高三数学函数的周期性

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高三数学一轮复习课件-2.4函数的周期性

方法点拨：周期性的判断方法：①定义法：考虑是否存在非零常数 T，使得对于任意 x 都有 f(x＋T)＝f(x)；
②公式法：若函数 f(x)的周期为 T，则函数 f(ωx＋φ)的周期为|ωT |；
③图象法：若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x＝a，x＝ b(b≠a)，则函数 f(x)是以 T＝2|a－b|为周期的周期函数．
周期性：
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义
域内的每一个值时，都有__f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)___，那么函数 f(x)就叫做周期函数，___T___叫做这个函数的周期．_k_T__(k_∈___Z_，__k_≠__0_)_也是函数 f(x)的周期，即有_f_(_x_＋__k_T_)_＝__f_(x_)_．
∵函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(x)＝x－－x4＋k，2＋4k，图略
4k－1≤x≤4k＋1， 4k＋1＜x≤4k＋3
(k∈Z)．
示范2 (2009山东)已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x)＝lfoxg－211－－xf，x－x≤20，，x>0，则f(2 009)的值为(
)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 2
【点评】本题的关键是对式子②变形为③，一般可使用换元法.
展示1 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且它的图象关于直线x＝1对称，
(1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求当x∈R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．
分析求周期即求满足 f(x＋T)＝f(x)的 T 值．
解析 ∵f(x)及 f(x＋1)都是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，① f(－x＋1)＝－f(x＋1)，② 设－x＋1＝－t，则由②得 f(－t)＝－f(t＋2)，即 f(－x)＝－f(x ＋2)，③ 由①③得 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为 2.

高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】

f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0，则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数．答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1

高三数学函数的周期性探究知识点分析人教B版

函数的周期性探究一、函数周期性的概念：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

我们应该注意定义中，对函数f(x)定义域内的所有值，f(x+T)=f(x)是一个恒等式，所以若a 属于定义域，那么a+T 、a+2T 、a+3T 、…都属于定义域，由此可知周期函数的定义域是无限集。

若T 是函数f(x)的周期，那么nT(n ∈N +)也是f(x)的周期，这是因为f(x+nT)=f[x+(n-1)T]=f[x+(n-2)T]=…=f(x)。

对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期。

不是所有周期函数都有最小正周期的，如：f(x)=b （b 为常数），任意正数都是它的周期。

课本还强调，今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期。

由周期函数的定义和诱导公式可知，函数y=sinx ，y=cosx 的周期T=2π，y=tanx 的周期T=π，y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,22ππϕ-<<)的周期2T πω=，y=Atan(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,22ππϕ-<<)的周期为T πω=。

若函数f(x)、g(x)的周期分别为T 1、T 2，那么f(x)+g(x)是周期函数，T 1、T 2的最小公倍数是它的周期，但不一定是最小正周期，需要把f(x)+g(x)有机整合后再求其周期，如果两部分是有关三角函数表达式的，一般应化为正弦型函数后，再求其周期。

例1、（2009某某卷理）设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+，求f(x)的最小正周期。

解：2()sincoscossin(2cos 1)46468f x x x x πππππ=---1cos cos 4244x x x πππ=--1sin )244x x ππ=sin()43x ππ=-故f(x)的最小正周期为284T ππ=÷=。

高三周期函数知识点

高三周期函数知识点周期函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。

本文将介绍高三周期函数的基本概念、性质以及常见的周期函数类型。

一、周期函数的基本概念周期函数是指在某个特定的区间内，函数值以相同的间隔重复出现的函数。

这个特定的区间称为函数的一个周期。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数的最显著特点就是具有周期性，即函数的函数值在一个周期内重复出现。

