广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试 数学(理)试卷 含答案
2021届广西南宁市第三中学高三10月月考数学(理)试题(解析版)
（2）设 ，其中 ．若 对 恒成立，求 的取值范围．
22．已知直线 的参数方程为 （ 为参数），在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的方程为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 只有一个公共点，求倾斜角 的值.
23．已知 ，且 ，
证明：（1） ；
三、解答题
17．设正项等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ，求 的前 项和 .
18．如图，平面 平面 ，其中 为矩形， 为梯形， ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 的平面角的余弦值为 ，求 的长.
19．质检部门从某超市销售的甲、乙两公司生产的糖果中分别各随机抽取100颗糖果检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：
A．5 B．6 C．8 D．7
7．函数 的部分图象大致是图中的
A． B．
C． D．
8．已知 ，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
9．三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
10．已知函数 的图象上存在点 .函数 的图象上存在点 ，且 关于原点对称，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A． B． C． D．
12．已知双曲线 的离心率为2， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 ， ，点 为线段 上的动点，若 取得最小值和最大值时， 的面积分别为 ， ，则
2020年10月广西南宁市普通高中2021届高三毕业班摸底考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前广西南宁市普通高中2021届高三毕业班上学期摸底考试(一模)数学(理)试题2020年10月(考试时间：120分钟满分：150分)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|－1<x<3},B＝{t∈Z|t＝2x＋1,x∈A},则A∩B的元素个数为A.4个B.3个C.2个D.1个2.复数22ii+-的虚部是A.12B.12i C.32i D.323.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为120°,c＝λa－μb,若a⊥c,则下列结论正确的是A.2λ＋μ＝0B.2λ－μ＝0C.λ－μ＝0D.λ＋μ＝04.设直线x＝4与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE(O为坐标原点)。
则C的焦点坐标为A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0)5.一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据,则下列说法正确的是A.这组新数据的平均数为mB.这组新数据的平均数为a ＋mC.这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准格为a n 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c 着a ＝4,b ＝5,c ＝6,则sin 2sin A C= A.12 B.23 C.34 D.1 7.如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为A.4＋2B.2＋2C.3＋2D.88.已知a ∈(0,π),cos(α＋6π)＝35,则sin α的值为 433±433-433+433- 9.射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e －ρµt ,其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,µ是被测物对射线的吸收系数。
广西壮族自治区南宁市第十中学高三数学理月考试题含解析
广西壮族自治区南宁市第十中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（）A． B． C． D．参考答案：D2. 已知向量，则的最小值为A.2B.C.6D.9参考答案：C3. 设集合（）A． B． C． D．R参考答案：C略4. 三个数的大小顺序是( ）A． B．C． D．参考答案：A5. 复数（为虚数单位）的虚部是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D7. 已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数参考答案：C略8. 对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．[－2，＋∞)B．(－∞－2)C．[－2,2] D．[0，＋∞)参考答案：A9. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设（x）是函数y=f（x）的导数，（x）是（x）的导数，若方程（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3x2+3x，则g+g+…+gA．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016参考答案：【知识点】导数的应用函数的对称中心 B12 B8B依题意，得：，由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为，故选择B.【思路点拨】根据所给的信息可求得函数的拐点为，即，即可得到.10. 已知集合，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B，故二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为年.参考答案：10略12. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为参考答案：213. 若“”是“”的充分不必要条件，则的最大值为_________．参考答案：14. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为________．参考答案：100略15. 运行右面框图输出的S是254，则①应为_________.参考答案：略16. 在数列{a n}中，已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N+）的个位数，则a2015= ．参考答案：2考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算前几项，可得从第三项起a n的值成周期数列，其周期为6，进而可得结论．解答：解：∵a1a2=2×7=14，∴a3=4，∵7×4=28，∴a4=8，∵4×8=32，∴a5=2，∵8×2=16，∴a6=6，∴a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，∴从第三项起a n的值成周期数列，其周期为6，又∵2015=335×6+5，∴a2015=a5=2，故答案为：2．点评：本题考查数列的递推公式，找出周期是解决本题的关键，属于中档题．17. 设,则二项式展开式中的第4项为 _______.参考答案：-1280三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届广西南宁市普通高中高三10月摸底测试数学(理)试题(解析版)
2021届广西南宁市普通高中高三10月摸底测试理科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|13A x x =-<<，{}21,|B t Z t x x A =∈=+∈，则A B 的元素个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B ，再利用交集的运算求解.【详解】由已知{}|13A x x =-<<，则21(1,7)t x =+∈-， 所以{}0,1,2,3,4,5,6B =， 所以AB ={}0,1,2，故选：B .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 复数22ii+-的虚部是（ ） A.12B.12i C.32i D.32【答案】D 【解析】【分析】先利用复数除法运算化简，即可求虚部.【详解】2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i i i i i ++++===+--+， 所以虚部为：32故选: D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，考查了求复数的虚部，属于基础题.3. 已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为120°，b c a λμ=-，若a c ⊥，则下列结论正确的是（ ） A. 20λμ+= B. 20λμ-=C. 0λμ-=D. 0λμ+=【答案】A 【解析】 【分析】根据a c ⊥，由()0a c a a b λμ⋅=⋅-=求解. 【详解】因为a c ⊥， 所以()0a c a a b λμ⋅=⋅-=， 即20a a b λμ-⋅= 所以02μλ+=，即20λμ+=.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.4. 设直线4x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥(O 为坐标原点)，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,0D. ()2,0【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】由对称性可知：点D 的坐标为()4,4或()4,4-，代入拋物线22y px =，解得2p =，所以拋物线方程为：24y x =，它的焦点坐标为()1,0.故选：C【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.5. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A. 这组新数据的平均数为m B. 这组新数据的平均数为a m +C. 这组新数据的方差为anD. 这组新数据的标准差为【答案】D 【解析】 【分析】设原数据为12,p x x x ⋅⋅⋅，分别列出原数据的平均数、方差和新数据的平均数、方差，逐一分析选项，即可得答案.【详解】设原数据为12,p x x x ⋅⋅⋅，共p 个，则平均数12px x x m p++⋅⋅⋅+=，方差222121[()()()]p n x m x m x m p=-+-+⋅⋅⋅+- 对于选项A 、B ：新数据的平均数为1212()pp ax ax ax a x x x am pp++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，故A 、B 错误；对于选项C ：新数据的方差为222121[()()()]p ax am ax am ax am p -+-+⋅⋅⋅+-=22222121[()()()]p a x m x m x m a n p⨯-+-+⋅⋅⋅+-=，故C 错误；对于选项D =，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查一组数据的平均数、方差、标准差的定义与性质，考查分析理解，推理计算的能力，属基础题.6. