人教全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总附详细答案
中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案.doc
中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案一、反比例函数1.如图,直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A( 1, 4), B 两点,延长AO 交反比例函数图象于点C,连接 OB.(1)求 k 和 b 的值;(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围;(3)在 y 轴上是否存在一点P,使 S△PAC △AOBP 坐标,若不存在请说= S ?若存在请求出点明理由.【答案】(1)解:将A( 1, 4)分别代入y=﹣ x+b 和得:4=﹣1+b,4=,解得:b=5,k=4(2)解:一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为:x> 4 或 0< x<1(3)解:过 A 作 AN⊥ x 轴,过 B 作 BM⊥ x 轴,由(1)知,b=5,k=4,∴直线的表达式为:y=﹣ x+5,反比例函数的表达式为:由,解得: x=4,或 x=1,∴B( 4,1),∴,∵,∴,过 A 作 AE⊥ y 轴,过 C 作 CD⊥y 轴,设 P( 0,t ),∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP( CD+AE)=|t|=3 ,解得: t=3, t=﹣ 3,∴P( 0, 3)或 P(0,﹣ 3).【解析】【分析】( 1)由待定系数法即可得到结论;(2)根据图象中的信息即可得到结论;( 3)过 A 作 AM⊥ x 轴,过 B 作 BN⊥ x 轴,由( 1)知, b=5, k=4,得到直线的表达式为: y=﹣ x+5,反比例函数的表达式为:列方程,求得B( 4 ,1),于是得到,由已知条件得到,过 A 作 AE⊥ y 轴,过 C 作 CD⊥ y 轴,设 P( 0,t ),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.2.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y= x 的图象交于点A、 B,点 B 的横坐标是4.点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB 的上方.(1)若点 P 的坐标是( 1, 4),直接写出 k 的值和△ PAB的面积;(2)设直线 PA、 PB 与 x 轴分别交于点 M、 N,求证:△PMN 是等腰三角形;(3)设点 Q 是反比例函数图象上位于P、 B 之间的动点(与点P、B 不重合),连接AQ、BQ,比较∠ PAQ与∠ PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解: k=4, S△PAB=15.提示:过点 A 作 AR⊥ y 轴于 R,过点 P 作 PS⊥y 轴于 S,连接 PO,设AP 与 y 轴交于点 C,如图 1,把x=4 代入 y= x,得到点 B 的坐标为( 4,1),把点 B(4, 1)代入 y= ,得 k=4.解方程组,得到点 A 的坐标为(﹣ 4 ,﹣ 1),则点 A 与点 B 关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线 AP 的解析式为y=mx+n,把点 A(﹣ 4,﹣ 1)、 P(1 ,4)代入 y=mx+n ,求得直线AP 的解析式为y=x+3,则点 C 的坐标( 0,3), OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC?AR+ OC?PS=× 3× 4+× 3× 1=,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P 作 PH⊥ x 轴于 H,如图 2.B( 4, 1),则反比例函数解析式为y=,设 P( m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线 PB 的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+﹣1,联立,解得直线PB 的方程为y=﹣x+ +1,∴M ( m﹣ 4, 0), N( m+4,0),∴H( m,0),∴MH=m ﹣( m﹣ 4) =4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH 垂直平分 MN ,∴PM=PN,∴△ PMN 是等腰三角形;(3)解:∠ PAQ=∠ PBQ.理由如下:过点 Q 作 QT⊥ x 轴于 T,设 AQ 交 x 轴于 D, QB 的延长线交 x 轴于 E,如图 3.可设点 Q 为( c,),直线AQ 的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线 AQ 的解析式为y= x+﹣1.当y=0 时, x+ ﹣1=0,解得: x=c﹣ 4,∴D( c﹣ 4, 0).同理可得 E ( c+4,0),∴ D T=c ﹣( c ﹣ 4) =4, ET=c+4﹣ c=4,∴ D T=ET ,∴QT 垂直平分 DE ,∴QD=QE ,∴∠ QDE=∠ QED .∵∠ MDA=∠ QDE ,∴∠ MDA=∠ QED .∵PM=PN , ∴ ∠PMN=∠ PNM .∵∠ PAQ=∠ PMN ﹣ ∠ MDA ,∠ PBQ=∠ NBE=∠ PNM ﹣ ∠QED ,∴∠ PAQ=∠ PBQ .【解析】 【分析】( 1)过点 A 作 AR ⊥y 轴于 R ,过点 P 作 PS ⊥ y 轴于 S ,连接 PO ,设 AP与 y 轴交于点 C ,如图 1,可根据条件先求出点 B 的坐标,然后把点 B 的坐标代入反比例 函数的解析式,即可求出k ,然后求出直线 AB 与反比例函数的交点A 的坐标,从而得到OA=OB ,由此可得 △PAB =2S △AOP , 要求 △ PAB 的面积,只需求 △ PAO 的面积,只需用割补S法就可解决问题;( 2)过点 P 作 PH ⊥ x 轴于 H ,如图 2.可用待定系数法求出直线PB 的解析式,从而得到点 N 的坐标,同理可得到点 M 的坐标,进而得到 MH=NH ,根据垂直平分线的性质可得 PM=PN ,即 △ PMN 是等腰三角形;( 3)过点 Q 作 QT ⊥ x 轴于 T ,设 AQ交 x 轴于 D ,QB 的延长线交x 轴于 E ,如图 3.可设点 Q 为( c , ),运用待定系数法求出直线 AQ 的解析式,即可得到点 D 的坐标为( c ﹣ 4, 0),同理可得 E ( c+4, 0),从而得到 DT=ET ,根据垂直平分线的性质可得 QD=QE ,则有 ∠ QDE=∠ QED .然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到 ∠ PAQ=∠ PBQ .3.如图,一次函数 y 1=k 1 x+b 与反比例函数 y 2= 的图象交于点 A (4, m )和 B (﹣ 8,﹣2),与 y 轴交于点C.(1) m=________, k1=________;(2)当 x 的取值是 ________时, k1 x+b>;(3)过点 A 作 AD⊥ x 轴于点 D,点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段 AD 交于点 E,当 S四边形ODAC: S△ODE=3: 1 时,求点 P 的坐标.【答案】(1) 4;(2)﹣ 8< x< 0 或 x>4(3)解:由( 1)知, y1= x+2 与反比例函数 y2= ,∴点 C 的坐标是( 0,2),点 A 的坐标是( 4, 4).∴CO=2, AD=OD=4.∴S 梯形ODAC= ?OD= × 4=12,∵S 四边形ODAC: S△ODE=3: 1,∴S△ODE= S 梯形ODAC= × 12=4,即OD?DE=4,∴D E=2.∴点 E 的坐标为( 4,2).又点 E 在直线 OP 上,∴直线 OP 的解析式是y=x,∴直线 OP 与 y2=的图象在第一象限内的交点P 的坐标为( 4,2).【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数 y2= 的图象过点 B(﹣ 8,﹣ 2),∴ k2=(﹣8)×(﹣ 2) =16,即反比例函数解析式为y2=,将点 A( 4, m)代入 y2= ,得: m=4,即点 A( 4,4),将点 A( 4, 4)、 B(﹣ 8,﹣ 2)代入 y1=k1 x+b,得:,解得:,∴一次函数解析式为y1=x+2,故答案为:4,;( 2 )∵ 一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数y2= 的图象交于点A( 4,4)和 B(﹣ 8,﹣ 2),∴当 y > y 时, x 的取值范围是﹣ 8< x<0 或 x> 4,1 2故答案为:﹣ 8< x< 0 或 x> 4;【分析】( 1)由 A 与 B 为一次函数与反比例函数的交点,将 B 坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将 A 的坐标代入反比例解析式中求出m 的值,确定出 A 的坐标,将 B 坐标代入一次函数解析式中即可求出k1 的值;( 2)由 A 与 B 横坐标分别为4、﹣ 8,加上0,将 x 轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x 的范围即可;( 3 )先求出四边形ODAC 的面积,由S 四边形ODAC:S△ODE=3: 1 得到△ ODE 的面积,继而求得点 E 的坐标,从而得出直线OP 的解析式,结合反比例函数解析式即可得.4.如图,已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A,曲线 DE 是双曲线y=(3≤x≤)12的一部分,记作 G1,且 D( 3, m)、 E(12, m﹣3),将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位,得到抛物线 G2.(1)求双曲线的解析式;(2)设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C,且 B 在 C 的左侧,则线段 BD 的长为________;(3)点( 6,n )为 G1与 G2的交点坐标,求 a 的值.(4)解:在移动过程中,若G1与 G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于M、 N 两点,若MN <,直接写出 a 的取值范围.【答案】(1)把 D( 3, m)、 E( 12, m﹣ 3)代入 y=得,解得,所以双曲线的解析式为y=;(2) 2(3)解:把( 6, n)代入 y= 得 6n=12,解得 n=2,即交点坐标为( 6, 2),抛物线G2的解析式为 y=﹣( x﹣ a)2+9,把( 6, 2)代入 y=﹣( x﹣ a)2 +9 得﹣( 6﹣ a)2+9=2,解得 a=6 ±,即 a 的值为 6±;(4)抛物线 G2的解析式为 y=﹣( x﹣ a)2+9,把 D( 3,4)代入 y=﹣( x﹣ a)2+9 得﹣( 3﹣a)2+9=4,解得 a=3﹣或 a=3+ ;把 E( 12, 1 )代入y=﹣( x﹣ a)2+9 得﹣( 12﹣ a)2+9=1,解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ;∵G1与 G2有两个交点,∴3+≤ a≤﹣12 ,设直线 DE 的解析式为y=px+q,把 D( 3,4), E(12, 1)代入得,解得,∴直线 DE 的解析式为y=﹣x+5,∵G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于 M、 N 两点,∴M ( a,﹣a+5), N( a,),∵MN <,∴﹣a+5﹣<,整理得 a2﹣13a+36 >0,即( a﹣ 4)( a﹣ 9)> 0,∴a< 4 或 a> 9,∴a 的取值范围为9< a ≤ 12﹣ 2.【解析】【解答】解:(2)当 y=0 时,﹣ x2+9=0,解得 x1=﹣ 3, x2=3,则 B(﹣ 3, 0),而 D( 3,4),所以 BE==2.故答案为 2;【分析】( 1)把 D( 3,m)、 E( 12, m﹣ 3)代入 y=得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、 E 点坐标;( 2)先解方程﹣x2+9=0 得到 B(﹣ 3, 0),而D(3, 4),然后利用两点间的距离公式计算DE 的长;( 3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6, 2),然后把( 6 , 2)代入y=﹣( x ﹣a)2+9 得 a 的值;( 4)分别把 D 点和 E 点坐标代入y=﹣( x﹣ a)2+9 得 a 的值,则利用图象和 G1与 G2有两个交点可得到3+≤ a≤﹣122 ,再利用待定系数法求出直线DE 的解析式为y=﹣ x+5,则 M( a,﹣a+5), N( a,),于是利用MN <得到﹣a+5 ﹣<,然后解此不等式得到a< 4 或 a> 9,最后确定满足条件的 a 的取值范围.5 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y=kx+b( k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的 A、B 两点,与 x 轴交于 C 点,点 B 的坐标为( 6 ,n ),线段 OA=5 , E 为 x 轴负半轴上一点,且 sin∠ AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△ AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围.【答案】(1)解:作 AD⊥ x 轴于 D,如图,在 Rt△ OAD 中,∵ sin∠ AOD==,∴AD= OA=4,∴OD==3,∴A(﹣ 3, 4),把 A(﹣ 3, 4)代入 y=得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B( 6,n )代入 y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把 A(﹣ 3, 4)、 B(6,﹣ 2)分别代入y=kx+b 得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当 y=0 时,﹣x+2=0,解得 x=3,则 C(3, 0),所以 S△AOC× 4× 3=6=(3)解:当 x<﹣ 3 或 0< x< 6 时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作 AD⊥ x 轴于 D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣ 3 ,4),再把 A 点坐标代入y= 可求得 m=﹣ 12,则可得到反比例函数解析式;接着把B( 6, n)代入反比例函数解析式求出n,然后把 A 和 B 点坐标分别代入 y=kx+b 得到关于 a、 b 的方程组,再解方程组求出 a 和 b 的值,从而可确定一次函数解析式;( 2 )先确定 C 点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.6.理数学兴趣小组在探究如何求tan15 °值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:的思路一如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB 至点 D,使 BD=BA,连接AD .设AC=1,则BD=BA=2, BC=.tanD=tan15 =°== .思路二利用科普书上的和(差)角正切公式:tan (α±β)=.假设α =60,°β =45代°入差角正切公式:tan15 °=tan( 60°﹣ 45°) ===.思路三在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以思路四请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1)类比:求出tan75 °的值;(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC 为测得 A, C 两点间距离为60 米,从 A 测得电视塔的视角(CD 的高度;30 米,在地平面上有一点A,∠CAD)为 45°,求这座电视塔(3)拓展:如图将直线 AB 绕点3,直线与双曲线交于A,B两点,与y 轴交于点C,C 旋转 45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P 的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:方法一:如图1,在Rt△ ABC 中,∠ C=90°,∠ ABC=30°,延长 CB 至点 D,使 BD=BA,连接 AD.设 AC=1,则BD=BA=2, BC=.tan∠ DAC=tan75°====;方法二: tan75 °=tan(45°+30°)====(2)解:如图2,在Rt△ ABC 中, AB===,sin∠BAC=,即∠BAC=30 .° ∵ ∠ DAC=45 ∴DB=AB?tan∠ DAB= °,∴ ∠ DAB=45+30° ?() =°=75 °.在R t△ ABD 中, tan∠ DAB=,∴ DC=DB﹣ BC=,=.答:这座电视塔CD的高度为()米(3)解:①若直线AB 绕点 C 逆时针旋转作 CD∥ x 轴,过点P 作 PE⊥ CD于 E,过点45°后,与双曲线相交于点A 作 AF⊥ CD于 F.P,如图3.过点 C解方程组:,得:或,∴点A(4,1),点B(﹣ 2,﹣ 2).对于,当x=0 时, y=﹣ 1,则C( 0 ,﹣ 1 ), OC=1,∴ CF=4, AF=1﹣(﹣ 1 ) =2 ,∴ tan∠ACF=,∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF) ===3,即=3.设点P 的坐标为( a, b),则有:,解得:或,∴点 P 的坐标为(﹣ 1,﹣ 4)或(,3);②若直线 AB 绕点 C 顺时针旋转45°后,与 x 轴相交于点 G,如图 4.由①可知∠ ACP=45°, P (,3),则C P⊥ CG.过点P 作PH⊥ y轴于H ,则∠GOC=∠ CHP=90 ,°∠ GCO=90 ﹣°∠ HCP=∠ CPH,∴△ GOC∽△ CHP,∴.∵CH=3 ﹣(﹣ 1) =4, PH=,OC=1,∴,∴ GO=3,G(﹣3,0).设直线CG 的解析式为,则有:,解得:,∴直线CG的解析式为.联立:,消去y,得:,整理得:,∵ △ = ,∴方程没有实数根,∴ 点P 不存在.综上所述:直线AB 绕点 C 旋转45°后,能与双曲线相交,交点P 的坐标为(﹣1,﹣ 4)或(, 3).【解析】【分析】 tan∠DAC=tan75°, tan∠ DAC 用边的比值表示 .在 Rt△ ABC 中,由勾股定理求出 AB,由三角函数得出∠ BAC=30°,从而得到∠ DAB=75°,在 Rt△ ABD 中,可求出DB, DC=DB﹣ BC.分两种情况讨论,设点 P 的坐标为( a, b),根据 tan∠ PCE 和 P 在图像上列出含有 a, b 的方程组,求出 a,b.利用已知证明△ GOC∽ △ CHP,根据相似三角形的性质可求出G 的坐标,设出直线CG的解析式,与反比例函数组成方程组消元,△ <0 点 P 不存在 .7.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A, B 两点,点 A 的坐标为( 2, 6),点 B 的坐标为( n, 1).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)点 E 为 y 轴上一个动点,若 S△AEB=10,求点 E 的坐标.【答案】(1)解:把点A( 2, 6)代入 y=,得m=12,则y=.把点 B(n,1)代入 y=,得n=12,则点 B 的坐标为( 12, 1).由直线 y=kx+b 过点 A(2, 6),点 B( 12,1)得,解得,则所求一次函数的表达式为(2)解:如图,直线AB 与y=﹣x+7y 轴的交点为P,设点 E 的坐标为(0, m),连接AE, BE,则点 P 的坐标为( 0, 7).∴P E=|m ﹣ 7| .∵S△AEB=S△BEP﹣ S△AEP=10,∴× |m﹣7| ×( 12﹣ 2) =10.∴|m ﹣ 7|=2 .∴m1=5, m2=9.∴点 E 的坐标为( 0,5)或( 0,9).【解析】【分析】( 1 )把点 A 的坐标代入反比例函数解析式,求出反比例函数的解析式,把点 B 的坐标代入已求出的反比例函数解析式,得出 n 的值,得出点 B 的坐标,再把A、 B 的坐标代入直线 y=kx+b,求出 k、 b 的值,从而得出一次函数的解析式;( 2)设点 E 的坐标为( 0,m),连接 AE, BE,先求出点 P 的坐标( 0, 7),得出 PE=|m ﹣7| ,根据S△AEB=S△BEP﹣ S△AEP=10,求出m 的值,从而得出点 E 的坐标.8.如图,已知二次函数的图象与y 轴交于点A(0, 4),与x 轴交于点B, C,点 C 坐标为(8, 0),连接AB,AC.(1)请直接写出二次函数的解析式.(2)判断△ ABC 的形状,并说明理由 .(3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A, N, C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标 .【答案】( 1)解:∵二次函数的图象与y 轴交于点A(0,4),与x 轴交于点 B.C,点C 坐标 (8,0),∴解得∴抛物线表达式:(2)解:△ ABC 是直角三角形 .令y=0,则解得 x1=8,x2=-2,∴点 B 的坐标为 (-2,0),由已知可得 ,在Rt△ ABO 中AB2=BO2+AO2=22+42 =20,在Rt△ AOC中AC2=AO2+CO2 =42+82=80,又∴ BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ ABC是直角三角形(3)解:∵ A(0,4),C(8,0),AC= =4,①以 A 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆 ,交轴于 N,此时 N 的坐标为 (-8,0),②以 C 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆, 交 x 轴于 N, 此时 N 的坐标为 ( ,0) 或( ,0)③作 AC 的垂直平分线 ,交 g 轴于 N,此时 N 的坐标为 (3,0),综上 ,若点 N 在轴上运动 ,当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为(-8,0) 、( ,0)、 (3,0)、,0)【解析】【分析】 (1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得 B 的坐标 ,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10 然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形 (3)分别以 A.C 两点为圆心 ,AC 长为半径画弧 ,与 m 轴交于三个点 ,由 AC 的垂直平分线与 c 轴交于一个点 ,即可求得点 N 的坐标9.已知抛物线 y= ax2+bx+c( a≠0)过点 A( 1,0), B(3, 0)两点,与 y 轴交于点 C ,OC = 3.(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;(2)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P 的坐标;(3)若点 Q 为线段 OC上的一动点,问: AQ+ QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.【答案】( 1)解:函数的表达式为:y= a( x﹣ 1)( x﹣ 3)= a( x2﹣ 4x+3),即: 3a=3,解得: a=1,故抛物线的表达式为:y= x2﹣ 4x+3,则顶点D( 2,﹣ 1);(2)解:将点B、C 的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n 并解得:直线 BC的表达式为: y=﹣ x+3,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC于点 H ,设点P( x , x2﹣ 4x+3),则点 H(x ,﹣ x+3),则 S△PBC=PH×OB=(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),∵﹣< 0,故 S△PBC有最大值,此时x=,故点P(,﹣);(3)解:存在,理由:如上图,过点 C 作与 y 轴夹角为30°的直线 CH ,过点 A 作 AH⊥ CH ,垂足为 H ,则HQ= CQ , Q+ QC最小值= AQ+HQ=AH ,直线 HC所在表达式中的k 值为,直线HC的表达式为:y=x+3①则直线 AH 所在表达式中的k 值为﹣,则直线 AH 的表达式为: y=﹣x+s ,将点 A 的坐标代入上式并解得:则直线 AH 的表达式为: y=﹣x+② ,联立①②并解得:x=,故点 H(,),而点A( 1, 0),则AH=,即:AQ+QC 的最小值为.【解析】【分析】( 1)将坐标( 1, 0), B( 3, 0)代入计算即可得出抛物线的解析式,即可计算出 D 的坐标 .(2)将点 B、 C的坐标代入一次函数表达式计算,设点P( x , x2﹣ 4x+3),则点H( x ,﹣x+3),求出 x 的值即可 .(3)存在,过点 C 作与 y 轴夹角为 30°的直线 CH ,过点 A 作 AH⊥ CH ,垂足为 H ,则HQ=CQ , Q+ QC最小值= AQ+HQ= AH,求出k值,再将 A 的坐标代入计算即可解答.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,交轴于点和点,过点作轴交抛物线于点.(1)求此抛物线的表达式;(2)点是抛物线上一点,且点关于轴的对称点在直线上,求的面积;( 3)若点是直线下方的抛物线上一动点,当点运动到某一位置时,的面积最大,求出此时点的坐标和的最大面积.