2. 奇偶性：周期函数可以分为奇函数和偶函数。

若函数满足f(x) = -f(-x) 成立，则为奇函数；若函数满足 f(x) = f(-x) 成立，则为偶函数。

3. 对称性：周期函数通常具有某种对称性，如正弦函数和余弦函数是关于原点对称的。

三、常见的周期函数类型1. 正弦函数 y = A*sin(Bx+C)+D：正弦函数是高中数学中最常见的周期函数之一。

其中 A 表示振幅，B 表示角频率，C 表示相位差，D 表示平移量。

2. 余弦函数 y = A*cos(Bx+C)+D：余弦函数和正弦函数非常相似，只是相位差不同，其余的性质都相同。

3. 正切函数y = A*tan(Bx+C)+D：正切函数的图像具有周期性，但是它在某些点上会出现无穷大的间断点。

四、周期函数的图像特征周期函数的图像通常具有一些特征，进一步揭示了周期函数的性质：1. 周期性：图像在一个周期内重复出现。

2. 振幅：图像在纵轴上的最大值与最小值之间的差值。

3. 频率：图像在一个单位周期内震动的次数，与角频率相关。

五、周期函数在实际问题中的应用周期函数在实际问题中有着广泛的应用，如物理、电路等领域。

周期函数可以描述周期性的变化规律，帮助我们解决一些实际问题。

例如，通过正弦函数模型可以预测某地区的气温随时间的变化，从而指导人们做出合理的决策。

总结：周期函数是高三数学中的一个重要知识点，它具有周期性、奇偶性和对称性等基本性质。

高三数学周期性知识点归纳

高三数学周期性知识点归纳数学是一门需要不断积累和总结的学科，高三学生在备战高考时，需要理清各个知识点之间的联系和周期性规律。

本文将对高三数学中的周期性知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、三角函数的周期性1. 正弦函数：y = A*sin(Bx + C)- 周期：2π/B- 最大值：A- 最小值：-A2. 余弦函数：y = A*cos(Bx + C)- 周期：2π/B- 最大值：A- 最小值：-A3. 正切函数：y = A*tan(Bx + C)- 周期：π/B二、复数的周期性1. 复数的定义：z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 欧拉公式：e^ix = cos(x) + isin(x)3. 指数函数的周期性：e^(ix+2kπ) = e^ix (k为整数)三、指数函数和对数函数的周期性1. 指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为底数，x为自变量。

- 当a>1时，函数递增且无周期- 当0<a<1时，函数递减且无周期2. 对数函数的定义：f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为自变量。

- 当a>1时，函数递增且无周期- 当0<a<1时，函数递减且无周期四、三角函数和指数函数的关系1. 欧拉公式的推导： e^ix = cos(x) + isin(x)2. 指数函数与正弦函数的关系：- e^(ix) = cos(x) + isin(x)- e^(-ix) = cos(-x) + isin(-x) = cos(x) - isin(x) - e^(ix) + e^(-ix) = 2cos(x) (欧拉恒等式) 3. 指数函数与余弦函数的关系：- e^(ix) = cos(x) + isin(x)- e^(-ix) = cos(-x) + isin(-x) = cos(x) - isin(x) - e^(ix) - e^(-ix) = 2isin(x)五、三角函数的和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)2. 余弦函数的和差化积公式：- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)- cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)3. 正切函数的和差化积公式：- tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x)tan(y))- tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))六、高三数学中的周期性问题1. 求解三角函数的周期：- 以给定函数的参数作为周期2. 判断函数的周期性：- 基于函数表达式中的参数和三角函数的特点进行判断3. 应用周期性知识点解决问题：- 求解特定范围内的函数值- 证明两个函数或方程等价性- 推导出其他数学公式通过对高三数学中的周期性知识点进行整理和总结，同学们在备考高考时可以更好地理解和掌握这些知识点。

