1.第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
《数值分析》第1章 引言
( 1.2)
可见结果是相当精确的.实际上结果的六位数字都是正确的.
2 算法常表现为一个连续过程的离散化
例2 计算积分值
1
I
1
dx
0 1 x
编辑ppt
结束
将［0，1］分为4等分，分别计算4个小曲边梯形的面积的 近似值，然后加起来作为积分的近似值(如图1-1).记被积 函数为 f(x) ，即 f (x) 1
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科 学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计
上机计算
编辑ppt
问题的解 结束
其中算法设计是数值分析课程的主要内容.
数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法.包含 了数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求 逆、矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、 常微分方程及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究 方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此 它是数学的分支之一.
误差限：*|e*|的一个上 . 界
例如，毫 76米 5x尺 0.5
在工程中常记为：x= x*± *.
如 l=10.2±０.０５mm ，R=1500±100Ω
编辑ppt
2、相对误差与相对误差限 误差不能完全刻画近似值的 精度.如测量百米跑道产生10cm的误差与测量一个课桌长度 产生1cm的误差，我们不能简单地认为后者更精确，还应考 虑被测值的大小.下面给出定义：
误差分析是一门比较艰深的专门学科.在数值分析中主要 讨论截断误差及舍入误差.但一个训练有素的计算工作者， 当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源， 并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改.
第1章数值分析与科学计算引论
第1章数值分析与科学计算引论数值分析与科学计算是一门研究数学建模和计算方法的学科，它是为了解决数学问题而发展起来的。
随着计算机技术的进步，数值分析和科学计算得到了广泛的应用。
本文将介绍数值分析与科学计算引论的一些基本概念和主要内容。
首先，数值分析是研究利用数字计算方法来求解数学问题的一门学科。
在实际问题中，很多数学问题是无法用解析方法求解的，数值分析就提供了一种有效的求解方法。
数值分析主要包括数值计算方法、误差分析和计算机算法等内容。
其次，科学计算是利用计算机技术来求解科学技术问题的一种方法。
科学计算可以帮助我们解决大规模的数学问题，提高计算的准确性和效率。
科学计算的主要内容包括建立数学模型、选择合适的数值方法、编写计算程序等。
数值计算方法是数值分析和科学计算的核心内容之一、数值计算方法是为了解决无法通过解析方法求解的数学问题而发展起来的。
常见的数值计算方法包括插值法、数值微积分、数值线性代数、数值最优化等。
这些方法可以通过迭代计算、数值逼近、数值积分等方式来求解问题。
计算机算法是科学计算的重要组成部分。
计算机算法是一种操作序列，它描述了如何通过计算机程序来解决数学问题。
好的算法可以提高计算的效率和准确性，而不良的算法则可能导致计算结果的错误和不稳定。
因此，我们需要选择合适的算法来解决具体的问题。
总之，数值分析与科学计算是一门涉及数学、计算机科学和应用科学的交叉学科。
它通过建立数学模型、选择合适的数值方法，利用计算机技术来求解科学技术问题。
数值分析与科学计算引论介绍了数值计算方法、误差分析和计算机算法等基本概念和主要内容，并为后续的深入学习打下了基础。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e∗（x为准确值）：e∗=x∗−x近似值的误差限ε∗：|x∗−x |≤ε∗近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：e r∗=e∗x≈e∗x∗近似值相对误差限εr∗：εr∗=ε∗|x∗|函数值的误差限ε∗(f(x∗))：ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：ε∗=12×10m−n+1εr∗=ε∗|x∗|≤12a1×10−n+1第二章：插值法1.多项式插值P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1⋮a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值L n(x)=∑y k l k(x)nk=0=∑y kωk+1(x)(x−x k)ωn+1′(x k) nk=0n次插值基函数：l k(x)=(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n),k=0,1,⋯,n引入记号：ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)3.牛顿插值多项式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1]x n−x0余项：R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）：P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+⋯+t(t−1)⋯(t−n−1)n!∆n f0n阶差分：∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项：R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1(n+1)!f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n)5.泰勒插值多项式：P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nn阶重节点的均差：f[x0,x0,⋯,x0]=1n!f(n)(x0)6.埃尔米特三次插值：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为：P′(x1)=f′(x1)7.