第一讲 格点多边形的面积计算 PPT
初中数学《格点多边形的面积计算》25页精品ppt课件
描点-猜想-验 证
图象
1 由此发现规律： S b 1 2
探究新友
三、请你再画出一些格点多边形，使这些多边形 内部有且只有3个格点、4个格点……时，此时所 画的各个多边形的面积S与它边界上格点数b之间 的关系式：S= ________；
多边形的面积S
边界上格点的个数和 b
多边形内部的格点数a
解决问题：谁的面积大？
哥哥说：“弟弟的地里一圈有17棵树，而我的地一圈 只有15棵树，弟弟的地面积大。” 弟弟说：“哥哥的地里面有17棵树，我的地里只有16 棵树，哥哥的面积大？”
画龙点睛
1、你知道什么是皮克定理了吗？ 2、通过探索皮克定理，你积累了哪些 学习方法和经验？
画龙点睛
探求规律类问题的方法：
Thank You !
1、简单到复杂、特殊到一般 2、纵向、横向比较所列式子中的变量与常量， 结合函数思想，总结规律，并进行验证。 3、遇多个变量时，采用控制变量法。
皮克定理之歌
纵横平行网格美，妙画格点多边形。 面积求解方法多，皮克定理光芒闪。 a b弄清答案来，数学简约显智慧。 探索之路无穷尽，共享思维谱华章。
最强大脑
本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是互 相垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直， 假设每个小平行四边形的面积为1，还能应用此公式求 出多边形的面积吗？
作业布置
必做题：请以小组为单位，探究平行四 边形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告. 选做题：请以小组为单位，探究等边三 角形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告.
多边形内部的格点数a
4
由此发现规律：
S a2
发现规律
设格点多边形的面积为S，多边形内 部的格点数为a，它的边界上的格点数 为b.
【优文档】原春八年级数学下册专题格点多边形的面积计算课件(新版)浙教版PPT
专4．题形在边(格如长点为图多1边的①形小的正)进面方积形行计组验算成的证方格，纸得中，到若公多边式形的中各表顶点示都在多方边格纸形的内格点部(横格竖格点子线个的数交错的点字)上，母这是样的_多_a边__形；称为并格点多边
形解．：运记 (1用)格画点法这多不边个唯形一公内，的如式格图求点①数或得为图a如②，边图(2界)②画上法的中不格唯点多一数边，为如b形，图则的③格，面点图多④积边等形是的_面_积_可_表．示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为长方形、三角形、平行四边形；
专题 格点多边形的面积计算
解：(1)画法不唯一，如图①或图② (2)画法不唯一，如图③，图④等
(1)这个格点多边形边界上的格点数b＝
(用含a的代数式表示)；
解：(1)画法不唯一，如图①或图② (2)画法不唯一，如图③，图④等
(1)这个格点多边形边界上的格点数b＝ 82－2a (用含a的代数式表示)； (2)设该格点多边形外的格点数为c，则c－a＝__1_1_8．
2．“皮克定理”是用来计算顶点在格点的多边形面积的公式，公式表达
(1)这个(解(21))：式设 这(该个1为)画格格法点点S多不多＝边唯边形一形a＋外，边的如界b2格图上－点①的1数或格，为图点②数c小，b则＝明(2c)－画只a法＝记不__唯得_一_(．用公，含如式a图的③中代，数的图式④表S等示表)； 示多边形的面积，a 和 b 中有一个
(2)设该格点多边形外的格点数为c，则c－a＝____．
(1)在下面的(1方)格请纸在中各图画出甲一中个面画积为一6的个格格点多点边正形，方依次形为，长方使形它、三内角形部、只平行含四有边形；4 个格点，并写出它的
【格点与面积】教学课件
五年级学生用书博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌以点概面——格点与面积图（1）图（2）图（1）中画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离是相等的。
方格纸上两组直线的交点，我们称它为格点。
有时将格点图中的纵横两组平行线隐去，只留下了格点，如图（2）。
如果一个多边形它所有的顶点都在格点上，这样的多边形就叫做格点多边形或格点图形。
如图（3）、图（4）。
小学数学培训教材图（3）图（4）例1：观察下列几个格点多边形，图中横行和竖列相邻两点间的距离是相等的，都是1厘米，你能求出下列各图的面积吗？五年级学生用书在钉板上围出如图所示的几个中间没有点的格点图，验证：面积=一周格点数÷2－1。