高三数学函数的周期性和对称性形典型例题解析1

高三数学函数的周期性和对称性典型例题解析11.函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（）A.B. C. D.【答案】C【解析】第一步，准确求出函数的周期性：由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期为2的函数，第二步，运用函数的周期性求解实际问题：令1-=x 故()()11f f -=，代入解析式，得()22a a e -+=-，解得2a =，从而()()22,10{22,01x x x f x x e x +-≤≤=-<≤，故()()()()2017201810022f f f f +=+=+=，故选C.2.已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，则()2021f -=（）A ．lg3-B ．lg 9C ．lg 3D ．0【答案】C 【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.3.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【分析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.4.函数y =f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x +2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ． f(1)<f(52)<f(72) B ． f(72)<f(52)<f(1) C ． f(72)<f(1)<f(52) D ． f(52)<f(1)<f(72) 【答案】C5.函数f(x +2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y =f(x)的图像关于x =2对称，则f(52)=f(32)，f(72)=f(12)，函数y =f(x)在[0,2]上单调递增，则有 f(12)<f(1)<f(32)，所以f(72)<f(1)<f(52).选C . 考点：抽象函数的周期性．6.（多选）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时，()2f x x =+.则下列说法正确的是（） A ．()f x 的周期8T = B ．()f x 的最大值为4 C ．()20212f = D ．()2f x +为偶函数【答案】ABD 【分析】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，得()()22f x f x -+=--，又()()4f x f x +-=，所以()()()44f x f x f x =--=--，()()444f x f x --++=，从而可得()()8f x f x +=，进而根据周期性、对称性、(]0,2x ∈时()f x 的解析式即可求解. 【详解】解：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称， ∴()()22f x f x -+=--对x R ∀∈有()()4f x f x +-=，∴函数()y f x =的图象关于()0,2中心对称，∴()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦，即()()()44f x f x f x =--=--，又()()444f x f x --++=，即()()444f x f x --=-+，∴()()4f x f x +=-，∴()()()444f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()8f x f x +=，()()22f x f x +=-+， ∴()f x 的周期8T =，选项A 正确；()2f x +为偶函数，选项D 正确；当(]0,2x ∈时，()2f x x =+，()()4f x f x +-=，∴当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，()24f x x +-+=，即()2f x x =+， ∴当[]2,2x ∈-时，()2f x x =+，又函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，∴在一个周期[]6,2-上，()()max24f x f ==， ()f x ∴在R 上的最大值为4，选项B 正确；()()()()()2021252855141121f f f f f =⨯+==+=-=-+=∴，选项C 错误. 故选：ABD.7. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性．8.已知()21y f x =-为奇函数， ()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（）A. 2B. -2C. 1D. -1 【答案】B 【解析】()21y f x =-为奇函数，故()21y f x =-的图象关于原点()0,0对称，而函数()y f x =的图象可由()21y f x =-图象向左平移12个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故()y f x =的图象关于点()1,0-对称，又()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，故函数()y g x =的图象关于点()0,1-对称，120x x +=，即12x x =-，故点()()()()1122,,,x g x x g x ，关于点()0,1-对称，故()()122g x g x +=-，故选B.9.已知函数()tan sin cos f x x x x =-，现有下列四个命题： ①f (x )的最小正周期为π； ②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于(2π，0)对称； ④f (x )的图象关于(π，0)对称. 其中所有真命题的序号是（） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②③④ D ．①②④【答案】C 【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案. 【详解】因为tan y x =与1sin cos sin 22y x x x ==的最小正周期均为π，所以f (x )的最小正周期是π.因为()()f x f x -=-，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称. 因为()()tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(2π，0)对称. 因为()()2tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(π，0)对称. 所以①②③④均正确故选：C10.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 11.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.12.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点：函数图象的性质13.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x) .若f(1)=2 则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（）A ． −50B ． 0C ． 2D ． 50 【答案】C【解析】因为f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，所以f(1+x)=−f(x −1)∴f(3+x)=−f(x +1)=f(x −1)∴T =4,因此f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，因为f(3)=−f(1)，f(4)=−f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，∵f(2)=f(−2)=−f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2，选C. 14.已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，f(2−x)=ln(2−x)+lnx =f(x)，所以f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确，D 错误；又f(x)=ln[x(2−x)]（0<x <2），由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【考点】函数的对称性、单调性。

高三数学(文)函数的周期性人教版知识精讲

高三数学（文）函数的周期性人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的周期性（一）概念对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，)()(x f T x f =+都成立，则把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。

注：（1）周期函数的周期T 未必是正数未必有正周期如：]0,(,sin -∞∈=x x y ，显然π2-=T 是函数的一个周期，故x y sin =，]0,(-∞∈x 是周期函数，假设)(x f 有一个正周期T '，当)0,(T x '-∈时，]0,(-∞∉'+T x ，故)(T x f '+无意义，所以]0,(,sin -∞∈=x x y 不存在正周期。

（2）若T 是周期函数的周期，T -未必是函数的一个周期，但若)(x f 是定义在R 上的周期函数，则成立。

如]0,(,sin -∞∈=x x y ，π2-是函数的一个周期，而π2不是周期。

（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期如⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(任一有理数是)(x f 的一个周期，因有理数不存在最小正数，故所给函数不存在最小正周期。