【答案】( 1)解:抛物线交轴于点,交轴于点和点,,得,此抛物线的表达式是(2)解:抛物线交轴于点,点的坐标为,轴,点是抛物线上一点,且点关于轴的对称点在直线上,点的纵坐标是5,点到的距离是10,当时,,得或,点的坐标为,,的面积是:(3)解:设点的坐标为,如图所示,设过点,点的直线的函数解析式为,,得,即直线的函数解析式为,当时,,,的面积是:,点是直线下方的抛物线上一动点,,当时,取得最大值,此时,点的坐标是,,即点的坐标是,时,的面积最大,此时的面积是.【解析】【分析】( 1 )根据题意可以求得、的值,从而可以求得抛物线的表达式;( 2)根据题意可以求得的长和点到的距离,从而可以求得的面积;(3)根据题意可以求得直线的函数解析式,再根据题意可以求得的面积,然后根据二次函数的性质即可解答本题11 .已知:如图,在四边形中,,,,,垂直平分.点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点作,交于点,过点作,分别交,于点,.连接,.设运动时间为,解答下列问题:(1)当为何值时,点在的平分线上?(2)设四边形的面积为,求与的函数关系式.(3)连接,,在运动过程中,是否存在某一时刻,使?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】( 1)解:在中,∵,,,∴,∵垂直平分线段,∴,,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,,∵,,∴∠ BPE=∠ BCA=90 °又∠ B=∠B∴△ BPE∽△ BAC∴即∴,,当点∵∴在,,的平分线上时,,∴,∴.∴当为 4 秒时,点在的平分线上. (2)解:如图,连接,..(3)解:存在 .如图,连接.∵,∴∵,,∴,∴,∴,∴,整理得:,解得或 10(舍 )∴当秒时,.【解析】【分析】( 1)根据勾股定理求AC,根据证,求出CD、OD 的值,根据△ BPE∽ △BAC 得到比例式,用含有t 的代数式表示出PE、 BE,当点 E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP⊥ AB, EC⊥ AC,可得PE=EC,由此构建方程即可解决问题.(2)根据构建函数关系式即可.( 3)证明∠EOC=∠ QOG,可得,推出,由此构建方程即可解决问题.12.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M ( 1, 3)的特征线有:x=1, y=3 ,y=x+2, y=﹣ x+4.问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、 C 分别在 x 轴和 y 轴上,抛物线经过B、C两点,顶点 D 在正方形内部.(1)直接写出点 D( m, n)所有的特征线;(2)若点 D 有一条特征线是 y=x+1,求此抛物线的解析式;(3)点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点,连接OP ,将△ OAP沿着 OP 折叠,点 A 落在点 A′的位置,当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时,满足( 2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在 OP 上?【答案】(1)解:∵点D(m,n),∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣ m , y=﹣ x+m+n;( 2 )解:点 D 有一条特征线是y=x+1 ,∴ n ﹣ m=1 ,∴ n=m+1 .∵抛物线解析式为,∴,∵四边形OABC是正方形,且 D 点为正方形的对称轴,D( m,n),∴ B( 2m,2m),∴,将n=m+1 带入得到m=2, n=3;∴D( 2, 3),∴抛物线解析式为.(3)解:①如图,当点A′在平行于y轴的 D 点的特征线时:根据题意可得,D( 2,3 ),∴ OA′=OA=4,OM=2,∴∠ A′OM=60°,∴∠ A′OP=∠ AOP=30°,∴MN = = ,∴抛物线需要向下平移的距离= = .② 如图,当点A′在平行于x 轴的 D 点的特征线时,设A′( p , 3),则OA′=OA=4, OE=3, EA′= = ,∴ A′F=4﹣,设P( 4,c)( c> 0),,在Rt△ A′FP 中,(4﹣) 2+(3﹣ c)2=c2,∴c=,∴P(4,),∴直线OP解析式为y=x ,∴ N( 2,),∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.综上所述:抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP 上.【解析】【分析】( 1)根据特征线直接求出点 D 的特征线;( 2)由点 D 的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标,从而求出抛物线解析式;(2)分平行于x 轴和 y 轴两种情况,由折叠的性质计算即可.。
人教中考数学复习《反比例函数》专项综合练习含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4,点P(1,m)在反比例函数y1= 的图象上.(1)求反比例函数的表达式;(2)观察图象回答:当x为何范围时,y1>y2;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:把x=4代入y2= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y1= ,得k=4.反比例函数的表达式为y1=(2)解:∵点A与点B关于原点对称,∴A的坐标为(﹣4,﹣1),观察图象得,当x<﹣4或0<x<4时,y1>y2(3)解:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图,∵点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.y1= 中,当x=1时,y=4,∴P(1,4).设直线AP的函数关系式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,则,解得.故直线AP的函数关系式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15.【解析】【分析】(1)把x=4代入y2= x,得到点B的坐标,再把点B的坐标代入y1=,求出k的值,即可得到反比例函数的表达式;(2)观察图象可知,反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1>y2的解集;(3)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,由点A与点B关于原点对称,得出OA=OB,那么S△AOP=S△BOP,S△PAB=2S△AOP.求出P点坐标,利用待定系数法求出直线AP的函数关系式,得到点C的坐标,根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ,则S△PAB=2S△AOP=15.2.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.【答案】(1)解:y=2x+1中k=2>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.∵y= 中k=2>0,∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19(2)解:令y= ≤2,解得:x<0或x≥1.∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1(3)解:①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0(4)解:①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,解得:m1=1,m2= (舍去);②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,解得:m3=3;③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,整理得:2m2﹣15m+29=0.∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.∴m的值为1或3.①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;【解析】【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)令y= ≤2,解之即可得出x的取值范围;(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,于是得到结论;(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.3.平面直角坐标系xOy中,已知函数y1= (x>0)与y2=﹣(x<0)的图象如图所示,点A、B是函数y1= (x>0)图象上的两点,点P是y2=﹣(x<0)的图象上的一点,且AP∥x轴,点Q是x轴上一点,设点A、B的横坐标分别为m、n(m≠n).(1)求△APQ的面积;(2)若△APQ是等腰直角三角形,求点Q的坐标;(3)若△OAB是以AB为底的等腰三角形,求mn的值.【答案】(1)解:过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M,PN x轴交x轴于点N,QR AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,如图所示:∵点A的横坐标为m,且在函数上,AP∥x轴,且点P在函数上,∴点A(m, ),点P(-m, ),∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA=2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM=S△PRQ, S△ANQ=S△ARQ,∴S△APQ=S△PRQ+ S△ARQ= S矩形PMNA=4(2)解:当PQ x轴时,则PQ=,,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ=AQ时,则(3)解:∵△OAB是以AB为底的等腰三角形,∴OA=OB,∵A(m, ),B(n, ),∴∴mn=4.【解析】【分析】(1)过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M,PN ⊥ x轴交x轴于点N,QR ⊥ AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,根据点A的横坐标为m,利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标,最后用三角形的面积公式即可得出结论。
人教中考数学反比例函数的综合题试题含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A (﹣1,a),B(b,1)两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:当x=﹣1时,a=x+4=3,∴点A的坐标为(﹣1,3).将点A(﹣1,3)代入y= 中,3= ,解得:k=﹣3,∴反比例函数的表达式为y=﹣(2)解:当y=b+4=1时,b=﹣3,∴点B的坐标为(﹣3,1).作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,如图所示.∵点B的坐标为(﹣3,1),∴点D的坐标为(﹣3,﹣1).设直线AD的函数表达式为y=mx+n,将点A(﹣1,3)、D(﹣3,﹣1)代入y=mx+n中,,解得:,∴直线AD的函数表达式为y=2x+5.当y=2x+5=0时,x=﹣,∴点P的坐标为(﹣,0)(3)解:S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】(1)由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标,根据点A的坐标利用待定系数法,即可求出反比例函数的表达式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,由点B的坐标可得出点D的坐标,根据点A、D的坐标利用待定系数法,即可求出直线AB的函数表达式,再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP,即可得出结论.2.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。
人教全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总附答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点P( +1,﹣1)在双曲线y= (x>0)上.(1)求k的值;(2)若正方形ABCD的顶点C,D在双曲线y= (x>0)上,顶点A,B分别在x轴和y 轴的正半轴上,求点C的坐标.【答案】(1)解:点P(,)在双曲线上,将x= ,y= 代入解析式可得:k=2;(2)解:过点D作DE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠CBA=90°,∴∠FBC+∠OBA=90°,∵∠CFB=∠BOA=90°,∴∠FCB+∠FBC=90°,∴∠FBC=∠OAB,在△CFB和△AOB中,,∴△CFB≌△AOB(AAS),同理可得:△BOA≌△AED≌△CFB,∴CF=OB=AE=b,BF=OA=DE=a,设A(a,0),B(0,b),则D(a+b,a)C(b,a+b),可得:b(a+b)=2,a(a+b)=2,解得:a=b=1.所以点C的坐标为:(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把P坐标代入解析式即可;(2)C、D均在双曲线上,它们的坐标就适合解析式,设出C坐标,再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB,代入解析式得b(a+b)=2,a(a+b)=2,即可求出C坐标.2.如图,P1、P2(P2在P1的右侧)是y= (k>0)在第一象限上的两点,点A1的坐标为(2,0).(1)填空:当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将________(减小、不变、增大)(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,①求反比例函数的解析式;②求出点P2的坐标,并根据图象直接写在第一象限内,当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.【答案】(1)减小(2)解:①如图所示,作P1B⊥OA1于点B,∵A1的坐标为(2,0),∴OA1=2,∵△P1OA1是等边三角形,∴∠P1OA1=60°,又∵P1B⊥OA1,∴OB=BA1=1,∴P1B= ,∴P1的坐标为(1,),代入反比例函数解析式可得k= ,∴反比例函数的解析式为y= ;②如图所示,过P2作P2C⊥A1A2于点C,∵△P2A1A2为等边三角形,∴∠P2A1A2=60°,设A1C=x,则P2C= x,∴点P2的坐标为(2+x, x),代入反比例函数解析式可得(2+x) x= ,解得x1= ﹣1,x2=﹣﹣1(舍去),∴OC=2+ ﹣1= +1,P2C= (﹣1)= ﹣,∴点P2的坐标为( +1,﹣),∴当1<x< +1时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解:(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小,故答案为:减小;【分析】(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小;(2)①由A1的坐标为(2,0),△P1OA1是等边三角形,求出P1的坐标,代入反比例函数解析式即可;②由△P2A1A2为等边三角形,求出点P2的坐标,得出结论.3.抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上,过点F(﹣2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;(3)若射线NM交x轴于点P,且PA•PB= ,求点M的坐标.【答案】(1)解:y= x2+x+m= (x+2)2+(m﹣1)∴顶点坐标为(﹣2,m﹣1)∵顶点在直线y=x+3上,∴﹣2+3=m﹣1,得m=2;(2)解:过点F作FC⊥NB于点C,∵点N在抛物线上,∴点N的纵坐标为: a2+a+2,即点N(a, a2+a+2)在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB﹣CB= a2+a,∴NF2=NC2+FC2=( a2+a)2+(a+2)2,=( a2+a)2+(a2+4a)+4,而NB2=( a2+a+2)2,=( a2+a)2+(a2+4a)+4∴NF2=NB2,NF=NB(3)解:连接AF、BF,由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的思路知,MF=MA,∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°,∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°,又∵∠FAB+∠MAF=90°,∴∠FBA=∠MAF=∠MFA,又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF,∴ = ,PF2=PA×PB= ,过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,PG= = ,∴PO=PG+GO= ,∴P(﹣,0)设直线PF:y=kx+b,把点F(﹣2,2)、点P(﹣,0)代入y=kx+b,解得k= ,b= ,∴直线PF:y= x+ ,解方程 x2+x+2= x+ ,得x=﹣3或x=2(不合题意,舍去),当x=﹣3时,y= ,∴M(﹣3,).【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数化成顶点式,写出顶点坐标,由顶点再直线y=x+3上,建立方程求出m的值。
全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总及详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.【答案】(1)解:当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;(2)把A(﹣4,),B(﹣1,2)代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y= x+ ,把B(﹣1,2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;(3)解:如下图所示:设P点坐标为(t,t+ ),∵△PCA和△PDB面积相等,∴• •(t+4)= •1•(2﹣t﹣),即得t=﹣,∴P点坐标为(﹣,).【解析】【分析】(1)观察函数图象得到当﹣4<x<﹣1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值;(3)设P点坐标为(t, t+ ),利用三角形面积公式可得到• •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣),解方程得到t=﹣,从而可确定P点坐标.2.如图,P1、P2(P2在P1的右侧)是y= (k>0)在第一象限上的两点,点A1的坐标为(2,0).(1)填空:当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将________(减小、不变、增大)(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,①求反比例函数的解析式;②求出点P2的坐标,并根据图象直接写在第一象限内,当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.【答案】(1)减小(2)解:①如图所示,作P1B⊥OA1于点B,∵A1的坐标为(2,0),∴OA1=2,∵△P1OA1是等边三角形,∴∠P1OA1=60°,又∵P1B⊥OA1,∴OB=BA1=1,∴P1B= ,∴P1的坐标为(1,),代入反比例函数解析式可得k= ,∴反比例函数的解析式为y= ;②如图所示,过P2作P2C⊥A1A2于点C,∵△P2A1A2为等边三角形,∴∠P2A1A2=60°,设A1C=x,则P2C= x,∴点P2的坐标为(2+x, x),代入反比例函数解析式可得(2+x) x= ,解得x1= ﹣1,x2=﹣﹣1(舍去),∴OC=2+ ﹣1= +1,P2C= (﹣1)= ﹣,∴点P2的坐标为( +1,﹣),∴当1<x< +1时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解:(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小,故答案为:减小;【分析】(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小;(2)①由A1的坐标为(2,0),△P1OA1是等边三角形,求出P1的坐标,代入反比例函数解析式即可;②由△P2A1A2为等边三角形,求出点P2的坐标,得出结论.3.抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上,过点F(﹣2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;(3)若射线NM交x轴于点P,且PA•PB= ,求点M的坐标.【答案】(1)解:y= x2+x+m= (x+2)2+(m﹣1)∴顶点坐标为(﹣2,m﹣1)∵顶点在直线y=x+3上,∴﹣2+3=m﹣1,得m=2;(2)解:过点F作FC⊥NB于点C,∵点N在抛物线上,∴点N的纵坐标为: a2+a+2,即点N(a, a2+a+2)在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB﹣CB= a2+a,∴NF2=NC2+FC2=( a2+a)2+(a+2)2,=( a2+a)2+(a2+4a)+4,而NB2=( a2+a+2)2,=( a2+a)2+(a2+4a)+4∴NF2=NB2,NF=NB(3)解:连接AF、BF,由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的思路知,MF=MA,∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°,∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°,又∵∠FAB+∠MAF=90°,∴∠FBA=∠MAF=∠MFA,又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF,∴ = ,PF2=PA×PB= ,过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,PG= = ,∴PO=PG+GO= ,∴P(﹣,0)设直线PF:y=kx+b,把点F(﹣2,2)、点P(﹣,0)代入y=kx+b,解得k= ,b= ,∴直线PF:y= x+ ,解方程 x2+x+2= x+ ,得x=﹣3或x=2(不合题意,舍去),当x=﹣3时,y= ,∴M(﹣3,).【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数化成顶点式,写出顶点坐标,由顶点再直线y=x+3上,建立方程求出m的值。