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 着4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=（ ） A12B.23C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式、正弦定理角化边和余弦定理可求得结果.【详解】∵222sin 22sin cos 2456443cos 1sin sin 325634A A A a A C C c +-===⨯=⨯=⨯⨯，故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.7. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A. 442+B. 262+C. 332+D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表面积.【详解】由已知三视图，可得：此棱锥ABCD 的直观图如下图所示：ABD △和CBD 都是直角边为2和22 ABC 和ADC 均是腰长为2的等腰直角三角形，所以其表面积为21122222244222S =⨯⨯⨯⨯⨯=+. 故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表面积，空间想象能力，属于基础题. 8. 已知(0,)a π∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A.433± B.433- C.433+ D.433- 【答案】B 【解析】 【分析】先根据(0,)απ∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由sin sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为(0,)απ∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.，4331433525210=⨯-⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9. 射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A. 0.110 B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.10. 已知过定点(0,)A b （0b >）的直线l 与圆O ：221x y +=相切时，与y 轴夹角为45°.则直线l 的方程为（ ）A. 0x y -=B. 10x y +-=C. 0x y +=或0x y -+= D. 10x y +-=或10x y -+=【答案】C 【解析】 【分析】直线l 的方程为y kx b =+，切点为P ，由题设可知，45PAO POA ∠=∠=︒，由几何图形可得b ，再由圆心到切线距离等于半径求得k ，然后可得直线方程．【详解】设直线l 的方程为y kx b =+，切点为P ，由题设可知，45PAO POA ∠=∠=︒，所以2b =，因为直线l 与圆221x y +=相切，所以2211k=+，得1k =±.故直线l 的方程为2y x =±+， 故选：C.【点睛】本题考查求圆的切线方程，由圆心到切线的距离等于半径是解决这类问题的常用方法． 11. 已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，设双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为B ，点P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，若2PF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2C.32D.43【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用几何性质表示为22()b a c a=+，再写出关于,a c 的齐次方程，求离心率.【详解】如下图：设双曲线C 的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a 、b 、c ，由已知可得2||b PF a=，||BF a c =+，∴22()b a c a=+，即22222a ac c a +=-， 化简得2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍）， 故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，重点考查数形结合分析问题和计算能力，属于基础题型.12. 已知函数21()2x e f x x x x =+-，若()0.32a f =，(2)b f =，()2log 5c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. a b c <<C. c a b >>D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，得到()f x 在(1,)+∞上单调递增，结合函数的单调性，即可比较，得到答案.【详解】由题意，函数2e 1()2xf x x x x =+-，可得22e (1)e ()1(1)1x x x f x x x x x ⎛⎫-'=+-=-+ ⎪⎝⎭， 当(1,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在(1,)+∞上单调递增， 因为0.3122<<，22log 5log 42>=. 所以0.3222log 5<<，所以()()0.322(2)log 5f f f <<，即a b c <<.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小，其中解答中熟练导数与函数的单调性间的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______.【答案】15- 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值 【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函数2z x y =+过点()63，--时取得最小值 最小值为()26315z =⨯--=- 故答案为15-【点睛】本题主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法．14. 若()554322x x ax bx cx dx e +=+++++，则a b c d e ++++的值为__________. 【答案】242 【解析】 【分析】观察所求代数式与已知条件的联系，令1x =，即可求出1a b c d e +++++的值，进而求出答案. 【详解】由题设()554322x x ax bx cx dx e +=+++++令1x =可得，5(12)4312a b c d e +++++=+=，所以242a b c d e ++++=. 故答案为：242【点睛】本题考查二项式定理，特殊赋值法是解题的关键，属于基础题.15. 已知球在底面半径为1､高为2___________.2【解析】 【分析】由题意可得当球O 的轴截面是△ABC 的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．【详解】解：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M 为BC 边上的中点，由题设2BC =，22AM =，求得3AB AC ==， 设内切圆的圆心为O ，内切圆半径为r 故1222222S =⨯⨯=△ABC ， 则111222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯△△△△ 1(332)222r =⨯++⨯=， 解得：22r， 其体积：34233V r ππ==. 故答案为：2π.【点睛】考查圆锥的内切球的半径的求法及球的体积公式，属于中档题． 16. 已知13a >，函数1()sin 2f x x x x=+-，若()2(13)230f a f a a -+-+≤，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[]1,4 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再对函数求导，判断函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，然后由，()2(13)230f a f a a -+-+≤得()223(13)f a a f a -+≤--，从而得()223(31)f a a f a -+≤-，进而可得22331a a a -+≤-，从而可求出a 的取值范围【详解】由11()sin()2()sin 2()f x x x x x f x x x ⎛⎫-=-+--=--+=-⎪-⎝⎭可知， 函数()f x 为奇函数，21()cos 20f x x x'=++>在(,0)(0,)-∞+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，由()2(13)230f a f a a -+-+≤得()223(13)f a a f a -+≤--， 即()223(31)f a a f a -+≤-，因为13a >时，310a ->，2230a a -+>， 所以等价于22331a a a -+≤-，解得14a ≤≤. 故答案为：[]1,4【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调的应用，利用了函数的性质解不等式，属于基础题三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17. 设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--.（1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】 【分析】（1）代入2,3n n ==即可计算23,a a ，可猜想{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，假设n k =时，21k a k =-成立，证明1n k =+也成立即可；（2）求出n b ，利用错位相减法可求出.【详解】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立；假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2nn b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，① 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②①-②得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.【点睛】本题考查数列通项公式的猜想及用数学归纳法证明，考查错位相减法求和，属于中档题. 18. 某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.（1）求p 和n 的值；（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女1055（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.01p =，100n =；（2）填表见解析；没有；（3）5人. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1可求出p 的值，再由抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人可求出n 的值；（2）由题意完成列联表，利用公式求出2K ，再结临界值表进行判断即可； （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~20,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可求出()E X【详解】（1）(0.0050.0180.0200.0220.025)101p +++++⨯=，解得：0.01p =， 所以100.1010n ==. （2）因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯=， 从而22⨯列联表如下图所示：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得22100(30101545) 3.03045557525K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关. （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14. 由题意可知1~20,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1()2054E X =⨯=（人）. 【点睛】此题考查频率分布直方图，考查频率的求法，考查离散型数学期望的求法，考查二项分布，考查分析问题的能力，属于中档题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E 、F 在侧棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12C F FC =，点D 、G 在侧棱AB 、AC 上，且2BD DA =，2CG GA =.（1）证明：点G 在平面EFD 内；（2）若90BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =，求二面角111A AB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）连接DG ，FG ，证得//EB FC 且EB FC =，得到四边形BCFE 为平行四边形，进而得到//EF BC ，再证得//GD BC ，得到故四边形DEFG 为梯形，即可得到D 、E 、F 、G 四点共面，即可得到结论； （2）以11A C 为x 轴，1A A 为y 轴，11A B 为z 轴，建立空间直角坐标系1A xyz -，分别求得平面11AB C 和平面平面11AA B 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接DG ，FG ，因为点E 、F 在侧棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12C F FC =， 又11//BB CC 且11BB CC =，所以//EB FC 且EB FC =， 所以四边形BCFE 为平行四边形，所以//EF BC ，又因为点D 、G 在侧棱AB 、AC 上，且2BD DA =，2CG GA =，所以//GD BC，且13 GD BC=，所以//EF GD且13GD EF=，故四边形DEFG为梯形.即D、E、F、G四点共面，所以点G在平面EFD内.（2）由题意知11A B、11A C、1A A两两垂直，以11A C为x轴，1A A为y轴，11A B为z轴，建立空间直角坐标系1A xyz-，由1AB AC==，12AA=，得1(0,0,0)A，(0,2,0)A，1(0,0,1)B，(1，0，0)，设平面11AB C的法向量为(,,)n x y z=，因为1(1,2,0)AC=-，11(1,0,1)BC=-，所以11120n AC x yn B C x z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y=，则2x z==，所以(2,1,2)n=.又由(1,0,0)m=是平面11AA B的一个法向量，所以2cos,3||||m nm nm n⋅〈〉==⋅，即二面角111A AB C--的余弦值为23.【点睛】本题考查了平面的基本性质证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F M 是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为8. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合离心率可求得c 的值，根据a 、b 、c 的关系可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）计算出点P 的坐标为()2,1，可得出直线OP 的斜率为12，可设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理并求得AB ，求出点P 到直线l 的距离d ，由已知条件得出4PAB PAQB S S =△四边形，然后利用基本不等式可求得四边形PAQB 面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的定义及12MF MF +=，得2a =，即a =设椭圆半焦距为c ，因为c a =，所以c ==2222b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得2202182y +=，00y >，可得01y =，即点()2,1P ，所以12OP k =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，联立2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理可得222240x tx t ++-=， 由()()2224424440t t t∆=-⋅-=->，又0t ≠，则204t<<，且122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长()()221212114544AB x x x x t =++-=-P 到直线AB 的距离为d ，则1514d ==+设Q 到直线AB 的距离为d '，由3PD DQ =得3PD DQ =，所以3d d '=， 所以113322QAB PAB S d AB d AB S '==⋅=△△， 所以()24222545PAB QAB PAB PAQB S S S S t d AB t==-=+=△△△四边形()2222444482t t t t +-=-≤⨯=，当且仅当22t =时，等号成立， 因此，四边形PAQB 面积的最大值为8.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.21. 已知函数()()()221x f x a x e x =-+-，（0a ≠，a R ∈）. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >，证明：函数()y f x =有两个不同的零点.【答案】（1）函数()f x 单调减区间(),ln 2-∞，()1,+∞；函数()f x 单调增区间()ln 2,1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先对函数求导，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.（2）首先求出函数()f x 的单调区间，再结合()10f ae =-<，()210f =>，取0b <，且1ln2b a<，()0f b >，即可证明函数()y f x =有两个不同的零点.【详解】（1）由()()()221x f x x e x =--+-， 得()()()()()12112xx f x x e x x e '=--+-=--+.由()0f x '=得1x =或ln 2x =，当(),ln 2x ∈-∞，()0f x <′，函数()f x 单调递减；()ln 2,1x ∈，()0f x >′，函数()f x 单调递增； ()1,x ∈+∞，()0f x <′，函数()f x 单调递减.（2）()()()()()12112xxf x a x e x x ae '=-+-=-+，当0a >时，e 20x a +>，由()0f x <′得1x <，所以()f x 在(),1-∞上为减函数， 由()0f x >′得1x >，所以()f x 在()1,+∞上为增函数， 而()10f ae =-<，()210f =>，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点，且该零点在()1,2上. 取0b <，且1ln2b a<， 则()()()()()22132121022bf b a b e b b b b b ⎛⎫=-+->-+-=-> ⎪⎝⎭.所以()f x 在(),1-∞上有唯一零点，且该零点在(),1b 上， 所以0a >时，()f x 恰好有两个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数研究函数的单调区间，第二问考查利用导数证明函数的零点，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程：22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，曲线1C 与坐标轴交于(异于坐标原点O )两点M ，N . （1）求线段MN 的长度；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M ，N 关于直线l 对称，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）4；（2）cos sin 20ρθθ-=. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C 的参数方程消去α可知曲线1C为圆22(1)(4x y +++=，求出点M ，N 的坐标，利用两点间的距离公式可得结果；（2）根据点M ，N 关于直线l 对称可知直线l过点1(1,O -，且l k =，利用点斜式求出直线MN 的方程，再化为极坐标方程即可得解.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，得12cos 2sin x y αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去α得曲线1C为圆22(1)(4x y +++=，圆心为1(1,O -，半径为2， 令0y =得(2,0)M -，令0x =得(0,N -，所以||4MN ==（2）由点M ，N 关于直线l 对称且MN 为圆1C 的直径可知.直线l过点1(1,O -，又00(2)MN k =--=-3l k =， 所以直线l的直角坐标方程为1)3y x +=+，即20x --=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得直线l的极坐标方程为cos sin 20ρθθ--=.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，考查了点关于直线对称问题，考查了直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.选修4-5：不等式选讲：23. 已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +． （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{|02}x x <<；（Ⅱ）(-1，43]．【解析】 【分析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，分12x <，112x ≤≤，1x >三种情况讨论求解不等式，可得解集． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，化简()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+，由不等式恒成立思想可求得a 的取值范围．【详解】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，则y =15,? 212,? 1236,?1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 当12x <时，由50x -<，解得0x>，所以102x <<，当112x ≤≤时，由20x --<，解得>2x -，所以112x ≤≤； 当1x >时，由360x -<解得2x <，所以12x <<， 综上得：原不等式解集是{|02}x x <<． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+，- 21 - ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为(-1，43]． 【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，不等式恒成立问题，属于中档题．。
