一元二次方程第二课时

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2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案

2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。

《一元二次方程(第2课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版

一元二次方程教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成以下问题．问题1．前面有关“执竿进屋〞的问题中,我们列得方程x 2-8x+20=0 列表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …x 2-8x+20…问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 列表：老师点评〔略〕二、探索新知提问：〔1〕问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：〔1〕问题1中x=2与x=10是x 2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x 2+7x-44=0的解.〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x 2+10x+12=0的两根．例2.假设x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,那么求a 的值x 1 2 3 4 5 6 …x 2+7x…点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出以下方程的根吗？〔1〕x2-64=0 〔2〕3x2-6=0 〔3〕x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、稳固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，那么宽为〔x-5〕cm列方程x〔x-5〕=150，即x2-5x-150=0请根据列方程答复以下问题：〔1〕x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．〔2〕完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150〔3〕你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼〞方法求出该方程的根．解：〔1〕x不可能小于5．理由：如果x<5，那么宽〔x-5〕<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，那么面积x2-5x-150=-100，也不可能．〔2〕x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……〔3〕铁片长x=15cm五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕本节课应掌握：〔1〕一元二次方程根的概念；〔2〕要会判断一个数是否是一元二次方程的根；〔3〕要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼〞方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材P34复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x〔x-1〕=2的两根为〔〕．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax〔x-b〕+〔b-x〕=0的根是〔〕．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．x=-1是方程ax2+bx+c=0的根〔b≠0〕，那么a cb b+=〔〕．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，那么m的值为________．3．方程〔x+1〕2+2x〔x+1〕=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求〔a-b〕2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在〔21 xx-〕2-2x21xx-+1=0，•令21xx-=y，那么有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想〔换元法〕，解决小明给出的问题：在〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0中，求出〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0的根．课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