人教全国中考数学反比例函数的综合中考模拟和真题汇总及答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.2.如图,点A在函数y= (x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B,C,直线BC与坐标轴的交点为D,E.(1)当点C的横坐标为1时,求点B的坐标;(2)试问:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,△ABC的面积是否发生变化?若不变,请求出△ABC的面积,若变化,请说明理由.(3)试说明:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,线段BD与CE的长始终相等.【答案】(1)解:∵点C在y= 的图象上,且C点横坐标为1,∴C(1,1),∵AC∥y轴,AB∥x轴,∴A点横坐标为1,∵A点在函数y= (x>0)图象上,∴A(1,4),∴B点纵坐标为4,∵点B在y= 的图象上,∴B点坐标为(,4);(2)解:设A(a,),则C(a,),B(,),∴AB=a﹣ = a,AC= ﹣ = ,∴S△ABC= AB•AC= × × = ,即△ABC的面积不发生变化,其面积为;(3)解:如图,设AB的延长线交y轴于点G,AC的延长线交x轴于点F,∵AB∥x轴,∴△ABC∽△EFC,∴ = ,即 = ,∴EF= a,由(2)可知BG= a,∴BG=EF,∵AE∥y轴,∴∠BDG=∠FCE,在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF(AAS),∴BD=EF.【解析】【分析】(1)由条件可先求得A点坐标,从而可求得B点纵坐标,再代入y= 可求得B点坐标;(2)可设出A点坐标,从而可表示出C、B的坐标,则可表示出AB和AC的长,可求得△ABC的面积;(3)可证明△ABC∽△EFC,利用(2)中,AB和AC的长可表示出EF,可得到BG=EF,从而可证明△DBG≌△CFE,可得到DB=CF.3.如图,已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(﹣1,2)和点B,点C在y轴上.(1)当△ABC的周长最小时,求点C的坐标;(2)当 x+b<时,请直接写出x的取值范围.【答案】(1)解:作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求,如图所示.∵反比例函数y= (x<0)的图象过点A(﹣1,2),∴k=﹣1×2=﹣2,∴反比例函数解析式为y=﹣(x<0);∵一次函数y= x+b的图象过点A(﹣1,2),∴2=﹣ +b,解得:b= ,∴一次函数解析式为y= x+ .联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组:,解得:,或,∴点A的坐标为(﹣1,2)、点B的坐标为(﹣4,).∵点A′与点A关于y轴对称,∴点A′的坐标为(1,2),设直线A′B的解析式为y=mx+n,则有,解得:,∴直线A′B的解析式为y= x+ .令y= x+ 中x=0,则y= ,∴点C的坐标为(0,)(2)解:观察函数图象,发现:当x<﹣4或﹣1<x<0时,一次函数图象在反比例函数图象下方,∴当 x+ <﹣时,x的取值范围为x<﹣4或﹣1<x<0【解析】【分析】(1)作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求.由点A为一次函数与反比例函数的交点,利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点A、B的坐标,再根据点A′与点A关于y轴对称,求出点A′的坐标,设出直线A′B的解析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式,令直线A′B解析式中x为0,求出y的值,即可得出结论;(2)根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标,即可得出不等式的解集.4.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.5.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M 的坐标.【答案】(1)解:把点A(4,3)代入函数y= 得:a=3×4=12,∴y= .OA= =5,∵OA=OB,∴OB=5,∴点B的坐标为(0,﹣5),把B(0,﹣5),A(4,3)代入y=kx+b得:解得:∴y=2x﹣5.(2)解:∵点M在一次函数y=2x﹣5上,∴设点M的坐标为(x,2x﹣5),∵MB=MC,∴解得:x=2.5,∴点M的坐标为(2.5,0).【解析】【分析】(1)先求反比例函数关系式,由OA=OB,可求出B坐标,再代入一次函数解析式中求出解析式;(2)M点的纵坐标可用x 的式子表示出来,可套两点间距离公式,表示出MB、MC,令二者相等,可求出x .6.如图,点P( +1,﹣1)在双曲线y= (x>0)上.(1)求k的值;(2)若正方形ABCD的顶点C,D在双曲线y= (x>0)上,顶点A,B分别在x轴和y 轴的正半轴上,求点C的坐标.【答案】(1)解:点P(,)在双曲线上,将x= ,y= 代入解析式可得:k=2;(2)解:过点D作DE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠CBA=90°,∴∠FBC+∠OBA=90°,∵∠CFB=∠BOA=90°,∴∠FCB+∠FBC=90°,∴∠FBC=∠OAB,在△CFB和△AOB中,,∴△CFB≌△AOB(AAS),同理可得:△BOA≌△AED≌△CFB,∴CF=OB=AE=b,BF=OA=DE=a,设A(a,0),B(0,b),则D(a+b,a)C(b,a+b),可得:b(a+b)=2,a(a+b)=2,解得:a=b=1.所以点C的坐标为:(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把P坐标代入解析式即可;(2)C、D均在双曲线上,它们的坐标就适合解析式,设出C坐标,再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB,代入解析式得b(a+b)=2,a(a+b)=2,即可求出C坐标.7.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.【答案】(1)解:y=2x+1中k=2>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.∵y= 中k=2>0,∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19(2)解:令y= ≤2,解得:x<0或x≥1.∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1(3)解:①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0(4)解:①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,解得:m1=1,m2= (舍去);②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,解得:m3=3;③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,整理得:2m2﹣15m+29=0.∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.∴m的值为1或3.①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;【解析】【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)令y= ≤2,解之即可得出x的取值范围;(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,于是得到结论;(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.9.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),(,),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.(1)若点P(2,b)是反比例函数 (n为常数,n≠0)的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;(2)⊙O的半径是,①求出⊙O上的所有梦之点的坐标;②已知点M(m,3),点Q是(1)中反比例函数图象上异于点P的梦之点,过点Q的直线l与y轴交于点A,∠OAQ=45°.若在⊙O上存在一点N,使得直线MN∥l或MN⊥l,求出m的取值范围.【答案】(1)解:∵P(2,b)是梦之点,∴b=2∴P(2,2)将P(2,2)代入中得n=4∴反比例函数解析式是(2)解:①设⊙O上梦之点坐标是(,)∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是(1,1)或(-1,-1)②由(1)知,异于点P的梦之点Q的坐标为(-2,-2)由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时,m=b-3由图可知,当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形,∴O =∴O =2∴b的最小值是-2,∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第二象限时,b取得最大值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点。
人教全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M 的坐标.【答案】(1)解:把点A(4,3)代入函数y= 得:a=3×4=12,∴y= .OA= =5,∵OA=OB,∴OB=5,∴点B的坐标为(0,﹣5),把B(0,﹣5),A(4,3)代入y=kx+b得:解得:∴y=2x﹣5.(2)解:∵点M在一次函数y=2x﹣5上,∴设点M的坐标为(x,2x﹣5),∵MB=MC,∴解得:x=2.5,∴点M的坐标为(2.5,0).【解析】【分析】(1)先求反比例函数关系式,由OA=OB,可求出B坐标,再代入一次函数解析式中求出解析式;(2)M点的纵坐标可用x 的式子表示出来,可套两点间距离公式,表示出MB、MC,令二者相等,可求出x .2.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。
人教全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总附详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣2),与y轴交于点C.(1)m=________,k1=________;(2)当x的取值是________时,k1x+b>;(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时,求点P的坐标.【答案】(1)4;(2)﹣8<x<0或x>4(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= ,∴点C的坐标是(0,2),点A 的坐标是(4,4).∴CO=2,AD=OD=4.∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12,∵S四边形ODAC:S△ODE=3:1,∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4,即OD•DE=4,∴DE=2.∴点E的坐标为(4,2).又点E在直线OP上,∴直线OP的解析式是y= x,∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ).【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数y2= 的图象过点B(﹣8,﹣2),∴k2=(﹣8)×(﹣2)=16,即反比例函数解析式为y2= ,将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,得:,解得:,∴一次函数解析式为y1= x+2,故答案为:4,;(2)∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B(﹣8,﹣2),∴当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,故答案为:﹣8<x<0或x>4;【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B 横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:S△ODE=3:1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.2.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),∴顶点坐标为:(1,a﹣1),又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴0≤a≤1(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,∵y= +2x﹣4∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴1≤a≤2;∴a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.3.如图,点P( +1,﹣1)在双曲线y= (x>0)上.(1)求k的值;(2)若正方形ABCD的顶点C,D在双曲线y= (x>0)上,顶点A,B分别在x轴和y 轴的正半轴上,求点C的坐标.【答案】(1)解:点P(,)在双曲线上,将x= ,y= 代入解析式可得:k=2;(2)解:过点D作DE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠CBA=90°,∴∠FBC+∠OBA=90°,∵∠CFB=∠BOA=90°,∴∠FCB+∠FBC=90°,∴∠FBC=∠OAB,在△CFB和△AOB中,,∴△CFB≌△AOB(AAS),同理可得:△BOA≌△AED≌△CFB,∴CF=OB=AE=b,BF=OA=DE=a,设A(a,0),B(0,b),则D(a+b,a)C(b,a+b),可得:b(a+b)=2,a(a+b)=2,解得:a=b=1.所以点C的坐标为:(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把P坐标代入解析式即可;(2)C、D均在双曲线上,它们的坐标就适合解析式,设出C坐标,再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB,代入解析式得b(a+b)=2,a(a+b)=2,即可求出C坐标.4.如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于B,且S△ABO= .(1)求这两个函数的解析式;(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.【答案】(1)解:设A点坐标为(x,y),且x<0,y>0,则S△ABO= •|BO|•|BA|= •(﹣x)•y= ,∴xy=﹣3,又∵y= ,即xy=k,∴k=﹣3.∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣,y=﹣x+2;(2)解:由y=﹣x+2,令x=0,得y=2.∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为(0,2),A、C两点坐标满足∴交点A为(﹣1,3),C为(3,﹣1),∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•(|x1|+|x2|)= ×2×(3+1)=4.【解析】【分析】两解析式的k一样,根据面积计算双曲线中的k较易,由公式=2S△ABO,可求出k;(2)求交点就求两解析式联立的方程组的解,可分割△AOC为S△ODA+S△ODC,即可求出.5.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】(1)解:设反比例函数的解析式为(k>0)∵A(m,﹣2)在y=2x上,∴﹣2=2m,∴解得m=﹣1。
人教中考数学反比例函数综合题汇编含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),∴顶点坐标为:(1,a﹣1),又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴0≤a≤1(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,∵y= +2x﹣4∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴1≤a≤2;∴a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.2.心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y 随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?(2)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?【答案】(1)解:设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20,把B(10,40)代入得,k1=2,∴y1=2x+20.设C、D所在双曲线的解析式为y2= ,把C(25,40)代入得,k2=1000,∴当x1=5时,y1=2×5+20=30,当,∴y1<y2∴第30分钟注意力更集中.(2)解:令y1=36,∴36=2x+20,∴x1=8令y2=36,∴,∴∵27.8﹣8=19.8>19,∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.【解析】【分析】(1)根据一次函数和反比例函数的应用,用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式,和C、D所在双曲线的解析式;把x1=5时和进行比较得到y1<y2,得出第30分钟注意力更集中;(2)当y1=36时,得到x1=8,当y2=36,得到,由27.8﹣8=19.8>19,所以经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.3.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C (﹣2,3)和射线OA之间的距离为________;(2)如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为,那么k=________;(可在图1中进行研究)(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O顺时针旋转120°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示).②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离.【答案】(1)3;(2)﹣4(3)解:①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF 垂直),;②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,由得,即点M(﹣,),由得:,即点N(﹣,),则﹣≤x≤﹣,图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),即图形W与图形N之间的距离为d,d===∴当x=﹣时,d的最小值为 = ,即图形W和图形N之间的距离.【解析】【解答】解:(1)点(2,3)和射线OA之间的距离为3,点(﹣2,3)和射线OA之间的距离为 = ,故答案分别为:3,;(2)直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为,∴k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= 交于点E、F,过点E作EG⊥x轴,如图1,由得,即点F(﹣,),则OF= = ,∴OE=OF+EF=2 ,在Rt△OEG中,∠EOG=∠OEG=45°,OE=2 ,则有OG=EG= OE=2,∴点E的坐标为(﹣2,2),∴k=﹣2×2=﹣4,故答案为:﹣4;【分析】(1)由题意可得出点B(2,3)到射线OA之间的距离为B点纵坐标,根据新定义得点C(﹣2,3)和射线OA之间的距离;(2)根据题意即可得k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= k x 交于点E、F,过点E作EG⊥x 轴,如图1,将其联立即可得点F坐标,根据两点间距离公式可得OF长,再由OE=OF+EF 求出OE长,在Rt△OEG中,根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为(﹣2,2),将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.(3)①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF垂直);②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,分别联立即可得出点M、N坐标,从而得出x取值范围,根据题意图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),从而求出图形W与图形N之间的距离为d,由二次函数性质知d 最小值.4.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。
全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案解析
全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案解析一、反比例函数1.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于A,B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A的横坐标是1,tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△ABH面积.【答案】(1)解:∵点D的坐标为(﹣1,0),tan∠CDO=2,∴CO=2,即C(0,2),把C(0,2),D(﹣1,0)代入y=ax+b可得,,解得,∴一次函数解析式为y=2x+2,∵点A的横坐标是1,∴当x=1时,y=4,即A(1,4),把A(1,4)代入反比例函数y= ,可得k=4,∴反比例函数解析式为y=(2)解:解方程组,可得或,∴B(﹣2,﹣2),又∵A(1,4),BH⊥y轴,∴△ABH面积= ×2×(4+2)=6.【解析】【分析】(1)先由tan∠CDO=2可求出C坐标,再把D点坐标代入直线解析式,可求出一次函数解析式,再由直线解析式求出A坐标,代入双曲线解析式,可求出双曲线解析式;(2)△ABH面积可以BH为底,高=y A-y B=4-(-2)=6.2.平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1= (x>0)与y2=﹣(x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为a、b.(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;(2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;(3)作边长为2的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点,请说明理由.【答案】(1)解:由题意知,点A(a,),B(b,﹣),∵AB∥x轴,∴,∴a=﹣b;∴AB=a﹣b=2a,∴S△OAB= •2a• =3(2)解:由(1)知,点A(a,),B(b,﹣),∴OA2=a2+()2, OB2=b2+(﹣)2,∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形,∴OA=OB,∴OA2=OB2,∴a2+()2=b2+(﹣)2,∴a2﹣b2=()2﹣()2,∴(a+b)(a﹣b)=( + )(﹣)= ,∵a>0,b<0,∴ab<0,a﹣b≠0,∵a+b≠0,∴1= ,∴ab=3(舍)或ab=﹣3,即:ab的值为﹣3;(3)解:对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点.理由:如图,∵a≥3,AC=2,∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴,∴直线CD一定与函数y1= (x>0)的图象有交点,∵四边形ACDE是边长为2的正方形,且点D在点A(a,)的左上方,∴C(a﹣2,),∴D(a﹣2, +2),设直线CD与函数y1= (x>0)相交于点F,∴F(a﹣2,),∴FC= ﹣ = ,∴2﹣FC=2﹣ = ,∵a≥3,∴a﹣2>0,a﹣3≥0,∴≥0,∴2﹣FC≥0,∴FC≤2,∴点F在线段CD上,即:对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点.【解析】【分析】(1)先判断出a=﹣b,即可得出AB=2a,再利用三角形的面积公式即可得出结论;(2)利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论;(3)先判断出直线CD和函数y1= (x>0)必有交点,根据点A的坐标确定出点C,F的坐标,进而得出FC,再判断FC与2的大小即可.3.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的边,顶点坐标为,点坐标为 .(1)点的坐标是________,点的坐标是________(用表示);(2)若双曲线过平行四边形的顶点和,求该双曲线的表达式;(3)若平行四边形与双曲线总有公共点,求的取值范围.【答案】(1);(2)解:∵双曲线过点和点,∴,解得,∴点的坐标为,点的坐标为,把点的坐标代入,解得,∴双曲线表达式为(3)解:∵平行四边形与双曲线总有公共点,∴当点在双曲线,得到,当点在双曲线,得到,∴的取值范围 .【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形,得到A与B纵坐标相同,C与D纵坐标相同,横坐标相差2,得出B、C坐标即可;(2)根据B与D在反比例图象上,得到C与D横纵坐标乘积相等,求出b的值确定出B坐标,进而求出k的值,确定出双曲线解析式;(3)抓住两个关键点,将A坐标代入双曲线解析式求出b的值;将C坐标代入双曲线解析式求出b的值,即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围.4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点在轴正半轴上,顶点B在第一象限,线段,的长是一元二次方程的两根,,.(1)直接写出点的坐标________点 C的坐标________;(2)若反比例函数的图象经过点,求k的值;(3)如图过点作轴于点;在轴上是否存在点,使以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似?若存在,直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)解:如图,过点作,垂足为,∵,∴,设,∵ =12,∴EC=12-x,在RtΔBEC中,,∴整理得:,解得:(不合题意舍去),,∴,,∴,把代入,得(3)解:存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=2或OP=6,∴P(0,2)或P(0,6);如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=12,∴P(0,12);如图4,若点P在OD上方,△BDP∽△AOP,则,即,解得:OP=4+2 或OP=4-2 (不合题意舍去),∴P(0,4+2 );如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=-4+2 或-4-2 (不合题意舍去),则P点坐标为(0,4-2 )故点的坐标为:或或或或【解析】【解答】解:(1)解一元二次方程,解得:,所以,所以,;【分析】(1)首先利用直接开平方法求出方程的两根,从而得出OA=OC=6,进而得出A,C两点的坐标;(2)如图,过点作,垂足为,根据等腰直角三角形的性质得出,设,EC=12-x,在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程,求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标,然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(3)存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解即可得出P点的坐标;如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标;如图4,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P 点的坐标;如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标,综上所述即可得出答案。
