2第三章 静磁场
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们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域 内。
2. 电流与外磁场的相互作用能
在上式中，矢势A是电流分布J本身激发的。某电流分布
J 在给定外磁场中的相互作用能量又如何呢？
如果我们要计算某电流分布 J 在给定外磁场中的相互作
用能量，以Ae表示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场的电
流分布，则总电流分布为J+Je，总磁场矢势为A+Ae，
1
m1 n
2
m2 n
m1 m 2 注意该式与 n M1 M 2 的异同。 n n
例 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。
解 以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 界条件
n B2 B1 0,
n H 2 H1 0
磁标势。
例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁
场，在这个区域内也可以引入磁标势。
至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发 的，没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至 在空间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。 总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条 件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就 是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。
静电场： D 0 E P 静磁场： B 0 H 0 M 与ρp = -∇⋅P 相对应
D 自由电荷
B 0
不存在自由磁荷。∇⋅B 为自由磁荷密度。
m (0 M ) 0 M
这就是（束缚）磁荷密度。
3. 与静电场的对比 电场
E 0 f p E 0 D 0E P
磁场
H 0 m H 0 B 0 H M
H m
E e
f p e 0 p P
2
m m 0
2
m 0 M
2
l
n
m1
h
H1
m2
H2
n H 2 M 2 n H1 M1
m1 m 2 m n M1 M 2 n n 0
m 0 n M1 M 2
为磁荷面密度
对于线性介质： B
H n B2 B1 0 n 2 H 2 1H1 0
因而不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守
场相似，即在求解区域内
H dl 0,
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
H dlFra Baidu bibliotek 0,
L
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标
势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入
J e (x)dV Ae , 4 r
积分表达式中两项相等，因此电流J在外场Ae中的相互作用 能量为
Wi J Ae dV
§3.2 磁标势
由于 B 0 ，所以任何情况下都可以用矢势A描
述磁场，但解矢势的边值问题是比较复杂的。如果 能引入磁标势的话，问题将变得简单。
A2t A1t
(1)
( A 0)
S
A2 n A1n
（１）、（２）两式合算，得到
(2)
即在两介质分界面上，矢势 A 是连续的。
A2 S A1
(3)
四、静磁场的能量 1. 磁场的总能量
1 B HdV 2 由于 B H ( A) H ( A H ) A ( H ) ( A H ) A J
第三章
流激发的磁场。
静磁场
本章内容： 电磁场的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电 在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上 都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场 和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的 磁场满足：
H J B 0 与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。
量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代
表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。 由矢势 A 可以确定磁场 B ，但是由磁场 B 并不能唯一地 确定矢势A。 例如：有沿Z 轴方向的均匀磁场:
Bx By 0
§3.1 矢势及其微分方程
一、矢势 1. 矢势的概念 恒定电流磁场的基本方程是 上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。 磁场的特点和电场不同： 静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于 负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。
Η J
B 0
静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一
解 铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。 在铁球内由于均匀磁化，则有
磁场的总能量为
1 W总 ( J J e ) ( A Ae )dV 2 1 ( J A J Ae J e A J e Ae )dV 2 所以，电流J在外场中的相互作用能为： 1 Wi ( J Ae J e A)dV 2
由于
J (x)dV A 4 r
可以用较简单的形式A1=A2代替。 将矢势沿闭合回路积分，当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有
L
A dl ( A2t A1t )l
L
A dl B dS 0
S
因此
( A2t A1t )l 0
另外，若取 A 0 ，利用高斯公式，推导，可得
2 取 为泊松方程 u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
二、矢势微分方程
1. A的微分方程 在均匀线性介质内，B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
( A) J
由矢量分析公式 ( A) ( A) 2 A. 得
般情况下不能用标势描述。
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
4. 磁标势的边值关系
L
H dl 0 ( H 2t H1t )l 0 m1 m 2
1
推导时已注意到：l h
又由 n B2 B1 0 B2 n B1n 得
n 0 H 2 M 2 0 H1 M1 0
n ( B2 B1 ) 0 n ( H 2 H1 ) α
将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势的边值关系。
矢势的边值关系为
n ( A2 A1 ) 0
n( 1
2
A2
1
1
A1 ) α
若取规范条件∇⋅A = 0 ，
n ( A2 A1 ) 0
一、引入磁标势的条件 我们考虑在某些条件下是否存在着引入标
势的可能性。 1. 不能引入磁标势的原因 由磁场环路定律得
H dl J dS ,
L S
其中L为S的边界。如果回路L链环着电流，即 有电流穿过L所围曲面S，则
H dl 0,
L
