弧度
3r
3rad
r
若圆心角∠AOB表示(biǎoshì)一个负角，且
它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧
度数的绝对值是
L r
=
3，
即∠AOB=－
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
3.无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
课件6：1.1.2 弧度制
答案：4 cm2
(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的 圆心角是多少弧度？面积是多少？
解：设扇形的弧长为 l， 由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝2(π－1)R， 所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.
谢谢观看！
解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，
将－30°化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z.
题型三 扇形的弧长及面积公式
例 3 (1)若圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍，则( )
题型二 用弧度制表示角的集合
例 2 已知角 α＝2 005°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角．
解：(1)2
005°＝2
π 005×180
rad＝40316π
rad＝5×2π＋4316π
答案：(1)D (2)2
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的 圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
解：设弧 AB 的长为 l(cm)，扇形半径为 r(cm)， 由题意得l12＋lr＝2r＝ 4，10，解得rl＝＝24，或rl＝＝81，(舍)， 故 α＝24＝12(弧度)，AB＝2×4sin 14＝8sin 14(cm)．
变式训练 3 (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2， 则扇形的面积为________．
解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8， 解得 r＝2，则 l＝4. 故扇形的面积 S＝12rl＝12×2×4＝4 (cm2)．
(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的 圆心角是多少弧度？面积是多少？
解：设扇形的弧长为 l， 由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝2(π－1)R， 所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.
谢谢观看！
解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，
将－30°化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z.
题型三 扇形的弧长及面积公式
例 3 (1)若圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍，则( )
题型二 用弧度制表示角的集合
例 2 已知角 α＝2 005°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角．
解：(1)2
005°＝2
π 005×180
rad＝40316π
rad＝5×2π＋4316π
答案：(1)D (2)2
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的 圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
解：设弧 AB 的长为 l(cm)，扇形半径为 r(cm)， 由题意得l12＋lr＝2r＝ 4，10，解得rl＝＝24，或rl＝＝81，(舍)， 故 α＝24＝12(弧度)，AB＝2×4sin 14＝8sin 14(cm)．
变式训练 3 (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2， 则扇形的面积为________．
解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8， 解得 r＝2，则 l＝4. 故扇形的面积 S＝12rl＝12×2×4＝4 (cm2)．
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
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第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
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第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
1.1.2弧度制课件
§1.1.1弧度制
知识回顾：什么是角度制？
我们已学习过角的度量，规定周角 1 的 360 为1度的角，这种用度作为单位来 度量角的单位制叫做角度制。
周角等于360o 平角等于180o 直角等于90o
60° 90°
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角．
记作1 rad
r
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制 用弧度表示角的大小时，只要不引起误解， 可以省略单位，例如： 1 rad, rad, 2π rad可分别写成：
rad
练习:把下列各角从度化为弧度
16
rad
（1）22°30′ （2）-210° （3）1200°
把下列各角从弧度化为度:
(1)
5
3 5
(2)
解：
3 .5
3.5rad
1800
解： 3
rad
o
3 180o 5
3.5
108
200.54o
练习:把下列各角从弧度化为度 （1）
0
6
4
3
2 3 4 2 3
5 6
3 2 2
角的概念推广以后, 在弧度制下,角的集合与 实数集R之间就建立起一一对应关系:
角的集合
实数集R
正角 零角 负角
正实数 零 负实数
这种对应关系使得数学中与角相关的运算变得简洁, 相关 公式也有了更简单的形式．
例1. 按照下列要求，把67 °30化成弧度： （1）精确值；
注意：一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值 是唯一 确定的，与半径大小无关
所以我们有：
360o=2πrad 180o=πrad o = rad≈0.01745rad 1 180 180 1 rad = 度≈57.30o
知识回顾：什么是角度制？
我们已学习过角的度量，规定周角 1 的 360 为1度的角，这种用度作为单位来 度量角的单位制叫做角度制。
周角等于360o 平角等于180o 直角等于90o
60° 90°
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角．
记作1 rad
r
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制 用弧度表示角的大小时，只要不引起误解， 可以省略单位，例如： 1 rad, rad, 2π rad可分别写成：
rad
练习:把下列各角从度化为弧度
16
rad
（1）22°30′ （2）-210° （3）1200°
把下列各角从弧度化为度:
(1)
5
3 5
(2)
解：
3 .5
3.5rad
1800
解： 3
rad
o
3 180o 5
3.5
108
200.54o
练习:把下列各角从弧度化为度 （1）
0
6
4
3
2 3 4 2 3
5 6
3 2 2
角的概念推广以后, 在弧度制下,角的集合与 实数集R之间就建立起一一对应关系:
角的集合
实数集R
正角 零角 负角
正实数 零 负实数
这种对应关系使得数学中与角相关的运算变得简洁, 相关 公式也有了更简单的形式．
例1. 按照下列要求，把67 °30化成弧度： （1）精确值；
注意：一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值 是唯一 确定的，与半径大小无关
所以我们有：
360o=2πrad 180o=πrad o = rad≈0.01745rad 1 180 180 1 rad = 度≈57.30o
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT) 公开课一等奖课件
7π 180 7π 7 (3) ＝ π × 12 ° ＝ × 180° ＝ 7× 15° ＝ 105° ； 12 12 11π 11 (4)－ ＝－ × 180° ＝－ 396° . 5 5
【名师点评】 (1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓 住关系式 π rad＝ 180° 是关键．由它可以得到： 度数× π 180 ＝弧度数，弧度数× ( )° ＝度数． 180 π
【名师点评】
表示角的集合，既可以用角度，也
可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度 又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用 弧度制表示的角，在“α ＋ k· 360°， (k ∈ Z)”中， α
必须是用角度制表示的角．
跟踪训练 2．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内 (不包括边界)的角的集合．
(2)弧度制
半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 长度等于 __________
1 rad 弧度的角，记作__________.