人教中考数学 反比例函数 综合题含答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.2.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.3.如图,点A在函数y= (x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B,C,直线BC与坐标轴的交点为D,E.(1)当点C的横坐标为1时,求点B的坐标;(2)试问:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,△ABC的面积是否发生变化?若不变,请求出△ABC的面积,若变化,请说明理由.(3)试说明:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,线段BD与CE的长始终相等.【答案】(1)解:∵点C在y= 的图象上,且C点横坐标为1,∴C(1,1),∵AC∥y轴,AB∥x轴,∴A点横坐标为1,∵A点在函数y= (x>0)图象上,∴A(1,4),∴B点纵坐标为4,∵点B在y= 的图象上,∴B点坐标为(,4);(2)解:设A(a,),则C(a,),B(,),∴AB=a﹣ = a,AC= ﹣ = ,∴S△ABC= AB•AC= × × = ,即△ABC的面积不发生变化,其面积为;(3)解:如图,设AB的延长线交y轴于点G,AC的延长线交x轴于点F,∵AB∥x轴,∴△ABC∽△EFC,∴ = ,即 = ,∴EF= a,由(2)可知BG= a,∵AE∥y轴,∴∠BDG=∠FCE,在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF(AAS),∴BD=EF.【解析】【分析】(1)由条件可先求得A点坐标,从而可求得B点纵坐标,再代入y= 可求得B点坐标;(2)可设出A点坐标,从而可表示出C、B的坐标,则可表示出AB和AC的长,可求得△ABC的面积;(3)可证明△ABC∽△EFC,利用(2)中,AB和AC的长可表示出EF,可得到BG=EF,从而可证明△DBG≌△CFE,可得到DB=CF.4.如图,反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4,点P(1,m)在反比例函数y1= 的图象上.(1)求反比例函数的表达式;(2)观察图象回答:当x为何范围时,y1>y2;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:把x=4代入y2= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y1= ,得k=4.反比例函数的表达式为y1=(2)解:∵点A与点B关于原点对称,∴A的坐标为(﹣4,﹣1),观察图象得,当x<﹣4或0<x<4时,y1>y2(3)解:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图,∵点A与点B关于原点对称,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.y1= 中,当x=1时,y=4,∴P(1,4).设直线AP的函数关系式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,则,解得.故直线AP的函数关系式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15.【解析】【分析】(1)把x=4代入y2= x,得到点B的坐标,再把点B的坐标代入y1=,求出k的值,即可得到反比例函数的表达式;(2)观察图象可知,反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1>y2的解集;(3)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,由点A与点B关于原点对称,得出OA=OB,那么S△AOP=S△BOP,S△PAB=2S△AOP.求出P点坐标,利用待定系数法求出直线AP的函数关系式,得到点C的坐标,根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ,则S△PAB=2S△AOP=15.5.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).(1)试确定此反比例函数的解析式;(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,∴反比例函数的解析式为y=﹣(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,∴OA= =2,∠AOC=30°,∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,∴∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,∴B点坐标为(﹣1,),将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上(3)解:由y=﹣得xy=﹣,∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,∴m( m+6)=﹣,∴m2+2 m+1=0,∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).∵△OQM的面积是,∴OM•QM= ,∵m<0,∴mn=﹣1,∴m2n2+2 mn2+n2=0,∴n2﹣2 n=﹣1,∴n2﹣2 n+9=8.【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.6.平面直角坐标系xOy中,已知函数y1= (x>0)与y2=﹣(x<0)的图象如图所示,点A、B是函数y1= (x>0)图象上的两点,点P是y2=﹣(x<0)的图象上的一点,且AP∥x轴,点Q是x轴上一点,设点A、B的横坐标分别为m、n(m≠n).(1)求△APQ的面积;(2)若△APQ是等腰直角三角形,求点Q的坐标;(3)若△OAB是以AB为底的等腰三角形,求mn的值.【答案】(1)解:过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M,PN x轴交x轴于点N,QR AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,如图所示:∵点A的横坐标为m,且在函数上,AP∥x轴,且点P在函数上,∴点A(m, ),点P(-m, ),∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA=2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM=S△PRQ, S△ANQ=S△ARQ,∴S△APQ=S△PRQ+ S△ARQ= S矩形PMNA=4(2)解:当PQ x轴时,则PQ=,,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ=AQ时,则(3)解:∵△OAB是以AB为底的等腰三角形,∴OA=OB,∵A(m, ),B(n, ),∴∴mn=4.【解析】【分析】(1)过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M,PN ⊥ x轴交x轴于点N,QR ⊥ AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,根据点A的横坐标为m,利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标,最后用三角形的面积公式即可得出结论。
人教中考数学反比例函数综合练习题及答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4,点P(1,m)在反比例函数y1= 的图象上.(1)求反比例函数的表达式;(2)观察图象回答:当x为何范围时,y1>y2;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:把x=4代入y2= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y1= ,得k=4.反比例函数的表达式为y1=(2)解:∵点A与点B关于原点对称,∴A的坐标为(﹣4,﹣1),观察图象得,当x<﹣4或0<x<4时,y1>y2(3)解:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图,∵点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.y1= 中,当x=1时,y=4,∴P(1,4).设直线AP的函数关系式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,则,解得.故直线AP的函数关系式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15.【解析】【分析】(1)把x=4代入y2= x,得到点B的坐标,再把点B的坐标代入y1=,求出k的值,即可得到反比例函数的表达式;(2)观察图象可知,反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1>y2的解集;(3)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,由点A与点B关于原点对称,得出OA=OB,那么S△AOP=S△BOP,S△PAB=2S△AOP.求出P点坐标,利用待定系数法求出直线AP的函数关系式,得到点C的坐标,根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ,则S△PAB=2S△AOP=15.2.如图,已知直线y=x+k和双曲线y= (k为正整数)交于A,B两点.(1)当k=1时,求A、B两点的坐标;(2)当k=2时,求△AOB的面积;(3)当k=1时,△OAB的面积记为S1,当k=2时,△OAB的面积记为S2,…,依此类推,当k=n时,△OAB的面积记为S n,若S1+S2+…+S n= ,求n的值.【答案】(1)解:当k=1时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+1和y= ,解得,,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1)(2)解:当k=2时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+2和y= ,解得,,∴A(1,3),B(﹣3,﹣1)设直线AB的解析式为:y=mx+n,∴∴,∴直线AB的解析式为:y=x+2∴直线AB与y轴的交点(0,2),∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4;(3)解:当k=1时,S1= ×1×(1+2)= ,当k=2时,S2= ×2×(1+3)=4,…当k=n时,S n= n(1+n+1)= n2+n,∵S1+S2+…+S n= ,∴ ×(…+n2)+(1+2+3+…n)= ,整理得:,解得:n=6.【解析】【分析】(1)两图像的交点就是求联立的方程组的解;(2)斜三角形△AOB的面积可转化为两水平(或竖直)三角形(有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形)的面积和或差;(3)利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.4.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).(1)求反比例函数的表达式和m的值;(2)将矩形OABC的进行折叠,使点O于点D重合,折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F,G,求折痕FG所在直线的函数关系式.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3,),∴k=3× =2,∴反比例函数的表达式为y= .又∵点D(m,2)在反比例函数y= 的图象上,∴2m=2,解得:m=1(2)解:设OG=x,则CG=OC﹣OG=2﹣x,∵点D(1,2),∴CD=1.在Rt△CDG中,∠DCG=90°,CG=2﹣x,CD=1,DG=OG=x,∴CD2+CG2=DG2,即1+(2﹣x)2=x2,解得:x= ,∴点G(0,).过点F作FH⊥CB于点H,如图所示.由折叠的特性可知:∠GDF=∠GOF=90°,OG=DG,OF=DF.∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°,∴∠CGD=∠HDF,∵∠DCG=∠FHD=90°,∴△GCD∽△DHF,∴=2,∴DF=2GD= ,∴点F的坐标为(,0).设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b,∴有,解得:.∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值,再由点B在反比例函数图象上,代入即可求出m值;(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可求出x值,从而得出点G的坐标.再过点F作FH⊥CB于点H,由此可得出△GCD∽△DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度,从而得出点F的坐标,结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.6.如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m=4,n=20时.①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.【答案】(1)①当x=4时,∴点B的坐标是(4,1)当y=2时,由得得x=2∴点A的坐标是(2,2)设直线AB的函数表达式为∴解得∴直线AB的函数表达式为②四边形ABCD为菱形,理由如下:如图,由①得点B(4,1),点D(4,5)∵点P为线段BD的中点∴点P的坐标为(4,3)当y=3时,由得,由得,∴PA= ,PC=∴PA=PC而PB=PD∴四边形ABCD为平行四边形又∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形(2)四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时,PA=PB=PC=PD(设为t,t≠0),当x=4时,∴点B的坐标是(4,)则点A的坐标是(4-t,)∴,化简得t=∴点D的纵坐标为则点D的坐标为(4,)所以,整理得m+n=32【解析】【分析】(1)①分别求出点A,B的坐标,运用待定系数法即可求出直线AB的表达示;②由特殊的四边形可知,对角线互相垂直的是菱形和正方形,则可猜测这个四边形是菱形或是正方形,先证明其为菱形先,则需要证明四边形ABCD是平行四边形,运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些;再判断对角线是否相等,若不相等则不是正方形;(2)要使m,n有具体联系,根据A,B,C,D分别在两个函数图象,且由正方形的性质,可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ,即可得到只关于m和n的等式.7.对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如:下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1,y=x-1,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零,求b的值;②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;(3)记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.【答案】(1)解:函数y=x-1没有不变值;∵函数有-1和1两个不变值,∴其不变长度为2;∵函数有0和1两个不变值,∴其不变长度为1;(2)解:① 函数y=2x2-bx的不变长度为0,方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,∴△=(b+1)2=0,b=-1,②∵2x2-bx=x,∴,1≤b≤3,1≤ ≤2,函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.(3)1≤m≤3或m<-【解析】【解答】解(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,∴函数G:y=,当x2-2x=x时,即x(x-3)=0,∴x3=0,x4=3,当(2m-x)2-2(2m-x)=x时,即x2+(1-4m)x+(4m2-4m)=0,∴△=(1-4m)2-4×(4m2-4m)=1+8m,当△=1+8m0时,即m-,此方程无解,∴q=x4-x3=3-0=3;当△=1+8m 0时,即m -,此方程有解,∴x5=, x6=,①当-m0时,∵x3=0,x4=3,∴x60,∴x4-x63(不符合题意,舍去),②∵当x5=x4时,∴m=1,当x6=x3时,∴m=3,当0m1时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当1m3时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当m3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),此时x53,x60,∴q=x5-x63(舍去);综上所述:m的取值范围为:1m3或m < -,【分析】(1)根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值;再分别求出函数、函数的不变值,从而求出其不变长度.(2)① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,即根的判别式△=(b+1)2=0,从而求出 b=-1;②由题意得2x2-bx=x,求出方程的根,再根据1≤b≤3,即可求出函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,分情况讨论写出函数G的解析式,根据定义和一元二次方程求出值,再分情况讨论即可得出答案.8.如图,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解:∵点A(1,a)在一次函数y=﹣x+3的图象上,∴a=﹣1+3=2,∴点A(1,2).∵点A(1,2)在反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象上,∴k=1×2=2,∴反比例函数的表达式为y= .联立一次函数与反比例函数关系式成方程组,得:,解得:,,∴点B(2,1)(2)解:作B点关于x轴的对称点B′(2,﹣1),连接AB’,交x轴于点P,连接PB,如图所示.∵点B、B′关于x轴对称,∴PB=PB′.∵点A、P、B′三点共线,∴此时PA+PB取最小值.设直线AB′的函数表达式为y=mx+n(m≠0),将A(1,2)、B(2,﹣1)代入y=mx+n,,解得:,∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5.当y=﹣3x+5=0时,x= ,∴满足条件的点P的坐标为(,0).【解析】【分析】(1)将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标,由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式,联立两函数表达式成方程组,通过解方程组即可求出点B的坐标;(2)作B点关于x轴的对称点B′(2,﹣1),连接AB’,交x轴于点P,连接PB,由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标.9.在平面直角坐标系中,我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q.且规定:当a≥b时,Q 为(b,﹣a);当a<b时,Q为(a,﹣b).(1)点(2,1)的变换点坐标为________;(2)若点A(a,﹣2)的变换点在函数y= 的图象上,求a的值;(3)已知直线l与坐标轴交于(6,0),(0,3)两点.将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数,以及相应的c的取值范围,请直接写出结论.【答案】(1)(1,﹣2)(2)解:当a≥﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(﹣2,﹣a),代入y= 可得﹣a= ,解得a= ;当a<﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(a,2),代入y= 可得2= ,解得a= ,不符合题意;综上可知a的值为;(3)解:设直线l的解析式为y=kx+b (k≠0 ),将点(6,0)、(0,3)代入y=kx+b 得:,解得,∴直线l的解析式为y=﹣ x+3.当x=y时,x=﹣ x+3,解得x=2.点C的坐标为(2,﹣2),点C的变换点的坐标为C′( 2,﹣2 ),点(6,0)的变换点的坐标为(0,﹣6),点(0,3)的变换点的坐标为(0,﹣3),当x≥2时,所有变换点组成的图形是以C′( 2,﹣2)为端点,过(0,﹣6 )的一条射线;即:y=2x﹣6,其中x≥2,当x<2时,所有变换点组成的图形是以C′(2,﹣2)为端点,过(0,﹣3)的一条射线,即y= x﹣3,其中,x<2.所以新的图形M是以C′(2,﹣2)为端点的两条射线组成的图形.如图所示:由和得:x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得:①当方程①无实数根时,即:当c>﹣时,抛物线y=x2+c与图形M没有交点;②当方程①有两个相等实数根时,即:当c=﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有一个交点;③当方程②无实数根,且方程①有两个不相等的实数根时,即:当﹣5<c<﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点;④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时,即:当c=﹣5或c=﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有三个交点;⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时,且两根均小于2,即:当﹣6<c<﹣5时,抛物线y=x2+c与图形M有四个交点;⑥当c<﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点.【解析】【解答】解:(1)∵2≥﹣1,∴点(2,1)的变换点坐标为(1,﹣2),故答案为:(1,﹣2);【分析】(1)由变换点的定义可求得答案;(2)由变换点的定义可求得A的变换点,代入函数解析式可求得a的值;(3)先求得直线y=x与直线l的交点坐标,然后分为当x≥2和x<2两种情况,求得M的关系式,然后在画出M的大致图象,然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组,然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可.10.在平面直角坐标系xOy中,对于双曲线y= (m>0)和双曲线y= (n>0),如果m=2n,则称双曲线y= (m>0)和双曲线y= (n>0)为“倍半双曲线”,双曲线y=(m>0)是双曲线y= (n>0)的“倍双曲线”,双曲线y= (n>0)是双曲线y= (m>0)的“半双曲线”,(1)请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________;双曲线y= 的“半双曲线”是________;(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点,过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B,求△AOB的面积;(3)如图2,已知点M是双曲线y= (k>0)在第一象限内任意一点,过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P,若△MNP的面积记为S△MNP,且1≤S△MNP≤2,求k的取值范围.