高等数学第18章第4节条件极值
高等数学第四节函数最大值、最小值的求
V 12(32 2x) V / x8 0
所以x=8是极大值点，也是最大值点. 因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
特殊情况下的最大值、最小值: (1)如果连续函数 f (x) 在 [a, b]上单调递增,则 f (x)
的最大值与最小值分别为 f (b)、 f (a);如果在 [a, b]上单 调递减, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).
(2)如果函数 f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻
点 x0 , 并且该驻点 x0 为 f (x) 的极值点, 则当 f (x0) 是极
大值时, f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最大值; 当 f (x0) 是
极小值时, 则 f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最小值 (见下
图) y.
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用 最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在 数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。
一、函数最大值最小值求法
二、函数最值应用举例
案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可 乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径 与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半 径与高之比约为1：2？
一、最值的求法
闭区间[ a , b ]上连续函数f ( x ) 必存在最大值和最
小值
y
y
y
oa
bx o a
bx
ao
bx
18-4隐函数条件极值
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例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,
例如
z
V xy
,
代入目标函数后, 转而求解 S 2V ( x y) x y
xy
的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而
且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条
件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数
L 2( xz yz) xy ( xyz V ),
§4 条件极值
条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.
条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还 能用来证明或建立不等式.
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
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一、问题引入
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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(B) 拉格朗日乘数法
对于前面定义的条件极值问题的一般形式是在条件组：
k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n)
的限制下，求目标函数 y f ( x1 , x2 , , xn ) 的极值.
k
xi
0, i 1,2,
, n;
L
k
k ( x1, x2,
, xn ) 0, k 1, 2,
, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说
明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理
23.19 中去进行.
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三、应用举例
d dx
fx
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
条件极值的求法
条件极值的求法条件极值是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
在解决实际问题时，我们经常需要求解条件极值。
本文将介绍条件极值的求法，包括拉格朗日乘数法、KKT条件法和梯度下降法等。
1. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解有约束条件的极值问题的方法。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束条件的最优化问题，然后求解该最优化问题得到原问题的解。
设函数f(x, y)为原问题的目标函数，g(x, y)为约束条件。
则原问题的拉格朗日函数为：L(x, y, λ) = f(x, y) + λ·g(x, y)其中，λ为拉格朗日乘数。
求解原问题的步骤如下：(1) 对目标函数f(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到无约束条件的最优化问题；(2) 对约束条件g(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到约束条件；(3) 将无约束条件的最优化问题与约束条件联立，求解得到原问题的解。
2. KKT条件法KKT条件法是拉格朗日乘数法的一种推广，可以用于求解更复杂的有约束条件的极值问题。
KKT条件包括：(1) 梯度下降方向：对于无约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向；对于有约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向与拉格朗日乘数的比值。
(2) 边界条件：当梯度下降方向指向可行域外时，需要满足一定的边界条件。
常见的边界条件有：梯度下降方向与可行域边界的交点处的梯度必须大于等于零；梯度下降方向与可行域边界的交点处的拉格朗日乘数必须大于等于零。
(3) 非负约束：对于有非负约束的问题，需要满足非负约束条件。
即目标函数的值必须大于等于零。
3. 梯度下降法梯度下降法是一种迭代求解无约束条件的最优化问题的方法。
其基本思想是通过计算目标函数在当前点的梯度，沿着梯度的负方向进行搜索，直到找到局部最优解或满足停止准则。
梯度下降法的迭代公式为：x(k+1) = x(k) - α·∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解，α为学习率，∇f(x(k))表示目标函数在x(k)处的梯度。
多元函数条件极值
多元函数条件极值多元函数条件极值是数学中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
在数学中，多元函数是指具有多个自变量的函数，而条件极值则是指在一定条件下使得函数取得最大值或最小值的点。
多元函数条件极值的求解是数学中的一个重要问题，它涉及到微积分、线性代数等多个数学领域的知识。
在求解多元函数条件极值时，通常需要利用拉格朗日乘数法。
这种方法是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束条件下的极值问题。
具体而言，对于一个多元函数在一定条件下求取极值，首先需要建立等式约束条件，然后构造拉格朗日函数，并通过求解该函数的梯度为零的方程组来找到极值点。
举个简单的例子来说明多元函数条件极值的求解过程。
假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2，在条件 x + y = 1 下求取极值点。
首先建立等式约束条件 x + y = 1，然后构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)，其中λ 为拉格朗日乘子。
接着求解 L 的梯度为零的方程组，即∇L = 0，最终可以得到函数 f 在条件 x + y = 1 下的极值点。
多元函数条件极值的求解过程相对复杂，需要熟练掌握相关的数学知识和技巧。