(3)角的弧度数的求法
正数 ，负角的弧度数 正角的弧度数是一个________ 负数 ，零角的弧度数是_____. 0 是一个_______
想一想 “α＝1”这种写法有意义吗？ 提示：有意义，表示1弧度的角．
做一做
1.下列说法正确的是________． ①1弧度是1度的圆心角所对的弧； ②1弧度是长度为半径的弧； ③度与弧度是度量角的两种不同的度量单位； ④ 1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角 的一种度量单位．
答案：③④
2．角度与弧度的互化
π 360° ＝ ________rad； 180° ＝ ____rad ；
解： (1)如图 (1)， 330° 角的终边与－ 30° 角的终边相同， π 将－30° 化为弧度，即－ ， 6 π 5π 而 75° ＝75× ＝ ， 180 12 ∴终边落在阴影部分内 (不包括边界 )的角的集合为 π 5π {θ|－ ＋ 2kπ<θ< ＋ 2kπ，k∈ Z}． 6 12
课件12： 1.1.2 弧度制
答案： (1)× (2)× (3)×
2．将下列弧度与角度互换
(1)－29π＝________； (2)2＝________；
(3)72°＝________； (4)－300°＝________. 解析： (1)－29π rad＝－92×180°＝－40°.(2)2 rad＝2×1π80°＝3π60°.
(3)920°＝920×1π80 rad＝496π rad.(4)－72°＝－72×1π80 rad＝－25π rad.
答案：(1)24°
(2)－216°
46 (3) 9 π rad
(4)－25π rad
2．若扇形的周长为 4 cm，面积为 1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数
是________．
解析：设扇形所在圆的半径为 r cm，扇形弧长为 l cm.
π (2)10
rad＝1π0×1π80°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×1π80°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
规律方法 角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
跟踪训练
1．将下列角度与弧度进行互化．
(2)β1＝35π＝35π×1π80°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得 k＝－2，或 k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－π3＝－60°， 设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得 k＝－1，或 k＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与 β2 终边相同的角是－420°.
2．将下列弧度与角度互换
(1)－29π＝________； (2)2＝________；
(3)72°＝________； (4)－300°＝________. 解析： (1)－29π rad＝－92×180°＝－40°.(2)2 rad＝2×1π80°＝3π60°.
(3)920°＝920×1π80 rad＝496π rad.(4)－72°＝－72×1π80 rad＝－25π rad.
答案：(1)24°
(2)－216°
46 (3) 9 π rad
(4)－25π rad
2．若扇形的周长为 4 cm，面积为 1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数
是________．
解析：设扇形所在圆的半径为 r cm，扇形弧长为 l cm.
π (2)10
rad＝1π0×1π80°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×1π80°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
规律方法 角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
跟踪训练
1．将下列角度与弧度进行互化．
(2)β1＝35π＝35π×1π80°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得 k＝－2，或 k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－π3＝－60°， 设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得 k＝－1，或 k＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与 β2 终边相同的角是－420°.