小学数学培训教材五年级学生用书例2：朋朋和优优好像找到了数点求格点多边形面积的新方法，但是他们用“面积=一周格点数÷2－1”计算下列四个图形面积时出了问题。
第三个图形的面积是4平方厘米，而用格点求面积的方法求出是3；第四个图形面积是5，怎么用格点求面积的方法求出是4？你知道其中的原因吗？五年级学生用书用数点求面积的方法求下列图形的面积。
小学数学培训教材①②五年级学生用书例4：验证：（1）中间有2个点的图形，用数点求面积方法是：一周格点数÷2+1。
（2）中间有3个点的图形，用数点求面积方法是：一周格点数÷2+2。
（1）（2）用数点求面积的方法求下列图形的面积。
（1）（2）例5：猜想中间有4个点的格点图形面积怎样计算？5个点呢？你能用一个完整的公式表示中间有任意个点（n个点）的格点多边形的面积吗？五年级学生用书图中横行和竖列相邻两点之间的距离是相等的，都是1，验证数点求面积方法的正确性。
小学数学培训教材例6：下图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积。
五年级学生用书下图中每个小正方形的面积都是2平方厘米,求图中阴影部分的面积。
例7：在下图中画出一个格点梯形，使它的面积等于9，说明理由。
多边形的面积PPT课件
4
4
∟
3
3
填空
一个平行四边形面积是40平 方厘米，与它等底等高的三 角形面积是（20）平方厘米。
一个平行四边形的面积是16 平方厘米，从这个平行四边 形中剪出一个最大的三角形， 这个三角形的面积是（ 8 ） 平方厘米。
选择题
两个平行四边形面积相等， 它们的底和高（ B ）。
A.一定相等 B.不一定相等 C.一定不相等
2
6
单
6×2=12（平方厘米）
位
：
厘
米
4
3 3×4=12（平方厘米）
求直角三角形的面积
①3×4÷2 ②3×5÷2 ③4×5÷2 ④5×2.4÷2 ⑤3×2.4÷2 ⑥4×2.4÷2
哪些算式正确？（①④）
一个三角形，高不变，底扩 大3倍，面积就扩大（A）倍。
A. 3 B. 6 C. 9
原来的面积 现在的面积 1×2÷2=1 3×2÷2=3
3倍
2
2
1
3
有一块平行四边形稻田，底 是20米，高是10米，平均每 平方米收稻谷1.2千克。这块 稻田共收稻谷多少千克？合 多少吨？
先独立解答，完成后 找身边同学互相检查。
一块三角形白菜地，底长 800米，高500米，共收白 菜5000千克，平均每公顷 收白菜多少千克？
作业： ①课本135页： 口算练习（一）
②口算册：（109） ③继续做应用题训练
先独立解答，完成后 找身边同学互相检查。
单位：米
0.3
0.2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8米
1.2 米
思考题
1.下图中红色部分面积和 黄色部分面积相比（ ）。
①黄色部分面积大 ②红色部分面积大 ③一样大 ④不能确定
《数格点算面积》课件
实例三：三角形格点算面积
总结词
通过三角形格点计算面积的方法
详细描述
三角形格点算面积是通过数三角形的底和高以及格点数来计算面积的一种方法。首先，确定三角形格点的底和高 ，然后数格点的数量，最后将格点数乘以底和高的乘积的一半即可得到面积。
04
数格点算面积的应用场景
土地测量与规划
土地面积测量
通过数格点的方法，可以快速准 确地测量土地面积，为土地规划
计和成本预算提供依据。
室内装修设计
在室内装修设计中，通过数格点 算面积的方法可以精确计算出各 个区域的面积，为材料选择和预
算制定提供参考。
房地产销售
在房地产销售过程中，利用数格 点算面积的方法可以精确计算出 房屋的建筑面积和使用面积，为
购房者提供准确信息。
05
数格点算面积的注意事项与技巧
格点选取的原则与技巧
专业的地理信息系统软件 ，具有强大的数据处理和 分析功能。
QGIS
开源的地理信息系统软件 ，适用于各种操作系统。
GRASS GIS
同样是一款开源的地理信 息系统软件，具有广泛的 用途和强大的功能。
06
总结与展望
数格点算面积的重要性和意义
数学教育意义
通过数格点算面积的练习，有助于培养学生的逻辑思维和空间想 象力，提高他们的数学素养。
数格点算面积的原理
原理
基于格点的可数性和均匀性，通过将平面图形划分为若干个小正方形，然后数出这些小正方形中的格点数，最 后根据格点数和正方形面积的对应关系计算出整个图形的面积。
应用
数格点算面积的方法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如计算几何形状的面积、求解微积分问题等 。
03
数格点算面积的实例分析
格点多边形的面积计算
格点多边形的面积 计算
数格点 算面积
概念
如果一个多边形的
A
顶点都在格点上，那么
E
这种多边形叫做格点多 B
边形.