（4）周期函数的周期不止一个事实上，如果T 是周期函数)(x f 的周期，用数学归纳法易证nT （*N n ∈）也是)(x f 的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。

（5）周期函数的定义域至少是一方无界因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。

（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数),(1Z n n x y ∈==是周期函数，定义域是整数集。

（7）两个周期函数的和未必是周期函数如x x x f 2sin cos )(+=，假设)(x f 是以T 为周期的周期函数则x x T x T x 2sin cos )(2sin )cos(+=+++，对任R x ∈恒成立令T x x -==,0代入上式，有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++=+12sin cos 12sin cos )(2sin )cos(0sin 0cos 0sin 0cos 2sin cos T T T T T T T T )(22)(202sin 1cos Z n n T Z m m T T T ∈=∈=⇒⎩⎨⎧==⇒ππ ∵0≠T ∴0≠⋅n m 于是nm 42=矛盾，故)(x f 非周期函数（二）性质1. 设)(x f 是以T 为周期的函数，证明（1）对任意正整数n ，nT 也是)(x f 的周期（2）)(x f 有最小正周期T ，则)(x f 的所有周期都是T 的整数倍注：若)(x f 是定义在R 上的周期函数，则（1）中Z n ∈证：（1）)(])1([])1([)(x f T n x f T T n x f nT x f ==-+=+-+=+（2）设t 是)(x f 的任意一个周期，且T t ≠，则存在N n ∈，使r nT t +=（T r <≤0）若0>r ，则 )()()()(r x f r nT x f t x f x f +=++=+=，即r 也是)(x f 正周期，而T r <与T 的最小性矛盾，故nT t r ==,02.（1）若)(x f 是数集A 上的周期函数，则)(1x f 是数集},0)(|{A x x f x ∈≠上的周期函数（2）若)(x f 有最小正周期T ，则T 也是函数)(1x f 的最小正周期证：（1）设T 为)(x f 周期，则任A x ∈，A T x ∈+，且0)(≠x f 有)()(x f T x f =+从而)(1)(1x f T x f =+，即T 是)(1x f 的周期。