在实际问题中，多元函数条件极值常常用于优化领域，如在经济学中的效用最大化、生产成本最小化等问题中都可以应用这一方法。
除了拉格朗日乘数法之外，还有其他方法可以求解多元函数条件极值，如KKT条件、最大值最小值定理等。
不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
总的来说，多元函数条件极值是数学中一个重要而复杂的问题，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相关的数学知识和方法，我们可以更好地解决实际问题，并且提高问题求解的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者对多元函数条件极值有了更深入的了解，同时也能够在实际问题中灵活运用这一方法。
18-4 条件极值 - 精品课程首页
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的极值步骤如下： 1. 2. 作拉格朗日函数
L( x , y, ) f ( x , y ) ( x, y )
求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：
再考察稳定点是否是极值点
求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 解 这个问题实质上就是求函数
f ( x, y, z ) x y z 2 2 在条件 x y z 0, x y z 1 0
2 2 2
下的最大值、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，
作拉格朗日函数
L( x, y, z , , ) x 2 y 2 z 2 ( x 2 y 2 z ) ( x y z 1)
记
x y
f x x 0 极值点必满足 f y y 0 ( x, y) 0 引入辅助函数 L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
令L 的一阶偏导数都等于零，则有
2 x 2 x 0 2 y 2 y 0 2z 0 2 2 x y z0 x y z 1 0
L( x, y, z , , ) x 2 y 2 z 2
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
( x y z ) ( x y z 1)
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例1. 要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱, 问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解:设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 求 x , y , z
高等数学-导数-第四节 函数的单调性和极值
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注意:
（1）把定理中的使f(x)连续的闭区间换成其它 各类区间（包括无穷区间），则函数的单调性 结论在相应的区间上也是成立的.
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
f (4) ( x0 ) a 4! 4!
若a 0, 由极限的局部保号性，可知
f
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
0
有 f ( x) f ( x0 ) 0，即f ( x) f ( x0 )
x0是f ( x)的极小值点。
若a 0, 同理可证 x0是f ( x)的极大值点。
三、最大值与最小值问题 1.求闭区间[a,b]上连续函数y=f(x)的最值 (1)求出f(x)的导数f'(x),令f'(x)=0，求 出驻点；以及使得导数f'(x)不存在的点.
(2)求出(1)中点处的函数值以及端点处的 函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函 数的最大值，最小的就是最小值.
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2. 函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.（费马定 理） 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
高等数学函数的极值及其求法
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
2
例3 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
x 0时, f ( x)
f ( x) f (0) 0 即 x2 2ax 1 e x
例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值
证 分两种情况讨论 ① 设f ( a ) 是f ( x )的极小值， 且f (a) 0
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。
一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。
偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。
考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。
函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。
二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。
通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。
此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。
假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。
使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
条件极值
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem），简称极值问题，是一个常见的数学问题，也是非常实用的数学方法之一。
它可以求解多元函数的极大极小值。
条件极值问题在工程、经济、物理等各个领域都有广泛的应用，是现代科学研究的重要工具。
本文将就极值问题的一般性定义、求解方法、实例应用和最优化原理等方面作一简要介绍。
一、极值问题的一般性定义条件极值问题是一个多元函数的极大极小值的求解问题，也称为最优化问题。
它就是求解函数f(x)在给定条件C(x)=0下的极大或极小值，这里f(x)表示目标函数，C(x)表示约束条件。
二、极值问题的求解方法求解极值问题的关键是利用数学方法求解多元函数的极大或极小值。
一般有以下几种方法：1、求导法。
首先要利用微积分求出函数极值的判据，即最优原理，然后利用求导法求出函数的极值；2、等价转化法。
首先将求解的极值问题转化为等价的标准型解，然后利用判别函数的变化情况求解极值；3、线性规划法。
这是极值问题最常用的求解方法，它可以把极值问题转化为一个线性规划问题，然后求解出解析解；4、善用数值方法。
求解极值问题时，也可以善用数值方法，比如牛顿法、梯度下降法等。
三、实例应用1、求一个凸多元函数的极小值。
这里给出一个凸多元函数f(x)=x1+2x2+3x3。
求它的极小值问题，其约束条件为x1+x2+x3=1，即C(x)=x1+x2+x3-1=0。
利用求导法研究函数极值判据，其一阶导数为f(x)=1+2+3=6，它的极小值出现在导数恒为零的地方。
将约束条件带入判别函数，即F(x)=f(x)-λC(x)=x1+2x2+3x3-λ(x1+x2+x3-1)=0，其中λ为拉格朗日乘子，由于极小值时一阶导数恒为零，所以可以得到F(x)=6-3λ=0，可以求出λ=2，此时可以把原问题转化为等价的标准型问题，即F(x)=x1+2x2+3x3-2(x1+x2+x3-1)=0，然后求解这个非线性方程组，得出x1=0, x2=0.5,x3=0.5,此时f(x)=3，即极小值为3。
《条件极值北工大》PPT课件
2
F2 xi
0
F1( x1, x2 , x3 , x4 ) 0 ,
F2( x1, x2 , x3 , x4 ) 0.
i 1,2,3,4.