分段线性插值：Iℎ(x)=x−x k+1x k−x k+1f k+x−x kx k+1−x kf k+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：S(x)=∑a jφjnj=02.范数：‖x‖∞=max1≤i≤n |x i| and maxa≤i≤b|f(x)|‖x‖1=∑|x i|ni=1 and∫|f(x)|badx‖x‖2=(∑x i2ni=1)12 and (∫f2(x)badx)123.带权内积和带权正交：(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)mi=0 and ∫ρ(x)f(x)φk(x)badx(f(x),g(x))=∫ρ(x) f(x)g(x)dxba=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（∞-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖∞=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖∞最佳平方（2-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖22=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖22最小二乘拟合（离散点）P∗(x)：‖f−P∗‖22=minP∈Φ‖f−P∗‖225.正交多项式递推关系：φn+1(x)=(x−αn)φn(x)−βnφn−1(x)φ0(x)=1,φ−1(x)=0αn=(xφn(x),φn(x))(φn(x),φn(x)),βn=(φn(x),φn(x))(φn−1(x),φn−1(x))6.勒让德多项式：正交性：∫P n(x)P m(x)dx 1−1={0 ,m≠n22n+1, m=n奇偶性：P n(−x)=(−1)n P n(x)递推关系：(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )−nP n−1(x)7．切比雪夫多项式：递推关系：T n+1(x )=2xT n (x )−T n−1(x )正交性：∫n m √1−x 21−1=∫cos nθcos mθπdx ={0 , m ≠n π2 , m =n ≠0π , m =n =0T n (x )在[−1，1]上有n 个零点：x k =cos2k −12nπ,k =1,⋯,n T n+1(x )在[a,b ]上有n +1个零点：（最优一致逼近）x k =b −a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a2,k =0,1,⋯,n 首项x n 的系数：2n−18.最佳平方逼近：‖f (x )−S ∗(x)‖22=min S(x)∈φ‖f (x )−S(x)‖22=min S(x)∈φ∫ρ(x)[f (x )−S (x )]2dx ba法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交函数族的最佳平方逼近：a k ∗=(f,φk )(φk ,φk )9.最小二乘法：‖δ‖22=min S(x)∈φ∑ω(x i )[S (x i )−y i ]2mi=0法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交多项式的最小二乘拟合:a k∗=(f,P k )(P k ,P k )第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有m 次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立∫f(x)dx b a=∑A k f(x k )nk=02.插值型求积公式I n =∫L n (x)dx b a=∑∫l k (x)dx baf(x k )nk=0=∑A k f(x k )nk=0R [f ]=∫[f (x )− L n (x)]dx ba =∫R n (x)dx ba =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x)dx ba3.求积公式代数精度为m 时的余项R [f ]=∫f (x )dx ba −∑A k f (x k )nk=0=1(m +1)![∫x m+1dx ba−∑A k x k m+1nk=0]4.牛顿-柯特斯公式：将[a,b ]划分为n 等份构造出插值型求积公式I n =(b −a)∑C k (n)f(x k )nk=05.梯形公式：当n=1时，C 0(1)=C 1(1)=12T =b −a 2[f (a )+f(b)],R n (f )=−b −a12(b −a )2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0(2)=16,C 1(2)=46,C 2(2)=16S =b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f(b)],R n (f )=−b −a 180(b −a 2)4f (4)(η) 7.复合求积公式：ℎ=b−a n,x k =a +kℎ,x k+1/2=x k +ℎ2复合梯形公式：T n =ℎ2[f (a )+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 12ℎ2f ′′(η)复合辛普森公式：S n =ℎ6[f (a )+4∑f(x k+1/2)n−1k=0+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 180(ℎ2)4f (4)(η)8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：（1）求高斯点（x k ）：令 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )与任何次数不超过n 的多项式p(x)带权ρ(x)正交，即则∫p(x)ωn+1(x )ρ(x)dx ba =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1⋯x n 。
数值分析第五版1-3章
* r
1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r
1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)
n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
第1章 数值分析引论
数值分析
15
§3 误差定性分析、避免误差危害
误差分析简介(p8): 概率分析法
向后误差分析法
x g (a1,, an )， x fl g (a1 1,, an n ).