2021广西南宁市普通高中届高三上学期10月摸底考试数学(理)试卷及答案
2021广西南宁市普通高中届高三上学期10月摸底考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)(考试时间：120分钟满分：150分)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|－1<x<3},B＝{t∈Z|t＝2x＋1,x∈A},则A∩B的元素个数为A.4个B.3个C.2个D.1个2.复数22ii+-的虚部是A.12B.12i C.32i D.323.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为120°,c＝λa－μb,若a⊥c,则下列结论正确的是A.2λ＋μ＝0B.2λ－μ＝0C.λ－μ＝0D.λ＋μ＝04.设直线x＝4与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE(O为坐标原点)。
则C的焦点坐标为A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0)5.一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据,则下列说法正确的是A.这组新数据的平均数为mB.这组新数据的平均数为a＋mC.这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准格为a n6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c 着a ＝4,b ＝5,c ＝6,则sin 2sin A C = A.12 B.23 C.34D.1 7.如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为A.4＋2B.2＋2C.3＋2D.88.已知a ∈(0,π),cos(α＋6π)＝35,则sin α的值为 433±433-433+433- 9.射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e －ρµt ,其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,µ是被测物对射线的吸收系数。
2021届广西南宁市普通高中高三上学期10月摸底考试数学(理)试卷及解析
2021届广西南宁市普通高中高三上学期10月摸底考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|13A x x =-<<,{}21,|B t Z t x x A =∈=+∈,则A B 的元素个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 【答案】B【解析】先化简集合B ,再利用交集的运算求解.【详解】由已知{}|13A x x =-<<,则21(1,7)t x =+∈-,所以{}0,1,2,3,4,5,6B =,所以A B ={}0,1,2,故选：B .2. 复数22i i +-的虚部是（ ） A. 12 B. 12i C. 32i D. 32【答案】D【解析】先利用复数除法运算化简,即可求虚部. 【详解】2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i i i i i ++++===+--+, 所以虚部为：32 故选: D3. 已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为120°,b c a λμ=-,若a c ⊥,则下列结论正确的是（ ）A. 20λμ+=B. 20λμ-=C. 0λμ-=D. 0λμ+= 【答案】A【解析】根据a c ⊥,由()0a c a a b λμ⋅=⋅-=求解.【详解】因为a c ⊥,所以()0a c a a b λμ⋅=⋅-=,即20a a b λμ-⋅= 所以02μλ+=,即20λμ+=.故选：A.4. 设直线4x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥(O 为坐标原点),则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,0D. ()2,0 【答案】C【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥,结合抛物线的对称性,可知4DOx EOx π∠=∠=,从而可以确定出点D 的坐标,代入方程求得p 的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.。
2024届南宁市高三数学上学期10月摸底考试卷附答案解析
2024届南宁市高三数学上学期10月摸底考试卷2023.10（试卷满分：120分，考试时间：150分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}0ln(1)3,cos M x x N y y x =<+<==，则M N ⋂=（）A ．()30,e 1-B ．)31,e 1⎡-⎣C ．∅D ．(]0,12．已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A ．425-B ．425C ．4i 25-D ．4i 253．已知直线:0()l mx y m m +-=∈R 和圆22:2410C x y x y +-++=，则“0m =”是“直线l 与圆C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若sin tan cos 5sin αααα=-，则πtan 24α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．25B ．73C ．37D ．525．若函数32()21(R)f x x ax a =-+∈在(0,)+∞内有且仅有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为（）A ．1B ．4-C ．3-D ．56．已知ABC 的外心为M ，且()12BM BA BC =+，||||= MC BA ，向量CB 在向量CA 上的投影向量为（）A ．34CAB ．14CAC ．32CAD ．14CA - 7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足()()2f x f x =-，且()f x 在[]2023,2022--上单调递增，设()()()()23log 2,ln 2e ,2021a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c<<8．如图所示，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足121,BF BF BF ⊥与双曲线C 左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（）A 3B ．2C ．23D 13二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为深人学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90，92,94,95,100.则下列说法正确的有（）A ．中位数为90，平均数为89B ．70%分位数为93C ．极差为30，标准差为58D ．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小10．已知4(0,0)a b ab a b +=>>，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最小值为16B ．a b +的最小值为9C ．11a b +的最大值为1D ．2241ab +的最小值为1511．已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．π3ϕ=B ．函数()f x 的图象关于1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[3]-D ．要得到函数()()cos g x A x ωϕ=+的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移14个单位12．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且4AB =，3AF =，若G 是线段EF 上的动点，则()A ．AD 与CG 所成角的正切值最大为54B ．在EF 上存在点G ，使得AG CG⊥C ．当G 为EF 上的中点时，三棱锥C ABG -的外接球半径最小D ．AG CG +的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为63,2n S a a =，则62S S =14．1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是15．已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE-的最大值为．16．若()f x 是区间[],a b 上的单调函数，满足()0f a <，()0f b >，且()0f x ''>（()f x ''为函数()f x '的导数），则可用牛顿切线法求()0f x =在区间[],a b 上的根ξ的近似值：取初始值0x b=，依次求出()y f x =图象在点()()11,k k x f x --处的切线与x 轴交点的横坐标()1,2,3,k x k =⋅⋅⋅，当k x 与ξ的误差估计值()k f x m （m为()[](),f x x a b '∈的最小值）在要求范围内时，可将相应的k x 作为ξ的近似值．用上述方法求方程3210x x +-=在区间30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k 的最小值为，相应的k x 值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在（1sin sin 2A C b C+=；（22ABC CB S ⋅= ；（3）tan C =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(1)求角B ；(2)若222,b c a ABC +=的外接圆周长为，求BC 边上的中线长.