高三数学函数的周期性和对称性形典型例题解析2

高三数学函数的周期性和对称性典型例题解析21.若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（）A ．()()()201920202021f f f <<B ．()()()201920202021f f f >>C ．()()()202020192021f f f >>D ．()()()202020212019f f f <<【答案】A 【分析】由()()2f x f x +=-，可推出()()4f x f x +=，从而可知函数()f x 是周期函数，周期为4，进而可得出()()20191f f =-，()()20200f f =，()()20211f f =，然后根据()f x 是R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案. 【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期函数，周期为4，又函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，()()118f f -=-=-，则()()()2019318f f f ==-=-，()()202000f f ==，()()202118f f ==，所以()()()201920202021f f f <<. 故选：A.2.已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（） A ．0 B ．aC ．2aD ．1010a【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，分别求出一个周期内的函数值，结合周期性分析，即可得解. 【详解】(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选：C.3.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，且当01x <≤时，35()2log f x x x =-，则(47)f =（）A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】B 【分析】根据()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，可知该函数的周期为4，然后再结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解．【详解】因为()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的奇函数．所以(47)(1)f f f =-=-（1）2=-．故选：B ．4.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)f x +是偶函数，且当[0,1]x ∈时，()(32),f x x x =-则31()2f =（） A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】C【解析】()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，()()()111f x f x f x ∴-+=+=--，()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，则()f x 的周期是4，()3111114431122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=-=-=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.5.定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =()f x 的图象与()3xg x =的图象的交点个数为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】因为义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=，所以()f x 的周期为2，且图像关于直线1x =对称，由于当[]0,1x ∈时，()f x =()f x 的图像如图所示，再作出()3xg x =的图像，则由图像可知，两函数图像的交点个数为5，故选：A6.已知函数()()y f x x =∈R 的图象既关于点()1,1中心对称又关于点()2,2中心对称，则（） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 既没有最大值又没有最小值D ．函数()()()g x f x x x =-∈R 是周期函数【答案】BCD 【分析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B ，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC ，根据周期性定义判断D ．【详解】由题意()(2)2f x f x +-=，()(4)4f x f x +-=，因此[]()2(2)24(42)2(2)f x f x f x f x -=-+=----=-+-[]222(2)()f x f x =-+---=-，所以()f x 是奇函数，B 正确．例如1()sin()4f x x x π=+满足题意，但()1cos()4f x x ππ'=+0>恒成立，因此()f x 在R 上是增函数，()f x 不是周期函数，A 错；因为()f x 是奇函数，所以若()f x M =-是函数的最小值，则M 是函数的的最大值，设0()f x M =-，则00(2)2()2()2f x f x M M M -=-=--=+>，与M 是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C 正确；()f x 是奇函数，()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-+=-，则()()g x f x x =-也是奇函数， ()f x 的图象关于点(1,1)和(2,2)对称，(2)(2)22(2(2))2g x f x x f x x -=--+=----+=()()()f x x g x g x -+=-=-，所以()g x 的图象关于(1,0)对称，同理也关于(2,0)对称．因此()g x 是周期函数，4就是一个周期．D 正确．故选：BCD ．7.函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是周期为2的周期函数 B ．()f x 是周期为4的周期函数 C ．()2f x +为奇函数 D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断. 【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.8.定义在R 上的函数()f x 满足：x 为整数时，()2021f x =；x 不为整数时，()0f x =，则（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．,(())2021x R f f x ∀∈= D ．()f x 的最小正周期为1【答案】BCD 【分析】根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】A 中，对于函数()f x ，有()12021,(1)2021f f =-=，所以()()f x f x -=-不恒成立，则函数()f x 不是奇函数，所以A 不正确； B 中，对于函数()f x ，若x 为整数，则x -也是整数，则有()()2021f x f x =-=，若x 不为整数，则x -也不为整数，则有()()0f x f x =-=，综上可得()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，所以B 正确； C 中，若x 为整数，则()2021f x =，x 不为整数，则()0f x =，综上函数()f x 是整数，则()()2021f f x =，所以C 正确；D 中，若x 为整数，则1x +也是整数，若x 不为整数，则1x +也不是整数，总之有()()1f x f x +=，所以函数()f x 的周期为1，若(01)t t <<，则x 和x nt +可能是一个整数，也可能不是整数，则有()()f x f x nt ≠+，所以函数()f x 的最小正周期为1，所以D 正确. 故选：BCD.9.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当[0,)x π∈时，2sin ()x f x x πx π=-+，给出下列四个结论： ① ()0f π=；② π是函数()f x 的周期；③ 函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；④ 函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________. 【答案】① ③ ④ 【分析】由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()0f f π=直接计算()0f 即可判断① ；根据函数()f x 的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断()f x 在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④. 【详解】对于①：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()sin 0()00f f ππ===，故①正确；对于② ：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于直线2x π=对称，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()()f x f x f x π+=-=- 所以()()()2f x f x f x ππ+=-+=，所以函数()f x 的周期为2π，故② 不正确；对于③ ：当01x <<时，sin y x =单调递增，且sin 0y x =>，22224y =x πx π=x πππ⎛⎫-+-+-⎪⎝⎭在01x <<单调递减，且11y ππ>-+=，所以2sin ()xf x x πx π=-+在01x <<单调递增，因为()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于直线2x π=对称，作出示意图函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和即为函数()y f x =与sin1y =两个函数图象交点的横坐标之和，当π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，两图象交点关于2x π=对称，此时两根之和等于π ，当3π,102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时两图象交点关于52x π=对称，此时两根之和等于5π，当5,22x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时两图象交点关于32x π=-对称，此时两根之和等于5π3,10,2x π⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭时两图象无交点，所以函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π.故④ 正确；故答案为：① ③ ④10.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上的零点之和为____________. 【答案】6 【分析】把研究函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上零点之和的问题转化为研究函数()y f x =和11y x =-- 图象交点的横坐标之和的问题.通过研究函数的奇偶性，周期性，对称性作出函数()f x 和函数11y x =--的简图，通过图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的对称轴为直线12x =，又因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--又(1)()f x f x +=-，所以(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2，又因为当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，作出函数()f x 和11y x =--的简图如图所示，由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点()1,0对称的，且关于点()1,0对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为326⨯=.故答案为：6.11.定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,2)x ∈-时，3()sin 2f x x x π=-，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数是______．【答案】502 【分析】根据函数周期性，得出()f x 是周期为4的周期函数，令3()sin 02f x x x π=-=，得3sin2x x π=，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数转化为sin2y x π=与3y x =在[0,669)上的交点个数，根据周期性，即可得出结果.【详解】解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数．令3()sin02f x x x π=-=，得3sin2x x π=，在同一坐标系下画出sin2y x π=与3y x =的图像，由图知，当[2,2]x ∈-时，函数3()sin 2f x x x π=-有3个零点．又因为66941671=⨯+，即在区间[0,669)上有167个完整的周期，零点个数为1673501⨯=，所以函数3()sin 2f x x x π=-在区间[0,669)共有502个零点.故答案为：502．12.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】-2 【分析】通过函数的对称性，判断函数的周期，然后利用周期性和对称性化简所求表达式，求出函数值即可．【详解】解：因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的周期性、函数值的求法，考查计算能力，是中档题．13.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．【答案】0 337 【分析】先由(6)()f x f x +=判断周期为6，，直接计算(4)f ；然后计算201763361=⨯+，把(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++转化为[]336(1)(2)(3)(6)(2017)f f f f f =⨯+++++，即可求解. 【详解】因为(6)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6的周期函数，当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，所以2(4)(2)(22)0f f =-=--+=，因为201763361=⨯+，(1)1f =，(2)2f =，2(3)(3)(32)1f f =-=--+=-， (4)0f =，(5)(1)1f f =-=-，(6)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++[]336(1)(2)(3)(6)(2017)f f f f f =⨯+++++336(121010)1337=⨯+-+-++=. 故答案为0；337．。

