第12章_稳恒磁场

磁感强度的单位为特斯拉，符号为T
1T 10 G
4
§12.3 毕奥－萨伐尔定律
一、毕奥－萨伐尔定律 通有电流I的任意导线 在周围空间产生的磁场
P 长为dl的线元，其方向 Idl 与该处I的流向相同，把 Idl 称为电流元。 毕奥－萨伐尔等证明，电流元在真空某处的 磁场可表示为
四、毕奥－萨伐尔定律应用举例 选取电流元，求电流元产生的磁场 明确磁场的大小和方向 分析磁场的对称性，建立坐标系，写 出分量表达式 考虑所有电流元的贡献，分别积分 积分时注意统一积分变量，通常对角 度进行积分比较方便

[例1] 求载流直导线周围的磁场。 解: 电流元Idl在P点产生的磁感应强度为 0 Idl er 2 dB 4 r2 0 Idl sin Idl dB r 2 4 r L l 0 Idl sin O r B dB L L 4 r2 统一积分变量 r r r csc sin( )
B dS 0
S
结论：磁场是无源场，自然界不存在单 独的磁荷。
§12.5 磁场的安培环路定理
一、安培环路定理
L B dl 0 I i i 在稳恒磁场中，磁感强度 B 沿任一闭
合路径的线积分等于此闭合路径所包围的 各电流的代数和与真空磁导率的乘积。 I L称之为安培环路；
l
I
r L Idl B
结论：B 的环流与环路的大小、形状无关。
B 2r 0 I
l
l
2. 取任意环路包围电流 在垂直于长直导线的平面 内取任意圆形环路 L，环路 B I 绕行方向为逆时针方向 . d θ 在环路上任取一段线元 dl r dl 0 I 该处磁感强度大小为 B 2r 磁感强度的方向与 dl 夹角为 ，则 B dl Bdl cos Brd
Fmax正比于q、v，比值 Fmax /q v只与该点位臵有关。
Fmax
q
+
v
定义磁感强度大小： Fmax B qv
方向：使得 v 、B、F 构成右手系
矢量关系可表示为：
Fm qv B 洛仑兹力公式： F qE qv B
1
2
I
S
l
§12.2 磁场 磁感强度
一、磁场 1. 中国古代磁学成就
2. 磁场的来源 运动电荷产生磁场，磁场对运动电荷 有力的作用
I
N
S
I
F
S
N
I
I
I
二、磁感强度 与电场强度的定义类似，用运动电荷在 磁场中的受力定义磁感强度。
F = 0 的方向为磁场方向 速度方向垂直于磁场方向 时所受的力最大
B
0 IR 2
2r 3
B的方向沿x轴正向，与电流流向成右手关系 引入磁偶极矩，上式可以写成 0 m B 2 r 3
讨论
圆心处:
B
0 I
2R
半圆圆心处：B
0 I
4R 0 I 一段圆弧： B 2 R 2
[例3]求通电螺线管中心轴线上一点的磁场。 已知螺线管半径为R， 通有电流I，单位长 R 1 2 度的匝数为n。 P dB 解：将螺线管分成 许多圆电流，dl段 I l dl 载有电流 nIdl 由圆电流磁场公式，该段圆电流在P 点 产生的磁场 0 R 2 nIdl dB 2 ( R 2 l 2 )3 / 2
[例2] 求圆电流在其轴线上的磁场。
解: 电流元Idl在P点产生的磁感强度为 0 Idl Idl dB2 dB dB 4 r 2 r 将矢量分解成标量 R X I O pdB1 dB2 dB cos 电流对称分布
dB2 0
0 Idl R dB1 dB sin 4 r 2 r 0 IR 2R dl B dB dB1 3 0 4r
二、欧姆定律及其微分形式 欧姆定律 U IR l 电阻定律 R S 称为材料的电阻率，其倒数为电导率 电阻率与温度的关系 t 0 (1 t ) 欧姆定律的微分形式
U 2 1 El
l IR JS S J E / E
穿过闭合曲面S的磁通量 m B dS
S S
S
m B dS BdS cos
S
三、磁场的高斯定理 对于闭合曲面，取向外的方向为正向 由于磁感线闭合，穿入一个闭合曲面的 磁感线必然要穿出同一个曲面。

高斯定理：磁场中通过任一封闭曲面的 磁通量一定为零。
电流流向与回路绕向服从右手 法则时，电流取正，反之为负。

安培环路定理的证明 1. 取对称环路包围电流 在垂直于长直导线的平面 内取半径为 r 的圆形环路 L 圆周上任一点处磁感强度为 0 I B 2r 取逆时针方向为回路正向，则 B dl Bdl B dl
B

