麦克斯韦气体分子速率分布定律

m i 5 E = ⋅ RT = 0.3× ×8.31× 273 =1.70×103 J M 2 2
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 速率分布律：不管分子运动速度的方向如何， 速率分布律：不管分子运动速度的方向如何，只 考虑分子按速度的大小的分布的规律. 考虑分子按速度的大小的分布的规律. 速率分布函数的意义：用统计的说明方法， 速率分布函数的意义：用统计的说明方法，指出 在总数为N 的分子中， 在总数为 的分子中，在各种速率区间的分子各有多 或它们各占分子总数的百分比多大， 少，或它们各占分子总数的百分比多大，这种说明方 法就给出分子按速率的分布. 法就给出分子按速率的分布. 区间的分子数. ∆N 为速率在 v → v + ∆v 区间的分子数.
非刚性分子平均能量 非刚性分子平均能量
1 1 2 2 ε v = µ vCx + kx 2 2
ε = ε kt + ε kr + ε v
分子能量中独立的速度和坐标的二次方 自由度 分子能量中独立的速度和坐标的二次方 数目叫做分子能量自由度的数目 简称自由度， 叫做分子能量自由度的数目, 项数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度， 表示. 用符号 i 表示
o
M H = 0.002 kg ⋅ mol
−1
M O = 0.032 kg ⋅ mol
−1
R = 8.31 J ⋅ K ⋅ mol
−1
−1
T = 300 K
−1
vrms = 3RT M
氢气分子 氧气分子
vrms = 1.93 × 10 m ⋅ s −1 vrms = 483 m ⋅ s
3
i E = NAε = RT 2
m' m' i i mol 理想气体的内能 E = RT = ν RT M M 2 2
（物质的量
ν = m′ M
）
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
m' i i 理想气体的内能 E= RT = ν RT M 2 2 i dE = ν RdT 理想气体内能变化 2
∆ N 表示速率在 v → v + ∆v 区间的分 子数占总数的百分比 . N ∆N 有关， = f (v)∆v 与 v 有关，与 ∆ v 成正比 N
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 一 麦克斯韦气体速率分布律
分 ∆N /( N∆v) 子 速 率 分 布 图 O
N ：分子总数
∆S
∆ N 表示速率在 v → v + ∆v 区间的分 ∆S = N 子数占总数的百分比 .
几种刚 几种刚性分子理想气体的内能
1mol 单原子分子气体 1mol 双原子分子气体 1mol 多原子分子气体
3 E = RT 2
5 E = RT 2
E = 3 RT
T 成正比 成正比.
理想气体内能只是温度的函数， 理想气体内能只是温度的函数，和
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 两种气体自由度数目不同，温度相同， 例 两种气体自由度数目不同，温度相同，摩尔数 相同，下面那种叙述正确？ 相同，下面那种叙述正确？ 它们的平均平动动能、平均动能、 （A）它们的平均平动动能、平均动能、内能都相同 它们的平均平动动能、平均动能、 （B）它们的平均平动动能、平均动能、内能都不同 它们的平均平动动能相同， （C）它们的平均平动动能相同，而平均动能和内能 不同 它们的内能相同， （D）它们的内能相同，而平均平动动能和平均动能 都不相同
∆N 为速率在 v → v + ∆v
v v + ∆v
v
区间的分子数. 区间的分子数
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
∆N 1 ∆N 1 dN 分布函数 f ( v) = lim = lim = ∆v→0 N∆v N ∆v→0 ∆v N dv
f (v)
dS
O
v v + dv
v
dN = f (v)dv = dS N
m RT ，有 M
M=
ρRT 1.25×10−3 ×8.31×273
p = 10 ×1.013×10
−3 5
= 0.028 kg/mol
由结果可知，这是N2 或CO 气体。 由结果可知， 气体。
(2) 气体分子平均平动动能和平均转动动能为
3 3 εt = kT = ×1.38×10−23 × 273 = 5.56×10−21 J 2 2
一容器内某理想气体的温度为273K，密度为ρ= 1.25 g/m3， ， 例 一容器内某理想气体的温度为 压强为 p = 1.0×10-3 atm × 气体的摩尔质量，是何种气体？ 求 (1) 气体的摩尔质量，是何种气体？ (2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平动动能？ 单位体积内气体分子的总平动动能？ (4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？ 设该气体有0.3 mol，气体的内能？ 解 (1) 由 pV =
2
v
2
f (v)
v
∫ =
2
N
0
v dN N
2
∫ =
∞
0
v Nf (v)dv N
2
2
o
v
3 RT M
3kT v = m
3 kT v rms = v = = m 8 kT 8 RT v= = πm πM
2
vp < v < v
2kT 2 RT vp = = m M
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
2kT vp = m
1 kT ，这就是能量按自由度 均能量都相等， 这就是能量按自由度 均能量都相等，均为 2
均分定理 .
分子的平均能量 分子的平均能量
i ε = kT 2
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 三 理想气体的内能
理想气体的内能 ：所有分子热运动动能和分子 内原子间的势能之和（温度的单值函数） 内原子间的势能之和（温度的单值函数） . 1 mol 理想气体的内能
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
m 32 ) e 麦氏分布函数 麦氏分布函数 f ( v ) = 4 π ( 2 π kT
mv2 − 2 kT
v
2
dN m 32 = 4π( ) e N 2 π kT
反映理想气体在热动 平衡条件下， 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分 比的规律 .
vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. 是气体分子中大部分分子所具有的速率. 是速率最大的速度值. （B） vp 是速率最大的速度值. 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（ A） （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 例最大. 例最大.
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 （2）平均速率
f (v)
∆S
dN = f ( v )dv = dS N 速率位于v → v + dv 内分子数
o
v1 v2
v
dN = Nf ( v )dv
v v1 → v2 区间的分子数 ∆N = ∫v 2 N f ( v )dv 速率位于 1
速率位于 v1 → v2 区间的分子数占总数的百分比
∆ N ( v1 → v 2 ) v2 ∆S = = ∫v f ( v )d v 1 N
v
v1dN1 + v2dN2 + L+ vi dNi + L+ vndNn v= N
∫ v=
N
0
vdN N
∫ =
∞
0
vNf (v)dv N
o
f (v)
v=∫
∞
0
8kT vf ( v )dv = πm
v ≈ 1 . 60
v
RT M
kT = 1 . 60 m
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 （3）方均根速率
f (v)
v=
8 kT πm
f (v)
O2
3kT v = m
2
T1 = 300 K
T2 = 1 200 K
H2
O
vp1 vp2
v
O
vpO vpH
v
N2气分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不同 气体的速率分布
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均 根速率 vrms . 解
（A） ）
pV m
（B） pV ） （D）pV ）
(kT )
(m T )
（C） pV ）
(RT)

解
p = nkT
pV N = nV = kT
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
一
自由度
1 2 3 ε kt = m v = kT 2 2 1 2 2 2 2 vx = v y = vz = v 3
z
εr = kT =1.38×10 × 273 = 3.77×10 J
−23 −21
(3) 单位体积内气体分子的总平动动能为
p 1.013×102 Et = εt ⋅ n = εt ⋅ = 5.56×10−21 × −23 kT 1.38×10 × 273 =1.52×102 J/m3
(4) 由气体的内能公式，有 由气体的内能公式，
2kT kT vp = ≈ 1.41 m m
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速率 vp
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 讨论 关于麦克斯韦速率分布中最概然速率 关于麦克斯韦速率分布中最概然速率 概念，下面哪种表述正确？ 概念，下面哪种表述正确？
vp 的