一元二次方程的解法第2课时

一元二次方程的解法第2课时1．一元二次方程的求根公式及推导 (1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝－b ±b 2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a ≠0，在方程两边同除以a ，得x 2＋b a x ＋ca＝0.移项，得x 2＋b a x ＝－ca.方程两边同加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2.由于4a 2＞0，所以当b 2－4ac ≥0时，可得x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b ±b 2－4ac2a.(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于4a 2＞0，所以只有当b 2－4ac ≥0时，式子b 2－4ac4a 2才是非负常数，方程才能开方．(3)由此可见，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b 2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.答案：3x 2－7x －8＝0 3 －7 －8 7±14562．公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，确定a ，b ，c 的值． ②计算b 2－4ac 的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b 2－4ac ≥0，则把a ，b ，c 及b 2－4ac 的值代入求根公式，求出x 1，x 2；若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b 2－4ac ≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值，并注意它们的符号．(4)当b 2－4ac ＝0时，应把方程的根写成x 1＝x 2＝－b2a ，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．【例2】用公式法解下列方程： (1)2x (x ＋2)＋1＝0； (2)x 2＋4x －1＝10＋8x .分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式，然后判断b 2－4ac 的值是大于等于0，还是小于0.若b 2－4ac ≥0，把a ，b ，c 的值代入求根公式求解；若b 2－4ac ＜0，则原方程没有实数根．解：(1)原方程可化为2x 2＋22x ＋1＝0. 因为a ＝2，b ＝22，c ＝1，所以b 2－4ac ＝(22)2－4×2×1＝0. 所以x ＝－22±02×2＝－22.所以x 1＝x 2＝－22.(2)将原方程化为一般形式，得x 2－4x －11＝0. 因为a ＝1，b ＝－4，c ＝－11，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60. 所以x ＝4±602×1＝4±2152.所以x 1＝2＋15，x 2＝2－15.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b 2－4ac ≥0，才能将a ，b 及b 2－4ac 的值代入求根公式求解．当b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例3】解下列方程： (1)x －3＝x (x －3)； (2)(x －2)2＝(2x ＋3)2； (3)x 2－23x ＝－3. 分析：⑴ 移项右边左边能提取公因式(x －3)⑵ 移项左边能用平方差公式进行分解⑶ 移项为 0左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x －3)－x (x －3)＝0. ∴(x －3)(1－x )＝0.∴x －3＝0，或1－x ＝0. ∴x 1＝3，x 2＝1.(2)原方程可化为(x －2)2－(2x ＋3)2＝0. ∴[(x －2)＋(2x ＋3)][(x －2)－(2x ＋3)]＝0，即(3x ＋1)(－x －5)＝0. ∴3x ＋1＝0，或－x －5＝0.∴x 1＝－13，x 2＝－5.(3)原方程可化为x 2－23x ＋3＝0，即 x 2－23x ＋(3)2＝0. ∴(x －3)2＝0.∴x 1＝x 2＝ 3.4．因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．例如，解方程x －3－x (x －3)＝0，可通过提公因式(x －3)，原方程变形为(x －3)(1－x )＝0.(2)能运用公式①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； ②完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x 2－4＝0，利用平方差公式变形为(x ＋2)(x －2)＝0；解方程x 2－4x ＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x －2)2＝0.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．【例4】解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0； (2)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0； (3)(x ＋3)(x －1)＝4x －4.分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．(1) 右边为0 左边可整体利用平方差公式分解因式(2) 右边为0将2x ＋1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解(3) 移项后把右边化为0 变形后能提公因式(x －1)解：(1)原方程可变形为[2(x －3)]22即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴7x －16＝0，或－3x ＋4＝0.∴x 1＝167，x 2＝43.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x ＋3)2＝0.∴2x ＋3＝0.∴x 1＝x 2＝－32.(3)原方程可变形为 (x ＋3)(x －1)－4(x －1)＝0. ∴(x －1)2＝0.∴x 1＝x 2＝1.5．利用因式分解法解一元二次方程的误区应用因式分解法解方程时，常有以下误区：(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为a ·b ＝0的形式就急于求解．对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.(2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项．【例5】解方程：(1)(x －2)(x －3)＝6. (2)2x (x ＋1)＝3(x ＋1)．解答顾问点评(1)错解 x －2＝0，或x －3＝0，得x 1＝2，x 2＝3.用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0正解整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0.∴x ＝0，或x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝5.先整理成一般形式，再选择适当的方法(2)错解方程两边同时除以(x ＋1)，得2x ＝3，解得x ＝32.出现两边同除以(x ＋1)的错误正解移项，得2x (x ＋1)－3(x ＋1)＝0，∴(x＋1)(2x －3)＝0.∴x ＋1＝0，或2x －3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝32.移项后可提公因式(x ＋1)6．选择适当的方法解一元二次方程解法适合类型注意事项直接开平方法(x ±m )2＝n n ≥0时，有解；n ＜0时，无解配方法 x 2＋px ＋q ＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 先化为一般形式再用公式．b 2－4ac ≥0时，方程有解；b 2－4ac ＜0时，方程无解因式分解法方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦； ③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6－1】选择适当的方法解下列方程： (1)3x (x －1)＝1－x ；(2)x 2－2x －11＝0； (3)2x 2－5x －1＝0. 分析：(1) 将方程右边的“1－x ”移到方程左边，则变为“x －1”，此时有公因式“x －1”可提.因式分解法(2) 仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x 2－2x ”易于配方，可选用配方法求解.配方法(3) 公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a ，b ，c 的值，就可以直接代入公式求解. 公式法解：(1)原方程可化为3x (x －1)＋(x －1)＝0， ∴(x －1)(3x ＋1)＝0.∴x －1＝0，或3x ＋1＝0.∴x 1＝1，x 2＝－13.(2)移项，得x 2－2x ＝11，配方，得x 2－2x ＋1＝11＋1，即(x －1)2＝12. ∴x －1＝±23，即x ＝±23＋1. ∴x 1＝23＋1，x 2＝－23＋1. (3)∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0， ∴x ＝－(－5)±(－5)2－4×2×(－1)2×2＝5±334.∴x 1＝5＋334，x 2＝5－334.【例6－2】用适当的方法解下列方程：(1)9(x ＋2)2＝16；(2)(x －1)2－(x －1)－6＝0； (3)4x 2－42x ＋1＝0；(4)(3x －4)2＝9x －12.分析：(1)题利用直接开平方法解较好．(2)题利用因式分解法解较好．(3)题利用求根公式法解较好．(4)题利用因式分解法解较好．解：(1)原方程变形为(x ＋2)2＝169，所以x ＋2＝±43，即x ＝±43－2.所以x 1＝－23，x 2＝－103.(2)原方程变形为(x －1＋2)(x －1－3)＝0，即(x ＋1)(x －4)＝0，所以x ＋1＝0或x －4＝0.所以x 1＝－1，x 2＝4. (3)因为a ＝4，b ＝－42，c ＝1，所以b 2－4ac ＝(－42)2－4×4×1＝16. 所以x ＝42±162×4＝2±12.所以x 1＝2＋12，x 2＝2－12.(4)原方程变形为(3x －4)2＝3(3x －4)，即(3x －4)2－3(3x －4)＝0，分解因式，得(3x －4)[(3x －4)－3]＝0，即(3x －4)(3x －7)＝0，所以3x －4＝0或3x －7＝0. 所以x 1＝43，x 2＝73.7．用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)因式分解．这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1·a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1·c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可以直接写出结果：ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．当二次项系数为1时，上述公式变为x 2＋bx ＋c ＝(x ＋c 1)(x ＋c 2)．此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数．例如，分解因式2x 2－7x ＋3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为1×2与(－1)×(－3)，则交叉相乘再相加，得1×(－1)＋2×(－3)＝－7，结果正好等于一次项系数－7，于是二次三项式2x 2－7x ＋3可分解为(x －3)(2x －1)．【例7】用十字相乘法解下列方程： (1)x 2＋2x －8＝0； (2)6x 2＋5x －50＝0.分析：(1)此方程右边为0，二次项系数为1，常数项－8可分解为4×(－2)，而4＋(－2)＝2，于是原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0.(2)此方程右边为0，左边是一个二次三项式，由于6＝2×3，－50＝(－5)×10，则2×10＋3×(－5)＝5，于是原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0. 解：(1)原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0， ∴x ＋4＝0，或x －2＝0. ∴x 1＝－4，x 2＝2.(2)原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0， ∴2x －5＝0，或3x ＋10＝0.∴x 1＝52，x 2＝－103.。

