探索三角形相似的条件(一)

探索三角形相似的条件

1.平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交，所得的三角形与原三角形相似

2.两个角对应相等的两个三角形相似。

3.基本图像介绍

平行型

非平行型

二、典型例题分析

例1 、如图，△ABC为等边三角形，双向延长BC到D、E,使得∠DAE=120°求证：BC是BD、CE的比例中项。

证明：因为△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°

又∠DAE=120°，∴∠1+∠2= °.

又∠ABC=60°= ，∴∠2=

同理可得，∠1=∠E.

∴△ABD∽△ECA.

∴

∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC

∴

∴BC为BD、CE的比例中项。

变式练习：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB 和AB延长线上的点，∠DCB=∠ECB.

求证：AB是AD和AE的比例中项。

例2.如图，已知；CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,

E是CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥

AB,垂足是G.

求证：

变式练习：如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,求证：

课堂练习.

1、下列说法错误的是（）

A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；

B、顶角相等的两个等腰三角形相似；

C、有一个角是100°的两个等腰三角形相似；

D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。

2、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（）

3、如图，点D为△ABC中AB边上的一点,且∠ABC=∠

ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为（）

A. 2 cm

B. cm

C. 12 cm

D. 2cm

4、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB 的长为10mm，AC被分为60

等份。如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是

mm.

5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1=______，

△ADC∽△ACB，若∠2=______时，△ADC∽△ACB．

若△ADC∽△ACB，则

6、如图，AB=9，AC=6，点M在AB上，且AM=3，点N在AC上运

动，连接MN，若△AMN与△ABC相似．则AN=______．

7、如图，Rt△ABC中∠A=90°，四边形DEFG为内接正方形

求证：=BE•FC．

8、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．

（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．

(3)吗？请说明理由. (4)若BC=9，BD=3，求

探索相似三角形的条件（二）

判定方法两个三角形相似的条件两个三角形全等的条件1两边对应成比例，夹角相等两边对应相等，交角相等2两个角对应相等两个角和一边对应相等3三边对应成比例三边对应相等

例1.下面每组的两个三角形是否

相似?为什么?

（1）△ABC∽△DEF

证明：∵

∴△ABC∽△DEF

（2）△ABC∽△AEF

证明：在△ABC中，AB=2，AC=6

∵

∴

∵∠A=∠A

∴△ABC∽△AEF

例2.如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的两点，AD•AB=AE•AC．求证：DE⊥AB．

变式练习：正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2．（每一个小正方形的边长为1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；

例3：如图，点M在B C上，点N在A M上，C M＝C N，

求证：(1)∠A N C=∠A M B

(2)△A N C∽△A M B

(3)∠B A M=∠C A M

变式练习：锐角△A B C中，B E⊥A C于，C F

⊥A B于，B E,C F相交于点O,连结E F

求证：(1)

(2)△ABC∽△A E F

(3)△O E F∽△O C B．

(4)若∠A=60°，求

一、课堂练习

1、△ABC和△A′B′C′符合下列条件，这两个三角形不相似的是（）

A．∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°

B．AB=1, AC=1.5, BC=2, A′B′=4 A′C′=2 ,B′C′=3 C．∠A=∠A′AB=2 AC=2.4 ,A′B′=3.6 A′C′=3

D．ABC=3 AC=5 BC=7 ,A'B'=A'C'=A'B'=

2如图，要使△A B C∽△A CD，应具备的条件是（）

3，如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）

与左图中△ABC相似的是（）

4、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD和BE相交于点O，

下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）

A．∠B=∠C B．AD：AC=AE：AB

C．∠ADC=∠AEB D．BE=CD，AB=AC

5、如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D

作一条直线截△ABC的边AC（或BA）,若截得的三角形

与△ABC相似，

则这样的直线一共有（）条。

A . 2

B . 3

C . 4

D . 5

6、如图，已知：∠DAB=∠ECB,∠ABD=∠CBE

求证：△ABC∽△DBE

7、已知: 如图,在△ABC中, ∠BAC=90°,AD⊥BC于D,

E是AB上一点,AF⊥CE于F,AD交CE于G点,

求证：∠B=∠CFD．

8、（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；

（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。