区间分析法
x [ , ], y [ , ], xy
数值分析
2
三. 数值分析的特点p3
1、面向计算机 2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性 3、良好的计算复杂性 4、数值实验
数值分析
3
四、数值分析的研究内容和研究方法 研 究 内 容
1、数值逼近 插值法 函数逼近与曲线拟和 数值积分与数值微分 2、数值代数 线性代数问题(方程组和特征值) 非线性方程(组)数值解法
* I1 * I0
We just got lucky?
1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1
数值分析
20
考察反推一步的误差：
1 1 1 * | E N 1 | (1 I N ) (1 I N ) | E N | N N N
10
一般C p 10认为是病态.
其他计算问题也要考虑 条件数, 考虑是否病态 .
数值分析
22
三、避免误差危害的若干原则
除了分清问题是否病态和算法是否数值稳定外,还要考 虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则. 1.避免‘大数’除以‘小数’ 例6 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
数值分析复习大纲及课后答案
数值分析复习大纲编者：向穗华时间：2010.5教材：《数值分析（第5版）》. 李庆扬，王能超等编著. 2008年12月第5版.第1章 数值分析与科学计算引论1.1 知识要点总结1. x ：准确值2. *x ：近似值3. *e ：绝对误差 x x e -=**4. *ε：误差限 **ε≤e5. *r e ：相对误差 ***xe e r = 6. *r ε：相对误差 ***x r εε=7. *x 具有n 位有效数字，则：)101010(10)1(23121*----⨯++⨯+⨯+±=n n m a a a a x1*1021+-⨯≤-n m x x 1*1021+-⨯=n m ε )1(1*1021--⨯≤n r a ε 8. 误差))(()()(***x x x f x f x f -'≈-误差限 )()())((***'=x x f x f εε9. 误差10≤E E n ，则数值稳定10. 计算函数值问题的条件数10)()(***≥'=x f x f x C p ，则问题是变态的。
11. 避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两相近数相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数。
12. 秦九韶n n n n a x a x a x a x p ++++=--1110)( ，求)(*x p 和)(*x p ' 由⎩⎨⎧+==-ii i a x b b a b *100⇒n b x p =)(* 由⎩⎨⎧+==-ii i b x c c b c *100⇒1*)(-='n c x p 1.2 课后习题参考答案1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：令)ln()(x x f =x 的相对误差为δ ∴δ=-=***xx x e r )(x f 的误差为δ=-=-'≈-*****))(()()(x x x x x x f x f x f 所以，ln x 的误差为δ2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
数值分析第一章
x1系数 a3 3 b2 x* 10 b3 7 c2 x* 42 c3 49 p(2)
常数项 a4 4 b3 x* 14 b4 10
1.4
数值计算中算法设计的技术
迭代法与开方求值 以直代曲与化整为“零” 加权平均的松弛技术
2
ε x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 ε * |x |
* r
1.2 数值计算的误差
有效数字 /* significant digits */
* m 用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10（其中 a1 0 ）。若 | x x* | 0.5 10mn（即 a n 的截取按四舍五入规则），则称 x * 为有n 位有效数字，精确到 10m n 。 897932 ; * 3.1415 例 3.1415926535
对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病
态问题.
例如计算函数值 f ( x)x*)的相对误差为 x
f ( x) f ( x*) f ( x)
1.3 避免误差危害的若干原则
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 an 10 2 0 .a1 1 10 n1 2a1
1.2 数值计算的误差
相对误差限 有效数字
已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 10m 2(a1 1)
算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以
大量节省计算时间.