此定理可以推广多个函数的情况.
16
一般情况下求条件极值的步骤如下:
引进辅助函数 ( x1, x2, x3 , x4 ,1,2 ) f 1F1 2F2 .
令函数 关于 x1, x2, x3, x4,1,2 的偏导数为0，即
xi
f
xi
1
F1 xi
F2 xi
1
F1( x1 , x2 , x3 , x4 ) 0
2
F2 ( x1 , x2 , x3 x4 )
0
i 1,2,3,4.
（定理的六个方程）
求函数 y f ( x1, x2, x3, x4 ) 在满足联系方
F1 x4
F2
x4
P0
FF12
( (
x1 x1
, ,
x2 x2
, ,
x3 x3
, ,
x4 x4
) )
0 0
的极值点，
15
则存在常数 1 与 2 , 1 与 和2 点 的P0四个 坐标 x10 , x20 , x30 , x40 必同时满足下列方程组：
（共六个方程）
f xi
1
F1 xi
构层图：
按
PCBA
传统机械按键设计要 点：
键
1.合理的选择按键的
开关 键
类型，尽量选择平头 类的按键，以防按键 下陷。
2.开关按键和塑胶按
键设计间隙建议留
f x2
1
F1 x2
2
F2 x2
多元微积分的条件极值
多元微积分的条件极值
多元微积分是一门重要的数学学科，它主要研究多元函数的极值问题，为解决这些问题提供了一种有效的方法。
在多元函数中，条件极值是一种特殊的极值，它的求解是多元极值问题的重要组成部分。
条件极值是指一种特殊的极值，它是函数f(x)在一定条件
下的极值，在多元极值问题中，当给定一定条件，函数f(x)有
极值时，就称为条件极值。
条件极值的求解需要使用多元函数的偏导数，以及多元函数的偏导数的应用。
首先，要求解条件极值，需要确定给定条件，然后根据条件得到一个函数的一阶偏导数，并使用偏导数为0的方法来求解条件极值。
其次，多元函数的偏导数的应用是求解条件极值的重要步骤。
例如，给定函数f(x,y)，当给定一个条件y=g(x)时，可以计算函数f(x,y)的偏导数，并确定函数的极值。
最后，可以使用多元函数的偏导数的应用来求解条件极值，以及使用其他相关方法。
例如，可以使用拉格朗日法、拉格朗日乘子法和微分法等方法来求解条件极值。
总之，条件极值是多元函数极值问题的一种重要类型，它的求解需要使用多元函数的偏导数，以及多元函数的偏导数的应用，同时可以使用拉格朗日法、拉格朗日乘子法和微分法等方法来求解条件极值。
数学分析第十八章极值与条件极值
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
令 Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin 2 ) 0
最值可疑点
稳定点，偏导数不存在的点
边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
第五页，课件共29页
第二节 条件极值与拉格朗日乘数法
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
第一节 极值与最小二乘法
一、 多元函数的极值
定义: 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内有 f (x, y) f (x0 , y0 ) (或 f (x, y) f (x0, y0 ))
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处 A 12, B 0, C 6, AC B2 12 6 0, A 0,
远离原点时，函数将 f 趋于正无
穷。因此，函数 f 的唯一极小值
点是函数的 最小值点，即
条件极值的推导过程
条件极值的推导过程要推导条件极值，首先需要了解什么是条件极值。
在数学中，函数的极值是指函数的最大值或最小值。
当函数在其中一点的导数为零或不存在时，这一点称为函数的极值点。
而条件极值指的是在一定条件下，函数的最大值或最小值。
假设我们有一个函数f(x)，需要求在一个区间[a,b]上的极值，但不仅是在这个区间上，我们还有一个条件g(x)=0。
那么我们需要利用这个条件来求解函数的条件极值。
接下来，我们将通过一个具体的例子来详细推导条件极值的过程。
例子：求函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的极值。
首先，我们需要找到函数的极值点。
函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。
令f'(x)=0，我们可以求得x=0。
接下来，我们需要确定x=0是否满足条件g(x)=x-1=0。
将x=0代入g(x)我们发现，当x=0时，g(x)=0-1=-1，而不满足条件。
因此，x=0不是函数的条件极值点。
此时，我们还需要考虑边界点。
根据条件g(x)=x-1=0，我们可以确定边界点为x=1对于边界点，我们同样需要对函数进行分析。
将x=1代入函数f(x)，我们得到f(1)=1^2=1、此时，x=1满足条件g(x)=0，因此x=1是函数的一个条件极小值点。
综上所述，函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的条件极值为极小值，且极小值点为x=1通过这个例子步骤1：求函数的导数f'(x)。
步骤2：令f'(x)=0，求出所有的极值点。
步骤3：对于每个极值点，将其代入条件g(x)并判断是否满足条件。
步骤4：对于满足条件的极值点，判断其是极小值还是极大值。
步骤5：对于非边界点的条件极值点，需要进行极值的验证。
需要注意的是，这个例子只是简单的说明了条件极值的推导过程。
实际上，在实际问题中，推导条件极值可能会更加复杂。
因此，在解决实际问题时，需要根据具体情况灵活应用这些步骤。
总之，通过求解函数的导数、确定极值点、验证边界点和条件，我们可以推导出函数的条件极值。
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第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
2)这种方法称为拉格朗日乘数法，(10)中的函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数。
3）上述推理过程中，由.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ有00000)()()()(λϕϕ-==∆P P f P P f x x y y ，即)()()()(00000P P f P P f x x y y ϕϕλ-=-=，使得（9）式成立。