【答案】(1)y=;y=(2)解:如图1,∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ,∴△AOD的面积为2,△BOD的面积为1,∴△AOB的面积为1(3)解:解法一:如图2,依题意可知双曲线的“半双曲线”为,设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),∴CM= ,CN= .∴MN= ﹣ = .同理PM=m﹣ = .∴S△PMN= MN•PM=∵1≤S△PMN≤2,∴1≤ ≤2.∴4≤k≤8,解法二:如图3,依题意可知双曲线的“半双曲线”为,设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),∴点N为MC的中点,同理点P为MD的中点.连接OM,∵,∴△PMN∽△OCM.∴.∵S△OCM=k,∴S△PMN= .∵1≤S△PMN≤2,∴1≤ ≤2.∴4≤k≤8.【解析】【解答】解:(1)由“倍双曲线”的定义∴双曲线y= ,的“倍双曲线”是y= ;双曲线y= 的“半双曲线”是y= .故答案为y= ,y= ;【分析】(1)直接利用“倍双曲线”的定义即可;(2)利用双曲线的性质即可;(3)先利用双曲线上的点设出M的横坐标,进而表示出M,N的坐标;方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论;方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积,进而建立不等式即可得出结论.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,交轴于点和点,过点作轴交抛物线于点.(1)求此抛物线的表达式;(2)点是抛物线上一点,且点关于轴的对称点在直线上,求的面积;(3)若点是直线下方的抛物线上一动点,当点运动到某一位置时,的面积最大,求出此时点的坐标和的最大面积.【答案】(1)解:抛物线交轴于点,交轴于点和点,,得,此抛物线的表达式是(2)解:抛物线交轴于点,点的坐标为,轴,点是抛物线上一点,且点关于轴的对称点在直线上,点的纵坐标是5,点到的距离是10,当时,,得或,点的坐标为,,的面积是:(3)解:设点的坐标为,如图所示,设过点,点的直线的函数解析式为,,得,即直线的函数解析式为,当时,,,的面积是:,点是直线下方的抛物线上一动点,,当时,取得最大值,此时,点的坐标是,,即点的坐标是,时,的面积最大,此时的面积是.【解析】【分析】(1)根据题意可以求得、的值,从而可以求得抛物线的表达式;(2)根据题意可以求得的长和点到的距离,从而可以求得的面积;(3)根据题意可以求得直线的函数解析式,再根据题意可以求得的面积,然后根据二次函数的性质即可解答本题12.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D 在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.(1)【探究发现】如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D 移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;(2)【数学思考】如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程;(3)【拓展引申】如图4,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不含端点A、B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.【答案】(1)解:∵∠ACB=90°,AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP(2)解:∵DG⊥CD,∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG,且DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∴△CDP≌△GDB(ASA)∴DB=DP(3)解:如图4,过点M作MH⊥MN交AC于点H,连接CM,HQ,∵MH⊥MN,∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB,∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB,且AM=BN,∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ(ASA)∴AH=BQ∵∠ACB=90°,AC=BC=4,∴AB=4 ,AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H,点M,点Q,点C四点共圆,∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB,且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时,BQ有最大值为2.【解析】【分析】(1)DB=DP,理由如下:根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°,根据二直线平行,内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°,根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°,最后根据等角对等边得出 DB=DC ,即DB=DP;(2)利用ASA判断出△CDP≌△GDB ,再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP;(3)如图4,过点M作MH⊥MN交AC于点H,连接CM,HQ,利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ,进而判断出点H,点M,点Q,点C四点共圆,根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ,然后判断出△ACM∽△BMQ ,根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.13.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q分别从起点同时出发,移动到某一位置时所需时间为t秒.(1)当t=________时,PQ∥AB(2)当t为何值时,△PCQ的面积等于5cm2?(3)在P、Q运动过程中,在某一时刻,若将△PQC翻折,得到△EPQ,如图2,PE与AB 能否垂直?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.能垂直,理由如下:延长QE交AC于点D,∵将△PQC翻折,得到△EPQ,∴△QCP≌△QEP,∴∠C=∠QEP=90°,若PE⊥AB,则QD∥AB,∴△CQD∽△CBA,∴,∴,∴QD=2.5t,∵QC=QE=2t∴DE=0.5t∵∠A=∠EDP,∠C=∠DEP=90°,∴△ABC∽△DPE,∴∴,解得:,综上可知:当t= 时,PE⊥AB【答案】(1)2.4(2)解:∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB 向B点以2厘米/秒的速度匀速移动,∴PC=AC-AP=6-t,CQ=2t,∴S△CPQ= CP•CQ= =5,∴t2-6t+5=0解得t1=1,t2=5(不合题意,舍去)∴当t=1秒时,△PCQ的面积等于5cm2(3)解:【解析】【解答】解:(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q 从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动,∴PC=AC-AP=6-t,CQ=2t,当PQ∥AB时,∴△PQC∽△ABC,∴PC:AC=CQ:BC,∴(6-t):6=2t:8∴t=2.4∴当t=2.4时,PQ∥AB【分析】(1)根据题意可得PC=AC-AP=6-t,CQ=2t,根据平行线可得△PQC∽△ABC,利用相似三角形对应边成比例可得PC:AC=CQ:BC,即得(6-t):6=2t:8,求出t值即可;(2)由S△CPQ=CP•CQ =5,据此建立方程,求出t值即可;(3)延长QE交AC于点D,根据折叠可得△QCP≌△QEP,若PE⊥AB,则QD∥AB,可得△CQD∽△CBA,利用相似三角形的对应边成比例,求出DE=0.5t,根据两角分别相等可证△ABC∽△DPE,利用相似三角形对应边成比例,据此求出t 值即可.14.小明利用函数与不等式的关系,对形如 ( 为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程,请补充完整:①对于不等式,观察函数的图象可以得到如表格:的范围的符号+﹣由表格可知不等式的解集为.②对于不等式,观察函数的图象可以得到如表表格:的范围的符号+﹣+由表格可知不等式的解集为________.③对于不等式,请根据已描出的点画出函数(x+1)的图象;观察函数的图象补全下面的表格:的范围的符号+﹣________________由表格可知不等式的解集为________.……小明将上述探究过程总结如下:对于解形如 ( 为正整数)的不等式,先将按从大到小的顺序排列,再划分的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集.(2)请你参考小明的方法,解决下列问题:①不等式的解集为________.②不等式的解集为________.【答案】(1)或;+;-;或(2)或或;或且【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式的解集为或,故答案为:或;③当时,,当时,,由表格可知不等式的解集为或,故答案为:+,﹣,或;(2)①不等式的解集为或或,故答案为:或或;②不等式的解集为或且,故答案为:或且【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性,借此来判断相应的不等式的解集.(1)②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集;③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集;(2)①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集;②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集.15.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=10,求点E的坐标.【答案】(1)解:把点A(2,6)代入y= ,得m=12,则y= .把点B(n,1)代入y= ,得n=12,则点B的坐标为(12,1).由直线y=kx+b过点A(2,6),点B(12,1)得,解得,则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7(2)解:如图,直线AB与y轴的交点为P,设点E的坐标为(0,m),连接AE,BE,则点P的坐标为(0,7).∴PE=|m﹣7|.∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10,∴×|m﹣7|×(12﹣2)=10.∴|m﹣7|=2.∴m1=5,m2=9.∴点E的坐标为(0,5)或(0,9).【解析】【分析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式,求出反比例函数的解析式,把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式,得出n的值,得出点B的坐标,再把A、B的坐标代入直线y=kx+b,求出k、b的值,从而得出一次函数的解析式;(2)设点E 的坐标为(0,m),连接AE,BE,先求出点P的坐标(0,7),得出PE=|m﹣7|,根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10,求出m的值,从而得出点E的坐标.。
人教全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总及详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(1)求双曲线的解析式;(2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________;(3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值.(4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围.【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得,所以双曲线的解析式为y= ;(2)2(3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2),抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9,把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± ,即a的值为6± ;(4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9,把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ;把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2;∵G1与G2有两个交点,∴3+ ≤a≤12﹣2 ,设直线DE的解析式为y=px+q,把D(3,4),E(12,1)代入得,解得,∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5,∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,∴M(a,﹣ a+5),N(a,),∵MN<,∴﹣ a+5﹣<,整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0,∴a<4或a>9,∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 .【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4),所以BE= =2 .故答案为2 ;【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围.2.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).(1)试确定此反比例函数的解析式;(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,∴反比例函数的解析式为y=﹣(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,∴OA= =2,∠AOC=30°,∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,∴∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,∴B点坐标为(﹣1,),将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上(3)解:由y=﹣得xy=﹣,∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,∴m( m+6)=﹣,∴m2+2 m+1=0,∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).∵△OQM的面积是,∴OM•QM= ,∵m<0,∴mn=﹣1,∴m2n2+2 mn2+n2=0,∴n2﹣2 n=﹣1,∴n2﹣2 n+9=8.【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.3.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.4.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于A,B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A的横坐标是1,tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△ABH面积.【答案】(1)解:∵点D的坐标为(﹣1,0),tan∠CDO=2,∴CO=2,即C(0,2),把C(0,2),D(﹣1,0)代入y=ax+b可得,,解得,∴一次函数解析式为y=2x+2,∵点A的横坐标是1,∴当x=1时,y=4,即A(1,4),把A(1,4)代入反比例函数y= ,可得k=4,∴反比例函数解析式为y=(2)解:解方程组,可得或,∴B(﹣2,﹣2),又∵A(1,4),BH⊥y轴,∴△ABH面积= ×2×(4+2)=6.【解析】【分析】(1)先由tan∠CDO=2可求出C坐标,再把D点坐标代入直线解析式,可求出一次函数解析式,再由直线解析式求出A坐标,代入双曲线解析式,可求出双曲线解析式;(2)△ABH面积可以BH为底,高=y A-y B=4-(-2)=6.5.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).(1)求反比例函数的表达式和m的值;(2)将矩形OABC的进行折叠,使点O于点D重合,折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F,G,求折痕FG所在直线的函数关系式.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3,),∴k=3× =2,∴反比例函数的表达式为y= .又∵点D(m,2)在反比例函数y= 的图象上,∴2m=2,解得:m=1(2)解:设OG=x,则CG=OC﹣OG=2﹣x,∵点D(1,2),∴CD=1.在Rt△CDG中,∠DCG=90°,CG=2﹣x,CD=1,DG=OG=x,∴CD2+CG2=DG2,即1+(2﹣x)2=x2,解得:x= ,∴点G(0,).过点F作FH⊥CB于点H,如图所示.由折叠的特性可知:∠GDF=∠GOF=90°,OG=DG,OF=DF.∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°,∴∠CGD=∠HDF,∵∠DCG=∠FHD=90°,∴△GCD∽△DHF,∴=2,∴DF=2GD= ,∴点F的坐标为(,0).设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b,∴有,解得:.∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值,再由点B在反比例函数图象上,代入即可求出m值;(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可求出x值,从而得出点G的坐标.再过点F作FH⊥CB于点H,由此可得出△GCD∽△DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度,从而得出点F的坐标,结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论.6.平面直角坐标系xOy中,已知函数y1= (x>0)与y2=﹣(x<0)的图象如图所示,点A、B是函数y1= (x>0)图象上的两点,点P是y2=﹣(x<0)的图象上的一点,且AP∥x轴,点Q是x轴上一点,设点A、B的横坐标分别为m、n(m≠n).(1)求△APQ的面积;(2)若△APQ是等腰直角三角形,求点Q的坐标;(3)若△OAB是以AB为底的等腰三角形,求mn的值.【答案】(1)解:过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M,PN x轴交x轴于点N,QR AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,如图所示:∵点A的横坐标为m,且在函数上,AP∥x轴,且点P在函数上,∴点A(m, ),点P(-m, ),∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA=2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM=S△PRQ, S△ANQ=S△ARQ,∴S△APQ=S△PRQ+ S△ARQ= S矩形PMNA=4(2)解:当PQ x轴时,则PQ=,,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ=AQ时,则(3)解:∵△OAB是以AB为底的等腰三角形,∴OA=OB,∵A(m, ),B(n, ),∴∴mn=4.【解析】【分析】(1)过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M,PN ⊥ x轴交x轴于点N,QR ⊥ AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,根据点A的横坐标为m,利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标,最后用三角形的面积公式即可得出结论。
人教中考数学反比例函数综合练习题及详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点A在函数y= (x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B,C,直线BC与坐标轴的交点为D,E.(1)当点C的横坐标为1时,求点B的坐标;(2)试问:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,△ABC的面积是否发生变化?若不变,请求出△ABC的面积,若变化,请说明理由.(3)试说明:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,线段BD与CE的长始终相等.【答案】(1)解:∵点C在y= 的图象上,且C点横坐标为1,∴C(1,1),∵AC∥y轴,AB∥x轴,∴A点横坐标为1,∵A点在函数y= (x>0)图象上,∴A(1,4),∴B点纵坐标为4,∵点B在y= 的图象上,∴B点坐标为(,4);(2)解:设A(a,),则C(a,),B(,),∴AB=a﹣ = a,AC= ﹣ = ,∴S△ABC= AB•AC= × × = ,即△ABC的面积不发生变化,其面积为;(3)解:如图,设AB的延长线交y轴于点G,AC的延长线交x轴于点F,∵AB∥x轴,∴△ABC∽△EFC,∴ = ,即 = ,∴EF= a,由(2)可知BG= a,∴BG=EF,∵AE∥y轴,∴∠BDG=∠FCE,在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF(AAS),∴BD=EF.【解析】【分析】(1)由条件可先求得A点坐标,从而可求得B点纵坐标,再代入y= 可求得B点坐标;(2)可设出A点坐标,从而可表示出C、B的坐标,则可表示出AB和AC的长,可求得△ABC的面积;(3)可证明△ABC∽△EFC,利用(2)中,AB和AC的长可表示出EF,可得到BG=EF,从而可证明△DBG≌△CFE,可得到DB=CF.2.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)根据图象,直接写出y1>y2时x的取值范围;(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把B(3,2)代入得:k=6∴反比例函数解析式为:把C(﹣1,n)代入,得:n=﹣6∴C(﹣1,﹣6)把B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入y1=ax+b,得:,解得:所以一次函数解析式为y1=2x﹣4(2)解:由图可知,当写出y1>y2时x的取值范围是﹣1<x<0或者x>3.(3)解:y轴上存在点P,使△PAB为直角三角形如图,过B作BP1⊥y轴于P1,∠B P1 A=0,△P1AB为直角三角形此时,P1(0,2)过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90,△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中,在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2(0,)综上所述,P1(0,2)、P2(0,).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点C坐标,最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;(2)利用图象直接得出结论;(3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论.3.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.【答案】(1)解:y=2x+1中k=2>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.∵y= 中k=2>0,∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19(2)解:令y= ≤2,解得:x<0或x≥1.∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1(3)解:①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0(4)解:①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,解得:m1=1,m2= (舍去);②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,解得:m3=3;③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,整理得:2m2﹣15m+29=0.∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.∴m的值为1或3.①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;【解析】【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)令y= ≤2,解之即可得出x的取值范围;(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,于是得到结论;(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.4.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.【答案】(1)解:∵OB=4,OE=2,∴BE=OB+OE=6.∵CE⊥x轴,∴∠CEB=90°.在Rt△BEC中,∠CEB=90°,BE=6,tan∠ABO= ,∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3,结合函数图象可知点C的坐标为(﹣2,3).∵点C在反比例函数y= 的图象上,∴m=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣(2)解:∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上,∴设点D的坐标为(n,﹣)(n>0).在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=4,tan∠ABO= ,∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2.∵S△BAF= AF•OB= (OA+OF)•OB= (2+ )×4=4+ .∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上,∴S△DFO= ×|﹣6|=3.∵S△BAF=4S△DFO,∴4+ =4×3,解得:n= ,经验证,n= 是分式方程4+ =4×3的解,∴点D的坐标为(,﹣4).【解析】【分析】(1)由边的关系可得出BE=6,通过解直角三角形可得出CE=3,结合函数图象即可得出点C的坐标,再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出反比例函数系数m,由此即可得出结论;(2)由点D在反比例函数在第四象限的图象上,设出点D的坐标为(n,﹣)(n>0).通过解直角三角形求出线段OA的长度,再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF,根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值,结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程,解方程,即可得出n值,从而得出点D的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线相交于点A(,6)和点B(-3,),直线AB与轴交于点C.(1)求直线AB的表达式;(2)求的值.【答案】(1)解:∵点A(,6)和点B(-3,)在双曲线,∴m=1,n=-2,∴点A(1,6),点B(-3,-2),将点A、B代入直线,得,解得,∴直线AB的表达式为:(2)解:分别过点A、B作AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足分别为点M、N,则∠AMO=∠BNO=90°,AM=1,BN=3,∴AM//BN,∴△ACM∽△BCN,∴【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值,利用待定系数法求一次函数的表达式;作辅助线,构建平行线,根据平行线分线段成比例定理可得结论.6.如图1,已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试回答下列问题:(1)若点A的坐标为(3,1),则点B的坐标为________;当x满足:________时,≤k′x;(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y= (k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.四边形APBQ一定是________;(3)若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积.(4)设点A,P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.【答案】(1)(﹣3,﹣1);﹣3≤x<0或x≥3(2)平行四边形(3)∵点A的坐标为(3,1),∴k=3×1=3,∴反比例函数的解析式为y= ,∵点P的横坐标为1,∴点P的纵坐标为3,∴点P的坐标为(1,3),由双曲线关于原点对称可知,点Q的坐标为(﹣1,﹣3),点B的坐标为(﹣3,﹣1),如图2,过点A、B分别作y轴的平行线,过点P、Q分别作x轴的平行线,分别交于C、D、E、F,则四边形CDEF是矩形,CD=6,DE=6,DB=DP=4,CP=CA=2,则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.(4)解:mn=k时,四边形APBQ是矩形,不可能是正方形,理由:当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形,此时点A、P在坐标轴上,由于点A,P可能达到坐标轴故不可能是正方形,即∠POA≠90°.因为mn=k,易知P、A关于直线y=x对称,所以PO=OA=OB=OQ,所以四边形APBQ是矩形.【解析】【解答】解:(1)∵A、B关于原点对称,A(3,1),∴点B的坐标为(﹣3,﹣1).由图象可知,当﹣3≤x<0或x≥3时,≤k′x.故答案为(﹣3,﹣1),﹣3≤x<0或x≥3;(2)∵A、B关于原点对称,P、Q关于原点对称,∴OA=OB,OP=OQ,∴四边形APBQ是平行四边形.故答案为:平行四边形;=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.【分析】(1)根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称,即可解决问题,利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方,即可确定自变量x的范围.(2)利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.(3)利用分割法求面积即可.(3)根据矩形的性质、正方形的性质即可判定.7.【阅读理解】我们知道,当a>0且b>0时,(﹣)2≥0,所以a﹣2 +≥0,从而a+b≥2 (当a=b时取等号),【获得结论】设函数y=x+ (a>0,x>0),由上述结论可知:当x= 即x= 时,函数y有最小值为2(1)【直接应用】若y1=x(x>0)与y2= (x>0),则当x=________时,y1+y2取得最小值为________.(2)【变形应用】若y1=x+1(x>﹣1)与y2=(x+1)2+4(x>﹣1),则的最小值是________(3)【探索应用】在平面直角坐标系中,点A(﹣3,0),点B(0,﹣2),点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点,过P点作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,设点P的横坐标为x,四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式;②求S的最小值,判断取得最小值时的四边形ABCD的形状,并说明理由.【答案】(1)1;2(2)4(3)解:①设P(x,),则C(x,0),D(0,),∴AC=x+3,BD= +2,∴S= AC•BD= (x+3)( +2)=6+x+ ;②∵x>0,∴x+ ≥2 =6,∴当x= 时,即x=3时,x+ 有最小值6,∴此时S=6+x+ 有最小值12,∵x=3,∴P(3,2),C(3,0),D(0,2),∴A、C关于x轴对称,D、B关于y轴对称,即四边形ABCD的对角线互相垂直平分,∴四边形ABCD为菱形.【解析】【解答】解:(1)∵x>0,∴y1+y2=x+ ≥2 =2,∴当x= 时,即x=1时,y1+y2有最小值2,故答案为:1;2;(2)∵x>﹣1,∴x+1>0,∴ = =(x+1)+ ≥2 =4,∴当x+1= 时,即x=1时,有最小值4,故答案为:4;【分析】(1)直接由结论可求得其取得最小值,及其对应的x的值;(2)可把x+1看成一个整体,再利用结论可求得答案;(3)①可设P(x,),则可表示出C、D的坐标,从而可表示出AC和BD,再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积,从而可得到S 与x的函数关系式;②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值,则可得到P、C、D的坐标,可判断A、C关于x轴对称,B、D关于y轴对称,可判断四边形ABCD为菱形.8.如图,过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A,C和B,D,连接AB,BC,CD,DA.(1)四边形ABCD一定是________四边形;(直接填写结果)(2)四边形ABCD可能是矩形吗?若可能,试求此时k1,k2之间的关系式;若不能,说明理由;(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,a=,b= ,试判断a,b的大小关系,并说明理由.【答案】(1)平行(2)解:∵正比例函数y=k1x(k1>0)与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A,∴k1x= ,解得x= (因为交于第一象限,所以负根舍去,只保留正根)将x= 带入y=k1x得y= ,故A点的坐标为(,)同理则B点坐标为(,),又∵OA=OB,∴ = ,两边平方得: +k1= +k2,整理后得(k1﹣k2)(k1k2﹣1)=0,∵k1≠k2,所以k1k2﹣1=0,即k1k2=1;(3)解:∵P(x1, y1),Q(x2, y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,∴y1= ,y2= ,∴a= = = ,∴a﹣b= ﹣ = = ,∵x2>x1>0,∴>0,x1x2>0,(x1+x2)>0,∴>0,∴a﹣b>0,∴a>b.【解析】【解答】解:(1)∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称,∴OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD 是平行四边形;故答案为:平行;【分析】(1)由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称,即可得到结论.(2)联立方程求得A、B点的坐标,然后根据OA=OB,依据勾股定理得出 = ,两边平分得 +k1= +k2,整理后得(k1﹣k2)(k1k2﹣1)=0,根据k1≠k2,则k1k2﹣1=0,即可求得;(3)由P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,得到y1= ,y2= ,求出a= = = ,得到a﹣b= ﹣ = = >0,即可得到结果.9.在平面直角坐标系中,我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q.且规定:当a≥b时,Q 为(b,﹣a);当a<b时,Q为(a,﹣b).(1)点(2,1)的变换点坐标为________;(2)若点A(a,﹣2)的变换点在函数y= 的图象上,求a的值;(3)已知直线l与坐标轴交于(6,0),(0,3)两点.将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数,以及相应的c的取值范围,请直接写出结论.【答案】(1)(1,﹣2)(2)解:当a≥﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(﹣2,﹣a),代入y= 可得﹣a= ,解得a= ;当a<﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(a,2),代入y= 可得2= ,解得a= ,不符合题意;综上可知a的值为;(3)解:设直线l的解析式为y=kx+b (k≠0 ),将点(6,0)、(0,3)代入y=kx+b 得:,解得,∴直线l的解析式为y=﹣ x+3.当x=y时,x=﹣ x+3,解得x=2.点C的坐标为(2,﹣2),点C的变换点的坐标为C′( 2,﹣2 ),点(6,0)的变换点的坐标为(0,﹣6),点(0,3)的变换点的坐标为(0,﹣3),当x≥2时,所有变换点组成的图形是以C′( 2,﹣2)为端点,过(0,﹣6 )的一条射线;即:y=2x﹣6,其中x≥2,当x<2时,所有变换点组成的图形是以C′(2,﹣2)为端点,过(0,﹣3)的一条射线,即y= x﹣3,其中,x<2.所以新的图形M是以C′(2,﹣2)为端点的两条射线组成的图形.如图所示:由和得:x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得:①当方程①无实数根时,即:当c>﹣时,抛物线y=x2+c与图形M没有交点;②当方程①有两个相等实数根时,即:当c=﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有一个交点;③当方程②无实数根,且方程①有两个不相等的实数根时,即:当﹣5<c<﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点;④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时,即:当c=﹣5或c=﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有三个交点;⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时,且两根均小于2,即:当﹣6<c<﹣5时,抛物线y=x2+c与图形M有四个交点;⑥当c<﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点.【解析】【解答】解:(1)∵2≥﹣1,∴点(2,1)的变换点坐标为(1,﹣2),故答案为:(1,﹣2);【分析】(1)由变换点的定义可求得答案;(2)由变换点的定义可求得A的变换点,代入函数解析式可求得a的值;(3)先求得直线y=x与直线l的交点坐标,然后分为当x≥2和x<2两种情况,求得M的关系式,然后在画出M的大致图象,然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组,然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可.10.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B、C在第一象限,且四边形OABC是平行四边形,OC=2 ,sin∠AOC= ,反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D.(1)求这个反比例函数的解析式;(2)四边形OABC的面积.【答案】(1)解:过C作CM⊥x轴于M,则∠CMO=90°,∵OC=2 ,sin∠AOC= = ,∴MC=4,由勾股定理得:OM= =2,∴C的坐标为(2,4),代入y= 得:k=8,所以这个反比例函数的解析式是y=(2)解:过B作BE⊥x轴于E,则BE=CM=4,AE=OM=2,过D作DN⊥x轴于N,∵D为AB的中点,∴DN= =2,AN= =1,把y=2代入y= 得:x=4,即ON=4,∴OA=4﹣1=3,∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12【解析】【分析】(1)过C作CM⊥x轴于M,则∠CMO=90°,解直角三角形求出CM,根据勾股定理求出OM,求出C的坐标,即可求出答案;(2)根据D为中点求出DN的值,代入反比例函数解析式求出ON,求出OA,根据平行四边形的面积公式求出即可.11.如图1,抛物线y=ax2﹣4ax+b经过点A(1,0),与x轴交于点B,与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAC沿AC翻折得到△ACE,直线AE交抛物线于点P,求点P的坐标;(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与B、C重合),连OM,将OM绕O点旋转90°,得到线段ON,是否存在这样的点N,使点N恰好在抛物线上?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由题意知:抛物线的对称轴为:x=2,则B(3,0);已知OB=OC=3,则C(0,-3);设抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3),依题意有:a(0-1)(0-3)=-3,a=-1;故抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3.(2)解:设AE交y轴于点F;易证得△FOA∽△FEC,有,设OF=x,则EF=3x,所以FA=3x﹣1;在Rt△FOA中,由勾股定理得:(3x﹣1)2=x2+1,解得x=;即OF=,F(0,);求得直线AE为y=﹣x+ ,联立抛物线的解析式得:,解得,;故点P(,).(3)解:∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC:y=x﹣3;设点M(a,a﹣3),则:①当点M在第一象限时,OG=a,MG=a﹣3;过M作MG⊥x轴于G,过N作NH⊥x轴于H;根据旋转的性质知:∠MON=90°,OM=ON,则可证得△MOG≌△NOH,得:OG=NH=a,OH=MG=a﹣3,故N(a﹣3,﹣a),将其代入抛物线的解析式中,得:﹣(a﹣3)2+4(a﹣3)﹣3=﹣a,整理得:a2﹣11a+24=0,a=3(舍去),a=8;故M(8,5),N(5,﹣8).②当点M在第三象限时,OG=﹣a,MG=3﹣a;同①可得:MG=OH=3﹣a,OG=NH=﹣a,则N(3﹣a,a),代入抛物线的解析式可得:﹣(3﹣a)2+4(3﹣a)﹣3=a,整理得:a2﹣a=0,故a=0,a=1;由于点M在第三象限,所以a<0,故a=0、a=1均不合题意,此种情况不成立;③当点M在第四象限时,OG=a,MG=3﹣a;同①得:N(3﹣a,a),在②中已经求得此时a=0(舍去),a=1;故M(1,﹣2),N(2,1);综上可知:存在符合条件的N点,且坐标为N(2,1)或(5,﹣8).【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式,可得抛物线的对称轴方程,进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标,已知OB=OC,即可得到点C的坐标,从而利用待定系数法求得抛物线的解析式.(2)点P为直线AE和抛物线的交点,欲求点P,必须先求出直线AE的解析式;设直线AE与y轴的交点为F,易得△FOA∽△FEC,由于OA=1,EC=3,根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF,设OF=x,则EF=3x,AF=3x-1,进而可在Rt△FOA 中求出x的值,也就能求出F点的坐标,然后利用待定系数法求出直线AE的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标.(3)此题应分三种情况讨论:①当点M在第一象限时,可设M(a,a-3),由于ON是由OM旋转90°而得,因此△OMN是等腰直角三角形,分别过M、N作MG、NH垂直于x轴,即可证得△OMG≌△NOH,得MG=OH,NH=OG,由此可表示出N点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求得点M、N 的坐标;②当点M在第三象限,④点M在第四象限时,解法同①.12.如图,在菱形ABCD中,, ,点E是边BC的中点,连接DE,AE.(1)求DE的长;(2)点F为边CD上的一点,连接AF,交DE于点G,连接EF,若 ,①求证:△△;②求DF的长.【答案】(1)解:连结BD(2)解:①②【解析】【分析】(1)连结BD ,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形,根据等边三角形的性质得出DE⊥BC,CE=2,然后利用勾股定理算出DE的长;(2)①首先判断出△AGD∽△EGF,根据相似三角形对应边成比例得出,又∠AGE=∠DGF,故△AGE∽△DGF;②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长,然后过点E作EH⊥DC于点H,在Rt△ECH中,利用勾股定理算出FH的长,从而根据线段的和差即可算出答案.13.如图,已知直线y=﹣2x+6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P,使△POB≌△POC?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:由y=﹣2x+6=0,得x=3∴B(3,0).∵A(1,4)为顶点,∴设抛物线的解析为y=a(x﹣1)2+4,解得a=﹣1.∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;(2)解:存在.当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,∴C(0,3).∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC.作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,则∠POM=∠PON=45°.∴PM=PN.设P(m,m),则m=﹣m2+2m+3,解得m=.∵点P在第三象限,∴P(,).【解析】【分析】(1)根据待定系数法求解析式即可;(2)先确定出点C坐标,然后根据△POB≌△POC建立方程,求解即可14.如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且.(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标;(2)判断的形状,证明你的结论;(3)点是轴上的一个动点,当的周长最小时,求的值.【答案】(1)解:∵点在抛物线上,∴,解得,∴抛物线解析式为,∵,∴点坐标为;(2)解:为直角三角形,证明如下:在中,令可得,解得或,∴为,且为,∴,,,由勾股定理可求得,,又,∴,∴为直角三角形;(3)解:∵,∴点关于轴的对称点为,如图,连接,交轴于点,则即为满足条件的点,设直线解析式为,把、坐标代入可得,解得,∴直线解析式为,令,可得,∴.【解析】【分析】(1)把A点坐标代入可求得b的值,可求得抛物线的解析式,再求D 点坐标即可;(2)由解析式可求得A、B、C的坐标,可求得AB、BC、AC的长,由勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形;(3)先求得C点关于x轴的对称点E,连接DE,与轴交于点M,则M即为所求,可求得DE的解析式,令其y=0,可求得M点的坐标,可求得m.15.小明利用函数与不等式的关系,对形如 ( 为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程,请补充完整:①对于不等式,观察函数的图象可以得到如表格:的范围的符号+﹣由表格可知不等式的解集为.②对于不等式,观察函数的图象可以得到如表表格:的范围的符号+﹣+由表格可知不等式的解集为________.③对于不等式,请根据已描出的点画出函数(x+1)的图象;观察函数的图象补全下面的表格:的范围的符号+﹣________________________.……小明将上述探究过程总结如下:对于解形如 ( 为正整数)的不等式,先将按从大到小的顺序排列,再划分的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集.(2)请你参考小明的方法,解决下列问题:①不等式的解集为________.②不等式的解集为________.【答案】(1)或;+;-;或(2)或或;或且【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式的解集为或,故答案为:或;③当时,,当时,,由表格可知不等式的解集为或,故答案为:+,﹣,或;(2)①不等式的解集为或或,故答案为:或或;②不等式的解集为或且,故答案为:或且【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性,借此来判断相应的不等式的解集.(1)②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集;③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集;(2)①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集;②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集.。
全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总附详细答案
∴ FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ,
∴ 菱形 ABCD 平移的距离为 ,
同理,将菱形 ABCD 向右平移,使点 B 落在反比例函数 y= (x>0)的图象上,
菱形 ABCD 平移的距离为 , 综上,当菱形 ABCD 平移的距离为 或 时,菱形的一个顶点恰好落在函数图象上. 【解析】【分析】(1)根据菱形的性质和 D 的坐标即可求出 A 的坐标,代入求出即可; (2)B 和 D 可能落在反比例函数的图象上,根据平移求出即可.