多项式求值的秦九韶算法
同济大学 工程数学 第1章 数值分析与科学计算引论PPT课件
13
2021年3月19日
4.战争的预测与评估问题
甲乙双方军备竞赛的数学模型:
dx dt
cx
ay
(1)
dy
dt
bx
dy
微分方程模型！
14
2021年3月19日
第一章 绪论
❖ 1.1 计算方法的意义 ❖ 1.2 误差及有关概念 ❖ 1.3 数值计算中必须注意的几个原则
1.1 计算方法的意义
主要内容：
❖ 实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
__
(x)
x
__
x x
__
__
x
x
作为 x的相对误差.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作 r ， 即 r
__
.
|x|
根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
x
__
10%,
x
y
__
0.5%
y
可见 _y近_ 似 的y程度比 近_x_似 的程x度好.
❖ 通常准确值x 是未知的， 因此误差 也x 是未知的.
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
上界，即
__
x x x
则 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x，读出和该长
__
度接近的刻度 x，
_x_是
x的近似值， 它的误差限是 0 .5 m，m
于是
课程简介
科学和工程计算是工程类硕士研究生的一 门应用性很强的 重要基础课程，是计算机 科学的重要内容。 科学计算是工程实践的重要工具，本课程 主要研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法 及其理论，简称数值计算方 法或数值分析。
数值分析第1章
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.
1.2.3 数值运算的误差估计
两个近似数 x1*与 x2* ，其误差限分别为 (x1* ) 及 (x2* ) ，
它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为
(x1* x2* ) (x1* ) (x2* );
(x1* x2* ) x1* (x2* ) x2* (x1* );
4
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
5
1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
π 3.1416 1 104. 2
18
定义2 若近似值 x *的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效 数字.
表示为
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ), （2.1）
因为按第一种写法
g 9.80 1 102 , 2
按(2.1)的表示方法， m 0, n 3, 按第二种写法
g 0.00980 1 105 , 2
第1章_数值分析与计算科学引论
误差来源与分类
在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽 象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别.—模型误差
在建模和具体运算过程中所用的数据往往 是通过观察和测量得到的,由于精度的限制, 这些数据一般是近似的,即有观测误差
误差来源与分类
如:
或
x x s*ize of the exact value.
误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏.
若对于 x 15 2
x* 15
(x*) 2
y 1000 5 y* 1000
定义2哪. 个设更x为精准确N确呢Soinwa值f?eyoDrIr…rBow,moxnuxrowa*’t*uott为 bhwilftodeaeh2ncntlxa0al’1id的 tcutsmmoks5cteeeh一 ai±吗 sn…lieltdt’1个 rhistecoa？5lmsfta近i%mt5?i%v似 pele(值 . y
数值运算的误差估计
问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x) Mean Value e*(x) = x* x
Theorem
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
* 3.141 592 7 有8位有效数字
* 3.1415 只有4位有效数字
有效数字
x的近似值 x*可以表示成下列形式：
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) 其中a（i i 1, , n) 是0到9中的一个数字。
第1章 数值分析与科学计算引论
di xi , d
得到的矩阵。
i 1,2, , n,
其中： d det A ， d i det Ai ，这里 Ai 是将 A 的第 i 列换为 b 而
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这一结果把线性方程组的求解问题归结为计算 n+1 个 n 阶行列式的问题。而对于 n 阶行列式的计算，理论上又有著名 的 Laplace 展开定理：
d det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
其中 Aij 表示元素 aij 的代数余子式。按照这一定理我们就可以 从二阶行列式出发，逐步递推地计算出任意阶行列式的值。这 样，理论上我们就有了一种非常漂亮的求解线性方程组的方 法。然而我们做一简单的计算就会发现，由于这一方法的运算 量大的惊人，以至于完全不能用于实际计算。
它不是数值问题，因为输出不是数据而是连续函数y=y(x). 但 只要将连续问题离散化，使输出数据 是y(x)在求解区间[a, b] 上的离散点xi=a+ih(i=1,2,…,n)上的近似值，就是 “数值问 题”.数值问题可用各种数值方法求解，这些数值方法就是算 法.计算方法就是研究各种“数值问题”的算法.