C
D
问题1
A
E
你会求图中格点多边
B
形的面积吗？请试一试！
C
D
B C
E D
补
B C
E D
割
问题2
E B
C
D
设格点多边形的面积为S，多 边形内部的格点数为N，它的边上 的格点数为L，那么S与N、L三者 之间有怎样的数量关系呢？
活动一
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=0的格点多边形，请 ① 1 0 4
填写表格：
②
2
0
6
A
Байду номын сангаас
D
B
C
①
A
D
B
C
③
A
B
C
②
④
③
3
0
8
… ………
当 N=0 时 ， S 与L有什么关系？
1
S = 2 L－1
活动二
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=1的格点多边形，请 ① 2 1 4
填写表格：
C③
④
活动四
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=3的格点多边形，请 ① 5 3 6
填写表格：
A
AD
②
4
3
4
B
C
③
4.5 3
七年级下数学拓展课——数格点算面积.ppt
的格点数，那么有 S 2 N L 2
A
即：格点多边形面积等于图形内部所包含
格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
C
B
B
(a)
巩固：
1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴” 成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然
后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已 知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积 是______平方分米．
数学拓展课
————数格点，算面积
一．概念认识
A E
B
C
D
1、如图，网格纸上画着纵、横两组 平行线，相邻平行线之间的距离相等， 这两组平行线的交点称为格点（如图中 的点A、B、C等）。显然，每一个小方格 就是一个面积单位。
如果一个多边形的顶点都在格点上， 那么这个多边形叫做格点多边形(如图中 的多边形ABCDE)
①
6 2 12
②
4 26
③ 3 21
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动四 探究N=3的格点多边形中S与L之间的关系
A B
C ①
AD D
A
C
D
DB
②B
C③
图形序号 S N L
①
53 6
②
43 4
③ 4.5 3 5
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
一．概念认识
2、凸多边形与凹多边形：如右图a,把多边形的任何 一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线 的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形。而图b中的 多边形不具备这种性质,称为凹多边形.
第一讲格点多边形的面积计算
第一讲格点多边形的面积计算格点多边形是指顶点坐标都为整数的多边形。
在计算机图形学和离散几何中，计算格点多边形的面积是一项基本的操作。
本文将介绍两种常见的计算格点多边形面积的方法：基于向量叉积的格点覆盖法和基于重心坐标的三角剖分法。
一、基于向量叉积的格点覆盖法格点覆盖法是一种传统的计算格点多边形面积的方法。
基本思想是将格点多边形覆盖成一系列由格点和边所构成的三角形，然后计算每个三角形的面积累加即可得到整个格点多边形的面积。
具体步骤如下：1.对于给定的格点多边形，首先找到一个格点在多边形内部，这样可以确保后续的格点覆盖步骤能够将整个多边形全部覆盖。
2.以该内部格点为起点，依次枚举多边形上的每个顶点，将多边形分割成一系列由内部格点和相邻边所构成的三角形。
3.对于每个三角形，计算其面积，并将面积累加。
三角形的面积可以通过计算三角形两条边向量的叉积来得到。
设两条边向量分别为u和v，则三角形的面积为，u×v，/2，其中，u×v，表示u和v的叉积的模。
4.最后得到的面积即为格点多边形的面积。
这种方法的时间复杂度为O(n)，其中n为格点多边形的顶点数。
然而，该方法的缺点是需要找到一个内部格点，并且可能会出现误差累积的问题。
二、基于重心坐标的三角剖分法重心坐标法是一种计算任意多边形面积的常见方法，它可以推广到计算格点多边形面积。
基本思想是通过将格点多边形进行三角剖分，将多边形分割成若干个三角形，然后计算每个三角形的面积并累加得到整个多边形的面积。
具体步骤如下：1. 对于给定的格点多边形，首先通过三角剖分算法（如Delaunay三角剖分算法）将多边形分割成一系列不重叠的三角形。