第二章一元二次方程 2 第二课时

解：a2-4a+4+b2+6b+9=0. （a-2）2+（b+3）2=0. 因为（a-2）2与（b+3）2都是非负数, 所以有a-2=0，b+3=0. 解得a=2，b=-3,
课后作业
请同学们用同样的方法解题：已知a2+b2+c2-2a+4b-6c=-14，试求a，b，c的值.
解：∵a2+b2+c2-2a+4b-6c+14=0， ∴（a-1）2+（b+2）2+（c-3）2=0. ∴a-1=0，b+2=0，c-3=0. 解得a=1，b=-2，c=3.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/292021/8/29Sunday, August 29, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/292021/8/292021/8/298/29/2021 10:10:57 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/292021/8/292021/8/29Aug-2129-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/292021/8/292021/8/29Sunday, August 29, 2021
课堂讲练
【例2】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值.
解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0, ∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0. ∴（m+n）2+（n-3）2=0. ∴m+n=0，n-3=0. ∴m=-3，n=3.

北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》第2课时示范公开课教学课件

①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x -1＜2，则正数根在2到3之间；
②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间；
③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间；若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可.
x
0
0.5
1
1.5
2
x2 + 12x - 15-15-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5.
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
-2
所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．
你的结果是怎样的？
一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 __________________.
3. 近似数 2.36 ≈ _______(精确到0.1).
解
2x2–x -7 = 0
2.4
问题1：下面哪些数是方程 x2 – 2x – 8 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3 ，4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2 – 2x – 8
16
-8
7
0
-5
-8

人教版数学九年级上册21、3 实际问题与一元二次方程第二课时

实际问题与一元二次方程第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标1．掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教学过程一、导入新课问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?分析：总利润＝每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，•x×100）．则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500＋0.1解：设每张贺年卡应降价x元，则x)＝120.(0.3－x)(500＋1000.1解得：x＝0.1.答：每张贺年卡应降价0.1元．我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．二、新课教学例 1 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从上面可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75－y ）（200＋0.25y ×34）＝120．即（34－y ）（200＋136y ）＝120 整理：得68y 2＋49y -15＝0y ＝49268-±⨯ ∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．例2 两年前生产1 t 甲种药品的成本是5 000元，生产1 t 乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t 甲种药品的成本是3 000元，生产1 t 乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析和解答见教材第20页．三、巩固练习1．填空．（1）一个产品原价为a 元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．（2）甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．（3）一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体x L ，则列出的方程是________．参考答案：（1）2 （2）1 （3）(1－63x )2＝2863 2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg ．（2）销售利润y ＝(销售单价x －销售成本40)×销售量[500－10(x －50)]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040＝250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500－5×10＝450（kg）；销售利润：450×(55－40)＝450×15＝6 750元．（2）y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000（3）由于水产品不超过10 000÷40＝250kg，定价为x元，则(x－400)[500－10(x－50)]＝8 000．解得：x1＝80，x2＝60．当x1＝80时，进货500－10(80－50)＝200kg<250kg，满足题意．当x2＝60时，进货500－10(60－50)＝400kg>250kg，（舍去）．四、课堂小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．五、布置作业习题21.3 第7题．21.1 一元二次方程【学习目标】1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力.2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.【重点难点】重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程，准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项.【自主先学】请观察一下,下列哪些是方程？⑴⑵2x+y=16⑶3x+y －1 ⑷3x－4=2x+6一元一次方程的概念：一元一次方程的一般形式：【课堂活动】一、请根据题目意思列出方程,并化简：1．要设计一座高2 m 的人体雕像，使它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？2．有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？二、这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的有什么共同点呢？不同点呢？对照一元一次方程,写出一元二次方程的概念:一元二次方程的一般式：练一练：1、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项（1）4x(x+2) =25 （2）(3 x -2)(x +1)=x -3 (3)x(x-4)=02、（小组合作）已知关于x的方程（a2— 4)x 2— ax ＋2x＋a —2=0⑴若此方程是一元一次方程，则a的取值范围是什么？⑵若此方程是一元二次方程，则a的取值范围是什么？三、下面哪些数能使方程x2–x– 6 = 0 成立?-3 , -2 ,-1 ,0 , 1, 2, 3一元二次方程的解：叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：若x ＝2是方程的一个根，你能求出a 的值吗？四、课堂小结：一元二次方程的概念,一元二次方程的一般式,一元二次方程的解. 2450ax x +-=。