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对解同一问题的不同算法其计算复杂性可能差别
很大，例如解n阶的线性方程组，若依照克拉默
(Cramer)法则用行列式算法，在“线性代数”课程中
只介绍解的存在唯一性及有关理论和精确解法，用这
些理论和方法还不能在计算机上解上百个未知数的方
程组，更不用说求解十几万个未知数的方程组了。
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例如，线性方程组的 Gramer 法则表明：如果 n 阶线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 非奇异， 则此方程组 有唯一的解，并且其解可以通过系数表示为：
第一章数值分析与科学计算引论
第一章 数值分析与科学计算引论1.1误差采用数值方法求解问题，获得的是近似解。
若近似程度满足不了实际问题的需要，这方法就将失效。
因此构造一个合理的数值方法时必须注重误差分析，注意误差的影响. 1.1.1误差来源(1) 模型误差：数学描述与实际问题之间的误差(2) 观测误差： 数值问题的原始数据，一般由观测或实验手段获得。
由于测量或实验工具的精度有限，因此总有误差。
(3) 截断误差：实际计算只能用有限次运算来完成，而理论上的精确值往往要求用无限的过程来实现，因此需要将无穷过程进行截断。
这样产生的误差通常称作截断误差(与具体算法有关)。
如：!201!21!111++++≈ e 产生的误差. (4) 舍入误差：计算机数系是有限集。
因此大多数数只能用计算机数系中和它们比较接近的数来表示。
由此而产生的误差就是舍入误差，如：取14159265.3≈π产生的误差。
每一步的舍入误差虽是微不足道的，但经过计算过程的传播和积累，舍入误差甚至可能会“淹没”所要求的真解。
从上述四种误差的来源来看，模型误差和观测误差往往是科学计算工作者不能独立解决的，甚至是尚待解决的问题。
因此在数值计算过程，一般只讨论截断误差和舍入误差，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，研究控制它们的影响以保证最终结果有足够的精度，既希望解决问题的算法简便而有效，又使最终结果准确而可靠。
1.1.2 绝对误差和相对误差为了刻划近似数的精确程度，引入绝对误差和相对误差的概念。
绝对误差：设数x 精确值，*x 为其近似值，*x x e -=称为近似数*x 的绝对误差。
绝对误差限：准确值x 是未知的，因此绝对误差e 也是未知的。
因此我们常常设法估计x 的取值范围，即求出一个正数ε使ε≤-=||||*x x e称ε为近似值*x 的绝对误差限或精度。
则有：εε+<<-**x x x 或表示成: ε±=*x x 相对误差:***x x x x x e r --=或相对误差限r ε： r r e ε≤ 注：1、绝对误差限与相对误差限惟一；2、绝对误差限与相对误差限越小，近似值的近似程度越高；3、实际中通常按四舍五入取近似值。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似 解与精确解之间的误差。
近似值的误差：（.为准确值）：e*-x*-x近似值的误差限一： 1疋近似值相对误差（较小时约等）近似值相对误差限 ：函数值的误差限 :苗⑺“ Ifool 叱）近似值；一士心:化叙…®）"八■有n 位有效数字:第二章：插值法P (对J =0.1/*%?] Oo + %呵+…+偽！曙=九 % +如股+…+ %!珥=Y1 % +舸斗1 +…+ %坊=儿 2•拉格朗日插值 (x- x k )6J n+1(x k ) .次插值基函数: (X- x)-(x-x fc -i)(x-曲十 1)…a — X JJ ) (Xk - X 0)-(X k - X k_i) (x k - x k¥1)-(x k - X…)1•多项式插值其中:P(x) = a()+ OjX + …+ a n ^I>k — O.L —.n = _xl(r -n+l引入记号:^n+l(X)={X-Xo)(A?-粗)…(#- Xj余项：=f(x} - SG)=:;:;詁+W > 5 e 3：3•牛顿插值多项式： ^nW = /（^0）+f 必珀（"叼）+・”+/■［和巧严如（龙-坯”心-*_』〔阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边） ：店”“皿］丿杯Fmr gd余项:4•牛顿前插公式（令心'小，计算点值，不是多项式）：PQ +t h ）=/o +帧 + 忖A 讥 + - + 心1）：：*%°〔阶差分：AVo = A n "7i -余项：严（和E 3J5•泰勒插值多项式:•阶重节点的均差:6.埃尔米特三次插值：p （x ） -f （^X Q ）十打和尤』仗—如+f 1叼公1也］（JC-衍）（工一 Xi ） +人（尤-叼）（黑-衍）o — x 2）其中，A 的标定为：咋沪f （社）7.分段线性插值:第三章：函数逼近与快速傅里叶变换p n (x) = 7(X Q ) + f(x Q )(x -和)+ “•+警(U血屯“匈1.-:-属于’.维空间：5(玄)=。
数值分析-第五版-考试总结培训资料
