第6章 边界层流动

6.2 二维平面边界层流动
上式由卡门在1921年根据动量定理首次导出， 故又称为卡门动量积分方程，其边界条件为
边界层动量积分方程对层流和湍流都适用，对于 顺流放置平板的边界层流动则简化为
积 分 方 程 及 其 近 似 解
边界层动量积分方程还可由边界层微分方程在边界 层内对y进行积分获得。此外，用流速u乘以边界层微分 方程中的每一项并对y进行积分，还可得到边界层能量 积分方程。
第 6 章 边界层流动
6.1 边界层基本概念 6.2 二维平面边界层流动 6.2.1 微分方程及其精确解 6.2.2 积分方程及其近似解 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力
6.2 二维平面边界层流动
二维平面不可压边界层流动是最简单的一类粘性流 动，即便如此也只有极少数情况能通过边界层微分方程 求得精确解，大多数情况只能通过边界层积分方程求近 似解。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
图6-4 平板层流边界层
6.2 二维平面边界层流动
图6-4 平板层流边界层
微 分 方 程 及 其 精 确 解
在边界层微分方程和连续方程中引入流函数y， 则由流函数定义有: ∂y/∂x = -uy，∂y/∂y = ux，连续方 程∂ux/∂x + ∂ uy/∂y = 0自动满足，边界层微分方程成为
6.2 二维平面边界层流动
另一方面，设f(h)在h =∞处的渐近式为 f = f1 + f2 + f3 + (f1 >> f2 >> f3 >> ) 上式第一个(即一阶)渐近解就是势流解，即 f1 = h + b b 为积分常数。令f(h)的二阶渐近解为f = f1 + f2并代入 原常微分方程2f’’’+f’’f =0积分，得
6.2 二维平面边界层流动
积分方程的近似解 边界层动量积分方程中包含 壁面切应力t0，边界层位移厚度d1和动量厚度d2三个未 知量；由d1和d2的定义式以及壁面边界条件还可以补充 三个方程，但又出现另外两个未知量(流速u和边界层厚 度d)，因此边界层动量积分方程在数学上是不封闭的， 只宜采用近似方法求解。通常的做法是，首先假定某 种速度分布，据此算得d1(d)、d2 (d)和t0(d)，然后将它 们代入边界层动量积分方程，最后通过积分求得边界 层厚度d及阻力系数CDf等特征量。 上述做法的特点:只在物面及边界层外缘满足边界 层微分方程；假设的边界层内流速分布与实际不一定 吻合。
边 界 层 流 态
6.1 边界层基本概念
6.1.2 边界层各特征厚度 边界层厚度 边界层理论将大雷诺数流动的流 场分为粘性区和无粘区两部分，分别称为边界层和 主流区，它们的交界面称为边界层(外)边界，并人 为地规定边界层边界上流速为主流区的99％(或 99.5%), 边界层边界到物面的距离称为边界层厚度d， 用数学式表示即有 边界层未脱离物面的情况下，边界层厚度沿流 程是增加的，即在迎流的前缘点为零，然后沿流动 方向逐渐增加，到送流的后缘点达到最大。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
6.2 二维平面边界层流动
边界层厚度：
边界层位移厚度：
边界层动量厚度： 壁面切应力系数：
微 分 方 程 及 其 精 确 解
摩擦阻力系数：
t0为壁面切应力、FDf为整个平板受到的力，即
6.2 二维平面边界层流动
以上结果得到试验的证实。图6-5表示顺流放置平 板层流边界层的布拉休斯精确解，以及据此绘制的边 界层厚度的沿程变化和流速分布。
6.1 边界层基本概念
边界层能量厚度即边界层能量损失厚度。与理想流体 的流动相比，边界层内流速的降低还使流体的动能通量减 少。类似于动量厚度，可以定义不可压流动的边界层能量 厚度d3：
边 界 层 各 特 征 厚 度
即
以上定义式表示边界层实际的流量具有的理想流 动动能与实际流动动能之差。容易证明，在边界 层任一截面，恒有：d > d1> d3 > d2。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