26应用一元二次方程(第二课时)_2023年学习资料

11.某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间-的销售经验，每天的售价x元/箱与销售量-y箱有下表关系：每箱售价x元》-68-67-66-65-40-每天销量y箱-45-50-55-180-已知y与x之间的函数系是一次函数-1求y与x的函数解析式；-解：1设y与x之间的函数关系是y=kx+b.根-据题意，得-r68 +b=40-解得-k=-5,-67k+b=45-1b=380.-∴.y与x之间的函数关系是y=-5x+38 .
2若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长-率相同，问年增长率是多少？-解：设年增长率为a.-2014年的售数量为3500÷35=100（盒）.根据题-意，得-60-35×1001+a2=60-35+11×100 -解得a=0.2=20%或a=-2.2不合题意，舍去.-答：年增长率为20%.
9.毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，-若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个-教师念品，其中教师纪念品每个的成本比学生纪-念品每个的成本多8元-1请问这两种纪念品每本的成本分别是多少？-解 1设学生纪念品的成本为x元/个.根据题-意，得-50x+10x+8=440,解得x=6,-.x+8=6+8 14.-答：学生纪念品的成本为6元/个，教师纪念品的成-本为14元/个.
●●●●●●-基础过关-1.2017无锡某商店今年1月份的销售额是2万元，-3月份的销售额是4.5万元，从月份到3月份，该-店销售额平均每月的增长率是-C-A.20%-B.259%-C.50%-D.62.5%
2.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三-月的营业额共1000万元.若平均每月增长率为x,-则据题意列方程为-D-A.2001+x2=1000-B.200+2001+x2=1000-C.2001+x3 1000-D.200+2001+x+2001+x2=1000

一元二次方程的解法(配方法)第二课时含答案

一元二次方程的解法第二课时1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+h)2=k 的形式为；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是，第二步是，第三步是，解是。

4、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=575、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（） A.46 B.425 C. 419 D. -419 6、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（）A.9B.7C.2D.-27、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5；（2）x 2-100x-101=0；（3）x 2+8x+9=0；（4）y 2+22y-4=0；8、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。

9、完成下列配方过程：（1）x 2+8x+ =(x+ )2 （2）x 2-x+ =(x- )2（3）x 2+ +4=(x+ )2 （4）x 2- + 49=（x- ）210、若x 2-mx+ 2549=(x+ 57)2，则m 的值为（）. A. 57 B.-57 C. 514 D. -514 11、用配方法解方程x 2-32x+1=0，正确的解法是（）. A.(x- 31)2= 98,x= 31±322 B.(x- 31)2=-98,方程无解 C.(x-32)2= 95,x= 352 D.(x- 32)2=1, x 1=35;x 2=-31 12、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-32x-32=0.13、已知直角三角形的三边a 、b 、b ，且两直角边a 、b 满足等式(a 2+b 2)2-2(a 2+b 2)-15=0，求斜边c 的值。

《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)

解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6；答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．

第2课时选择合适的方法解一元二次方程

2.2.3 因式分解法第2课时选择合适的方法解一元二次方程
回顾
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.
动脑筋
下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由.
（1）x2-4x=0；① （2）2x2+4x-3=0；② （3）x2+6x+9=16. ③
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2x+1)（2x-1）=0，
x1=-
12，x2
=
1 2
.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
即
（x+1）2=4，
由此得解得
x+1= 2或 x+1= -2， x1 =1，x2=-3.
说一说如何选择合适的方法来解一元二次方程呢
公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程.
配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法.