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2．7 函数的周期性——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的2.若T 是周期，则k ·T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。

如常函数f (x )=C ；3.若函数f (x )对定义域内的任意x 满足：f (x+a )=f (x －a ),则2a 为函数f (x )的周期。

（若f (x )满足f (a+x )=f (a －x )则f (x )的图象以x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a 和x=b ，（a<b ），则2（b-a ）是f （x ）的一个周期(,)()()(,)(2,)(2-).()(2-)()(2-) .()(2-)[2-(2-)][2(-)], 2(-)P x y y f x y f x P x y x a Q a x y y f a x f x f a x f x f b x f x f a x f b a x f b a x b a ===-=∴==∴===+证明：设为图像上任一点，则，且关于直线对称的点也在图像上， ①，同理②为周期。

5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a ，0），（b ，0）（a<b ），则2（b-a ）是f （x ）的一个周期。

(证一证)6.若函数f （x ）有一条对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0）（a<b ）,则4（b-a ）是f （x ）的周期。

()(2),()(2).f x f a x f x f b x =-=--证明：由已知()(2)[2(2)][2()][22()][2(2)][22(2)][4()],4().f x f a x f b a x f b a x f a b a x f a b x f b a b x f b a x b a ∴=-=---=--+=----=---=--+=-+-周期为举例:y=sinx,等.三.双基题目练练手1.f(x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (1)=0，则方程f (x )=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A ．5B ．4C ．3D ．22.若函数y=f (x )是周期为2的奇函数，且当x ∈(0,1)时f (x )=x +1，则f (π)的值为（）A ．π-5 B.5-π C.4-π D. π-43.()f x 是偶函数，且(0)993,()(1)f g x f x ==-又为奇函数，则f(1992)=4.设存在常数p >0,使()(),2p f px f px x R =-∈，则()f x 的一个周期是，f (px )的一个正周期是； 5.数列{}n a 中122120061,5,,n n n a a a a a a ++===-=则简答精讲：1、B ；2、A ；3、993；因（-1，0）是中心，x =0是对称轴，则周期是4；4、2p ，12；5、20065a =；由已知21211n n n n n n n a a a a a a a ++++--=-∴=-=-，周期为6。

四.经典例题做一做【例1】已知f (x )是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )=x +1.求f (x )在(1,2)上的解析式。