值范围,由﹣3x+2= ,由 X=m 得 k=﹣3m2+2m(0<m< );(2)由 ax+2= 得 ax2+2x﹣
k=0,直线 y=ax+2(a≠0)与双曲线 y= 有唯一公共点 M 时,△ =4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股 定理即可;(3)当 a=﹣2 时,y=﹣2x+2,从而求出 A、B 两点的坐标,由平移的知识知 A′,B′点的坐标,从而得到 k 的取值范围。
(2)解:由题意得:
,
ax+2= , ax2+2x﹣k=0,
∵ 直线 y=ax+2(a≠0)与双曲线 y= 有唯一公共点 M 时, ∴ △ =4+4ak=0, ak=﹣1,
∴ k=﹣ ,
则
,
解得:
,
∵ OM= ,
∴ 12+(﹣ )2=( )2 ,
a=± (3)解:当 a=﹣2 时,y=﹣2x+2,
∴ 点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(0,2), ∵ 将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线 y=x 平移 个单位得到 Rt△ A′O′B′, ∴ A′(2,1),B′(1,3), 点 M 是 Rt△ A′O′B′斜边上一动点, 当点 M′与 A′重合时,k=2, 当点 M′与 B′重合时,k=3, ∴ k 的取值范围是 2≤k≤3 【解析】【分析】(1)当 a=﹣3 时,直线解析式为 y=﹣3x+2,求出 A 点的横坐标,由于 点 M 的横坐标为 m,且 M 是线段 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合)从而得到 m 的取
人教中考数学专题题库∶反比例函数的综合题附详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图1,经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C;与双曲线y= 相交于点A,B;直线AB与分别与x轴、y轴交于点D,E.已知点A的坐标为(﹣1,4),点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等.(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)计算△ABC的面积;(3)如图2,将抛物线平移至顶点在原点上时,直线AB随之平移,试判断:在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PAB的内切圆的圆心在y轴上?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把点A的坐标代入双曲线的解析式得:k=﹣1×4=﹣4.所以双曲线的解析式为y=﹣.设点B的坐标为(m,﹣m).∵点B在双曲线上,∴﹣m2=﹣4,解得m=2或m=﹣2.∵点B在第四象限,∴m=2.∴B(2,﹣2).将点A、B、C的坐标代入得:,解得:.∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x.(2)解:如图1,连接AC、BC.令y=0,则x2﹣3x=0,∴x=0或x=3,∴C(3,0),∵A(﹣1,4),B(2,﹣2),∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2,∵点D是直线AB与x轴的交点,∴D(1,0),∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6;(3)解:存在,理由:如图2,由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=(x﹣)2﹣,∴原抛物线的顶点坐标为(,﹣),∴抛物线向左平移个单位,再向上平移个单位,而平移前A(﹣1,4),B(2,﹣2),∴平移后点A(﹣,),B(,),∴点A关于y轴的对称点A'(,),连接A'B并延长交y轴于点P,连接AP,由对称性知,∠APE=∠BPE,∴△APB的内切圆的圆心在y轴上,∵B(,),A'(,),∴直线A'B的解析式为y=3x﹣,∴P(0,﹣).【解析】【分析】(1)首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值,然后再求得B的值,最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式,进而得出点B的坐标,最后,将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式,求得a、b、c的值即可;(2)由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式,然后将y=0可求得点D的横坐标,最后用三角形的面积和求解即可;(3)先确定出平移后点A,B的坐标,进而求出点A关于y轴的对称点的坐标,求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.2.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.【答案】(1)解:y=2x+1中k=2>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.∵y= 中k=2>0,∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19(2)解:令y= ≤2,解得:x<0或x≥1.∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1(3)解:①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0(4)解:①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,解得:m1=1,m2= (舍去);②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,解得:m3=3;③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,整理得:2m2﹣15m+29=0.∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.∴m的值为1或3.①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;【解析】【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)令y= ≤2,解之即可得出x的取值范围;(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,于是得到结论;(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.3.如图,一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= (x>0)的图象于A(4,-8)、B (m,-2)两点,交x轴于点C.(1)求反比例函数与一次函数的关系式;(2)根据图象回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?(3)以O、A、B、P为顶点作平行四边形,请直接写出点P的坐标.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (x>0)的图象于A(4,-8),∴k=4×(-8)=-32.∵双曲线y= 过点B(m,-2),∴m=16.由直线y=kx+b过点A,B得:,解得,,∴反比例函数关系式为,一次函数关系式为(2)解:观察图象可知,当0<x<4或x>16时,一次函数的值大于反比例函数的值(3)解:∵O(0,0),A(4,-8)、B(16,-2),分三种情况:①若OB∥AP,OA∥BP,∵O(0,0),A(4,-8),∴由平移规律,点B(16,-2)向右平移4个单位,向下平移8个单位得到P点坐标为(20,-10);②若OP∥AB,OA∥BP,∵A(4,-8),B(16,-2),∴由平移规律,点O(0,0)向右平移12个单位,向上平移6个单位得到P点坐标为(12,6);③若OB∥AP,OP∥AB,∵B(16,-2),A(4,-8),∴由平移规律,点O(0,0)向左平移12个单位,向下平移6个单位得到P点坐标为(-12,-6);∴以O,A,B,P为顶点作平行四边形,第四个顶点P的坐标为(12,6)或(-12,-6)或(20,-10)【解析】【分析】(1)将点A(4,-8),B(m,-2)代入反比例函数y= (x>0)中,可求k、a;再将点A(4,-8),B(m,-2)代入y=kx+b中,列方程组求k、b即可;(2)根据两函数图象的交点,图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围;(3)根据平行四边形的性质,即可直接写出.4.对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如:下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1,y=x-1,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零,求b的值;②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;(3)记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.【答案】(1)解:函数y=x-1没有不变值;∵函数有-1和1两个不变值,∴其不变长度为2;∵函数有0和1两个不变值,∴其不变长度为1;(2)解:① 函数y=2x2-bx的不变长度为0,方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,∴△=(b+1)2=0,b=-1,②∵2x2-bx=x,∴,1≤b≤3,1≤ ≤2,函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.(3)1≤m≤3或m<-【解析】【解答】解(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,∴函数G:y=,当x2-2x=x时,即x(x-3)=0,∴x3=0,x4=3,当(2m-x)2-2(2m-x)=x时,即x2+(1-4m)x+(4m2-4m)=0,∴△=(1-4m)2-4×(4m2-4m)=1+8m,当△=1+8m0时,即m-,此方程无解,∴q=x4-x3=3-0=3;当△=1+8m 0时,即m -,此方程有解,∴x5=, x6=,①当-m0时,∵x3=0,x4=3,∴x60,∴x4-x63(不符合题意,舍去),②∵当x5=x4时,∴m=1,当x6=x3时,∴m=3,当0m1时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当1m3时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当m3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),此时x53,x60,∴q=x5-x63(舍去);综上所述:m的取值范围为:1m3或m < -,【分析】(1)根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值;再分别求出函数、函数的不变值,从而求出其不变长度.(2)① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,即根的判别式△=(b+1)2=0,从而求出 b=-1;②由题意得2x2-bx=x,求出方程的根,再根据1≤b≤3,即可求出函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,分情况讨论写出函数G的解析式,根据定义和一元二次方程求出值,再分情况讨论即可得出答案.5.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A,与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点D是反比例函数图象在第四象限内的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.(3)若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动,当线段DC与线段DB之差达到最大时,求点D的坐标.【答案】(1)解:∵tan∠ABO= ,∴ = ,且OB=4,∴OA=2,∵CE⊥x轴,即CE∥AO,∴△AOB∽△CEB,∴ = ,即 = ,解得CE=3,∴C(﹣2,3),∴m=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数解析式为y=﹣(2)解:设D(x,﹣),∵D在第四象限,∴DF=x,OF= ,∴S△DFO= DF•OF= x× =3,由(1)可知OA=2,∴AF=x+ ,∴S△BAF= AF•OB= (x+ )×4=2(x+ ),∵S△BAF=4S△DFO,∴2(x+ )=4×3,解得x=3+ 或x=3﹣,当x=3+ 时,﹣的值为3﹣,当x=3﹣时,﹣的值为3+ ,∵D在第四象限,∴x=3﹣不合题意,舍去,∴D(3+ ,3﹣)(3)解:∵D在第四象限,∴在△BCD中,由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC,即当B、C、D三点共线时,其差最大,设直线AB解析式为y=kx+b,由题意可得,解得,∴直线AB解析式为y=﹣ x+2,联立直线AB和反比例函数解析式可得,解得或(舍去),∴D(6,﹣1),即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为(6,﹣1)【解析】【分析】(1)由条件可求得OA,由△AOB∽△CEB可求得CE,则可求得C点坐标,代入反比例函数解析式可求得m的值,可求得反比例函数解析式;(2)设出D的坐标,从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积,由条件可列出方程,从而可求得D点坐标;(3)在△BCD中,由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC,当B、C、D三点共线时,其差最大,联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标.6.如图1,抛物线y=ax2﹣4ax+b经过点A(1,0),与x轴交于点B,与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAC沿AC翻折得到△ACE,直线AE交抛物线于点P,求点P的坐标;(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与B、C重合),连OM,将OM绕O点旋转90°,得到线段ON,是否存在这样的点N,使点N恰好在抛物线上?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由题意知:抛物线的对称轴为:x=2,则B(3,0);已知OB=OC=3,则C(0,-3);设抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3),依题意有:a(0-1)(0-3)=-3,a=-1;故抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3.(2)解:设AE交y轴于点F;易证得△FOA∽△FEC,有,设OF=x,则EF=3x,所以FA=3x﹣1;在Rt△FOA中,由勾股定理得:(3x﹣1)2=x2+1,解得x=;即OF=,F(0,);求得直线AE为y=﹣x+ ,联立抛物线的解析式得:,解得,;故点P(,).(3)解:∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC:y=x﹣3;设点M(a,a﹣3),则:①当点M在第一象限时,OG=a,MG=a﹣3;过M作MG⊥x轴于G,过N作NH⊥x轴于H;根据旋转的性质知:∠MON=90°,OM=ON,则可证得△MOG≌△NOH,得:OG=NH=a,OH=MG=a﹣3,故N(a﹣3,﹣a),将其代入抛物线的解析式中,得:﹣(a﹣3)2+4(a﹣3)﹣3=﹣a,整理得:a2﹣11a+24=0,a=3(舍去),a=8;故M(8,5),N(5,﹣8).②当点M在第三象限时,OG=﹣a,MG=3﹣a;同①可得:MG=OH=3﹣a,OG=NH=﹣a,则N(3﹣a,a),代入抛物线的解析式可得:﹣(3﹣a)2+4(3﹣a)﹣3=a,整理得:a2﹣a=0,故a=0,a=1;由于点M在第三象限,所以a<0,故a=0、a=1均不合题意,此种情况不成立;③当点M在第四象限时,OG=a,MG=3﹣a;同①得:N(3﹣a,a),在②中已经求得此时a=0(舍去),a=1;故M(1,﹣2),N(2,1);综上可知:存在符合条件的N点,且坐标为N(2,1)或(5,﹣8).【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式,可得抛物线的对称轴方程,进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标,已知OB=OC,即可得到点C的坐标,从而利用待定系数法求得抛物线的解析式.(2)点P为直线AE和抛物线的交点,欲求点P,必须先求出直线AE的解析式;设直线AE与y轴的交点为F,易得△FOA∽△FEC,由于OA=1,EC=3,根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF,设OF=x,则EF=3x,AF=3x-1,进而可在Rt△FOA 中求出x的值,也就能求出F点的坐标,然后利用待定系数法求出直线AE的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标.(3)此题应分三种情况讨论:①当点M在第一象限时,可设M(a,a-3),由于ON是由OM旋转90°而得,因此△OMN是等腰直角三角形,分别过M、N作MG、NH垂直于x轴,即可证得△OMG≌△NOH,得MG=OH,NH=OG,由此可表示出N点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求得点M、N 的坐标;②当点M在第三象限,④点M在第四象限时,解法同①.7.如图所示,在平面直角坐标系xoy中,直线y= x+ 交x轴于点B,交y轴于点A,过点C(1,0)作x轴的垂线l,将直线l绕点C按逆时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<180°).(1)当直线l与直线y= x+ 平行时,求出直线l的解析式;(2)若直线l经过点A,①求线段AC的长;②直接写出旋转角α的度数;(3)若直线l在旋转过程中与y轴交于D点,当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时,直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】(1)解:当直线l与直线y= x+平行时,设直线l的解析式为y= x +b,∵直线l经过点C(1,0),∴0=+b,∴b=,∴直线l的解析式为y=x−(2)解:①对于直线y= x+,令x=0得y=,令y=0得x=−1,∴A(0,),B(−1,0),∵C(1,0),∴AC=,②如图1中,作CE∥OA,∴∠ACE=∠OAC,∵tan∠OAC=,∴∠OAC=30°,∴∠ACE=30°,∴α=30°(3)解:①如图2中,当α=15°时,∵CE∥OD,∴∠ODC=15°,∵∠OAC=30°,∴∠ACD=∠ADC=15°,∴AD=AC=AB,∴△ADB,△ADC是等腰三角形,∵OD垂直平分BC,∴DB=DC,∴△DBC是等腰三角形;②当α=60°时,易知∠DAC=∠DCA=30°,∴DA=DC=DB,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形;③当α=105°时,易知∠ABD=∠ADB=∠ADC=∠ACD=75°,∠DBC=∠DCB=15°,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形;④当α=150°时,易知△BDC是等边三角形,∴AB=BD=DC=AC,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形,综上所述:当α=15°或60°或105°或150°时,△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】(1)设直线l的解析式为y= x+b,把点C(1,0)代入求出b即可;(2)①求出点A的坐标,利用两点间距离公式即可求出AC的长;②如图1中,由CE∥OA,推出∠ACE=∠OAC,由tan∠OAC=,推出∠OAC=30°,即可解决问题;(3)根据等腰三角形的判定和性质,分情况作出图形,进行求解即可.8.在平面直角坐标系中,正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4),B(-2,-2),C(4,-2),D(4,4).(1)填空:正方形的面积为________;当双曲线(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时,k的取值范围是________.(2)已知抛物线L: (a>0)顶点P在边BC上,与边AB,DC分别相交于点E,F,过点B的双曲线(k≠0)与边DC交于点N.①点Q(m,-m2-2m+3)是平面内一动点,在抛物线L的运动过程中,点Q随m运动,分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.②当点F在点N下方,AE=NF,点P不与B,C两点重合时,求的值.③求证:抛物线L与直线的交点M始终位于轴下方.【答案】(1)36;0<k<4或-8<k<0(2)解:①由题意可知,,当m=-1,最大=4,在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为(-1,4)当m<-1时,随m的增大而增大,当m=-2时,最小=3,当m>-1时,随m的增大而减小,当m=4时,最小=-21,3>-21,∴最小=-21,点Q在最低位置时的坐标(4,-21)∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为(-1,4),最低位置时的坐标为(4,-21)②将点B(-2,-2)代入双曲线得,∴k=4,∴反比例函数解析式为N点横坐标x=4,代入得,∴N(4,1)由顶点P(m,n)在边BC上,∴,BP= ,CP=E点横坐标x=-2,F点横坐标x=4,分别代入抛物线可得E ,F ,∴BE= ,CF= ,∴,又∵AE=NF,点F在点N下方,∴化简得,∴③由题意得,M ,,∵二次函数对称轴为m=1,,∴当m=1时,取得最小值为,当或4时,最大为,当m=4时,抛物线L为,E点横坐标为-2,代入抛物线得,∴EF点横坐标为x=4,代入抛物线得,∴∵E点在AB边上,且此时不与B重合,∴,解得∴,∴当时,抛物线L为同理可得E ,F∵F在CD边上,且此时不与C重合∴,解得,∴,∴综上,抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方.【解析】【解答】(1)解:由点A(-2,4),B(-2,-2)可知正方形的边长为6,∴正方形面积为36;当反比例函数在一、三象限时,若经过B(-2,-2)则,若经过D(4,4),则,根据图像特征,要有4个交点,则0<k<4;当反比例函数在二、四象限时,若经过A(-2,4)则,若经过C(4,-2)则,根据图像特征,要有4个交点,则-8<k<0,综上,k的取值范围是0<k<4或-8<k<0.【分析】(1)由坐标求出正方形的边长,即可求出面积,讨论反比例函数在一、三象限和二、四象限时,利用数形结合求出k的范围;(2)①由题意可知,,分,和分别讨论Q点符合条件的坐标;②将点B(-2,-2)代入双曲线,可求k=4和N(4,1),再表示出点 E 和 F ,可推出BE= ,CF= ,,再根据AE=NF可推出,进而可求的值;③由题意得,M ,,当m=1时,最小为,当或4时,最大为,再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合,列出不等式可得,当时, F点不与C点重合列出不等式可得,即可得证.9.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D 在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.(1)【探究发现】如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D 移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;(2)【数学思考】如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程;(3)【拓展引申】如图4,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不含端点A、B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.【答案】(1)解:∵∠ACB=90°,AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP(2)解:∵DG⊥CD,∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG,且DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∴△CDP≌△GDB(ASA)∴DB=DP(3)解:如图4,过点M作MH⊥MN交AC于点H,连接CM,HQ,∵MH⊥MN,∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB,∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB,且AM=BN,∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ(ASA)∴AH=BQ∵∠ACB=90°,AC=BC=4,∴AB=4 ,AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H,点M,点Q,点C四点共圆,∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB,且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时,BQ有最大值为2.【解析】【分析】(1)DB=DP,理由如下:根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°,根据二直线平行,内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°,根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°,最后根据等角对等边得出 DB=DC ,即DB=DP;(2)利用ASA判断出△CDP≌△GDB ,再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP;(3)如图4,过点M作MH⊥MN交AC于点H,连接CM,HQ,利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ,进而判断出点H,点M,点Q,点C四点共圆,根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ,然后判断出△ACM∽△BMQ ,根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.10.已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.(1)求的值;(2)当此方程有两个不为0的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移2个单位,求平移后的函数图象的解析式;(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象G.当直线与图象G有3个公共点时,请你直接写出的取值范围.【答案】(1)解:∵方程有实数根,∴ .∴,解得 .∵为正整数,∴为1,2,3(2)解:当时,,方程的两个整数根为6,0;当时,,方程无整数根;当时,,方程的两个整数根为2,1∴ ,原抛物线的解析式为: .∴平移后的图象的解析式为(3)解:翻折后得到一个新的图象G的解析式为,联立得,即 .由得 .∴当或时,直线与有一个交点,当时,直线与有两个交点.联立得,即 .由得 .∴当或时,直线与有一个交点,当时,直线与有两个交点.∴要使直线与图象G有3个公共点即要直线与有一个交点且与有两个交点;或直线与有两个交点且与有一个交点.∴的取值范围为 .【解析】【分析】(1)由求出正整数解即可.(2)求出方程有两个不为0的整数根时的二次函数解析式,根据平移的性质得到平移后的函数图象的解析式.(3)分直线与有一个交点且与有两个交点和直线与有两个交点且与有一个交点两种情况求解即可11.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A,B,C,已知点A(﹣1,0),点B(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E,点N是线段DE上一动点①当点N在何处时,△CAN的周长最小?②若点M(m,0)是x轴上一个动点,且∠MNC=90°,求m的取值范围.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣3,解得:a=1,故函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3(2)解:①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小.设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b,则:,解得:,故直线AC'的表达式为:y=﹣x﹣1,当x=1时,y=﹣2,故点N(1,﹣2);②如图2,过点C作CG⊥ED于点G.设NG=n,则NE=3﹣n.