高等教育出版社-袁德美主编的概率论与数理统计习题二的答案.
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解
1 0 F1 ( x) 1
°
2 对x1 x2 , 都有F1 ( x1 ) F1 ( x2 )
°
00 3 F1 () lim F1 ( x ) xlim
° x
F1 () lim F1 ( x ) lim 1 1
x x
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
2.8 已知离散型随机变量X只取-1,0,1,2四个值,相应的
1 1 1 概率依次为 , , , c ,确定常数c,并计算条件概率 3 4 5
P{X<1|X≠0}
1 1 1 解 由正则性, c 1 3 4 5
P{ X 1 X 0} P{ X 1} P{ X 1 X 0} P{ X 0} 1 P{ X 0}
D { X 0}
显然A C , A D , B
D , C
D ,
∴A与C互不相容;A与D互不相容;B与D互不相容;C与 D互不相容
B
D ,
∴B与D是对立事件.
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x0 0, (1)F1 ( x ) 0.5 , 0 x 1 1, x1
x 0பைடு நூலகம்
0.8 lim 0.5e x 0.3
x 0
(2) P{ X 0} lim F ( x ) lim 0.5e 0.5
x
x 0
x 0
0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x1
0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x1
求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (1) P{ X 0} F (0) lim F ( x )
2.1 某人投篮两次,设A={恰有一次投中},B={至少有一 次投中},C={两次都投中},D={两次都没投中},又设随 机变量X为投中的次数,试用X表示事件A,B,C,D.进一步 问A,B,C,D中哪些是互不相容事件?哪些是对立事件? B { X 1} 解 A { X 1}
C { X 2}
2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. 解 X所有的取值为0,1,2 8 4 28 8 P{ X 0} P{ X 1} 10 5 10 9 45
解 X所有的取值为1,2,3,4,5,6
1 且P{ X i} , i 1, 2,3, 4,5, 6 6
∴分布列为 X P 1 2 3 4 5 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数 x1 0 , 1 解 分布函数为 , 1 x 2 6 1 , 2 x3 3 1 F ( x) , 3 x4 2 2 4 x5 3 , 5 , 5 x6 6 x6 1,
x 1
F1 ( x)处处右连续. F1 ( x)是分布函数.
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x0 0 , 0.2 , 0 x 1 (2)F2 ( x ) 1 x 2 0.3 , x2 1
解
x 1
lim F ( x ) lim 0.3 0.3 F (1) 2 2
13 c 60
4 9
2.9
0 , 0.3 , 设离散型随机变量X的分布函数为 F ( x ) 0.7 , 1,
x 1 1 x 2 2 x3 x3
求X的分布列.
解 分布列为 X P －1 2 3
0.3
0.4
0.3
2.10 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现随 机检查4件,求至少有两件一级品的概率. 解 设X为随机检查的4件产品中的一级品的个数. 则X～B(4,0.8) 则所求概率为
2 1 8 1 P{ X 2} 10 9 8 45
∴分布列为
X
0
4 5
1
8 45
2
1 45
P
2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. x0 0 , 4 , 解 0 x1 5 F ( x ) 分布函数为 44 , 1 x 2 45 1, x2
求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (3) P{0 X 1.5} F (1.5) F (0) 0.2
(4) P{ X 3} 1 P{ X 3} 1 F (3) 0
2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数
x0 0, (1)F1 ( x ) 0.5 , 0 x 1 1, x1
解 4°除了分段点以外,都是初等函数,故在每一点都 连续,且右连续 对于分段点:
x 1
x 0
lim F1 ( x ) lim 0.5 0.5 F1 (0)
x 0
lim F1 ( x ) lim 1 1 F1 (1)
x 1
F2 ( x)在x 1处不右连续. F2 ( x)不是分布函数.
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x 0, (3)F3 ( x ) cos x , x 0 1, x0
解
F3 ( ) 1 F3 ( x)不是分布函数.
1 0 F1 ( x) 1
°
2 对x1 x2 , 都有F1 ( x1 ) F1 ( x2 )
°
00 3 F1 () lim F1 ( x ) xlim
° x
F1 () lim F1 ( x ) lim 1 1
x x
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
2.8 已知离散型随机变量X只取-1,0,1,2四个值,相应的
1 1 1 概率依次为 , , , c ,确定常数c,并计算条件概率 3 4 5
P{X<1|X≠0}
1 1 1 解 由正则性, c 1 3 4 5
P{ X 1 X 0} P{ X 1} P{ X 1 X 0} P{ X 0} 1 P{ X 0}
D { X 0}
显然A C , A D , B
D , C
D ,
∴A与C互不相容;A与D互不相容;B与D互不相容;C与 D互不相容
B
D ,
∴B与D是对立事件.
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x0 0, (1)F1 ( x ) 0.5 , 0 x 1 1, x1
x 0பைடு நூலகம்
0.8 lim 0.5e x 0.3
x 0
(2) P{ X 0} lim F ( x ) lim 0.5e 0.5
x
x 0
x 0
0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x1
0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x1
求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (1) P{ X 0} F (0) lim F ( x )
2.1 某人投篮两次,设A={恰有一次投中},B={至少有一 次投中},C={两次都投中},D={两次都没投中},又设随 机变量X为投中的次数,试用X表示事件A,B,C,D.进一步 问A,B,C,D中哪些是互不相容事件?哪些是对立事件? B { X 1} 解 A { X 1}
C { X 2}
2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. 解 X所有的取值为0,1,2 8 4 28 8 P{ X 0} P{ X 1} 10 5 10 9 45
解 X所有的取值为1,2,3,4,5,6
1 且P{ X i} , i 1, 2,3, 4,5, 6 6
∴分布列为 X P 1 2 3 4 5 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数 x1 0 , 1 解 分布函数为 , 1 x 2 6 1 , 2 x3 3 1 F ( x) , 3 x4 2 2 4 x5 3 , 5 , 5 x6 6 x6 1,
x 1
F1 ( x)处处右连续. F1 ( x)是分布函数.
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x0 0 , 0.2 , 0 x 1 (2)F2 ( x ) 1 x 2 0.3 , x2 1
解
x 1
lim F ( x ) lim 0.3 0.3 F (1) 2 2
13 c 60
4 9
2.9
0 , 0.3 , 设离散型随机变量X的分布函数为 F ( x ) 0.7 , 1,
x 1 1 x 2 2 x3 x3
求X的分布列.
解 分布列为 X P －1 2 3
0.3
0.4
0.3
2.10 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现随 机检查4件,求至少有两件一级品的概率. 解 设X为随机检查的4件产品中的一级品的个数. 则X～B(4,0.8) 则所求概率为
2 1 8 1 P{ X 2} 10 9 8 45
∴分布列为
X
0
4 5
1
8 45
2
1 45
P
2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. x0 0 , 4 , 解 0 x1 5 F ( x ) 分布函数为 44 , 1 x 2 45 1, x2
求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (3) P{0 X 1.5} F (1.5) F (0) 0.2
(4) P{ X 3} 1 P{ X 3} 1 F (3) 0
2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数
x0 0, (1)F1 ( x ) 0.5 , 0 x 1 1, x1
解 4°除了分段点以外,都是初等函数,故在每一点都 连续,且右连续 对于分段点:
x 1
x 0
lim F1 ( x ) lim 0.5 0.5 F1 (0)
x 0
lim F1 ( x ) lim 1 1 F1 (1)
x 1
F2 ( x)在x 1处不右连续. F2 ( x)不是分布函数.
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x 0, (3)F3 ( x ) cos x , x 0 1, x0
解
F3 ( ) 1 F3 ( x)不是分布函数.