解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。

）∵ x ∈(1,2), 则-x ∈(-2,-1),∴ 2-x ∈(0,1), ∵ T =2,是偶函数∴ f (x )=f (-x )=f (2-x )=2-x +1=3-x .x ∈(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f (x )=f (x +2)如图：x ∈(0,1), f (x )=x +1.∵是偶函数∴x ∈(-1,0)时f (x )=f (-x )=-x +1.又周期为2， x ∈(1,2)时x -2∈（-1，0）∴f (x )=f (x -2)=-(x -2)+1=3-x .提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f (x )的定义域是R ，且f (x +2)[1-f (x )]=1+f (x ),若f (0)=2008,求 f (2008)的值。

解：(4)11(2)11(4)1()(8)(4)1(2)1(4)1(4)1f x f x f x f x f x f x f x f x f x +--+--++====++-++++++ 周期为8，(2008)(0)2008f f ∴==法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。

方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+. ①求)(x f 的周期；②证明f (x )的图象关于点(2k ,0) 中心对称;关于直线x =2k +1轴对称, (k ∈Z );③讨论f (x )在(1,2)上的单调性；解: ①由已知f (x )=－f (x +2)=f (x +2+2)=f (x +4),故周期T =4.②设P (x ,y )是图象上任意一点,则y =f (x ),且P 关于点(2k ,0)对称的点为P 1(4k -x ,-y ).P 关于直线x =2k +1对称的点为P 2(4k +2-x ,y ).∵f (4k -x )=f (-x )=-f (x )=-y ,∴点P 1在图象上,图象关于点(2k ,0)对称.又f (x )是奇函数,f (x +2)=-f (x )=f (-x )∴f (4k +2-x )=f (2-x )=f (x )=y , ∴点P 2在图象上,图象关于直线2k +1对称.③设1<x 1<x 2<2,则-2<-x 2<-x 1<-1, 0<2-x 2<2-x 1<1.∵f (x )在(-1,0)上递增, ∴f (2-x 1)<f (2-x 2)……(*)又f (x +2)=-f (x )=f (-x ) ∴f (2-x 1)=f (x 1), f (2-x 2)=f (x 2).(*)为f (x 2)<f (x 1),f (x )在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。

【研究.欣赏】已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y=f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数.又知y=f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x =2时函数取得最小值-5.① 证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式.解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴(1)(1)(51)(4)f f f f =--=--=-，∴(1)(4)0f f +=.②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤.③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01f x k x x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-.∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+. 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩.五．提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 2．7 函数的周期性【选择题】1.f （x ）是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T ）的值为 A.0 B.2T C.T D.－2T 2.（2004天津）定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为 A.－21 B.21 C.－23 D.23 【填空题】 3.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间[2，3]上，)(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 4.已知函数f (x )是偶函数，且等式f (4+x )＝f (4-x )，对一切实数x 成立，写出f (x )的一个最小正周5.对任意x ∈R ，f (x )=f (x -1)+f (x +1)且f (0)=6,f (4)=3,则f (69)=6.设f (x )定义在R 上的偶函数，且)(1)3(x f x f -=+，又当x ∈(0，3]时，f (x )=2x ，则f(2007)= 。

答案提示：1、A ；由f （2T ）=f （－2T +T ）=f （－2T ）=－f （2T ），知f （2T ）=0.（或取特殊函数f （x ）=sin x ）2、D ； f （3π5）=f （3π5－2π）=f （－3π）=f （3π）=sin 3π=23. 3、222(1)4(01)()2(1)4(10)x x f x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-++-≤≤⎪⎩; 4、8； 5、f (x -1)=f (x )-f (x+1),∴f (x )=f (x +1)-f (x +2)=f (x +2)-f (x +3)-f (x +2)= -f (x +3)∴f (x )= -f (x +3)=f (x +6) .周期是6；f (69)=f (3)=f (-3)= -f (-3+3)= -66、 )()3(1)6(x f x f x f =+-=+，周期T =6， F (2007)=f (3)=6 【解答题】7.设函数f (x )的最小正周期为2002，并且f (1001+x )=f (1001－x )对一切x ∈R 均成立，试讨论f (x )的奇偶性.解: ∵周期是2002, ∴ f (2002+x )=f (x ),又由f (1001+x )=f (1001－x )得f (2002-x )=f (x )∴对任意的x 都有f (x )=f (2002-x )=f (-x ),f (x )是偶函数.8.设f (x )为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x ∈[2,3]时f (x )=x ，求x ∈[-2,0]时f (x )的解析式。