1.第1章 数值分析与科学计算引论

4个
有效数字的等价定义
x (0. a1
用十进制科学计数法，记
k
an an1 ) 10 (a1 0, k是整数)，
1 k n x x * 10 。 2
x * 是 x的 an1 4舍5入得到的近似数，如果
则称 x * 为 近似值。
x
的具有
n
位有效数字的
例4.
* 1
设x 3.95 有3个近似值
*
3.141 592 7 有8位有效数字
*
3.1415 只有4位有效数字
*
例3.
* 1
求下列四舍五入近似值的有效数字个数.
x 0.218
3个
x 218.0
* 4
4个
* x2 0.002 18 3个
* x3 2.180
* x5 2.18 10 2 3个 * x5 0.218 00 106 5个
x 4.0 x 3.9
* 1
* 2
x 4
* 3
1
| x x| |4.0 3.95| 0.05 0.5 10
* | x2 x| |3.9 3.95| 0.05 0.5 101
|4 3.95| 0.05 0.5 101 | x x|
为近似值x *的相对误差限
*
相对误差限
绝对误差限
r
*
*
| x|
往往未知 代替相对误差 代替相对误差限
* * e x x * er * x x*
r*
因此
*
*
|x |
* *
*
x 15 ( x ) 2
y * 1000 * ( y* ) 5
2 (x ) 13.33% 15 5 * * r ( y ) 0.5% 1000
在建模和具体运算过程中所用的数据往 观测误差 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差
截断误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷
过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差. 如:
2 3 x x ex 1 x 2! 3!
y 2 x 3 求解微分方程 y(0) 0
不是数值问题
输入的虽是数据, 但输出的不是数据而是函数y x 2 3 x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y x 2 3 x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),, y( xn ), x1 x2 xn
Leabharlann Baidu 2 10
*
6
2 10 *
* * r
6
*和 r*并不
是唯一的
| e | 2.718 28
2 10 6 6 0.71 10 2.718 28
例2. 若经四舍五入取小数点后3,5,7 位数的近似值, 求绝对误差限 .
解:
*
3.141 592 65
y( x h) y( x) y( x) h
研究数值方法的主要任务:
1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差 分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性
本课程的重点就是对线性方程组、微积分、非线性方 程、及插值、拟合等问题寻找行之有效的数值方法
x 3 x 5 x7 sin x x 3! 5! 7! x2 x3 x4 ln(1 x) x 2! 3! 4!
Taylor展开
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
在数值计算过程中还会遇到无穷小数, 舍入误差 因计算机受到机器字长的限制,它所能 表示的数据只能有一定的有限位数,如 按四舍五入规则取有限位数,由此引起 的误差 3.1415927 3.14159265
数值分析研究的是用计算机求解各种问题的 数值计算方法及其理论与软件实现
§
1.2
数值问题与数值算法
一、数值问题
数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关 系的一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题
如求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax 2 bx c 0
是数值问题
e* x* x 为近似值x*的绝对误差, 简称误差.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法知道的
因此 e x x 往往也无法求出
* *
而只能知道 e* x* x 绝对值的某个上界,即
| e || x x |
* *
* *
*
数值 称为x 的 绝对误差限或误差限,
准确值 x 的范围 显然 * 0 * * * * x x x 且 工程上常记为 1 或 x x* * x2
三、数值算法 数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.
数值算法有四个特点:
1.目的明确 算法必须有明确的目的,其条件 和结论均应有清楚的规定 2.定义精确 对算法的每一步都必须有精确的定义
3.可执行
算法中的每一步操作都是可执行的
4.步骤有限 算法必须在有限步内能够完成解 题过程
例1. 给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法 解:
2 1.414213562
1 1 0.166666666 3! 6
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
数值计算中误差是难以避免的.数学模型一旦建立, 进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和 舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得 惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的 研究对象. 二、误差和误差限 定义1. 设x为准确值, x *为x的一个近似值, 称
1. 取N 0, S 0
记数器置零
2. N 1 N , S N S
3. 若N 10000, 转2，否则
4. 输出N , S
1.3 误差 § 一、误差的种类及来源 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 模型误差 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别.
