矩阵的初等变换与初等矩阵52页PPT
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1-3.矩阵的初等变换与矩阵的等价PPT
r2 4 r3 r3 0 2r1 B2 r4 6 3r1 3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
1 2 1
1 r3 r4 0 B3 r4 2r3 0 0
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
r1 r2
2 3 1 1 3 6 9 7
4 2 B1 2 9
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
1 0 例如， B 5 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 3 3 F 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0
思考题解答
解
将 II 的通解代入 I 得
k2 k1 2k2 0 k k . 1 2 k1 2k2 k2 0
故 II 与 I 的公共解为
k1 0,1,1,0 k2 1,2,2,1 k2 1,1,1,1
T T T
r4 r3
三、小结
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2ri k ci k ; 3ri krj ci kc j .
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
《矩阵的初等变换》课件
《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换，简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列 等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例： 高斯消元法，最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，初等矩阵 的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的 解的个数和性质.
应用举例：高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简 化阶梯形，进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题，如计算机图形学中 的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式，标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用，理解矩阵的初等变换与线性方程组的关 系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
大学线性代数课件-矩阵的初等变换
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
即存在有限个初等方阵P1, P2,, Pl , 使
P1P2 Pr EPr1Pl A
即
A P1P2 Pl .
推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是: 存在
m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵Q,使 PAQ B.
利用初等变换求逆阵的方法： 当 A 0时，由 A P1P2Pl，有
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、对调两行或两列
对调 E 中第 i, j 两行，即 (ri rj )，得初等方阵
1
1
01
第
i
行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大.
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩ห้องสมุดไป่ตู้ B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
第6讲矩阵的初等变换与初等矩阵
1 ... 1 E(i(k)) = k 1 ... 1
1 1 ... ... 1 k 1 or E ( ij ( k )) = E ( ij ( k )) = ... ... k 1 1 ... ... 1 1
第六讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵
矩阵的初 第一节 等 变 换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理 论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例：用消元法解下面的线性方程组
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 4x − 6x + 2x − 2x = 4 2 3 4 1 3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9 2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 方 程组 的增 广矩 B = 阵 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9
(1) r1 −r2 −r3 1 (2) r2 −r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
1 1 0 0
0 1 0 0
−2 1 −1 1 0 1 0 0
−1 0 −1 0 0 1 0 0
4 0 −3 0
4 3 −3 0
x1 = x3 + 4 令 即 程 的 为 x2 = x3 + 3 x3 = c， 方 组 解 ： x4 = −3
设矩阵Am×n，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k))， En(i(k))，Em(ij(k))， En(ij(k))，则可以验证：
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
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行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
2x2 x3 x2 2x3
0
1
1 2
x3 0
3
由③得 x3 0 ,代入②,得 x2 0 ;以 x2 0 ,x3 0
代入①,得 x1 1 ,于是得方程组的解:
第二章 矩阵的运算
6
2、矩阵的初等变换
定义9 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所
（ i行 第 k ,记 乘 r i 作 k ）
3把某一行所有 k倍元 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
x1 x
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； ( i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
就称这两个线性方程组等价
第二章 矩阵的运算
9
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 2 3 4 2
B 1 2 1 1 2 2 8 2
r1 r2 r3 2
1 2 1 1
2 3 4 2 B1
1 1 4 1
第二章 矩阵的运算
10
1 2 1 1
B1 2 3 4 2
1 1 4 1
r22r1 1 2 1 1
第二章 矩阵的运算
5
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 3 4 2 B 1 2 1 1
2 2 8 2
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．即
(1)交换两行; (2)某一行乘以常数k;
(3)某一行乘以常数k加到另一行.
一、矩阵的初等变换
1、引例 求解线性方程组
x21x1 2x32x2x34x312
1 2
(1)
2x1 2x2 8x3 2
3
分析：用加、减消元法解下列方程组,观察其过程．
第二章 矩阵的运算
1
解
(1)
1 2 3 2
x21x1 2x32x2x34x312 x1 x2 4x3 1
1
2 (B1 )
3
所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
第二章 矩阵的运算
16
例2-16 利用矩阵的初等行变换,将
3 2 3 4 5 9
A
3 0
1 1
0 3
2 2
1 6
5 10
6 4 6 8 12 24
化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
解
3 2 3 4 5 9
0 0 0
033033
F
矩阵 F称为矩 A的 阵 标.准形
第二章 矩阵的运算
15
特点：F的左上角是一阵 个， 单其 位余 矩元素 为零 .