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第八章 矩阵特征值计算 1.格什戈林圆盘：以 为圆心，以 为半径的所有圆盘
2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：
3. 有 个圆盘组成一个连通的并集 ， 与和余下 的 个特征值。 4.幂法：
设 的特征值满足条件： 任取非零向量 ，构造向量序列， 假设：
个圆盘是分离的，则 内恰包含
第七章 非线性方程与方程组的数值解法 1.二分法：1）计算 在有根区间 的端值 ,
2）计算区间中点值
3）判断 2.不动点迭代法：
或者
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3.不动点迭代法收敛：
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4. 在 上存在不动点 ：（压缩映射）
5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：
7.复合求积公式：
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复合梯形公式： 复合辛普森公式：
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8.高斯求积公式（求待定参数 和 ）： （1）求高斯点（ ）：令
与任何次数不超过 的多项
式 带权 正交，即则 。
，由 个方程求出高斯点
（2）求待定参数 ： 9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为 式的高斯点。
数值分析-第五版-考 试总结
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第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似解与精确解之间的误差。 近似值的误差 （ 为准确值）：
近似值的误差限 ：
近似值相对误差 （ 较小时约等）：
近似值相对误差限 ：
函数值的误差限 近似值
： 有 n 位有效数字：
1.多项式插值 其中：
第二章：插值法
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第三章：函数逼近与快速傅里叶变换 1. 属于 维空间 ：
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考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业占20%
3.课程讨论占10%
学习和了解科学计算的桥梁
1 第1章
2 第5章 4 第3章
数值分析与科学计算引论
线性方程组的直接法 函数逼近与曲线拟合
3 第2章 插值法
5 第4章 数值积分与数值微分 6 第7章 非线性方程与方程组的数值解法 7 第6章 线性方程组的迭代法
| * |
3.142
0.000 407
0.000 002 65
0.5 10 3 0.5 10 5 0.5 10 7
* 3.141 59
3.141 592 7
*
0.000 000 04
可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值分析
冯果忱等
高等教育出版社
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
*
3.141 592 7 有8位有效数字
*
3.1415 只有4位有效数字
*
例3.
* 1
求下列四舍五入近似值的有效数字个数.
x 0.218
3个
x 218.0
* 4
4个
* x2 0.002 18 3个
* x3 2.180
* x5 2.18 10 2 3个 * x5 0.218 00 106 5个
x 3 x 5 x7 sin x x 3! 5! 7! x2 x3 x4 ln(1 x) x 2! 3! 4!
Taylor展开
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
在数值计算过程中还会遇到无穷小数, 舍入误差 因计算机受到机器字长的限制,它所能 表示的数据只能有一定的有限位数,如 按四舍五入规则取有限位数,由此引起 的误差 3.1415927 3.14159265
2 1.414213562
1 1 0.166666666 3! 6
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
数值计算中误差是难以避免的.数学模型一旦建立, 进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和 舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得 惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的 研究对象. 二、误差和误差限 定义1. 设x为准确值, x *为x的一个近似值, 称
* r *
例1.已知e 2.718 281 82
* *
, 其近似值为e* 2.718 28,
* r
求e 的绝对误差限 和相对误差限 .