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，
( A) 2 A J
若取A满足规范条件∇⋅A = 0 ，得矢势的微分方程
2 A J
2
( A 0)
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2. 若J已知，求A 的解 ( x ) 1 ( x)dV . 2 对比 4 r 方程 2 Ai J i , (i 1,2,3) 的解应为： J i ( x)dV Ai ( x ) . 4 r 所以方程 2 A J 的解为： J ( x)dV A( x ) . 4 r
以及
B1 H1
B2 0 H 2
可得
0 H 2n H1n
H 2t H1t ,
H 2t 0 H1t 0 H 2 n H1n
两式相除得 式中n和t分别表示法向和切向分量。
因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而 表面为等磁势面。
例 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。
二、磁标势的引入及其方程
1. 磁标势的引入 若对于求解区域内的任何闭合回路，都有 则 仿照 由
H 0
L
H dl 0
引入 ， E 引入 m ， H m
E 0 H 0
引入磁标势以后，也有零势点的选择问题，与 静电场的处理方法类似。
2. 磁荷的概念
其中B0为常量。
Bz B0
由定义式:
Ax B0 x y Az Ay Ax Az 0 y z z x 我们不难看出有解：
Ay
Az Ay 0,
Ax B0 y
同时还可以看出有另一解：
Az Ax 0,
Ay B0 x
3. 确定A的辅助条件
对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 JdV→Idl，得
Idl r B 4 r 3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
三、矢势边值关系
由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁 场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势 微分方程的边值问题，必然要用到矢势的边值关系。 在两介质分界面上磁场的边值关系为
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因为任意函数 ，其梯度的旋度恒为零，故有
( A ) A.
即 A 与 A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，
而每点上的A本身没有直接的物理意义。 由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助
条件。最常用的办法就是令
A 0
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨
论真空情形，令μ=μ0即可。
3. 根据A求B
J ( x)dV B A 4 r 1 ( ) J ( x)dV 4 r J r dV 3 4 r
S S
L
A dl
这就是通过曲面S的磁通量。
设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则
S1
B dS A dl B dS
L S2
这正是B的无源性的表现。
因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线
发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而 通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通
静磁场的总能量为 W总
所以
1 1 W总 ( A H )dV A JdV 2 2 1 1 1 ( A H ) dS A JdV A JdV 2 2V 2V
和静电情形一样，公式：
1 W总 A JdV 2V 仅对总能量有意义，不能把 (A⋅J)/2看作能量密度，因为我
2. 电流与外磁场的相互作用能
在上式中，矢势A是电流分布J本身激发的。某电流分布
J 在给定外磁场中的相互作用能量又如何呢？
如果我们要计算某电流分布 J 在给定外磁场中的相互作
用能量，以Ae表示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场的电
流分布，则总电流分布为J+Je，总磁场矢势为A+Ae，
1
m1 n
2
m2 n
m1 m 2 注意该式与 n M1 M 2 的异同。 n n
例 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。
解 以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 界条件
n B2 B1 0,
n H 2 H1 0
磁标势。
例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁
场，在这个区域内也可以引入磁标势。
至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发 的，没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至 在空间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。 总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条 件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就 是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。
静电场： D 0 E P 静磁场： B 0 H 0 M 与ρp = -∇⋅P 相对应
D 自由电荷
B 0
不存在自由磁荷。∇⋅B 为自由磁荷密度。
m (0 M ) 0 M
这就是（束缚）磁荷密度。
3. 与静电场的对比 电场
E 0 f p E 0 D 0E P
磁场
H 0 m H 0 B 0 H M
H m
E e
f p e 0 p P
2
m m 0
2
m 0 M
2
l
n
m1
h
H1
m2
H2
n H 2 M 2 n H1 M1
m1 m 2 m n M1 M 2 n n 0
m 0 n M1 M 2
为磁荷面密度
对于线性介质： B
H n B2 B1 0 n 2 H 2 1H1 0
因而不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守
场相似，即在求解区域内
H dl 0,
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
H dlFra Baidu bibliotek 0,
L
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标
势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入
J e (x)dV Ae , 4 r
积分表达式中两项相等，因此电流J在外场Ae中的相互作用 能量为
Wi J Ae dV
§3.2 磁标势
由于 B 0 ，所以任何情况下都可以用矢势A描
述磁场，但解矢势的边值问题是比较复杂的。如果 能引入磁标势的话，问题将变得简单。
A2t A1t
(1)
( A 0)
S
A2 n A1n
（１）、（２）两式合算，得到
(2)
即在两介质分界面上，矢势 A 是连续的。
A2 S A1
(3)
四、静磁场的能量 1. 磁场的总能量
1 B HdV 2 由于 B H ( A) H ( A H ) A ( H ) ( A H ) A J
第三章
流激发的磁场。
静磁场