1.1.2 弧度制 课件 (25张)(优秀经典公开课比赛课件
公式分别是 l n R , S n R2
180
360
n°转换为弧度 n
180
S 1R2
2
S 1 lR 2
归纳升华
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小，而
1
是圆的
终边x轴上： k (k Z ) 终边y轴上： k (k Z )
2
课堂小结
（1） 180 弧度； (2）“角化弧”时, 将n乘以180 ；
“弧化角”时，将α乘以180 ；
（3）弧长公式：l r
扇形面积公式： S 1 lr 1 r2
22
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
作业
不渴望能够一跃千里，只 希望每天能够前进一步。
1 360
所对的圆心角
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
当堂检测
（1）与角－1825º的终边相同，且绝对值最 小的角的度数是＿－2＿5º ＿，合＿＿356＿ 弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
例1 按照下列要求,把67°30′化成弧度: (2)精确到0.001的近似值.
(2)利用计算器
MODE
2 MODE
67 °′″ 30 °′″
SHIFT
DRG 1
= 1.178097245
因此,67°30′≈1.178 rad
例2 将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精 确到0.001)
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
【名师点评】
表示角的集合，既可以用角度，也
可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度 又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用 弧度制表示的角，在“α ＋ k· 360°， (k ∈ Z)”中， α
必须是用角度制表示的角．
跟踪训练 2．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内 (不包括边界)的角的集合．
(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
跟踪训练
1．将下列角转化为另一种度量形式表示． 3 (1)－ 18° ； (2) π； (3)－2 rad. 10
π π 解：(1)－18° ＝ ×(－ 18) rad＝－ rad. 180 10 3 3 180 (2) π＝ π·( )° ＝54° . 10 10 π 180 (3)－ 2 rad＝－2× ( )° ≈－57.30° × 2＝－114.60° . π
π 180 1° ＝ __________rad ≈ 0.017
2π
45 rad；
1
180 rad＝ (________)° ≈ 57.30° ＝ 57° 18′ . π
做一做 2.填表：
度
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
弧度
0
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6
π 答案： 6
3．扇形的弧长及面积公式
公式 度量制 角度制 弧度制 弧长公式 nπr l＝ 180 l＝ |α|· r 扇形面积公式 nπr2 S＝ 360 1 1 2 S＝ lr＝ |α|r 2 2
做一做
5π 3.半径为 2，圆心角为 的圆弧的长度为________， 3 扇形面积为________．
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1.1.2
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.2
[情境导学]
初中几何研究过角的度量，
规定周角的
1 360
作为1°的角．我们把用度做单
位来度量角的制度叫做角度制， 在角度制下，当两个带着度、分、秒各单
位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困
1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，
∠AOB就是1弧度的角．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
1.1.2
思考 2 如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l，那么 α 的弧度 数与 l、r 之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
明目标、知重点
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1.1.2
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
1.1.2
1．度量角的单位制
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° π ππ π π 弧度 0 180 6 4 3 2
度 120° 135° 150° 180°270° 360°
2π 弧度 3
3 5π 4π 6
3π π 2 2π
1.1.2
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
3. 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类 α 为角度制
别
扇形的弧长
l＝
απR 180
α 为弧度制 l＝ α·R
扇形的面积
S＝ απR2 360
S＝ 12l·R＝ 21α·R2
(1)角度制
用
度
作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定
1
度的角等于周角的
1 360
.
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读
作弧度．以 弧度 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
1.1.2
思考3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．
答 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角 的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值 是|α|＝rl. 这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－71π2化成角度． 解 (1)∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad.
(2)－71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
(
AB 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数
0
没旋转
0
0°
π 2r
顺时针方向
－π2
πr
逆时针方向
π
－90° 180°
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
2πr 顺时针方向
－2π
πr
逆时针方向
π
180
180
r
逆时针方向
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制
本节知识目录
明目标、知重点
弧
填要点、记疑点
度
制
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1.1.2
探究点一 弧度制 探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形
面积公式 探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录Leabharlann 探要点、究所然 当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
2．角度制与弧度制的换算
(1) 角度化弧度
360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
1°＝
π 180
rad≈0.017 45 rad
弧度化角度
2π rad＝ 360°
π rad＝ 180°
1 rad＝
180 π
°≈57.30°
1.1.2
明目标、知重点
填要点、记疑点
难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十
进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制—弧度制．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
1.1.2
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你 能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
1
2r
顺时针方向
－2
－360° 1°
180 π
360 π
1.1.2
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
1.1.2
规律：如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么 α 的弧度 数的绝对值是rl，即|α|＝rl.
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探要点、究所然
探究点一 ：弧度制
1.1.2
思考 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad 1°＝1π80 rad
π rad＝ 180° 1 rad＝1π80°
填要点、记疑点
1.1.2
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角的弧度数是 零 ．
③角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝对值 是|α|＝ l .
r
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1.1.2
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