最全大学高等数学函数、极限与连续
大学《高等数学》函数、极限与连续习题
大学《高等数学》函数、极限与连续习题1．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t2．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-3．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2xx f =，()4x x g = B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g4．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin x x y =B ．x xe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 5．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,06．函数2101-=-x y 的反函数是( )A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y7．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 8．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件9．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 10．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值11．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以nn 2-为极限 D ．不存在在极限 12．=∞→xx x 1sinlim ( ) A ．∞ B ．不存在 C ．1 D ．013．=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．2114．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零15．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
《高等数学(上)》函数、极限与连续
26
四、 反函数
定理1.1
调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函
数的反函数也是单调增加(减少)的.
27
本讲内容
01
预备知识
02
函数的概念
03
函数的性质及四则运算
04
反函数
05
复合函数
06
初等函数
07
建立函数关系举例
五、复合函数
定义1.5 设有函数链
y f (u ), u D f ，
(1.1)
3.双曲函数与反双曲函数
函数名称
函数的表达式
函数的图形
函数的性质
e − e−
双曲正弦 sh =
2
定义域 −∞, +∞ ;
奇函数；
单调增加.
e + e−
双曲余弦 ch =
2
定义域 −∞, +∞ ;
偶函数；
图像过点(0,1).
e + e−
双曲正切 th =
e + e−
定义域 −∞, +∞ ;
的开区间，记作(a, b)，如图1.1 a 所示.
即(a, b) x a x b.
O
a
b
x
（a）
2 满足不等式a x b 的所有实数x 的集合，称为以a、b为端点
的闭区间，记作[a, b]，如图1.1b 所示.
即[a, b] x a x b.
a
x 10，
1.6x，
即y
2.8x 12，x 10.
35
高等数学（上册）（慕课版）
第一章
函数、极限与连续
第二讲 极限的概念与性质
高等数学-第1章--函数、极限和连续§1.3无穷小和无穷大
旧课复习（5′） 1．数列的极限；2．函数的极限； 3．极限的四则运算； 4、两个重要极限 新课内容§1.3 无穷小与无穷大（53'）1、无穷小定义如果 lim ()0x f x →ℜ=，则称ℜ→x x f 是)(时的无穷小量，简称无穷小。
例如，函数24y x =-是当2x →时的无穷小，因为2lim(24)0x x →-=，注：（1）不要把无穷小与很小的数混为一谈。
无穷小表达的是量（函数）变化状态，而不是量的大小。
一个量不管多么小，都不是无穷小量。
零是惟一可作为无穷小的常数。
（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。
2、无穷大定义当x →ℜ时，()f x 无限增大，则称)(x f 是x →ℜ时的无穷大量，简称无穷大。
记作lim ()x f x →ℜ=∞。
例如，11lim1x x →=∞-，2lim x x →∞=∞。
注：（1）不要把无穷大与很大的数混为一谈。
（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。
（3）按极限的定义，为无穷大的函数的极限是不存在的，但为了讨论问题方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”。
3、无穷大与无穷小的关系 如果lim ()x f x →ℜ=∞，那么1lim0()x f x →ℜ=； 如果lim ()0x f x →ℜ=（lim ()0x f x →ℜ≠），那么1lim()x f x →ℜ=∞。
证明从略。
例1：计算分析：分母的极限为0，不能用商的极限法则。
分子的极限不为0，如果将分式倒过来则极限为0，因此可以根据无穷大与无穷小的关系计算此极限。
2123lim54x x x x →-=∞-+ 例2 计算2332lim 21x x x x →∞++-。
分析：∞→x 时分子∞→，分母∞→，不能使用商的极限法则，可以考虑分子分母同时除以分母的最高次幂3x解 23233232lim lim 021211x x x x x x x x x→∞→∞++==+-+-。
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
高等数学(一)学习笔记
对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|< ε 都成立，那幺就称 A 是函数 f(x)的极限，或者称 函数 f(x)收敛
于 A,记为 lim f (x) = A ,或 f(x) → A (x → ∞ ). x→∞
7、无穷小和无穷大
(1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x → x0 或 x → ∞ ).