g 为另一积分常数。
类似还可得三阶渐近解f = f1 + f2 + f3甚至更高 阶渐近解，本问题中仅考虑到二阶。
6.2 二维平面边界层流动
级数解由边界层靠近壁面向外求解，渐进解则由 边界层外的势流向内求解，两种解在边界层内某一点 必须匹配，即两种解在这一点的f、f ’、f ’’值都相等， 由此得到 A2 = 0.332, b = 1.72, g = 0.231 整个流动问题得解。继布拉休斯之后，其他学者也对 二维平面层流边界层流动即方程 2f’’’ + f’’f = 0 进行了数值求解，其中霍华斯在1938年得到的结果对 照实验具有更好的准确度。 根据霍华斯的结果，在h = 5.0处ux /U = u /U = f’ = 0.99155，将它作为边界层边界，通过积分可得平板 层流边界层各特征量如下——
微 分 方 程 及 其 精 确 解
图6-5 顺流放置平板层流边界层流动
6.2 二维平面边界层流动
对于非顺流放置平板的绕流流动，理论指出，只 要势流流速U与x坐标(沿平板表面)成幂指数关系：U = C x m (C为常数、m为有理数)，边界层微分方程
微 分 方 程 及 其 精 确 解
就存在相似性解，这时流速u(x, y)的分布具有这样 的性质：如果把任意断面x上的流速分布图形u-y的u 和y坐标分别用有关尺度因子变换为量纲一的坐标u0 和y0 ，则在任何x断面上u0-y0的分布图形都相同。 顺流放置平板绕流的精确解只是边界层微分方 程相似性解中的一个特例，对应于m = 0。
积 分 方 程 及 其 近 似 解
6.2 二维平面边界层流动
1) 二维平面层流边界层的近似解 设边界层内流速分布u/U = sin(py/2d)，
边 界 层 流 动
图6-2 平板边界层流动
6.1 边界层基本概念
在湍流区，若平板表面粗糙度D大于层流底层的厚 度dl，则称之为粗糙(表面)平板；否则称为光滑(表面)平 板。当层流区的范围很小时，可近似地把整个边界层看 成为湍流边界层。 为了便于判断边界层的流态，通常假定由层流到湍 流的转捩是在某一截面突变完成的，并称此截面为临界 截面，它离边界层前缘的距离称为临界长度x*，临界截 面边界层的厚度称为临界厚度d*。（图6-2） 边界层流态用临界雷诺数Re*来判断， Re*有两种形 式：Rex* = U∞x*/u和 Red* = U∞d*/u，对于平板绕流，Rex* = 5105 ~ 3106，Red* 2800。
6.2 二维平面边界层流动
将f(h)在h = 0处用幂级数展开，有
利用内边界条件，上式可简化为一个随h3变化的 新级数，即
微 分 方 程 及 其 精 确 解
C0 = C1 = 1, C2 = 11, C3 = 375, C4 = 27897, ...。 以上随h3变化的幂级数方程仅在h = 0 ~ 3区间 收敛；在h→∞时不收敛，不能应用边界条件h =∞： f ’ =1来确定幂级数方程的系数A2。
6.2.1 微分方程及其精确解 微分方程 在直角坐标系，定常、不可压、不计重 力的二维流动N-S方程为
边 界 层 流 动
6.2 二维平面边界层流动
根据小粘度二维平面边界层流动的特点——d << L 以及uy<< ux——对 N-S方程中各变量和参数作数量级估 计，有 量级1的量： 量级e 2的量：
6.2 二维平面边界层流动
6.2.2 积分方程及其近似解 积分方程 对定常不可压二维平面边界层流动， 取控制体122'1'进行分析，如图6-8所示。在截面1-1'和 2-2'上，流体参数分别为
பைடு நூலகம்边 界 层 流 动
图6-8 平板边界层流动
6.2 二维平面边界层流动
控制体流体在x方向受到的总作用力为
整理并忽略高阶小量后，简化为 通过控制面进入和离开控制体的流体在x方向 的动量分别为
6.2 二维平面边界层流动
因为d << L，相对于边界层厚度而言，平板就是无 限长的这样而在边界层流动问题中就找不到一个x方向的 特征长度；因此可以设想在任一x断面流速分布都是相似 的并可作以下变换
微 分 方 程 及 其 精 确 解