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*111,21N n na S S n +=-=∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b满足()()12411nn n n a b a a ++=--，数列{}n b 的前n 项和为*,N n T n ∀∈，都有243nm m T -<，求m 的取值范围.19．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14]，(14,16],(16,18]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的.(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；(2)从个人所得税在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在(14,18]内的员工人数为Y ，求Y 的数学期望与方差.20．如图，在矩形ABCD中，AB =4=AD ，点E 是边AD 上的动点，沿BE 将ABE 翻折至A BE '，使二面角A BE C '--为直二面角.(1)当3AE =时，求证：A B CE '⊥；(2)当AB AE =时，求二面角C A B E '--的正弦值.21．已知平面上动点E 到点()1,0A 与到圆22:2150B x y x ++-=的圆心B 的距离之和等于该圆的半径.记E 的轨迹为曲线Γ.(1)说明Γ是什么曲线，并求Γ的方程；(2)设,C D 是Γ上关于x 轴对称的不同两点，点M 在Γ上，且M 异于,C D 两点，O 为原点，直线CM 交x 轴于点P ，直线DM 交x 轴于点Q ，试问||||OP OQ ⋅是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.22．已知函数2()e (2)e 1x xf x a ax =+---.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()(2)e xg x f x a =+-在区间(0,)+∞上存在唯一零点0x ，求证：02x a <-.1．D【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得集合M ，利用余弦函数值域可得N ，结合交集的概念计算即可.【详解】由330ln(1)311e 0e 1x x x <+<⇒<+<⇒<<-，即()30,e 1M =-，由余弦函数的值域可知[]1,1N =-，所以M N ⋂=(]0,1.故选：D 2．A【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3．C【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.【详解】圆22:2410C x y x y +-++=的方程可化为()221(2)4x y -++=，其圆心坐标为()1,2-，半径为2r =，当0m =时，直线:0l y =，圆心到直线的距离2d r ==，此时直线l 与圆C 相切，故充分性成立；当直线l 与圆C相切时，圆心到直线的距离2d r ===，所以0m =，故必要性成立，所以“0m =”是“直线l 与圆C 相切”的充要条件.故选：C.4．B【分析】首先由切弦互换公式、二倍角公式结合已知求得tan 2α，然后由两角和的正切公式即可求解.【详解】因为sin tan cos 5sin αααα=-，所以sin sin cos 5sin cos ααααα⨯=-，化简并整理得22cos sin 5sin cos αααα-=，又因为22cos sin cos 2,2sin cos sin 2αααααα-==，所以5cos 2sin 22αα=，所以sin 22tan 2cos 25ααα==，所以2π1tan 2tanπ754tan 2π2431tan 2tan 1145ααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯.故选：B.5．C【分析】分类参数可得()2120a x x x =+>，构造函数()()2120h x x x x =+>，利用导数求出函数()h x 的单调区间及极值，作出其大致函数图象，结合函数图象求出a ，再利用导数求出函数()f x 在[1,1]-上的最值即可.【详解】函数32()21(R)f x x ax a =-+∈在(0,)+∞内有且仅有一个零点，即方程32()210f x x ax =-+=在(0,)+∞内有且仅有一个实根，分离参数可得()2120a x x x =+>，令()()2120h x x x x =+>，则函数(),y h x y a==只有一个交点，()()3332122x h x x x -'=-=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 13h x h ==，又当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，如图，作出函数()()2120h x x x x =+>的大致图像，由图可知3a =，所以32()231f x x x =-+，则()2()6661f x x x x x '=-=-，当10x -<<时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，又()()()14,01,10f f f -=-==，所以()f x 在[1,1]-上的最大值为1，最小值为4-，所有()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值之和为143-=-.故选：C.6．A【分析】根据给定条件，确定ABC 的形状，并求出角C ，再利用投影向量的意义求解作答.【详解】在ABC 中，由()12BM BA BC=+ ，得点M 为线段AC 的中点，而M 为ABC 的外心，则MA MB MC ==，即有90ABC ︒∠=，又MC BA= ，则AMB 为正三角形，因此60A ︒∠=，30C ︒∠=，所以2233cos cos3024︒⋅==⋅=CB CA CB CA C CA CA ，所以向量CB 在向量CA上的投影向量为223344⋅⋅=⋅=CA CB CA CA CA CACACA CA.故选：A7．A【分析】利用函数奇偶性以及()()2f x f x =-可知()f x 的周期为2，且在[]0,1上单调递减，将表达式,,a b c 化简可得ln 2ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 2b f =，()1c f =，又易知ln 20ln 21ln 3<<<即可得c b a <<.【详解】根据题意可知()()()22f x f x f x =-=-，即可得()()2f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的偶函数，又()f x 在[]2023,2022--上单调递增，所以可得()f x 在[]1,0-上单调递增；根据偶函数性质可知()f x 在[]0,1上单调递减，又()()33ln 2log 2log 2ln 3a f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭()()()()()22ln 2e ln 2ln e ln 22ln 2b f f f f ==+=+=()()20211c f f ==显然ln 31>，所以可得ln 20ln 21ln 3<<<，即()()ln 2ln 21ln 3f f f ⎛⎫⎪⎝⎭>>；因此可得c b a <<.故选：A 8．D【分析】利用正弦定理及已知可得1||||AB AF =，令1||||AB AF x ==，由双曲线定义及12BF BF ⊥，应用勾股定理列方程求得3x a =，进而求离心率.【详解】2ABF △中222||||sin sin BF AB BAF AF B =∠∠，12AF F △中1211221||||sin sin F F AF F AF AF F =∠∠，所以222||sin ||sin BF AF B AB BAF ∠=∠，1221112||sin ||sin F F AF F AF F AF ∠=∠，又212πBAF F AF ∠+∠=，则212sin sin BAF F AF ∠=∠，又221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，所以1||||AB AF =，令1||||AB AF x ==，则1||2BF x =，2||22BF x a =-，2||2AF x a=+而12||2F F c =，由12BF BF ⊥，则2221212||||||BF BF F F +=，22222||||||AB BF AF +=，可得()()()22222222244432242x x a cx a x ax a c x x a x a ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨-+=+-=+⎩⎪⎩，即2213a c =⇒c e a =故选：D9．ABD【分析】根据平均数、方差、标准差、中位数和极差的概念，逐项进行计算验证即可求解.【详解】对于A ，由题意中位数为9090920+=，平均数为7085868890909294951008910+++++++++=，故A 正确；对于B ，因为70%107⨯=，所以70%分位数为9294932+=，故B 正确；对于C ，极差为1007030-=，方差()()()()()22222217089858986898889908910s ⎡=-+-+-+-+-⎣()()()()()2222290899289948995891008958⎤+-+-+-+-+-=⎦，所以标准差s =C 错误；对于D ，去掉一个最低分和一个最高分，则平均数为858688909092949590898+++++++=>，方差为()()()()2222185908690889090908⎡-+-+-+-⎣()()()()2222459090929094909590584⎤+-+-+-+-=<⎦，所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D 正确.故选：ABD.10．ABD【分析】利用基本不等式即可判断A ；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B ；利用消元法即可判断C ；利用消元法结合二次函数的性质即可判断D.【详解】对于A，因为4ab a b =+≥4≥0≤舍去），所以16ab ≥，当且仅当44a b a b ab =⎧⎨+=⎩，即48a b ==时取等号，所以ab 的最小值为16，故A 正确；对于B ，因为4(0,0)a b ab a b +=>>，所以411a b +=，则()414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即26a b ==时取等号，所以a b +的最小值为9，故B 正确；对于C ，由B 得411a b +=，则141ba =-，则11311a b a +=-<，故C 错误；对于D ，22222414420811a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭，当115a =，即5a =时，22081aa -+取得最小值15，所以当5ab ==时，2241ab +的最小值为15，故D 正确.故选：ABD.11．ACD【分析】先由图象信息求出()f x 表达式，从而即可判断A ；注意到()0,0x 是()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心当且仅当()00π2sin 2π03f x x ⎛⎫=+= ⎝⎭，由此即可判断B ；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C ；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.