∵∠CNG+∠GCN=90°,∠CNG+∠MNE=90°,∴∠NCG=∠MNE,则tan∠NCG=n=tan∠MNE,故ME=﹣n2+3n,∴﹣1<0,故ME有最大值,当n时,ME,则m的最小值为:;如下图所示,当点N与点D重合时,m取得最大值.过C作CG⊥ED于G.∵y=x2﹣2x﹣3= y=(x-1)2﹣4,∴D(1,-4),∴CG=OE=1.∵EG=OC=3∴GD=4-3=1,∴CG=DG=1,∴∠CDG=45°.∵∠CDM=90°,∴∠EDM=45°,∴△EDM是等腰直角三角形,∴EM=ED=4,∴OM=OE+EM=1+4=5,∴m=5.故:m≤5.【解析】【分析】(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;(2)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小,即可求解;②如图2,ME=﹣n2+3n,求出ME最大值,则可求出m的最小值;当点N与点D处时,m取得最大值,求解即可.12.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,且OC=OA(1)求抛物线解析式;(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线,与直线AC交于点N.已知M 点的横坐标为m,试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S,并求当MN的长最大时S的值.【答案】(1)解:由A(﹣3,0),且OC=OA可得C(0,3)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣1),将C(0,3)代入解析式得,﹣3a=3,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3.(2)解:如图,设直线AC解析式为y=kx+d∵A(﹣3,0),C(0,3),∴,解得,∴直线AC解析式为y=x+3,设M(m,﹣m2﹣2m+3),则N(m,m+3),则MN=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m(﹣3<m<0),S△ACM=S△AMN+S△CMN=MN×3=﹣m2﹣m,MN=﹣m2﹣3m=﹣(m+ )2+ ,∵a=﹣1<0,﹣3<m=﹣1.5<0,∴m=﹣时,MN最大,此时S=.【解析】【分析】(1)先求出点C坐标,再运用待定系数法求解即可;(2)先求出直线AC的解析式,用m表示点M,N的坐标,即可表示线段MN的长度;根据S△ACM=S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM;运用二次函数分析MN最值即可;13.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?【答案】(1)解:∵点D(m,n),∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;(2)解:点D有一条特征线是y=x+1,∴n﹣m=1,∴n=m+1.∵抛物线解析式为,∴,∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n),∴B(2m,2m),∴,将n=m+1带入得到m=2,n=3;∴D(2,3),∴抛物线解析式为.(3)解:①如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时:根据题意可得,D(2,3),∴OA′=OA=4,OM=2,∴∠A′OM=60°,∴∠A′OP=∠AOP=30°,∴MN= = ,∴抛物线需要向下平移的距离= = .②如图,当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,设A′(p,3),则OA′=OA=4,OE=3,EA′= = ,∴A′F=4﹣,设P(4,c)(c>0),,在Rt△A′FP中,(4﹣)2+(3﹣c)2=c2,∴c= ,∴P(4,),∴直线OP解析式为y=x,∴N(2,),∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = .综上所述:抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.【解析】【分析】(1)根据特征线直接求出点D的特征线;(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;(2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.14.在平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图象经过点A(1,4),B(m,n).(1)求反比例函数的解析式;(2)若二次函数的图象经过点B,求代数式的值;(3)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点,且该交点在直线y=x的下方,结合函数图象,求a的取值范围.【答案】(1)解:将A(1,4)代入函数y=得:k=4反比例函数y=的解析式是(2)解:∵B(m,n)在反比例函数y=上,∴mn=4,又二次函数y=(x-1)2的图象经过点 B(m,n),∴即n-1=m2-2m∴(3)解:由反比例函数的解析式为,令y=x,可得x2=4,解得x=±2.∴反比例函数的图象与直线y=x交于点(2,2),(-2,-2).如图,当二次函数y=a(x-1)2的图象经过点(2,2)时,可得a=2;当二次函数y=a(x-1)2的图象经过点(-2,-2)时,可得a=- .∵二次函数y=a(x-1)2图象的顶点为(1,0),∴由图象可知,符合题意的a的取值范围是0<a<2或a<- .【解析】【分析】(1)只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。
人教全国各地备战中考数学分类:反比例函数综合题汇编附答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;(2)在(1)的条件下,若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.【答案】(1)解:∵点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,∴3= ,点C与点A关于原点O对称,∴k=6,C(﹣2,﹣3),即k的值是6,C点的坐标是(﹣2,﹣3);(2)解:过点A作AN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥AC,如图,∵点A(2,3),k=6,∴AN=2,∵△APO的面积为2,∴,即,得OP=2,∴点P(0,2),设过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=kx+b,,得,∴过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=0.5x+2,当y=0时,0=0.5x+2,得x=﹣4,∴点D的坐标为(﹣4,0),设过点A(2,3),B(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=mx+b,则,得,∴过点A(2,3),C(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=1.5x,∴点D到直线AC的直线得距离为:= .【解析】【分析】(1)根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,可以求得k的值和点C的坐标;(2)根据△APO的面积为2,可以求得OP的长,从而可以求得点P的坐标,进而可以求得直线AP的解析式,从而可以求得点D的坐标,再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离.2.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y= (x>0)交于A(x1, y1),B(x2, y2)两点(A与B不重合),直线AB与x轴交于P(x0,0),与y轴交于点C.(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标.(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标.(3)结合(1),(2)中的结果,猜想并用等式表示x1,x2,x0之间的关系(不要求证明).【答案】(1)解:∵直线y=ax+b与双曲线y= (x>0)交于A(1,3),∴k=1×3=3,∴y= ,∵B(3,y2)在反比例函数的图象上,∴y2= =1,∴B(3,1),∵直线y=ax+b经过A、B两点,∴解得,∴直线为y=﹣x+4,令y=0,则x=4,∴P(4,O)(2)解:如图,作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG 交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,∴= ,= = ,∵b=y1+1,AB=BP,∴= ,= = ,∴B(,y1)∵A,B两点都是反比例函数图象上的点,∴x1•y1= • y1,解得x1=2,代入= ,解得y1=2,∴A(2,2),B(4,1)(3)解:根据(1),(2)中的结果,猜想:x1, x2, x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】(1)先把A(1,3)),B(3,y2)代入y= 求得反比例函数的解析式,进而求得B的坐标,然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式,继而即可求得P的坐标;(2)作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,得出 = , = = ,根据题意得出 = , = = ,从而求得B(, y1),然后根据k=xy得出x1•y1= • y1,求得x1=2,代入 = ,解得y1=2,即可求得A、B的坐标;(3)合(1),(2)中的结果,猜想x1+x2=x0.3.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A(﹣1,2),B(2,n),与y轴交于C 点.(1)求反比例函数和一次函数解析式;(2)如图1,若将y=kx+b向下平移,使平移后的直线与y轴交于F点,与双曲线交于D,E两点,若S△ABD=3,求D,E的坐标.(3)如图2,P为直线y=2上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q,交双曲线于R,若QR=2QP,求P点坐标.【答案】(1)解:点A(﹣1,2)在反比例函数y= 的图象上,∴m=(﹣1)×2=﹣2,∴反比例函数的表达式为y=﹣,∵点B(2,n)也在反比例函数的y=﹣图象上,∴n=﹣1,即B(2,﹣1)把点A(﹣1,2),点B(2,﹣1)代入一次函数y=kx+b中,得,解得:k=﹣1,b=1,∴一次函数的表达式为y=﹣x+1,答:反比例函数的表达式是y=﹣,一次函数的表达式是y=﹣x+1;(2)解:如图1,连接AF,BF,∵DE∥AB,∴S△ABF=S△ABD=3(同底等高的两三角形面积相等),∵直线AB的解析式为y=﹣x+1,∴C(0,1),设点F(0,m),∴AF=1﹣m,∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= (1﹣m)×(1+2)=3,∴m=﹣1,∴F(0,﹣1),∵直线DE的解析式为y=﹣x+1,且DE∥AB,∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①.∵反比例函数的表达式为y=﹣②,联立①②解得,或∴D(﹣2,1),E(1,﹣2);(3)解:如图2由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x﹣1,双曲线的解析式为y=﹣,设点P(p,2),∴Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),PQ=|2+p+1|,QR=|﹣p﹣1+ |,∵QR=2QP,∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|,解得,p= 或p= ,∴P(,2)或(,2)或(,2)或(,2).【解析】【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值,从而可得到反比例函数的解析式;把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式;(2)依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3,再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标,即可得出直线DE的解析式,即可求出交点坐标;(3)设点P(p,2),则Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),然后可表示出PQ与QR的长度,最后依据QR=2QP,可得到关于p的方程,从而可求得p的值,从而可得到点P的坐标.4.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。
人教中考数学专题复习反比例函数的综合题含答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.2.如图,已知直线y=x+k和双曲线y= (k为正整数)交于A,B两点.(1)当k=1时,求A、B两点的坐标;(2)当k=2时,求△AOB的面积;(3)当k=1时,△OAB的面积记为S1,当k=2时,△OAB的面积记为S2,…,依此类推,当k=n时,△OAB的面积记为S n,若S1+S2+…+S n= ,求n的值.【答案】(1)解:当k=1时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+1和y= ,解得,,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1)(2)解:当k=2时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+2和y= ,解得,,∴A(1,3),B(﹣3,﹣1)设直线AB的解析式为:y=mx+n,∴∴,∴直线AB的解析式为:y=x+2∴直线AB与y轴的交点(0,2),∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4;(3)解:当k=1时,S1= ×1×(1+2)= ,当k=2时,S2= ×2×(1+3)=4,…当k=n时,S n= n(1+n+1)= n2+n,∵S1+S2+…+S n= ,∴ ×(…+n2)+(1+2+3+…n)= ,整理得:,解得:n=6.【解析】【分析】(1)两图像的交点就是求联立的方程组的解;(2)斜三角形△AOB的面积可转化为两水平(或竖直)三角形(有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形)的面积和或差;(3)利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.4.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C (﹣2,3)和射线OA之间的距离为________;(2)如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为,那么k=________;(可在图1中进行研究)(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O顺时针旋转120°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示).②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离.【答案】(1)3;(2)﹣4(3)解:①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF 垂直),;②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,由得,即点M(﹣,),由得:,即点N(﹣,),则﹣≤x≤﹣,图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),即图形W与图形N之间的距离为d,d===∴当x=﹣时,d的最小值为 = ,即图形W和图形N之间的距离.【解析】【解答】解:(1)点(2,3)和射线OA之间的距离为3,点(﹣2,3)和射线OA之间的距离为 = ,故答案分别为:3,;(2)直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为,∴k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= 交于点E、F,过点E作EG⊥x轴,如图1,由得,即点F(﹣,),则OF= = ,∴OE=OF+EF=2 ,在Rt△OEG中,∠EOG=∠OEG=45°,OE=2 ,则有OG=EG= OE=2,∴点E的坐标为(﹣2,2),∴k=﹣2×2=﹣4,故答案为:﹣4;【分析】(1)由题意可得出点B(2,3)到射线OA之间的距离为B点纵坐标,根据新定义得点C(﹣2,3)和射线OA之间的距离;(2)根据题意即可得k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= k x 交于点E、F,过点E作EG⊥x 轴,如图1,将其联立即可得点F坐标,根据两点间距离公式可得OF长,再由OE=OF+EF 求出OE长,在Rt△OEG中,根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为(﹣2,2),将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.(3)①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF垂直);②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,分别联立即可得出点M、N坐标,从而得出x取值范围,根据题意图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),从而求出图形W与图形N之间的距离为d,由二次函数性质知d 最小值.5.已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y= (k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+ .(1)当n=1时,求点A的坐标;(2)若OP=AP,求k的值;(3)设n是小于20的整数,且k≠ ,求OP2的最小值.【答案】(1)解:过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m,当n=1时,s= ,∴a= = .(2)解:解法一:∵OP=AP,PA⊥OP,∴△OPA是等腰直角三角形.∴m=n= .∴1+ = •an.即n4﹣4n2+4=0,∴k2﹣4k+4=0,∴k=2.解法二:∵OP=AP,PA⊥OP,∴△OPA是等腰直角三角形.∴m=n.设△OPQ的面积为s1则:s1= ∴•mn= (1+ ),即:n4﹣4n2+4=0,∴k2﹣4k+4=0,∴k=2.(3)解:解法一:∵PA⊥OP,PQ⊥OA,∴△OPQ∽△OAP.设:△OPQ的面积为s1,则 =即: = 化简得:化简得:2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0(k﹣2)(2k﹣n4)=0,∴k=2或k= (舍去),∴当n是小于20的整数时,k=2.∵OP2=n2+m2=n2+ 又m>0,k=2,∴n是大于0且小于20的整数.当n=1时,OP2=5,当n=2时,OP2=5,当n=3时,OP2=32+ =9+ = ,当n是大于3且小于20的整数时,即当n=4、5、6…19时,OP2的值分别是:42+ 、52+ 、62+ …192+ ,∵192+ >182+ >32+ >5,∴OP2的最小值是5.【解析】【分析】(1)利用△OPA面积定义构建关于a的方程,求出A的坐标;(2)由已知OP=AP,PA⊥OP,可得△OPA是等腰直角三角形,由其面积构建关于n的方程,转化为k的方程,求出k;(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程,最值问题的基本解决方法就是函数思想,利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.6.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),(,),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.(1)若点P(2,b)是反比例函数 (n为常数,n≠0)的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;(2)⊙O的半径是,①求出⊙O上的所有梦之点的坐标;②已知点M(m,3),点Q是(1)中反比例函数图象上异于点P的梦之点,过点Q的直线l与y轴交于点A,∠OAQ=45°.若在⊙O上存在一点N,使得直线MN∥l或MN⊥l,求出m的取值范围.【答案】(1)解:∵P(2,b)是梦之点,∴b=2∴P(2,2)将P(2,2)代入中得n=4∴反比例函数解析式是(2)解:①设⊙O上梦之点坐标是(,)∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是(1,1)或(-1,-1)②由(1)知,异于点P的梦之点Q的坐标为(-2,-2)由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时,m=b-3由图可知,当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形,∴O =∴O =2∴b的最小值是-2,∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第二象限时,b取得最大值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点。
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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在平面直角坐标系内,双曲线:y= (x>0)分别与直线OA:y=x和直线AB:y=﹣x+10,交于C,D两点,并且OC=3BD.(1)求出双曲线的解析式;(2)连结CD,求四边形OCDB的面积.【答案】(1)解:过点A、C、D作x轴的垂线,垂足分别是M、E、F,∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°,∵直线OA:y=x和直线AB:y=﹣x+10,∴∠AOB=∠ABO=45°,∴△CEO∽△DEB∴= =3,设D(10﹣m,m),其中m>0,∴C(3m,3m),∵点C、D在双曲线上,∴9m2=m(10﹣m),解得:m=1或m=0(舍去)∴C(3,3),∴k=9,∴双曲线y= (x>0)(2)解:由(1)可知D(9,1),C(3,3),B(10,0),∴OE=3,EF=6,DF=1,BF=1,∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×(1+3)×6+ ×1×1=17,∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】(1)过点A、C、D作x轴的垂线,垂足分别是M、E、F,由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°,证明△CEO∽△DEB,从而可知 = =3,然后设设D(10﹣m,m),其中m>0,从而可知C的坐标为(3m,3m),利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值.(2)求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案.2.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.3.如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线y= (k≠0)(x>0)相交于点A、C,与x轴相交于点B、D,连接AC.已知点A、B的刻度分别为5,2(单位:cm),直尺的宽度为2cm,OB=2cm.(1)求k的值;(2)求经过A、C两点的直线的解析式;(3)连接OA、OC,求△OAC的面积.【答案】(1)解:∵AB=5﹣2=3cm,OB=2cm,∴A的坐标是(2,3),代入y= 得3= ,解得:k=6(2)解:OD=2+2=4,在y= 中令x=4,解得y= .则C的坐标是(4,).设AC的解析式是y=mx+n,根据题意得:,解得:,则直线AC的解析式是y=﹣ x+(3)解:直角△AOB中,OB=2,AB=3,则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3;直角△ODC中,OD=4,CD= ,则S△OCD= OD•CD= ×4× =3.在直角梯形ABDC中,BD=2,AB=3,CD= ,则S梯形ABDC= (AB+DC)•BD= (3+ )×2= .则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】(1)首先求得A的坐标,然后利用待定系数法求得函数的解析式;(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式;(3)根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解.4.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).(1)试确定此反比例函数的解析式;(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,∴反比例函数的解析式为y=﹣(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,∴OA= =2,∠AOC=30°,∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,∴∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,∴B点坐标为(﹣1,),将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上(3)解:由y=﹣得xy=﹣,∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,∴m( m+6)=﹣,∴m2+2 m+1=0,∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).∵△OQM的面积是,∴OM•QM= ,∵m<0,∴mn=﹣1,∴m2n2+2 mn2+n2=0,∴n2﹣2 n=﹣1,∴n2﹣2 n+9=8.【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.5.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),∴顶点坐标为:(1,a﹣1),又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴0≤a≤1(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,∵y= +2x﹣4∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴1≤a≤2;∴a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.6.如图,四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形,对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上(n≥1的整数),点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,P n(x n, y n)在反比例函数y= (x>0)的图象上,并已知B1(﹣1,1).(1)求反比例函数y= 的解析式;(2)求点P2和点P3的坐标;(3)由(1)、(2)的结果或规律试猜想并直接写出:△P n B n O的面积为 ________ ,点P n的坐标为________ (用含n的式子表示).【答案】(1)解:在正方形OP1A1B1中,OA1是对角线,则B1与P1关于y轴对称,∵B1(﹣1,1),∴P1(1,1).则k=1×1=1,即反比例函数解析式为y=(2)解:连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,又点P1的坐标为(1,1),∴OA1=2,设点P2的坐标为(a,a+2),代入y=得a=-1,故点P2的坐标为(-1,+1),则A1E=A2E=2-2,OA2=OA1+A1A2=2,设点P3的坐标为(b,b+2),代入y=(>0)可得b=-,故点P3的坐标为(-,+)(3)1;(-,+)【解析】【解答】解:(3)∵=2=2×=1,=2=2×=1,…∴△P n B n O的面积为1,由P1(1,1)、P2(﹣1, +1)、P3(﹣,+ )知点P n的坐标为(﹣,+ ),故答案为:1、(﹣, +).【分析】(1)由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称,得出点P1(1,1),然后利用待定系数法求解即可;(2)连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2,设P2的坐标为(a,a+2),代入解析式求得a的值即可,同理可得点P3的坐标;(3)先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值,然后找出其中的规律,最后依据规律进行计算即可.7.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。