mn矩阵 A总可经过初等标 变准 换形 化为
FEr O O Omn
此标准m 形 ,n,由 r三个数唯一确r定 就， 是其 行阶梯形矩阵的 中行 非 . 数 零行
第二章 矩阵的运算
7
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初 等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj; ri (k1)或ri k; ri( k)rj或 rikj.r
r3 r1
0 1 2 0 1 3
0 B2 0
1 2 1 1
r3 r2
0 1
2
0 B3
0 0 1 0
第二章 矩阵的运算
11
由方程组( B 3 )得到解的回代过程,也可用矩阵
的初等变换来完成,即
r31
B3
r2 2r3 r1 r3
1 0
0 1
0 0
1
0 B4
r12r2 0 0 1 0
第二章 矩阵的运算
8
如果矩A经 阵有限次初等矩 变阵 换 B，变成 就称矩A与 阵B等价，记 A~作 B．
等价关系的性质： （ 1 ） 反身 性 A A ； （ 2 ） 对 若 称 A B ,则 性 B A;
（ 3 ）若 传 A B B 递 , C 则 性 , A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
第二章 矩阵的运算
13
行阶梯形矩阵 A 还称为行最简形矩阵,即非
零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列 的其他元素都是零.
对于任何A矩 mn,阵 总可经过有限次初等 变换把他变为行 和阶 行梯 最形 简 . 形
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
第二章 矩阵的运算
4
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
2x2 x3 x2 2x3
0
1
1 2
x3 0
3
由③得 x3 0 ,代入②,得 x2 0 ;以 x2 0 ,x3 0
代入①,得 x1 1 ,于是得方程组的解:
第二章 矩阵的运算
6
2、矩阵的初等变换
定义9 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所
（ i行 第 k ,记 乘 r i 作 k ）
3把某一行所有 k倍元 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
x1 x
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； ( i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
就称这两个线性方程组等价
第二章 矩阵的运算
9
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 2 3 4 2
B 1 2 1 1 2 2 8 2
r1 r2 r3 2
1 2 1 1
2 3 4 2 B1
1 1 4 1
第二章 矩阵的运算
10
1 2 1 1
B1 2 3 4 2
1 1 4 1
r22r1 1 2 1 1
第二章 矩阵的运算
5
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 3 4 2 B 1 2 1 1
2 2 8 2
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．即
(1)交换两行; (2)某一行乘以常数k;
(3)某一行乘以常数k加到另一行.
一、矩阵的初等变换
1、引例 求解线性方程组
x21x1 2x32x2x34x312
1 2
(1)
2x1 2x2 8x3 2
3
分析：用加、减消元法解下列方程组,观察其过程．
第二章 矩阵的运算
1
解
(1)
1 2 3 2
x21x1 2x32x2x34x312 x1 x2 4x3 1
1
2 (B1 )
3
所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
第二章 矩阵的运算
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例2-16 利用矩阵的初等行变换,将
3 2 3 4 5 9
A
3 0
1 1
0 3
2 2
1 6
5 10
6 4 6 8 12 24
化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
解
3 2 3 4 5 9
0 0 0
033033
F
矩阵 F称为矩 A的 阵 标.准形
第二章 矩阵的运算
15
特点：F的左上角是一阵 个， 单其 位余 矩元素 为零 .
mn矩阵 A总可经过初等标 变准 换形 化为
FEr O O Omn
此标准m 形 ,n,由 r三个数唯一确r定 就， 是其 行阶梯形矩阵的 中行 非 . 数 零行
第二章 矩阵的运算
7
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初 等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj; ri (k1)或ri k; ri( k)rj或 rikj.r
r3 r1
0 1 2 0 1 3
0 B2 0
1 2 1 1
r3 r2
0 1
2
0 B3
0 0 1 0
第二章 矩阵的运算
11
由方程组( B 3 )得到解的回代过程,也可用矩阵
的初等变换来完成,即
r31
B3
r2 2r3 r1 r3
1 0
0 1
0 0
1
0 B4
r12r2 0 0 1 0
第二章 矩阵的运算
8
如果矩A经 阵有限次初等矩 变阵 换 B，变成 就称矩A与 阵B等价，记 A~作 B．
等价关系的性质： （ 1 ） 反身 性 A A ； （ 2 ） 对 若 称 A B ,则 性 B A;
（ 3 ）若 传 A B B 递 , C 则 性 , A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
第二章 矩阵的运算
13
行阶梯形矩阵 A 还称为行最简形矩阵,即非
零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列 的其他元素都是零.
对于任何A矩 mn,阵 总可经过有限次初等 变换把他变为行 和阶 行梯 最形 简 . 形
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
第二章 矩阵的运算
4
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．