4) 方程(11)的解),,(000λy x 只是拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=的一个稳定点, 而),(00y x 仅可能是极值点的坐标（驻点），是否是极值点还需要根据实际问题进一步考察.5) 在几何意义上，关系式(8)表示曲面),(y x f z =的等高线)(),(0P f y x f =与曲线C在点0P 处具有公共切线（见图18－6）.☆ 由结论1可知条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数),,,(21n x x x f y = （3） 的极值.其拉格朗日函数是()(),,,,,,,),,,,,,,(211212121n mk k k n m n x x x x x x f x x x L ∑=+=ϕλλλλ （12）其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数，并有下面定理：定理18.6 设在条件(2)的限制下，求函数(3)的极值问题，其中f 与),,2,1(m k k =ϕ在区域D 内有连续的一阶偏导数。
若D 的内点),,()0()0(10n x x P 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111（13） 的秩为m ，则存在m 个常数)0()0(1,,m λλ ，使得),,,,,()0()0(1)0()0(1m n x x λλ 为拉格朗日函数(12)的稳定点，即),,,,,()0()0(1)0()0(1m n x x λλ 为下述m n +个方程：()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=∑∑==0,,0,,0111111111n m n mk nk n x mk k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕϕλλ 的解。
当1,2==m n 时，定理的正确性已在前面作了说明，对于一般情形的证明可参阅第二十三章的定理23.19。
例1(P166)用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计的问题。
解：这时所求问题的拉格朗日函数是).()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ对L 求偏导数，并令它们都等于0：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ （14）求方程组（14）的解，得3324.22VV z y x -====λ （15）依题意，所求水箱的表面积在条件（1）下确实存在最小值.由（15）知当高为34V，长与宽为高的2倍时，表面积最小. 最小值32)2(3V S =. ▋例2(167) 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：这个问题实质上就是要求函数222),,(z y x z y x f ++=（空间点),,,(z y x 到原点),0,0,0(的距离函数的平方）在条件022=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令()().1),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλμλ对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=.01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为,33117,3353±-=±-=μλ 与 .32,231 =±-==z y x （16） （16）就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集{}1,),,(22=++=+z y x z y x z y x 上连续，从而必存在最大值与最小值），故由)32,231,231(±-±-f 所求得的两个值359 ，正是该椭圆到原点的最长距离359+与最短距离359-.▋例3（P168略） 求xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0(1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值；并证明不等式,)111(331abc cb a ≤++-其中c b a ,,为任意正实数. 解：设拉格朗日函数为.1111),,,(⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=r z y x xyz z y x L λλ对L 求偏导数并令它们都等于0，则有)17(.01111,0,0,0222⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-++==-==-==-=r z y x L x xy L yzx L x yz L z y x λλλλ由方程组（17）的前三式，易得.111μλ====xyz z y x 把它代入（17）的第四式，求出r31=μ.从而函数L 的稳定点为4)3(,3r r z y x ====λ. 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极（小）值，我们可把条件rz y x 1111=++看作隐函数),(y x z z =（满足隐函数定理条件），并把目标函数 ),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下：,,,,1122222222yxzxz F x yz yz xyz yz F y z z x z z x z y x x y x -=-=+=-=-=---=,233xyz xyz yz yz F xx x x xx =++=,2322xyz x z y z z xyz xz yz z F xy x y xy +--=+++=.233yxz F yy =当r z y x 3===时，,3,6r F F r F xy yy xx ===.027*******>=-=-r r r F F F xy yy xx由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点。