矩阵的初等变换.ppt
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2.1.矩阵的初等变换
0 1 1 1 0 1 1
2 3 0 5 1 1 2 3 2 1 1 0 1 3 6 1 4 0 3 3 7 1
1
解
A
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 5
1 A 1 0 0 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 1 10 0
3 1
例7 设 A 为 m n 矩阵, 证明:
r ( A) r m r 矩阵 P , r ( P ) = r r n 矩阵 Q , r ( Q ) = r
定理 初等变换不改变矩阵的秩
推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为 Er O O O 推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形 矩阵) 为单位矩阵
求矩阵的秩的方法 将矩阵化为阶梯形矩阵 阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩
例 2 求矩阵 A 的秩
A
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 4 2 5 3 6
初等行变换
例5 用初等变换法解矩阵方程
3 1 5 8 3 0 X 1 3 2 5 2 5 9 0 1
分析 设原方程为 XA B
则
A X B
A PQ
证
例4 用初等变换法解矩阵方程
解 5 1 5 3 3 2 1 2 1
5 1 5 8 5 9 3 3 2 X 3 1 2 1 0 0
8 5 3 9 0 0 1 4 X 2 5 3 6
矩阵的初等变换与初等矩阵52页PPT
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
【全版】线性代数初等变换与逆矩阵的初等变换求法副本推荐PPT
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
0010
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
《线性代数》
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结束
6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
0010
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
《线性代数》
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
《线性代数》
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结束
6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
初等矩阵.ppt
2
A*的元素就是 A 中各元素的代数余子式，其总和
等于 1.
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三、分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换是矩阵运算的一个重要技巧.
对分块矩阵，可以同样地定义三类初等变换，并相 应地定义三类分块初等矩阵.
这里仅就 2×2 矩阵进行讨论. (1) 分块对换矩阵 O En Em O
(初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵)
A = 若干初等矩阵的乘积.
充分性：
设 A 可表示为初等矩阵P1, P2, …, Ps 的乘积，即
(初等矩阵皆可逆)
A = P1 P2 … Ps
A 可逆
证毕
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推论 1 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可经过若干 次初等行变换化为单位矩阵，即 A ~r E .
XA=B 若A可逆 唯一解 X BA1
构造 A B
初等列变换
E BA1
返回 上页 下页
1 2 3
2 5
例２ 设 A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
求矩阵 X，使得 AX=B，
解 若 A 可逆，则有 X A1B .
1
2 22
11
第 i 行元素(i1)的代 数余子式之和为:
n
Aij
j 1
1
1
0 1
(i 1)
1
因此，所有元素的代数余子式之和等于 1.
返回 上页 下页
解二 (求伴随矩阵 A*，再计算其中所有元素之和)
2 22
AA* A E (其中 A
1
1
2，
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
《矩阵的初等变换》课件
《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换，简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列 等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例： 高斯消元法，最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，初等矩阵 的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的 解的个数和性质.
应用举例：高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简 化阶梯形，进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题，如计算机图形学中 的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式，标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用，理解矩阵的初等变换与线性方程组的关 系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质
广义初等变换和广义初等矩阵.ppt
C
Es
其中 C 0, Ei是ni 级单位矩阵，t 1, 2, , s .
3)广义消法矩阵
E1
P(i,
j(
K
))
Ei
K
Ej
其中 Ei是ni 级单位矩阵，i 1, 2,
Es
, s.
命题6.4 广义初等矩阵是可逆的，其逆仍是同类型的
广义初等矩阵.
易知广义初等变换与广义初等矩阵的关系仍然符合八字
满足B1A1 为上三角形矩阵．将A分块
A
A1
ann
,
a1n
其中
a2n
,
an1,n
(an1, an2,
, an,n1)
则
E
A11
0 A1
1
ann
A1 0
ann
A11
.
再作
B1
0
0 A1 1 0
ann
A11
B1A1 0
B1
ann
A11
上式右端为上三角形矩阵.将两次乘法结合起来得到
命题6.1 广义初等变换不改变矩阵的秩，特别地，广 义初等变换不改变矩阵的可逆性. 命题6.2 广义消法变换不改变行列式的值.
命题6.3 若分块矩阵A经广义行初等变换化为单位矩阵 E，将这些初等变换依次作用在分块单位矩阵E上，E就
变成了 A1.
定义6.2 将分块的单位矩阵 E diag(E1, E2 , , Es )
§6 广义初等变换和广义初等矩阵 一、概念 二、应用
一、概念
我们将初等变换和初等矩阵的概念推广到分块矩阵上 定义6.1 称分块矩阵的下列三种变换依次为广义换法、 广义倍法、广义消法变换： 1)对换分块矩阵两行（两列）的位置； 2)用可逆矩阵C左乘（右乘）分块矩阵的某一行（列）； 3)用矩阵K左乘（右乘）分块矩阵的某一行（一列）加 到另一行（列）上.