1.2一元二次方程的解法2第二课时

课题：1.2—元二次方程的解法（2）第二课时主备：乔丽课型：新授审核：九年级数学组班级 _________ 姓名 _________ 学号 _______________【学习目标】1进一步探究将一元二次方程的一般形式化为（ x + h ） 2= k （k > 0）的过程.2、会用配方法解二次项系数不为 1的一元二次方程.【重点难点】重点：用配方法解二次项系数不为 1的一元二次方程1.方程x 2-2x+1=O 与方程 22x -5x+2=0有什么关系?2.对于二次项系数不为 1的一元二次方程，如何用配方法求解?练一练：1.如何解方程2x 2 4x -^0 ?先将方程两边同时除以 _______ ，得x 2 +2x- _________ =0 再把常数项移到方程的右边，得x 2 + 2x = _______在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，得 x 2 + 2x + ____ = _____ + ____ 即（）2 二 ______解这个方程，得x+1 = ± ______所以 X1 = ____ , X2 = _____【新知归纳】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，应先将方程 ______________________ ,再把方程变形为 ___________________ 的形式（其中h , k 都是常数），如果k ______ 0，再通过 _______________ 求出方程的解。

润州区片区合作平台http ://61.132.31.58:66/ jxa/难点：把二次项系数不为【新知导学】想一想：1的一兀一次方程转化为（x 亠h ）2 =k （k 亠0）的读一读：阅读课本 P 13-P 14【例题教学】例1:用配方法解下列方程2 1 2例2:方程2x - 2x^ =0和2x -x • 1 =0有解吗？如果有，你能求出他们的解吗?2例3 :已知代数式-2X2+4X-18(1)用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数.(2)当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？【当堂训练】1. 把方程3X2+6X-5=0，配方后得(x+m) 2=k,贝U m ___________ , k= ___________2. 用配方法解方程2x2_4x • 3 =0，配方正确的是( )A. 2X2 _4x 4 = 3 4B.22X -4X 4 =-3 423C. X—2x 1 =1D.x2 -2x 1 二-3 1223.用配方法解下列方程(1) 2X2 3x = 0(2)2-5X 2x 1 = 0(3) 1 2 y-y 1 = 022(1) 2x2 -x-1 =0 (2」x2 2x — 1 =02 ⑶—3(x2一么x) - -134. 求证：(1)不论n取任何实数，代数式4卅-4 (m+1 +9的值总是正数(2)当n为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值.【课后巩固】21. (1) X +4X+=( )22(2) 2X -4X+=2(X-)22. ______________________________________________________________ 若代数式2x2-6x+b可化为2 (x-a ) 2-1，则a+b的值是_______________________________________________3•.用配方法解方程2X2-8X-15=0，配方后的方程是( )2 2 2 23 2 31A.( X-2 ) =19B.( X-4 ) =31C.( X-2 ) =D.( X-4 )= '2 24.用配方法解下列方程：（1）3x2_1 =6x （2）6（、2y 1）=3y2（3）_^t2 t_2=045. 若多项式M=3^-x+4，N=f-2x，试判断M与N的大小.6. 用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题.2 2 2例如：因为3a >0,所以3a+1就有最小值1,即3a+1> 1,只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1•同样，因为-3a 2w 0,所以-3a 2+1有最大值1，即-3a2+1< 1,只有在a=0时，才能得 2 2 2 2到这个式子的最大值1;同样对于2x +4x+3=2 (x +2x) +3=2 (x +2x+1) +3-2=2 (x+1) +1,当x=-1 时代数式2x2+4x+3有最小值1 .(1)_____________________ 填空：a.当x= __________________ 时，代数式(x-1 ) 2+3有最 ___ (填写大或小) 值为_____________b.当x= 时，代数式-2 (x+1) 2+1有最(填写大或小)值为(2)运用：证明：不论x为何值，代数式3x2-6x+4的值恒大于0;课后反思:。

2.3.2 用公式法求解一元二次方程(第二课时)