反正弦函数：y=Arc
sin
x
定义域
D={ x
-1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π
π
为周期。若限制值域为[-
，
2
π
+ ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加
2
反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2π 为周期。若限制值域为[0，
(2)、无穷大，极限为 ∞ ，则称函数为无穷大(当 x → x0 或 x → ∞ ). (3)、无穷大与无穷小的关系：互为倒数(f(x) ≠ 0)
8、极限的运算法则 (1)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,则 lim[f(x)+g(x)]存在，且 lim[f(x)+g(x)]=A+B= limf(x)+ limg(x)。 (2)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,则 lim[f(x).g(x)]存在，且 lim[f(x).g(x)]=A.B= limf(x). limg(x)。(特例：如果 limf(x)存在，而 n 是正整数，则 lim[f(x)] n =[limf(x)] n 。
+ π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
高等数学基础知识
高等数学基础知识《高等数学》是大学中最为基础的一门课程。
那么你对高等数学了解多少呢?以下是由店铺整理关于高等数学基础知识的内容，希望大家喜欢!高等数学基础知识1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
4、向量代数与空间解析几何(数一)主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7、无穷级数(数一、数三)重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
高数函数-极限和连续总结
第一章函数.极限和连续第一节函数1.决定函数的要素：对应法则和定义域2.基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=x a）；（3）指数函数（y=a x，a>0,a≠1）;（4）对数函数（y=log a x，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。
注:分段函数不是初等函数。
特例：y=√x2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。
4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。
5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。
第二节极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x|>ð（或0<|x−x0|<ð）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x →∞f (x )=0 (或lim x →x0f (x )=A ) 2.极限存在的充要条件lim x →x0f (x )=A ↔lim x →x 0+f (x )=lim x →x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f (x )≪f 2(x ) ,且 lim x →x0f 1(x )=A = lim x →x0f 2(x ) 所以lim x →x0f (x )=A （2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。
4.无穷小量与无穷大量，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。
性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。
∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。
5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小，则 若则称 是比高阶的无穷小,记作 若 则称是比 低阶的无穷小若则称 是的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称是的等价无穷小,记作若 则称是关于 的 k 阶无穷小。
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
高等数学教材完整版
高等数学教材完整版一、引言高等数学是大学数学系列中的重要学科之一，它是为理工科学生提供数学分析、微积分和线性代数等基础知识的学科。
本教材旨在全面介绍高等数学的相关内容，帮助学生掌握数学分析的基本概念和理论，以及运用数学方法解决实际问题的能力。
二、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数定义1.2 基本初等函数介绍2. 极限与连续性2.1 极限的定义与性质2.2 无穷小量与无穷大量2.3 连续性的概念与判定方法三、微积分基础1. 导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算法则3.3 高阶导数与隐函数求导2. 微分中值定理与泰勒展开3.4 中值定理的证明与应用3.5 泰勒展开的推导与应用四、多元函数与多元微积分1. 多元函数的概念与性质4.1 二元函数的定义与图像4.2 多元函数的极值与最值2. 偏导数与全微分4.3 偏导数的定义与计算法则 4.4 全微分的概念与计算方法4.5 隐函数的偏导数与全微分五、重积分与曲线积分1. 二重积分与三重积分5.1 二重积分的定义与计算方法 5.2 三重积分的定义与计算方法2. 曲线积分与曲面积分5.3 曲线积分的计算与应用5.4 曲面积分的计算与应用六、常微分方程1. 基本概念与常微分方程的类型6.1 常微分方程的基本概念6.2 一阶常微分方程与二阶线性常微分方程2. 解常微分方程的基本方法6.3 可分离变量方程与线性方程6.4 齐次方程与一般线性方程的解法七、线性代数基础1. 线性方程组与矩阵7.1 线性方程组的高斯消元法7.2 矩阵的基本概念与运算法则2. 向量空间与线性变换7.3 向量空间的定义与基本性质7.4 线性变换的定义与矩阵表示法八、特征值与特征向量1. 矩阵的特征值与特征向量8.1 特征值与特征向量的定义8.2 特征多项式与特征方程2. 对角化与相似矩阵8.3 对角化与相似矩阵的性质8.4 矩阵的Jordan标准型九、常微分方程与线性代数的应用1. 同解与齐次线性方程组9.1 齐次线性方程组解的性质与分类9.2 矩阵指数与齐次线性方程组解的表示2. 非齐次线性方程组与常微分方程的应用9.3 非齐次线性方程组解的表示9.4 线性差分方程与常微分方程的关系十、总结与展望本教材通过对高等数学的系统讲解，使学生能够全面了解数学分析与微积分的相关理论与应用。
大三高数知识点
大三高数知识点高等数学是一门具有重要理论和应用价值的学科，对于大学理工类专业的学生来说，尤为重要。
在大三学年，高等数学进入到了一个更深入和复杂的阶段，涉及到了更多的知识点和概念。
本文将为你详细介绍大三高数的几个重要知识点。
1. 极限与连续极限与连续是高等数学的基础概念，也是大三高数课程的重点内容。
在极限的学习中，我们主要学习了函数极限、数列极限以及无穷小和无穷大的概念。
在连续的学习中，我们需要了解函数的连续性、间断点以及导数的连续性等重要内容。
2. 一元函数微分学一元函数微分学是大三高数中的一个重要分支，主要涉及到函数的导数和微分问题。
在这一部分的学习中，我们需要深入了解导数的定义、求导法则和高阶导数等内容，还需要学习一元函数的凹凸性、最大最小值以及函数的导数在图像上的应用。
3. 一元函数积分学一元函数积分学是高等数学中的另一个重要分支，与微分学相对应。
在这一部分的学习中，我们主要学习了不定积分和定积分的概念与性质，以及积分的基本公式和求法等内容。
同时，我们还需要了解定积分的几何意义和一元函数的平均值定理等重要知识点。
4. 二元函数微分学二元函数微分学是大三高数中的一个扩展部分，该部分主要学习了二元函数的偏导数和全微分，以及二元函数的极值和条件极值等内容。
在这一部分的学习中，我们需要掌握偏导数的定义和求导法则，还需要学习二元函数的一阶和二阶偏导数以及函数的最大最小值判定方法等重要知识。
