高等数学第18章第4节条件极值

第十八章 隐函数定理及其应用
§4条件极值
以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.
例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为
.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=
依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件
.V xyz = （1）
这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.
结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．
)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）
的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．
),,,(21n x x x f y = （．3．）．
的极值．．．.．
☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值
1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解
有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出
xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到
.)1
1(2),
,(),(xy x
y V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3
22
1V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.
注．
：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法
.
2、用拉格朗日乘数法
在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.
（1） 从较简单的情况入手
设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数
),(y x f z = （4）
在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.
结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．
则．
0),(00=y x ϕ, ．
又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．
隐函数．．．)(x g y =，．
则有．．
.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．
⎪⎭
⎪
⎬⎫
==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．
),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)
则．(9)．．．中三式就是．．．．．
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)
这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.
②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0
x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到
.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .)
,()
,()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)
把(7)代入(6)后又得到
.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)
③由（8）可知方程组
⎩⎨
⎧=+=+0)()(0
)()(00
00P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b
=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000
000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.
考虑到条件0),(00=y x ϕ即得
⎪⎭
⎪
⎬⎫
==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）
④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋
注．
：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。

2)这种方法称为拉格朗日乘数法，(10)中的函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数。

3）上述推理过程中，由
.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ有
00000)()()()
(λϕϕ-==∆P P f P P f x x y y ，即)()
()()(00000P P f P P f x x y y ϕϕλ-=-=，使得（9）式成立。

4) 方程(11)的解),,(000λy x 只是拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=的一个稳定点, 而),(00y x 仅可能是极值点的坐标（驻点），是否是极值点还需要根据实际问题进一步考察.
5) 在几何意义上，关系式(8)表示曲面),(y x f z =的等高线)(),(0P f y x f =与曲线C
在点0P 处具有公共切线（见图18－6）.
☆ 由结论1可知条件极值问题的一般形式是在条件组
)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）
的限制下，求目标函数),,,(21n x x x f y = （3） 的极值.其拉格朗日函数是
()(),
,,,,,,)
,,,,,,,(211
212121n m
k k k n m n x x x x x x f x x x L ∑=+=ϕλλλλ （12）
其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数，并有下面定理：
定理18.6 设在条件(2)的限制下，求函数(3)的极值问题，其中f 与)
,,2,1(m k k =ϕ在区域D 内有连续的一阶偏导数。

若D 的内点),,()
0()0(10n x x P 是上述问题的极值点，且雅
可比矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n m
m n x x x x ϕϕϕϕ
1
11
1
（13） 的秩为m ，则存在m 个常数)
0()
0(1,,m λλ ，使得),,,,,()
0()
0(1)
0()
0(1m n x x λλ 为拉格朗日函数(12)的稳定点，即),,,,,()
0()
0(1)
0()
0(1m n x x λλ 为下述m n +个方程：
()()⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
=====∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=∑∑==0
,,0
,,0
11111111
1n m n m
k n
k n x m
k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕϕλλ 的解。

当1,2==m n 时，定理的正确性已在前面作了说明，对于一般情形的证明可参阅第二十三章的定理23.19。

例1(P166)用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计的问题。

解：这时所求问题的拉格朗日函数是
).()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ
对L 求偏导数，并令它们都等于0：
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ （14）
求方程组（14）的解，得
3
324
.22V
V z y x -
====λ （15）
依题意，所求水箱的表面积在条件（1）下确实存在最小值.由（15）知当高为3
4
V
，长与宽为高的2倍时，表面积最小. 最小值3
2)
2(3V S =. ▋
例2(167) 抛物面z y x =+2
2被平面1=++z y x 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的
最长与最短距离.
解：这个问题实质上就是要求函数
222),,(z y x z y x f ++=（空间点),,,(z y x 到原点),0,0,0(的距离函数的平方）
在条件02
2
=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令
()
().1),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλμλ
对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=.
01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为
,33
11
7,3353±-=±
-=μλ 与 .32,2
3
1 =±-=
=z y x （16） （16）就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于
所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集{}
1,),,(2
2=++=+z y x z y x z y x 上
连续，从而必存在最大值与最小值），故由
)32,2
3
1,231(
±-±-f 所求得的两个值359 ，正是该椭圆到原点的最长距离
359+与最短距离
359-.▋
例3（P168略） 求xyz z y x f =),,(在条件
)0,0,0,0(1
111>>>>=++r z y x r
z y x 下的极小值；并证明不等式,)111(33
1abc c
b a ≤++-其中
c b a ,,为任意正实数. 解：设拉格朗日函数为
.1111),,,(⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+++=r z y x xyz z y x L λλ
对L 求偏导数并令它们都等于0，则有
)17(.01111,0,0,
0222
⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎪⎪
⎪⎪⎬⎫
=-++==-==-==-
=r z y x L x xy L y
zx L x yz L z y x λλ
λ
λ
由方程组（17）的前三式，易得
.111μλ
====xyz z y x 把它代入（17）的第四式，求出r
31
=
μ.从而函数L 的稳定点为4)3(,3r r z y x ====λ. 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极（小）值，我们可把条件
r
z y x 1
111=++看作隐函数),(y x z z =（满足隐函数定理条件）
，并把目标函数 ),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样，就可应用极值充分
条件来作出判断.为此计算如下：
,,,,112
2
22
222
2y
xz
xz F x yz yz xyz yz F y z z x z z x z y x x y x -=-
=+=-=-=---=
,233
x
yz xyz yz yz F xx x x xx =++=
,23
22xy
z x z y z z xyz xz yz z F xy x y xy +--=+++=
.233
y
xz F yy =
当r z y x 3===时，
,3,6r F F r F xy yy xx ===
.027*******
>=-=-r r r F F F xy yy xx
由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点。

这样就有不等式
0,0,0()3(3>>>≥z y x r xyz 且
).1
111r
z y x =++ （18） 令,,,c z b y a x ===则,)111(
1
-++=c
b a r 代入不等式（18）有 3
1)111(3⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++≥-c b a abc
或).0,0,0()1
11(331>>>≤++-c b a abc c
b a ▋。