矩阵的初等变换.ppt

a22
a23
a24
B
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33
2a11
C
2a11
a21
a31
2a12 2a11 a22
a32
2a13 2a13 a23
a33
2a14
2a14
a24
a34
2a14
a24
a34
山东财政学院
1
O
1L 0
E
MO MBiblioteka Baidu
B
a12 a22
a11 a21
a13
a23
C
a12 a22
a11 3a12 a21 3a22
a13 a23
P
a22 a12
a21 3a22 a11 3a12
a23
a13
山东财政学院
二、求逆矩阵的初等变换法 1. 矩阵的等价标准形
定义1.15 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变 换得到，则称A与B等价。
定理1.7 任意矩阵A都与一个形如
Er 0
0
0
的矩阵等价，这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。
山东财政学院
推论1 对于任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1, P2,L Ps和
n阶初等矩阵Q1,Q2,L Qt ,使得
P1P2 L
Ps AQ1Q2 L
Qt
Er 0
0 0 .
推论2 对于任意m n矩阵A, 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆
1.6 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换与初等矩阵 定义 1.13 设A (aij )mn,则以下三种变换： (1)交换A的两行(列); (2)用一个非零的数乘以A的某一行(列); (3) 将A某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。 称为A的初等行(列)变换，通称初等变换。
例
山东财政学院
定义 1.14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵。
矩阵Q,
使得PAQ
Er 0
0 0
.
推论3 n阶矩阵A可逆的充要条件是 A的等价标准形为En.
山东财政学院
推论4 n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为
有限个初等矩阵的乘积。
2. 求逆矩阵的初等变换法
A1 G1G2 L E G1G2 L
Gk E Gk A
从这两式可以看出，当对矩阵A进行有限次初等行变
矩阵的初等变换和初等矩阵之间有如下的 密切联系： 定理1.6 设A=(aij )是m n矩阵，则
(1) 对A进行一次行初等变换，相当于用一个m阶 的初等矩阵左乘A; (2)对A进行一次列初等变换，相当于用一个m阶 的初等矩阵右乘A; 例
山东财政学院
例：A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
k
1
O
1
山东财政学院
(3)将E的第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,得到的初等
矩阵记作 P(i, j(k))
演示
1
O
1L k
P(i,
j(k
))
OM
1
O
1
可以验证，初等矩阵具有以下性质：
（1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；
（2）初等矩阵皆为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。山东财政学院
换，将A化为单位矩阵E时，对单位矩阵E进行相同
的初等行变换，就将E化为 A1.
山东财政学院
于是,我们可以采用以下方法求A1 : 将A与E并排在一起，组成一个n 2n的矩阵（A, E).
对矩阵（A, E)做一系列行初等变换，将其左半 部分化为单位矩阵E,这时右半部分就是
（A, E) 行初等变换（E, A1)
L L L L L L L L
山东财政学院
例3
设A=
2 1
5 3
求A1.
2 4 1
例4
设A
1
5
2
求A1.
1 1 1
4 2 3
例5
求解矩阵方程AX
A
2
X
,
其中A
1
1
0
1 2 3
山东财政学院
a11 a12 a13 a14
2a11 2a12 2a13
例：A
a21
0L 1
O
1
山东财政学院
一般的，由三种初等变换得到三种初等矩阵，分别 记为
(1)交换E的第i、j行（列）（i<j),得到的初等矩阵计作P(i,j)，
演示
1
P(i,
j)
0
0 LL M 1 LL
0
1
M
0
1
山东财政学院
(2) 用非零常数k乘以E的第i行(列),得到的初等矩 阵记作 P(i(k)),
1
演示
O
1
P(i(k ))