将边界层微分方程简化为 边界条件h = 0: f (h) = f '(h) = 0; h = ∞: f '(∞) = 1。 上式是一个非线性三阶常微分方程，有对应于 边界条件的确定解；它由布拉休斯在1908年首次得 出并采用幂级数和渐近方法获得精确解。
第 6 章 边界层流动
6.1 边界层基本概念 6.1.1 边界层流态 6.1.2 边界层各特征厚度 6.2 二维平面边界层流动 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力
6.1 边界层基本概念
实际流体绕任何形状物体的大雷诺数流动都会在 物面附近形成边界层。图6-1所示为空气绕某一翼型的 流动，整个流场可分为边界层、边界层脱离翼型物面 以后形成的尾流、以及边界层和尾流以外的势流。
边 界 层 各 特 征 厚 度
即
图6-3 边界层位移厚度
6.1 边界层基本概念
边界层动量厚度 与理想流动相比，边界层内流 速降低一方面使通过的流体质量减少，另一方面也使 通过的流体动量减少。这种动量减小也可以看成是相 当于将固体壁面向流场内移动了一个距离d2：
边 界 层 各 特 征 厚 度
即 称d2为动量损失厚度，简称动量厚度。边界层的 位移厚度与动量厚度之比称为边界层形状因子： H = d1/d2。
积 分 方 程 及 其 近 似 解
1-1' 截面：
2-2' 截面：
1'-2' 截面：
6.2 二维平面边界层流动
将以上4个式子代入动量方程x分式，就得 在上式中代入以下边界条件 并整理得 由于ux u，上式两个积分项分别为位移厚度和 动量厚度，所以边界层动量积分方程为
积 分 方 程 及 其 近 似 解
图6-4 平板层流边界层
6.2 二维平面边界层流动
微分方程的精确解 如图6-4所示，取平板前缘为直角坐标系的原点，则 平板前方未受扰动的均匀来流速度U∞与平板平行。由伯努 利方程知，在绕平板流动的势流部分，U = U∞、dp/dx = 0； 而由边界层微分方程知，在边界层中压强沿y方向是均匀 分布的，即边界层内任一点处的压强都与同x坐标处边界 层外势流的压强相等。
边 界 层 流 动
6.1 边界层基本概念
边界层位移厚度也称边界层排挤厚度。在边界层 内，流速受到壁面的阻滞作用而减小，使通过边界层 内的流量比理想流动时减少，这相当于固体壁面沿其 法线方向朝流场内移动了一个距离d1后理想流动所通 过的流量，这个d1就是边界层位移厚度，如图6-3所 示。根据位移厚度d1的定义，对不可压流动有
微 分 方 程 及 其 精 确 解
dx, dx2; ux, dux, d2ux; p, dp; r dy2; u
量级e << 1的量：dy; uy, duy, d2uy
依照以上量级对N-S方程进行简化分析，可得
6.2 二维平面边界层流动
以上就是二维平面边界层流动的微分方程，由普 朗特在1904年首次提出。虽然普朗特边界层微分方程 相对N-S方程大为简化，但仍然是非线性的，只能对 特殊情况下的某些层流边界层求得精确解。 求解边界层微分方程时，首先要得到边界层外部 势流的速度，使压强p成为已知量，这样未知量只有 ux和uy，由边界层微分方程x分式和连续方程一起构成 封闭的求解系。 注意：普朗特边界层微分方程不适用于d /x << 1条件 得不到满足的边界层前缘部分，该部分对应的雷诺数 范围一般为Rex ≤ 25。
边 界 层 流 动
图6-1 翼型绕流
6.1 边界层基本概念
6.1.1 边界层流态 边界层流动可以是层流或湍流。实际中更一般地是 混合边界层，即边界层前缘为层流，经过一过渡区(称为 转捩区)后转变为湍流；在湍流区，紧挨物面附近还有一 层流底层。图6-2所示为一均匀来流绕过平板一侧所形成 的边界层流动。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
6.2 二维平面边界层流动
微分方程的精确解 应用边界层微分方程解决粘性流动问题的一个最 简单的例子，是流体绕顺流放置平板的层流边界层流 动，即均匀来流绕过沿平行于流动方向放置的一块薄 平板(其厚度假设为零)并在平板一侧附近所产生的流 动。
微 分 方 程 及 其 精 确 解