【详解】如图所示：由图可知1112,43124T A ==-=，又2πT ω=，所以1,2πT ω==，所以()()2sin 2πf x x ϕ=+，又函数图象最高点为1,212⎛⎫⎪⎝⎭，所以1π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，解得ππ,Zk k ϕ=+∈23，由题意π||2ϕ<，所以只能π0,3k ϕ==，故A 选项正确；由A 选项分析可知()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而()0,0x 是()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心当且仅当()00π2sin 2π03f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，但1ππ2sin 30633f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而函数()f x 的图象不关于1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 选项错误；当12,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π4π2π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π2π5π2π,333t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，而函数2sin y t =在2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当12,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()322123f x -=⨯-≤≤⨯所以函数()f x 在12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[2,3]-，故C 选项正确；若将函数()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为()()1ππππ2sin 2π2sin2π2cos 2π43323h x x x x gx ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故D 选项正确.故选：ACD.12．AC【分析】对于A ，由面面垂直性质定理得BC ⊥面ABEF ，得△BCG 是直角三角形，再根据AD ∥BC 可知∠BCG 即为所求角，结合几何关系即可判断；对于B ，假设结论成立，证明AG ⊥面BCG ，从而可得△ABG 为直角三角形，判断三角形是否有解即可；对于C ，△ABG 的外接圆半径为r ，由BC ⊥面ABEF可得三棱锥C ABG -的外接球半径R 满足：2222()42BC R r r =+=+，要求R 的最小，即求r 最小，由正弦定理得2sin ABr AGB =∠，要求r 最小，即求sin ∠AGB 最大，要求sin ∠AGB 最大，可求tan ∠AGB ，结合几何关系即可判断；对于D ，设FG ＝x ，用x 表示出AG ＋CG ，利用两点间距离公式数形结合即可求解．【详解】∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BC ⊂面ABCD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥面ABEF ，因为BG ⊂面ABEF ，所以BC ⊥BG ，AD ∥BC ，故AD 与CG 所成角为∠BCG ，tan 4BG BG BCG BC ∠==，当G 和F 重合时，BG 最长，且为5，故tan BCG ∠最大为54，故选项A 正确；假设在EF 上存在点G ，使得AG CG ⊥，因为BC ⊥面ABEF ，因为AG ⊂面ABEF ，所以BC ⊥AG ，又∵CG BC C ⋂=，CG ，BC ⊂面BCG ，所以AG ⊥面BCG ，又因为BG ⊂面BCG ，所以AG ⊥BG ，设FG x =，4GE x =-，04x <<，则229AG x =+，229(4)BG x =+-，在直角△AGB 中，222AG +BG AB =，可得方程2490x x -+=，该方程无解，故假设不成立，即在EF 上不存在点G ，使得AG CG ⊥，故选项B 错误；设△ABG 的外接圆半径为r ，因为BC ⊥面ABG ，故三棱锥C ABG -的外接球半径R 满足：2222()42BC R r r =+=+．设,,AGF BGE AGB ∠α∠β∠θ===，由正弦定理得42sin sin AB r θθ==，∵παβθ++=，所以()233tan tan 124tan tan 331tan tan 4914x x x x x x αβθαβαβ++-=-+=-=-=--+-⋅-，因为2490-+>x x ，故tan 0θ>，故θ为锐角，当2x =时，G 为EF 的中点，249x x -+取得最小值，tanθ取得最大值，sinθ取得最大值，r 取得最小值，三棱锥C ABG -的外接球半径R 取得最小值，故选项C 正确；222225(4)CG CB BG x =+=+-，AG CG +=+=+设M(x,0)，N(0,3)，P(4,5)，如图，设N(0,3)关于x 轴对称的点为(0,3)N '-，则AG CG MN MP+=+≥PN '=直线PN '方程为23y x =-，令0y =得32x =，即当32x =时，AG CG +的最小值为D 错误．故选：AC ．13．7【分析】若公差为d 且0d ≠，易得1a d =，应用等差数列前n 项和公式求结果.【详解】若公差为d 且0d ≠，则631115224a d a a d a d a ==⇒++⇒=，由612161521723S a d dS a d d +===+.故答案为：714．25##0.4【分析】设A =“甲在五一假期值班两天”，B =“甲连续值班”，根据题目条件先分别求出()(),n A n B ，然后由条件概率公式即可求解.【详解】设A =“甲在五一假期值班两天”，B =“甲连续值班”，因为已知甲在五一长假期间值班2天，所以丙和乙分别值班一天、两天或两天、一天，所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有()2225325432C C 21602121n A A ⨯⨯==⨯⨯⨯=⨯⨯种，又因为甲在五一长假期间连续值班两天，可以是第1，2两天或第2，3两天或第3，4两天或第4，5两天，所以甲在五一长假期间值班2天且甲连续值班的方案共有()2232324C 4212421n AB A ⨯==⨯⨯⨯=⨯种，所以由条件概率公式得()()()()()242|605P AB n AB P B A P A n A ====.故答案为：25.15．8【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE-的最大值，转化为求PA PO-的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE-的最大值，转化为求PA PO-的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB=，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P，B，A三点共线，即P点为()10,2P-时，等号成立，所以PF PE-的最大值为448+=.故答案为：8.16．2511【分析】根据牛顿切线法，求解切线方程为()()11233221k ky x x x--=+-+，进一步得到11322132kkkxxx--+=+，代入检验kx与ξ的误差估计值()kf xm不超过0.01即可求解.【详解】设()321f x x x，=+-则()232'=+f x x，()6f x x''=，当()30,,604x f x x⎛⎫''∈=>⎪⎝⎭，故可用牛顿切线法求()0f x=在区间[],a b上的根ξ的近似值.由于()232f x x'=+在30,4x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()2f x'≥，所以()f x'的最小值为2，即2m=，()y f x=图象在点()()11,k kx f x--处的切线方程为()()1123113221k kk ky x x x x x----=+-++-，化简得()()11233221k ky x x x--=+-+，令0y=，则11322132kkkxxx--+=+，由于034x b==，所以331223212114==3223324xxx⎛⎫⨯+⎪+⎝⎭=+⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，11332221212152=32111322xxx⎛⎫⨯+⎪+⎝⎭=+⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，()311111=21=2228f x f骣骣琪琪=+´-琪琪桫桫，()111=216100f x>，()3323555514=21==111111111111f x f 骣骣骣骣琪琪琪琪=+´--琪琪琪琪桫桫桫桫，()233221=21110100f x <<，故2x 作为ξ的近似值，故答案为：2，51117．(1)所选条件见解析，2π3B =；(2)2.【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角形面积公式、向量数量积定义、三角恒等变换化简条件求角B ；（2）由已知易得ABC 为顶角为2π3的等腰三角形，D 是BC 中点，则2AB AC AD +=，利用向量数量积的运算律求中线长度.【详解】（1）选（1πsinsin sin sin cos sin 222A C B Bb C b C b C +-=⇒=⇒=，cos sin sin 2B C B C =，而πsin 0,(0,22B C ≠∈2sin cos222B B B=，所以3πsin2223B B =⇒=⇒2π3B =；选（21cos(π)2sin 22ABC B ac BCB S -⋅==⨯ ，所以sin tan B B B =⇒=-，而(0,π)B ∈，则2π3B =；选（3），则sin tan cos CC C==，sin 0C ≠，所以33cos cos sin sin cos cos sin sin sin 33A C B C A A C C A B =+⇒-=，所以cos(π)cos cos()A C B B B -=-=+=，则tan B =而(0,π)B ∈，则2π3B =.（2）由222b c a +=+，则222b c a bc +-cos A =，(0,π)A ∈，即π6A =，结合（1）易知：ABC 为顶角为2π3的等腰三角形，如下图，D 是BC 中点，ABC 的外接圆周长为23π，若外接圆半径为r ，则3π32πr r =⇒=所以2sin 3,2sin 3b r B c r C ====2AB AC AD +=，所以222222()22cos ||444AB AC AB AB AC AC c bc A b AD ++⋅+++===，则239921||44AD ++==⇒ 21||2AD =，即求BC 边上的中线长为212.18．(1)12n n a -=(2)2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先可以根据已知得到()*212N n n a a n ++=∈，其次注意到212aa =，结合等比数列的定义即可求解.（2）由（1）可知12n n a -=，先将数列{}n b 的通项公式裂项得11122121n n n b +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭，从而可求得其前n 项和为n T ，若*N n ∀∈，都有243nm m T -<，则只需()2min 43n m m T -<，研究n T 的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解.