柯西不等式

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

(0,0)2

a b a b +≥

>>及几种变式.

2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0a d b c -≥ 二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222

()()(

)a c b d a d b c a c b d

=++-≥+. （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量(,)m a b = ，(,)n c d =

，则||m = ，||n = ∵ m n ac bd ∙=+

，且||||cos ,m n m n m n =<> ，则||||||m n m n ≤ . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则

2

2

()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

||ac bd + 或

||||ac bd ≥+

ac bd +.

④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤

. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：上面时候等号成立？（β

是零向量，或者,αβ

共线）

⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d ≥. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：

① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式

2. 作业：教材P 37 4、5题.

教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.

教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？

3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?

要点：利用变式||ac bd +≤.

二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

① 出示例1：求函数y =+

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→ 变式：y = → 推广：(,,,,,)y d a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）222

2

2

2

2

111()(32)(32)13

13

13

x y x y x y +=

++≥

+=

.

讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：

① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：

112x y +≥.

分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：

2

2

2

2

111111()(

)]

22

x y x y x y +=++=

++≥…

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a 、b R +∈，求证：1

1

()()4a b a

b ++≥.

3. 练习：

① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y

+=，则x y +的最小值.

要点：()()a

b x y x y x y

+=+

+=…. → 其它证法

② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）

变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.

3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：

1. 练习：教材P 37 8、9题

2. 作业：教材P 37 1、6、7题