本章内容： 电磁场的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电 在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上 都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场 和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的 磁场满足：
H J B 0 与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。
量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代
表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。 由矢势 A 可以确定磁场 B ，但是由磁场 B 并不能唯一地 确定矢势A。 例如：有沿Z 轴方向的均匀磁场:
Bx By 0
§3.1 矢势及其微分方程
一、矢势 1. 矢势的概念 恒定电流磁场的基本方程是 上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。 磁场的特点和电场不同： 静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于 负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。
Η J
B 0
静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一
解 铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。 在铁球内由于均匀磁化，则有
磁场的总能量为
1 W总 ( J J e ) ( A Ae )dV 2 1 ( J A J Ae J e A J e Ae )dV 2 所以，电流J在外场中的相互作用能为： 1 Wi ( J Ae J e A)dV 2
由于
J (x)dV A 4 r
可以用较简单的形式A1=A2代替。 将矢势沿闭合回路积分，当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有
L
A dl ( A2t A1t )l
L
A dl B dS 0
S
因此
( A2t A1t )l 0
另外，若取 A 0 ，利用高斯公式，推导，可得
2 取 为泊松方程 u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
二、矢势微分方程
1. A的微分方程 在均匀线性介质内，B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
( A) J
由矢量分析公式 ( A) ( A) 2 A. 得
般情况下不能用标势描述。
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
4. 磁标势的边值关系
L
H dl 0 ( H 2t H1t )l 0 m1 m 2
1
推导时已注意到：l h
又由 n B2 B1 0 B2 n B1n 得
n 0 H 2 M 2 0 H1 M1 0
n ( B2 B1 ) 0 n ( H 2 H1 ) α
将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势的边值关系。
矢势的边值关系为
n ( A2 A1 ) 0
n( 1
2
A2
1
1
A1 ) α
若取规范条件∇⋅A = 0 ，
n ( A2 A1 ) 0
一、引入磁标势的条件 我们考虑在某些条件下是否存在着引入标
势的可能性。 1. 不能引入磁标势的原因 由磁场环路定律得
H dl J dS ,
L S
其中L为S的边界。如果回路L链环着电流，即 有电流穿过L所围曲面S，则
H dl 0,
L
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，
( A) 2 A J
若取A满足规范条件∇⋅A = 0 ，得矢势的微分方程
2 A J
2
( A 0)
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2. 若J已知，求A 的解 ( x ) 1 ( x)dV . 2 对比 4 r 方程 2 Ai J i , (i 1,2,3) 的解应为： J i ( x)dV Ai ( x ) . 4 r 所以方程 2 A J 的解为： J ( x)dV A( x ) . 4 r
以及
B1 H1
B2 0 H 2
可得
0 H 2n H1n
H 2t H1t ,
H 2t 0 H1t 0 H 2 n H1n
两式相除得 式中n和t分别表示法向和切向分量。
因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而 表面为等磁势面。
例 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。
二、磁标势的引入及其方程
1. 磁标势的引入 若对于求解区域内的任何闭合回路，都有 则 仿照 由
H 0
L
H dl 0
引入 ， E 引入 m ， H m
E 0 H 0
引入磁标势以后，也有零势点的选择问题，与 静电场的处理方法类似。
2. 磁荷的概念
其中B0为常量。
Bz B0
由定义式:
Ax B0 x y Az Ay Ax Az 0 y z z x 我们不难看出有解：
Ay
Az Ay 0,
Ax B0 y
同时还可以看出有另一解：
Az Ax 0,
Ay B0 x
3. 确定A的辅助条件
对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 JdV→Idl，得
Idl r B 4 r 3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
三、矢势边值关系
由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁 场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势 微分方程的边值问题，必然要用到矢势的边值关系。 在两介质分界面上磁场的边值关系为
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因为任意函数 ，其梯度的旋度恒为零，故有
( A ) A.
即 A 与 A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，
而每点上的A本身没有直接的物理意义。 由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助
条件。最常用的办法就是令
A 0
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨
论真空情形，令μ=μ0即可。
3. 根据A求B
J ( x)dV B A 4 r 1 ( ) J ( x)dV 4 r J r dV 3 4 r
S S
L
A dl
这就是通过曲面S的磁通量。
设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则
S1
B dS A dl B dS
L S2
这正是B的无源性的表现。
因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线
发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而 通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通
静磁场的总能量为 W总
所以
1 1 W总 ( A H )dV A JdV 2 2 1 1 1 ( A H ) dS A JdV A JdV 2 2V 2V
和静电情形一样，公式：
1 W总 A JdV 2V 仅对总能量有意义，不能把 (A⋅J)/2看作能量密度，因为我