5. 二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分是高等数学中的另外两个重要内容，与一元函数积分学相对应。
在二重积分的学习中，我们需要掌握二重积分的概念与性质，以及直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算方法。
在曲线积分的学习中，我们需要学习曲线积分的定义与性质，以及曲线积分的计算方法和应用等内容。
以上所述只是大三高数课程中的一部分重要知识点，希望能对你的学习有所帮助。
在学习中，我们应该注重理论与实践相结合，加强练习与应用能力的培养，从而更好地掌握和应用这些高数知识点。
高等数学-函数、极限与连续
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。
在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。
本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。
一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。
高数上册知识点总结
高数上册知识点总结高等数学是大学本科数学专业的一门重要课程，也是理工科学生必修的一门课程。
高等数学上册主要包括函数、极限与连续、导数与微分、一元函数的应用和多元函数的极限与连续等内容。
下面对高等数学上册的知识点进行总结，希望对大家的学习有所帮助。
第一部分：函数1.函数的概念：函数是一种特殊的映射关系，表示自变量和因变量之间的对应关系。
2.函数的表示方法：函数可以用解析式、表格、图像等形式来表示。
3.函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
4.初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
5.复合函数：由两个函数按一定规则组合而成的函数。
6.反函数：两个函数互为反函数当且仅当它们的复合函数是恒等函数。
7.函数的运算：加减乘除、复合、反函数。
第二部分：极限与连续1.极限的概念：当自变量无限逼近某一值时，函数的极限是指因变量的取值无限逼近于一个确定的值。
2.极限的计算方法：数列极限的四则运算法则、函数极限的性质和运算法则。
3.无穷小与无穷大：无穷小是指极限为零的数列或函数，无穷大是指趋于无穷的数列或函数。
4.函数的连续性：函数在某一点连续的条件是函数在该点的极限存在且等于函数在该点的值。
5.连续函数的性质：介值定理、零点定理、介值定理等。
6.间断点与光滑函数：间断点有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
第三部分：导数与微分1.导数的定义：函数在一点上的导数是函数在该点的切线斜率的极限。
2.导数的计算方法：基本导数公式、四则运算法则、导函数的求导法则等。
3.高阶导数：导函数的导数，二阶导数，三阶导数等。
4.微分学的应用：用导数来刻画函数的增减性、极值、凹凸性、弧长、曲率等。
5.隐函数与参数方程的导数：求隐函数和参数方程的导数的方法。
第四部分：一元函数的应用1.最值问题：求函数在给定区间上的最大值或最小值。
2.求解方程：用数学方法求解各种类型的方程。
3.微分方程：一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程和二阶线性常系数齐次微分方程的求解方法。
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第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：,,,∞→+∞→-∞→x x x 000,,x x x x x x →→→+-2．无穷小量：)(lim =x f称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim 0)(lim ≠+∞=⇔=x f x f x f 4．无穷小量的比较：0lim ,0lim ==βα⑴若0lim =αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c =αβlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlimββαα=㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：设：nn n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）且：a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域的一切点 （点x 0除外）有：)()()(x h x f x g ≤≤且：Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§1.3 连续一、 主要容 ㈠ 函数的连续性1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域有定义，1o0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续。
在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f bx =-→ 右端点左连续。
a0 b x5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：1o)(x f 在x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f 在x 处有定义，且)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断： 1o第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在。
可去间断点：)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→，或)(x f在0x 处无定义。
2o第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞，或)(lim 0x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→，)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2.复合函数的连续性：)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===)]([)(lim ),()(lim 0)(000x f u f x x x u x x ϕϕϕϕ==→→则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：)(),(),(001x f y x f x x f y ===-)()(lim )()(lim 01100y f y f x f x f y y x x --→→=⇔=㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。
m -M0 a b x2. 有界定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定有界。
3.介值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒在),(b a 至少存在一点ξ，使得：c f =)(ξ，其中：Mc m ≤≤x推论：)(x f 在],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间都是连续的。
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分 一、主要容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域有定义，x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00000)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 00)(0x x x x dxdy x f y ==='='2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。