解:
绝对误差 E e * e
0.000 001 82 |E| 0.000 001 82 0.000 002 2 10 6
* 3
即x , x 都具有两个有效数字
* x3 也至少具有两个有效数字吗? 实际上只1有个
* 1
* 2
例5. 判断x 1000的下面两个近似值的有效数字位数 :
x 999.9 0.9999 10
* 1
3
* x2 1000.1 0.10001 10 4 * |E1 | |x1 x| 0.1 0.5 100 * |E2 | |x2 x| 0.1 0.5 100 * * 所以x1 有3位有效数字 而x2 却有4位有效数字
教材 (Text Book) 数值分析 第5版
李庆扬等
清华大学出版社
参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific
Computing
(Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
数值分析研究的是用计算机求解各种问题的 数值计算方法及其理论与软件实现
§
1.2
数值问题与数值算法
一、数值问题
数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关 系的一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题
如求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax 2 bx c 0
是数值问题
要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算
如求根公式 应化为公式
x1 , 2
b b 2 4ac 2ac) 2a
2 n x x x e 1 x 2! n!
超越函数e
x
应化为
函数y( x)的导数y( x)的计算应化为
y 2 x 3 求解微分方程 y(0) 0
不是数值问题
输入的虽是数据, 但输出的不是数据而是函数y x 2 3 x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y x 2 3 x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),, y( xn ), x1 x2 xn
有效数字的位数越多， 相对误差限就越小
有效数字的位数 估计相对误差限
（2）如果
x x* 1 R 101 n， （1.2.3） x* 2 （a1 1 ）
则 x *至少具
n 位有效数字。
相对误差限估计有 效数字的位数
相对误差限越小， 有效数字的位数 就越多
例 已知近似数 x * 的相对误差界为0.3%， 问 x * 至少有几位有效数字？ 解 设 x * 有 n 位有效数字，由于 x * 的第一个有效数 a1 没有具体给定，而我们知 ，9中的一个，由 道 a1 一定是1，2，
三、数值算法 数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.
数值算法有四个特点:
1.目的明确 算法必须有明确的目的,其条件 和结论均应有清楚的规定 2.定义精确 对算法的每一步都必须有精确的定义
3.可执行
算法中的每一步操作都是可执行的
4.步骤有限 算法必须在有限步内能够完成解 题过程
例1. 给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法 解:
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是数值分析的任务之一
二、数值方法
是指解数值问题的在计算机上 数值方法: 可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式
现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()
常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等
在建模和具体运算过程中所用的数据往 观测误差 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差
截断误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷
过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差. 如:
2 3 x x ex 1 x 2! 3!
1. 取N 0, S 0
记数器置零
2. N 1 N , S N S
3. 若N 10000, 转2，否则
4. 输出N , S
1.3 误差 § 一、误差的种类及来源 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 模型误差 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别.
四、有效数字
定义3.若x 作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不
*
超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x 的第 一位非零数字共有n位, 则称用x * 近似x时具有n位 有效数字, 简称x *有n位有效数字.
*
3.141 592 65
* 有 4 位有效数字 3.141 59 有6位有效数字 3.142
x 4.0 x 3.9
* 1
* 2
x 4
* 3
1
| x x| |4.0 3.95| 0.05 0.5 10
* | x2 x| |3.9 3.95| 0.05 0.5 101
|4 3.95| 0.05 0.5 101 | x x|
2 10
*
6
2 10 *
* * r
6
*和 r*并不
是唯一的
| e | 2.718 28
2 10 6 6 0.71 10 2.718 28
例2. 若经四舍五入取小数点后3,5,7 位数的近似值, 求绝对误差限 .
解:
*
3.141 592 65
y( x h) y( x) y( x) h
研究数值方法的主要任务:
1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差 分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性
本课程的重点就是对线性方程组、微积分、非线性方 程、及插值、拟合等问题寻找行之有效的数值方法
本章要点:
绝对误差(限)和相对误差(限)
有效数字位数及其与误差的关系
数值问题的性态与误差的关系 数值算法设计原则
本章作业
P19. 复习与思考题 习题
§ 1.1 数值分析的对象、作用与特点
以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历 三个过程: 总体设计——模型的细化