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业占20%
3.课程讨论占10%
学习和了解科学计算的桥梁
1 第1章
2 第5章 4 第3章
数值分析与科学计算引论
线性方程组的直接法 函数逼近与曲线拟合
3 第2章 插值法
5 第4章 数值积分与数值微分 6 第7章 非线性方程与方程组的数值解法 7 第6章 线性方程组的迭代法
例如：
e
0
dx 0.743 0.006
若对于 x 15 2
y 1000 5
x 15
*
* ( x* ) 2
y 1000
*
(y ) 5
* *
哪个更精确呢? x * 15吗？
定义2. 设x为准确值, x 为x的一个近似值, 称 * * e x x * er x x relative 为近似值x*的相对误差. error * x x * e r* x
从以上分析可见,四舍五入的近似值的数字都是有效数字 而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字
有效数字与相对误差之间的关系
定理 设 x 的近似值 x * 有表达式
x* 10k 0.a1a2
ai
（1）如果 x * 有 n 位有效数字，则
R
x x* 1 101 n ; x* 2a1
有效数字的位数越多， 相对误差限就越小
有效数字的位数 估计相对误差限
（2）如果
x x* 1 R 101 n， （1.2.3） x* 2 （a1 1 ）
则 x *至少具
n 位有效数字。
相对误差限估计有 效数字的位数
相对误差限越小， 有效数字的位数 就越多
例 已知近似数 x * 的相对误差界为0.3%， 问 x * 至少有几位有效数字？ 解 设 x * 有 n 位有效数字，由于 x * 的第一个有效数 a1 没有具体给定，而我们知 ，9中的一个，由 道 a1 一定是1，2，
* r *
例1.已知e 2.718 281 82
* *
, 其近似值为e* 2.718 28,
* r
求e 的绝对误差限 和相对误差限 .
解:
绝对误差 E e * e
0.000 001 82 |E| 0.000 001 82 0.000 002 2 10 6
要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算
如求根公式 应化为公式
x1 , 2
b b 2 4ac 2a
x1 , 2
b sqrt(b 2 4ac) 2a
2 n x x x e 1 x 2! n!
超越函数e
x
应化为
函数y( x)的导数y( x)的计算应化为
| * |
3.142
0.000 407
0.000 002 65
0.5 10 3 0.5 10 5 0.5 10 7
* 3.141 59
3.141 592 7
*
0.000 000 04
可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位
教材 (Text Book) 数值分析 第5版
李庆扬等
清华大学出版社
参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific
Computing
(Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
8 第8章
矩阵特征值计算
第1章 数值分析与科学计算引论
Ax b
i 2 ,3 , , n
§
1.1
数值分析的对象、作用与特点
1.2 数值问题与数值方法
§
a11 a21 A an 1
a12 a1 n a22§ 1.3 a2 n 数值计算的误差 i 1 bi lij x j j 1 an 2 ann x i lii
本章要点:
绝对误差(限)和相对误差(限)
有效数字位数及其与误差的关系
数值问题的性态与误差的关系 数值算法设计原则
本章作业
P19. 复习与思考题 习题
§ 1.1 数值分析的对象、作用与特点
以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历 三个过程: 总体设计——模型的细化
详细设计——主要为算法设计
程序设计
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是数值分析的任务之一
二、数值方法
是指解数值问题的在计算机上 数值方法: 可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式
现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()
常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值分析
冯果忱等
高等教育出版社
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
* 3
即x , x 都具有两个有效数字
* x3 也至少具有两个有效数字吗? 实际上只1有个
* 1
* 2
例5. 判断x 1000的下面两个近似值的有效数字位数 :
x 999.9 0.9999 10
* 1
3
* x2 1000.1 0.10001 10 4 * |E1 | |x1 x| 0.1 0.5 100 * |E2 | |x2 x| 0.1 0.5 100 * * 所以x1 有3位有效数字 而x2 却有4位有效数字
四、有效数字
定义3.若x 作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不
*
超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x 的第 一位非零数字共有n位, 则称用x * 近似x时具有n位 有效数字, 简称x *有n位有效数字.
*
3.141 592 65
* 有 4 位有效数字 3.141 59 有6位有效数字 3.142