圆孔夫琅和费衍射

r
S
Σ＇ Z＇
二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
公式
E~P
A
i
expikl
l
expikr
r
cos
n,
c
E~Q
expikr
r
K
d
r
-
cos
n,
2
l
d
c 1 ,
E~
Aexp ikl
,
K
cos
n,
r
-
cos
n,
l
i
l
2
三、基尔霍夫衍射公式的近似：
1、傍轴近似：入射光垂直孔径面
K 1, 1 1
2
此即为双缝衍射强度分布公式
六、多缝夫琅和费衍射
N缝衍射的强度分布公式：
I
式中包含两个因子：
I
0
sin
2
sin N
2
sin
2
单缝衍射因子： sin 2
2
多光束干涉因子：
sin
N
2
2
sin
2
说明多缝衍射也是衍射和干涉的共同作用的
结果。此关系具有普遍意义。
七、衍射光栅
1.光栅普遍方程：多缝夫琅和费衍射图样中，亮 线（主极大）位置公式：
dsin i sin m m 0,1,2
2.光栅的色散本领：
角色散：波长相差1A的两条谱线分开的角距离；
线色散：聚焦物镜的焦面上波长相差1A的两条谱 线分开的距离。
d m
dl f d f m
d d cos d d d cos
x rcos cos
f
f
r
Ψ
x
0
y rsin sin
f
f
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
式中是θ衍射角（衍射方向OP与光轴的夹角）
将上列关系代入夫琅和费衍射公式：
E~P
c'
exp
ik
x2 2f
y2
exp
ik
xx1
f
yy1
dx1dy1
由于位相因子
exp
ik
x2 2f
y2
在计算强度时将被消去，可简化而舍去。
c' cA' expikf
f
若圆孔半径为a则
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
E~P
a
c'
2
exp ik r1
cos 1
cos
r1
sin 1
sin
r1dr1d 1
00
即：E~P
c'
a
2
exp
ikr1
cos
1
Fra Baidu bibliotek
r1dr1d
1
00
此关系可以用零阶贝塞尔函数来表示：
J 0 (z)
1
2
2
expiz
0
cos d
z kr1
零阶贝塞尔函数是偶函数，则上式：
E~P
a
2c'
0
J 0 kr1 r1dr1
2c'
k 2
ka
kr1 J 0 kr1 d kr1
0
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
因为
d dz [zJ1(z)] zJ 0 (z)
则
E~P
2c'
a 0
5、夫琅和费衍射公式：
E~x,
y
exp ik z1
iz1
exp
ik 2z1
x2 y2
•
E~x1,
y1
exp
ik z1
xx 1
yy1 dx1dy1
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
1.矩孔： 取矩孔中心作为坐标原点：x1：
b 2
~
b 2
,
y1：
a 2
~
a 2
则 观察屏上的P点的复振幅为
ab
2、菲涅耳近似：
r
z1
1
1 2
r
x
z1
x1 2
y
z12
y1
2
3、菲涅耳衍射公式 ：
E~x,
y
exp ikz1
iz1
E~x1,
y1
exp
ik 2z1
x x1 2
y
y1 2
dx1dy1
三、基尔霍夫衍射公式的近似：
4、夫琅和费近似：
r
z1
x2 y2 2z1
xx1 yy1 z1
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
一、圆孔的夫琅和费衍射公式：
与矩孔的夫琅和费衍射不同的是孔径的形 状，由于是圆孔，故为计算方便，将夫琅
和费衍射公式由直角坐标变换为极坐标即
可得到圆孔的夫琅和费衍射公式：
x1 r1cos 1 x rcos
y1 r1sin 1 y rsin
y
d r1dr1d 1
衍射内容回顾
一、惠更斯－菲涅尔原理
1.内容：“波前上任何一个未受阻挡的点 都可以看作是一个频率（或波长）与入射 波相同的子波源；在其后任何地点的光振 动，就是这些子波叠加的结果。”
dE~2P.表 达cK式： AexpikR expikr d
或：
R
r
Z
RQθ
Σ
r
P
E~P c
E~Q expikr K d
七、衍射光栅
3.光栅的色分辨本领：
A mN
4.光栅的自由光谱范围：
以波长λ的m+1级谱线和λ+Δ λ的m级谱线重合为限。
即 m 1 m m
5.闪耀光栅：
闪耀角与闪耀波长的关系
2dsin nnb
n闪耀波长级数 , λnb对应级数的闪耀波长
§5－5 圆孔的夫琅和费衍射
2
l
sin x
x f
,
sin y
y f
此即为夫琅和费矩孔衍射的强度分布公式。
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍
射
2、单缝衍射
单缝 ：b＞＞a 则x轴有强衍射效应
此时，衍射强度分布公式
I
I
0
sin
2
alk 2
ka 2
sin
x
ka sin
2
五、双缝夫琅和费衍射
强度分布为：
a
b
E~P
五、双缝夫琅和费衍射
缝:β=0，(sin β)/ β=1
则x轴上任一点P的复振幅可以表示为
E~P c'ab sin 1 exp ikld
显然：在x1方向上两个相距为d的平行狭缝，
在P点产生的复振幅有一位相差，其值为
kld 2 d sin
P点的强度为
I
4I
0
sin
2
cos 2
J0
kr1
r1dr1
2c'
k 2
ka
kr1
0
J0 kr1
d kr1
变为
E~P
c'
2
exp
iklx1 dx1
2
exp
iky1 dy1
a
b
2
2
da
b
2
2
c' exp iklx1 dx1 exp iky1 dy1
da
b
2
2
da
c' ab sin
sin
c'b sin
2
exp iklx1 dx1
da
2
c 'ab sin sin [1 exp( ikld )]
b
1 dy1
2
2
sin kla
c 'ab
2
kla
sin kb
2
kb
exp
ik
x2 2f
y2
2
2
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
P点的强度
I
E~E~ *
sin kla
I
0
2 kla
2 sin kb
2
kb
2
2 2
I0
sin
2
sin
2
kla ,
2
kb ,
E~
c f
exp ik f
exp
ik
x2 2f
y
2
2 a
2 b
E~x1
,
y1
•
exp
ik
lx1
y1 dx1dy1
22
平面波入射E~x1 ,
y1
A' ,c'
cA' f
exp ik f
a
b
E~(x,
y)
c'
exp
ik
x2 2f
y2
2
exp -
iklx
a
2
1 dx1 exp- ikly