新知探究
小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等. 通过解方程，他得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同.
图1
图2
路的宽不可能为 12 m，因而它不是实
际问题的解，应舍去. 而小路宽 2 m 符合这个实际问题，所以小路的宽是 2 m . （2）你能帮小亮求出图2中的 x 吗？
第二章一元二次方程
3. 用公式法求解一元二次方程（第2课时）
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
情境引入
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？
的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道
路的宽为多少？
x
解：设道路的宽为 x 米
20
(32-x)(20-x)=540
x
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
32
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
4 个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且半径为 x m，
根据题意，得πx2 1 1216 . 解得 x 2
96 π
5.5
.
所以图
中的 x约为 5.5.
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.（答案不唯一）
随堂练习
对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图3 所示，你能帮她求出图中的 x 吗？

二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)

x1

b 2a
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
{x|x<x1，或x>x2}
x
x b 2a
没有实数根
R
复习回顾
知识清单： (1)一元二次不等式的概念. (2)二次函数的零点. (3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用. 方法归纳：数形结合、分类讨论.
问题一：不含参数的一元二次不等式的解法问题二：含参数的一元二次不等式的解法问题三：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
若对 xR 不等式 x2 mx 4x m 4恒成立，求实数 m 的取值范围
跟踪训练若x2 4x m 4在 R 上恒成立，求 m 的取值范围
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）
复习回顾
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋有两个不相等的实有两个相等的实数根
bx＋c＝0(a>0)的根数根x1，x2(x1<x2)
变式探究：（一）高次不等式
若上述不等式改为三次不等式如：（x2 7x 12）(x 1) 0 那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？
变式探究：（二）分式不等式
2：解下列不等式 2x 5 0 x4
x 1 1 2x 3
跟踪训练
2x 1 0 3x 1
2 x 1 x3
变式探究：（三）恒成立
变式探究：（一）高次不等式
1．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解集为 ( ) A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) B．(－∞，3)∪(4，＋∞) C．(－4，－3) D．(3,4)

2.1.2一元二次方程第二课时估算解范围

课堂精讲
【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间， ∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25. 故选：C.
（3）完成下表：表格中的数值估计方程的解
x
0
1
1.5
2
82x52x 28 18 10 4
（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.
y
从“形”
y=2x+20
20
上看
－10
0x
（思考：直线y=2x+20的图象与x轴交点坐标为（
x
-3 -2
x2-12x 13 0
…
9
10
… -11 0
所以，x=0或x=12
根据下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x
的范围是（ C ）
A.x＜﹣1
B.﹣1＜x＜1
C.1.1＜x＜1.2
D.1.2＜x＜1.3
2. 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（ a≠0，A，B，C为常数）一个解的范围是（ C ）
关键视点
1.一元二次方程解的估算的实质是_估__计__解__的__取__值_
_范__围__.当相邻的两个整数，一个数使
另一个数使
则一元二次方程的解就
_介__于__这__两__个__数__之__间____.

24.2解一元二次方程第2课时公式法

解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
2a
（2）先将原方程化为一般形式，确定a，b，c的值.
（3）代入公式计算前，一般先计算b2-4ac的值，若b24ac≥0，把b2-4ac的值直接代入求根公式求方程的根；若 b2-4ac<0，直接说明此方程无实数解.
(4)当的值等于0时，必须把原方程的根写成的
x1 x2
b 2a
形式，说明原方程有相等的根而不是一个根.
第二十四章解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第2课时公式法
2019/9/21
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学习目标
1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式. 2.能够用公式法解一元二次方程.(重点、难点)
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2
导入新课
回顾与思考问题1 用配方法解下面这个一元二次方程：
b2 4ac 72 4 2(4) 81 0
x 7 81 -7 9
22
4

x1

1 2
,
x2

-4.
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问题2 用公式法解下列一元二次方程：

解一元二次方程第2课时配方法

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法第2课时配方法
新课导入
请x2+6x+4=0转化为(x+m)2=n的形式吗？
这节课我们一起来学习配方法。
（1）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程. （2）通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
解：移项, x2+2x=-2 配方, x2+2x+1=-1 (x+1)2=-1 方程没有实数根.
（3）x(x+4)=8x+12
解：化简移项 x2-4x=12 配方 x2-4x+4=16 (x-2)2=16 x-2=±4 方程的两个根为x1=6, x2=-2
①当p>0时，则，方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.
(2) 2x2+1=3x
(2) 解：移项，得：2x2-3x=-1 二次项系数化为1：配方，得：
(3) 3x2-6x+4=0
(3) 解：移项，得：3x2-6x=-4 二次项系数化为1：配方，得：
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意什么？
思考2：说说配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.