【详解】（1）一方面：因为()*121N n n S S n +-=∈，所以()*211N 122n n n n S S S S n +++-=-∈=，所以()()*2112N n n n n S S S S n +++-=-∈，即()*212N n n aa n ++=∈；另一方面：又1n =时，有2121S S -=，即211a a -=，且11a =，所以此时212a a =；结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列{}n a 是首先为11a =，公比为2q =的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为11122n n n a --=⨯=.（2）由（1）可知12n n a -=，又由题意()()()()11124221121121212121nn n n n n n n n a b a a ++++⨯⎛⎫===⨯- ⎪------⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和为122311111111122121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=⨯- ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝=⎭ ，又*N n ∀∈，都有243n m m T -<，故只需()2min 43n m m T -<，而1121n y +=-关于n 单调递增，所以21121n y +=-关于n 单调递减，3112121n n y T +⎛⎫==⨯- ⎪-⎝⎭关于n 单调递增，所以当1n =时，有()12min 1421213n T T ⎛⎫==⨯-=⎪-⎝⎭，因此()2min 4433n m m T -<=，即()2203m m ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得223m -<<，综上所述：m 的取值范围为2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.19．(1)9.3百元(2)分布列见解析，()65E X =(3)10,9【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得a ，利用中位数计算公式计算即可.（2）求得X 的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列，再由数学期望公式计算即可.（3）由题意得()100,0.10Y B ，由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可.【详解】（1）设这500名在职员工的个人所得税的中位数为a ，则由频率分布直方图得()()20.020.030.050.0580.150.5a ⨯++++-⨯=，解得289.33a =≈，所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为9.3百元.（2）由题意抽取的10人中，年个税在(6,8]内的员工人数为0.051050.050.040.01⨯=++人，年个税在(14,16]内的员工人数为0.041040.050.040.01⨯=++人，年个税在(16,18]内的员工人数为0.011010.050.040.01⨯=++人，若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，所以()0364310C C 413C 12030P X ====，()1264310C C 6632C 12010P X ⨯====，()2164310C C 15411C 1202P X ⨯====，()3064310C C 2010C 1206P X ====，所以X 的分布列为：X k =0123()P X k =1612310130X 的数学期望为：()1311632103010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由频率分布直方图可知年个税在(14,18]内的概率为()0.040.0120.10+⨯=，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有()0100,N k k k ≤≤∈个员工的年个税在(14,18]内的分布列服从二项分布()100,0.10Y B ，由二项分布的数学期望、方差公式可得()()()1000.1010,1000.1010.109E Y D Y =⨯==⨯⨯-=，即Y 的数学期望与方差分别为10,9.20．(1)证明见解析(2)63【分析】（1）先证CE BE ⊥，根据面面垂直的性质可得CE ⊥平面A BE '，进而可证；（2）先建立空间直角坐标系由空间法求二面角C A B E '--的正弦值.【详解】（1）因为3AE =，AB =4=AD ，所以1DE =，BE =，2CE =，因为(22222216BE CE BC +=+==，所以CE BE ⊥，因二面角A BE C '--为直二面角，所以平面A BE '⊥平面BEC ，又平面A BE '⋂平面BEC BE =，CE ⊂平面BEC ，所以CE ⊥平面A BE '，又A B '⊂平面A BE '，所以A B CE '⊥.（2）取BE 的中点O ，在BC 上取点F 使OF BE ⊥，由AB AE =得A B A E ''==45BEC ∠=o，故AO BE '⊥，A O '=，又因平面A BE '⊥平面BEC ，平面A BE '⋂平面BEC BE =，BE ⊂平面BEC ，所以AO '⊥平面BEC ，又OF ⊂平面BEC ，所以A O OF '⊥，故如图建立空间直角坐标系，由A B A E ''==得BE ==，故BO =，又OF BE ⊥，45BEC ∠=o，则BF ==故()0,0,0O，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2A ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，0,2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则6622BA '=⎝⎭ ，6622BF ⎫=⎪⎪⎝⎭，由题知平面A BE '的法向量为()0,1,0i =，设平面A BC '的法向量为(),,j x y z =，则00BA j BF j ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'，得022022x z x y +=⎪+=⎩，令1x =，得1y =-，1z =-，()1,1,1j =-- ，设二面角C A B E '--的平面角为θ，则cos 3i j i j θ⋅==⋅，故sin 3θ==，即二面角C A B E '--的正弦值为3.21．(1)22143x y +=(2)OP OQ ⋅为定值，这个值为4【分析】（1）根据圆B 的一般方程可知圆心()1,0B -，半径4r =，再利用椭圆定义即可求得E 的轨迹曲线Γ的方程为22143x y +=；（2）依题意设出()00,M x y ,(),C m n 可得(),D m n -，求出直线,CM DM 的直线方程解出其与x 轴的交点坐标000,0my nx P y n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，000,0my nx Q y n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即可得出OP OQ ⋅的表达式，再进行化简即可知4OP OQ ⋅=.【详解】（1）根据题意可知圆22:2150B x y x ++-=可化为()22:116B x y ++=，所以可知圆心()1,0B -，半径4r =，易知()1,0A 和()1,0B -两点关于原点对称，且42EA EB AB +==>，所以由椭圆定义可知E 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为24a =的椭圆，即2,1a c ==，可得23b =；因此曲线Γ的方程为22143x y +=.（2）不妨设()00,M x y ，(),C m n ，且22143m n +=，2200143x y +=；则易知(),D m n -；易知直线,CM DM的斜率都存在，如下图所示：所以直线CM 的斜率为00CM y n k x m -=-，其方程为()00y ny n x m x m --=--，可得直线CM 交x 轴于点000,0my nx P y n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线DM 的斜率为00DM y n k x m +=-，其方程为()00y ny n x m x m ++=--，可得直线DM 交x 轴于点000,0my nx Q y n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭所以000000,my nx my nx y n y n OP OQ --=++=，可得()()2200000022000my nx my nx my n O x Q y n P n y O y n --=⋅-⋅+=+-；由22143m n +=，2200143x y +=可得，()22433n m -=，()2020433y x -=；所以()()()()220220222200022222200043433344O n y y n y n my nx y n y n y n P OQ --⋅--⋅⋅-====---；因此OP OQ⋅为定值，4OP OQ ⋅=.22．(1)答案见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）对()f x 求导得()()1()2e e x x a f x '+-=，所以首先分0a ≥和a<0两种情况，在讨论a<0时，以()f x '的两个零点120,ln 2a x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭为分界点又可以分三种小情况来讨论，根据导数与原函数单调性的关系即可求解.（2）由题意可得020e 1x a x -=，若要证明02x a <-，则只需00202e 1x x x -<-，即只需()()02200e 10,0x x x -+>>，通过构造函数()()22=e 1,0x h x x x -+>，连续求导即可得证.【详解】（1）对2()e (2)e 1x x f x a ax =+---求导得，()()2()2e (2)1e 2e e x x x x f x a a a '-+=+--=，分以下两大情形来讨论()f x 的单调性：情形一：当0a ≥时，有2e 0x a +>，令()()01()2e e x x f a x '+-==，解得0x =，所以当0x <时，有()()01()2e e x xf a x '+-=<，此时()f x 单调递减，当0x >时，有()()1()2e e x x f a x '+-=>，此时()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增；情形二：当a<0时，令()()01()2e e xxf a x '+-==，解得120,ln 2a x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，接下来又分三种小情形来讨论()f x 的单调性：情形（1）：当2a <-时，有120ln 2a x x ⎛⎫=<=-⎪⎝⎭，此时()12,),,e e (x x f x f x a +'-随x 的变化情况如下表：(),0∞-0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e x a +--+e 1x --++()f x '+-+()f x由上表可知()f x 在(),0∞-和ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；情形（2）：当2a =-时，有120ln 2a x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，此时()2()e 10x f x '=-≥，所以此时()f x 在R 上单调递增；情形（3）：当20a -<<时，有120ln 2a x x ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，此时()12,),,e e (x x f x f x a +'-随x 的变化情况如下表：,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+2e x a +-++e 1x ---+()f x '+-+()f x由上表可知()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.