0
L
R nIdl 2 2 3/ 2 2 (R l )

2
统一积分变量：
l Rctg 2 dl R csc d
2 2
R P

dB
R 2 csc2 (R l ) 0 R 2 nI ( R csc2 d ) B 2 2 3/ 2 L 2 ( R csc ) 0 nI (cos 2 cos 1 ) 2 方向：沿轴线方向
L L内
I
B dl B cos 0 dl 0 I
L L
R
r L
B dl B 2r 0 I
L
0 I B 2r
在载流导体内作半径为r 的安培环路L
(0 r R) B dl 0 I i
L L内
二、安培环路定理的应用 1、分析对称性；
2、选取合适的安培回路；
使

l
B dl 便于积分。
3、选好积分回路取向,并据此取向确定 回路内包围的电流正负； 4、根据环路定理求磁场分布。
[例1] 长直载流螺线管内的磁场。 解：电流分布具有对称性 选积分回路 abcda，则 a l B dl abB dl bcB dl d B dl B dl
l
dl
讨论
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
管边缘处
对无限长螺线管
B 0 nI
B
B
0 nI
2
A1
A2
§12.4 磁场的高斯定理
一、磁感线 与电场线类似的，可用磁感线描述磁场
曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 的方向，曲线的疏密表示磁感强度的大小。
第 十 二 章
稳 恒 磁 场
§12.1 电流 电流密度
一、电流 电流密度 传导电流：由带电粒子定向运动形成的电流。 电流强度：单位时间通过导线某一截面的电量
dq I dt

电流强度的单位为安培，符号是A 电流密度
n 表示该处正电荷的运动方向。
dI J n dS
I
dI
n
dS

Ｂ
I R r
在柱外，由于电流的对称性， 磁场只有切向分量不为零，且关 于中心轴对称。 柱内各点磁场也存在同样的对称性。
I
在载流导体外 作半径为 r的安培环路L
( R r ) B dl 0 I i 0 I
P
dB
r d l rctg( ) dl 2 sin
代回原式可得
B

2
1
讨论
0 I (cos 1 cos 2 ) 4r
0 I sin d 4 r
在导线延长线上，B = 0 ；
0 I 导线无限长时， B ; 2r
0 I 导线半无限长时， B . 4r
0 Idl er dB 2 4 r
I
r
dB
0 Idl er dB 4 r2
0 4 10 N / A 称为真空中的磁导率
7 2
磁感应强度的方向：右手定则 右手四指指向电流元 的方向，绕过一个小 于 的角度到 er 的 方向，此时大拇指所 指的方向就是磁场的 I 方向。
cd da
b c
B
Bab
根据安培环路定理，可得
l
B dl Bab 0nab I
B 0 nI
[例2] 均匀密绕螺绕环的磁场分布。





L

r

已知：R1、R2匝数N 电流I 解：首先分析磁场分布 作半径为r的安培环路L

l
说明 (1) I i 中只包括穿过闭合回路的所有电流 I
L3 L4
LB d l 0 ( I I ) 0 3 B d l 0 ( I I ) 20 I
L4
(2) B 是闭合回路内外所有电流在回路上
产生的总磁感强度 (3) 安培环路定理表明磁场是有旋场，即非 保守场,在磁场中不能引入势能的概念。

dI J dS 对任意曲面： J dS I S 恒定电流：导体内各点的电流密度都相同
稳恒条件
dq内 由电荷守恒 J dS dt S dq内 在稳恒情况 0 dt J dS 0
S
结论：稳恒电路必须闭合，在电路的任一节 点流入的电流之和等于流出的电流之和。
I I
磁感线是永不相交，无头无尾的闭合曲线
I
I
二、磁通量 与电通量类似的，引入磁通量的概念 穿过某个曲线的磁感线的条数称为磁通量 在磁场中取面元dS，其法线 n 方向与磁场方向夹角为 B 穿过dS的磁通量 dS
d m B dS BdS cos
穿过某一有限曲面S的磁通量
l
பைடு நூலகம்论：B 的环流与环路的大小、形状无关。
0 I 2r
l
l
d 0 I
l
3. 取任意环路不包围电流 在垂直于长直导线的平面 B2 B1 内取任意圆形环路 L，电流I dl 2 位于环路外, 逆时针方向 r1 I dl1 . 以导线为圆心作两条夹 r2 d 角为d 的射线，在环路 L 上取两个线元 dl1、dl 2 ，则 0 I B1 dl1 B1r1d d 2 B1 dl1 B2 dl2 0 0 I B2 dl 2 B2 r2d d 2 根据对称性，有 B dl 0
er
P
dB
I
Idl
二、磁场的叠加原理 磁场服从叠加原理，电流元的磁场 0 Idl er dB 4 r2 则整个导线在真空某点的磁感强度： 0 Idl er B dB 2 L L 4 r 三、运动电荷的磁场 电流是由运动电荷形成的，一个带电量 为q，以速度 v 运动的电荷产生磁场 0 qv er B 4 r2



R1 R2
L B dl B Ldl B2r
解得:
0 N I
2r
0 NI B 2r
当 R2 R1 r 取圆周平均值代替
L平 R1 R2 2 2
B
0 NI
L平
0 nI
N 其中 n L平
[例3] 无限长直圆柱载流导线的磁场分布。 解：首先进行对称性分析