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
经济数学课件 11.2矩阵的初等行变换及应用
第二节 矩阵的初等行变换及应用
一 矩阵的初等行变换 定义1 初等行变换
（1） 互换任意两行的位置： ri rj
（2） 用非零数乘某行： k ri
（3） 用一个常数乘矩阵的某一行，再
加到另一行上去： ri k rj
定义2 把满足下列条件的矩阵称为行阶梯矩阵 （简称阶梯形）
（1）如果第i行元素全为零，则当时 j i ，第j 行（如果有的话）的元素也都为零；
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 （2）aam211xx11aam222xx22 aa2mnnxxnn bb2m
b1, b2 ,, bm
的常数项
不全为零，则方程
组 （2）称为非齐次线性方程组
若 b1, b2 ,, bm 全为零，即
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 （3）aam211xx11aam222xx2 2 aa2mnnxxnn00
4
0
都是行最简形矩阵。
例1
将矩阵 A
1 3
2 1
3 5
1 3
16化为阶梯形矩阵
2 1 2 2 8
解： 1 2 3 1 1
1 2 3 1 1
A 3 1 5 3 6 (3)r1r2 ,(2)r1r3 0 5 4 0 3
2 1 2 2 8
0 5 4 0 6
1 2 3 1 1 (1)r2r3 0 5 4 0 3
的秩。
2 1 0 2 3
例8 求矩阵
的秩。
1 2 1 1 B 0 1 2 0
1 3 3 1
3. 用初等变换解线性方程组——高斯消元法
定义 线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
一 矩阵的初等行变换 定义1 初等行变换
（1） 互换任意两行的位置： ri rj
（2） 用非零数乘某行： k ri
（3） 用一个常数乘矩阵的某一行，再
加到另一行上去： ri k rj
定义2 把满足下列条件的矩阵称为行阶梯矩阵 （简称阶梯形）
（1）如果第i行元素全为零，则当时 j i ，第j 行（如果有的话）的元素也都为零；
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 （2）aam211xx11aam222xx22 aa2mnnxxnn bb2m
b1, b2 ,, bm
的常数项
不全为零，则方程
组 （2）称为非齐次线性方程组
若 b1, b2 ,, bm 全为零，即
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 （3）aam211xx11aam222xx2 2 aa2mnnxxnn00
4
0
都是行最简形矩阵。
例1
将矩阵 A
1 3
2 1
3 5
1 3
16化为阶梯形矩阵
2 1 2 2 8
解： 1 2 3 1 1
1 2 3 1 1
A 3 1 5 3 6 (3)r1r2 ,(2)r1r3 0 5 4 0 3
2 1 2 2 8
0 5 4 0 6
1 2 3 1 1 (1)r2r3 0 5 4 0 3
的秩。
2 1 0 2 3
例8 求矩阵
的秩。
1 2 1 1 B 0 1 2 0
1 3 3 1
3. 用初等变换解线性方程组——高斯消元法
定义 线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
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a22
a23
a24
B
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33
2a11
C
2a11
a21
a31
2a12 2a11 a22
a32
2a13 2a13 a23
a33
2a14
2a14
a24
a34
2a14
a24
a34
山东财政学院
1
O
1L 0
E
MO M
矩阵的初等变换和初等矩阵之间有如下的 密切联系： 定理1.6 设A=(aij )是m n矩阵，则
(1) 对A进行一次行初等变换，相当于用一个m阶 的初等矩阵左乘A; (2)对A进行一次列初等变换，相当于用一个m阶 的初等矩阵右乘A; 例
山东财政学院
例：A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0L 1
O
1
山东财政学院
1.6 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换与初等矩阵 定义 1.13 设A (aij )mn,则以下三种变换： (1)交换A的两行(列); (2)用一个非零的数乘以A的某一行(列); (3) 将A某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。 称为A的初等行(列)变换，通称初等变换。
例
山东财政学院
定义 1.14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵。
一般的，由三种初等变换得到三种初等矩阵，分别 记为
(1)交换E的第i、j行（列）（i<j),得到的初等矩阵计作P(i,j)，
演示
1
P(i,
j)
0
0 LL M 1 LL
0
1
M
0
1
山东财政学院
(2) 用非零常数k乘以E的第i行(列),得到的初等矩 阵记作 P(i(k)),
1
演示
O
1
P(i(k ))
L L L L L L L L
山东财政学院
例3
设A=
2 1
5 3
求A1.
2 4 1
例4
设A
1
5
2
求A1.
1 1 1
4 2 3
例5
求解矩阵方程AX
A
2
X
,
其中A
1
1
0
1 2 3
山东财政学院
a11 a12 a13 a14
2a11 2a12 2a13
例：A
a21
B
a12 a22
a11 a21
a13
a23
C
a12 a22
a11 3a12 a21 3a22
a13 a23a22 a11 3a12
a23
a13
山东财政学院
二、求逆矩阵的初等变换法 1. 矩阵的等价标准形
定义1.15 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变 换得到，则称A与B等价。
定理1.7 任意矩阵A都与一个形如
Er 0
0
0
的矩阵等价，这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。
山东财政学院
推论1 对于任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1, P2,L Ps和
n阶初等矩阵Q1,Q2,L Qt ,使得
P1P2 L
Ps AQ1Q2 L
Qt
Er 0
0 0 .
推论2 对于任意m n矩阵A, 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆
k
1
O
1
山东财政学院
(3)将E的第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,得到的初等
矩阵记作 P(i, j(k))
演示
1
O
1L k
P(i,
j(k
))
OM
1
O
1
可以验证，初等矩阵具有以下性质：
（1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；
（2）初等矩阵皆为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。山东财政学院
换，将A化为单位矩阵E时，对单位矩阵E进行相同
的初等行变换，就将E化为 A1.
山东财政学院
于是,我们可以采用以下方法求A1 : 将A与E并排在一起，组成一个n 2n的矩阵（A, E).
对矩阵（A, E)做一系列行初等变换，将其左半 部分化为单位矩阵E,这时右半部分就是
（A, E) 行初等变换（E, A1)
矩阵Q,
使得PAQ
Er 0
0 0
.
推论3 n阶矩阵A可逆的充要条件是 A的等价标准形为En.
山东财政学院
推论4 n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为
有限个初等矩阵的乘积。
2. 求逆矩阵的初等变换法
A1 G1G2 L E G1G2 L
Gk E Gk A
从这两式可以看出，当对矩阵A进行有限次初等行变