综上所述：当2a <-时，()f x 在(),0∞-和ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当2a =-时，()f x 在R 上单调递增；当20a -<<时，()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.（2）因为2()e (2)e 1x x f x a ax =+---，所以由题意2()()(2)e e 1x xg x f x a ax ==+---，又因为()()(2)e xg x f x a =+-在区间(0,)+∞上存在唯一零点0x ，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，有200()e 10x g x ax --==，化简得020e 1x a x -=，若要证明02x a <-，则只需00202e 1x x x -<-，即只需()()02200e 10,0x x x -+>>，不妨设()()22=e 1,0x h x x x -+>，求导得()()2=2e 21,0x h x x x '-+>，令()()()2=2e 21,0x u x h x x x '=-+>，继续求导得()2=4e 24220,0x u x x '->-=>>，所以当0x >时，()()2=2e 21x h x x '-+单调递增，所以()()()2=2e 2100x h x x h ''-+>=，所以当0x >时，()()22=e 1x h x x -+单调递增，所以()()()22=e 100x h x x h -+>=，即当00x >时，有不等式()0220e 10x x -+>成立，综上所述：若()()(2)e xg x f x a =+-在区间(0,)+∞上存在唯一零点0x ，则02x a <-.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是明确含参的函数的单调性首先要分类讨论，在讨论a<0时，通过比较()f x '的两个零点120,ln 2a x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的大小关系可知又要分三种小情况来讨论；而第二问的关键是首先得到020e 1x a x -=，然后分析出只需证明()()02200e 10,0x x x -+>>即可，对此构造函数()()22=e 1,0x h x x x -+>，连续求导即可顺利得证.。
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2021届南宁市普通高中毕业班摸底测试
理科数学
(考试时间：120分钟满分：150分)
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{t∈Z|t＝2x＋1，x∈A}，则A∩B的元素个数为
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2.复数2
2
i
i
+
-
的虚部是
A.1
2
B.
1
2
i C.
3
2
i D.
3
2
3.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为120°，c＝λa－μb，若a⊥c，则下列结论正确的是
A.2λ＋μ＝0
B.2λ－μ＝0
C.λ－μ＝0
D.λ＋μ＝0
4.设直线x＝4与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE(O为坐标原点)。
则C的焦点坐标为
A.(1
4
，0) B.(
1
2
，0) C.(1，0) D.(2，0)
5.一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是
A.这组新数据的平均数为m
B.这组新数据的平均数为a＋m
C.这组新数据的方差为an
D.这组新数据的标准格为a n
6.在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c着a＝4，b＝5，c＝6，则sin2 sin
A
C
=
A.1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.1
7.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为
A.4＋
B.2＋
C.3＋
D.8 8.已知a ∈(0，π)，cos(α＋
6
π
)＝35，则sin α的值为
A.
310
B.310
C.310
D.3
5
9.射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e －ρµt
，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，
t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，µ是被测物对射线的吸收系数。
工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度。
若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8(单位：cm)，钢的密度为7.6(单位：g/cm 3)，则这种射线的吸收系数为
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2＝0.6931，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116
10.已知过定点A(O ，b)(b>0)的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切时，与y 轴夹角为45°。
则直线l 的方程为 A.x －y
＋＝0 B.x ＋y －1＝0
C.x ＋y
＝0或x －y
＝0 D.x ＋y －1＝0或x －y ＋1＝0
11.已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，设双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为B ，点P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，若|PF|＝2|BF|，则双曲线C 的离心率为 A.3 B.2 C.
32 D.4
3
12.已知函数f(x)＝x e x ＋12
x 2
－x ，若a ＝f(20.3)，b ＝f(2)，c ＝f(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系为
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c>a>b
D.b>c>a
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设x ，y 满足约束条件2x 3y 30
2x 3y 30y 30+-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则z ＝2x ＋y 的最小值是 。
14.若(x ＋2)5＝x 5＋ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ，则a ＋b ＋c ＋d ＋e 的值为 。
15.已知球在底面半径为1、高为
的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为 。
16.已知a>
13，函数f(x)＝sinx ＋2x －1
x
，若f(1－3a)＋f(a 2－2a ＋3)≤0，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题：本大题共70分。
解答应写出文字说明。
证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
设数列{a n}满足a1＝1。
a n＋1＝2a n－(2n－3)。
(I)计算a2，a3。
猜想{a n}的通项公式并利用数学归纳法加以证明；
(II)记b n＝2n·a n，求数列{b n}的前n项和S n。
18.(本小题满分12分)
某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人。
(I)求p和n的值；
(II)根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?
(III)将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中。
随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望E(X)。
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点E、F在侧棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，C1F＝2FC，点D、G在侧棱AB、AC上，且BD＝2DA，CG＝2GA。
(I)证明：点G在平面EFD内；
(II)若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角A1－AB1－C1的余弦值。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为F1、F2
3
M是椭圆上的
一个点，且|MF1|＋|MF2|＝2。
(I)求椭圆C的标准方程；
(II)已知点P(2，y0)是椭圆C上位于第一象限内一点，直线l平行于OP(O为原点)交椭圆C于A、B两点，点D是线段AB上(异于端点)的一点，延长PD至点Q ，使得3PD DQ
=，求四边形PAQB面积的最大值。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝a(x－2)e x＋(x－1)2，(a≠0，a∈R)。
(I)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(II)若a>0，证明：函数y＝f(x)有两个不同的零点。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：
x12cos
y32sin
α
α
=-+
⎧⎪
⎨
=-
⎪⎩
(α为参数)，曲线C1与坐标轴交于(异于坐
标原点O)两点M，N。
(I)求线段MN的长度；
(II)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M，N关于直线l对称，求直线l的极坐标方程。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲：
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3。
(I)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(II)设a>－1，且当x ∈[－2a ，1
2
)时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围。