2.对于每个三角形，计算其面积，并将面积累加。
重心坐标法给出了计算三角形面积的通用公式：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，三角形的面积为S，那么S=，AB×AC，/2，其中，AB×AC，表示向量AB和向量AC的叉积的模。
格点多边形面积 优质课课件
知识：皮克定理
S=
a
1 2
b
1
思想方法：从特殊到一般、数形结合
解决问题策略：
实 际 实验 归纳 问题 猜想 建模
数学 问题
D
②③④
5
9
2.5 4.5
AD
A
C
B
① C
C B
②
A
③
B
④
s 7 6 5 4 3
2
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 b
-1 -2 -3
如图①②③都是满足条件a=2的格点多边形，
请填写表格：
图形 ① ② ③ ④
序号b10Fra bibliotek64
s
7
S
6
4
3
6
A
D
A
5
B
F
4
3
B
C
C
E
2
① A
②D
1
B
D
C③
-1 0 1 2 3 4 5 6 b
格点可以分为：
内部格点 边界格点
a
b
格点多边形s
那么S与a、b三者之间有怎样的数量关系呢？
如图①②③都是满足条件探索a=3的格点多边 形，请填写表格： 当a=3，s与b有何关系？
图形 ①
序号
b
4
S
4
A
D B
C③ A
B
D
C ①
②③④
5
6
4.5 5
AD
C D
②B
④
s 7 6 5 4 3
2
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 b
数学综合与实践活
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么关系呢？
C③
④
探究四
如图①②③都是满足条
件 N=3 的 格 点 多 边 形 ， 请 填写表格：
A
A
D
53 6 43 4
B
C
4.5 3 5
D
D
C
①
②B
A
D B
当N=3时，S与L
S=之L间÷的2关+系3又－发1 生
了怎样的变化呢？
C③
④
猜想归纳
Ｎ＝０ Ｎ＝ 1 Ｎ＝ 2 Ｎ＝ 3
…… ……
Ｓ＝L÷2＋0－1 Ｓ＝L÷2＋1－1 Ｓ＝L÷2＋2－1 Ｓ＝L÷2＋3－1
多边形边上的格点数 /个 （L）
2
3
4 格点多边
形面积大
6 小与什么
有关？
3.5
7
4
8
为什么它们边上 格点数都是6，而 面积却不相同？
问题2
E B
C
D
设格点多边形的面积为S，多 边形内部的格点数为N，它的边上 的格点数为L，那么S与N、L三者 之间有怎样的数量关系呢？
大家学习辛苦了，还是要坚持
SＳ＝=L12÷L2+＋NＮ-－11
探究收获
格点多边形的面积S和多边形内部 的格点数N，它的边上的格点数L之间 的数量关系是：
S= 1 L+N-1 2
---毕克定理
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、L、N 三者数量关
系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。
继续保持安静
探究一
如图①②③都是满足条
件 N=0 的 格 点 多 边 形 ， 请 填写表格：
A
D
A
10 4 20 6 30 8
B
C
①
A
D
B
C
③
B
C
②
④
当N=0时，S与 L有什么关系？
S= L÷ 2 －1
探究二
如图①②③都是满足条
件 N=1 的 格 点 多 边 形 ， 请
填写表格：
D
AD
A
C
C
21
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定 理”之一。
挑战自我 解决问题1
E B
C
D
图中格点多边形的面积
S=L÷2+N－1 =8÷2+7-1 =10
解决问题2
求下列多边形的面积
解: N=6 L=9
S=
1 2
9
+
6
-1
=9.5
解决问题3
下面的方格纸中，画出了一个“小鸟” 的图案.已知每个小正方形的边长为1,你能 求出“小鸟”所占的面积是多少吗？
4
2.5 1 5
4.5 1 9
B
B
①
②
C
S= L÷当2N=+1时1，－1
S=L÷2－1仍成立？
A
③
B
④
探究三
如图①②③都是满足条
件 N=2 的 格 点 多 边 形 ， 请
填写表格：
A
D
A
B
F
B
C
C
E
6 2 10 4 26 3 24
ห้องสมุดไป่ตู้
① A
B
D
②D
当 N=2 时 ， S
S=与LL÷之2间+又2有－什1
第一讲 格点多边形的面积计算 PPT
明确概念
A
E
如果一个多边 形的顶点都在格点 上，那么这种多边 形叫做格点多边形.
B C
D 格点多边形 面积大小与 什么有关？
提出问题：
下面是格点图形吗？如果是,你会 求它们的面积吗？
1厘米
厘1
米
1厘米
厘1
米
大胆猜想！
图形编号多方厘边米形（的S面） 积 / 平