(配方法与配凑法)

初中数学方法篇一：配方法

数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。

点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。

4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。

例4、解方程052422=+-++y x y x 。

点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。

5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。

可以使我们求出所要求的最值。

例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。

初中数学10种解题方法之配方法

初中数学10种解题方法之配方法初中数学10种解题方法之配方法同学们注意了，配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

下面小编为大家带来的就是初中数学10种解题方法之配方法。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

上面的内容是初中数学10种解题方法之配方法，小编相信朋友们看过以后都有所了解有所掌握了吧。

接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。

初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。

对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。

总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。

你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。

初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。

学会画图画图是一个翻译的过程。

读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。

这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。

有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。

尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。

所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。

画图时应注意尽量画得准确。

画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。

二次函数一般式配方法的过程

二次函数一般式配方法的过程1. 引言二次函数是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模中常见的数学模型。

二次函数的一般式是y=ax2+bx+c，其中a、b和c都是实数且a eq0。

求解二次函数一般式的配方法，可以使我们更好地理解和分析二次函数的特点和性质。

2. 配方法的基本思想配方法，也称为“配方法”或“配凑法”，是解决二次函数一般式的常用方法之一。

其基本思想是通过构造一个完全平方的加数，将二次函数转化为平方的和或平方差的形式。

具体操作是通过将二次函数中的二次项与一次项进行配凑，使得一次项的系数变成某个完全平方的形式。

3. 配方法的步骤配方法主要包括以下几个步骤：步骤 1: 确定二次项系数a首先，根据给定的二次函数一般式y=ax2+bx+c，确定二次项的系数a。

注意，这里要求a eq0，否则将无法使用配方法。

步骤 2: 移项将二次函数一般式移项，使得表达式中只包含一次项和常数项。

可以使用代数运算规则进行移项，将二次项和一次项移到等号的同一侧。

步骤 3: 完成平方为了配成(x+k)2或(x−k)2的形式，需要在二次式中增加一些项，以便使得一次项的系数能成为某个完全平方的形式。

如果b为正数，我们需要增加 $(\\frac{b}{2})^2$ 的形式；如果b为负数，则需要增加 $(-\\frac{b}{2})^2$。

步骤 4: 提取平方项并约化将增加的平方项与已知的二次项和常数项进行合并，提取出完全平方项，并进行约化。

步骤 5: 重新组合得到完全平方并约化的形式后，将其与移项后的一次项进行重新组合，得到二次函数的配方形式。

4. 例子为了更好地理解二次函数配方法的过程，我们来举一个例子。

假设有一个二次函数y=2x2+8x+6，我们将使用配方法将其转化为配方形式。

步骤 1: 确定二次项系数根据给定的二次函数，我们可以确定二次项系数a=2。

步骤 2: 移项将二次函数一般式移项，得到2x2+8x+6=0。

步骤 3: 完成平方由于b=8为正数，我们需要增加 $(\\frac{8}{2})^2=16$ 的形式。

因式分解配凑法

因式分解配凑法因式分解配凑法是高中数学中的一种常用方法，用于将多项式因式分解为更简单的形式。

通过配凑，我们可以将复杂的多项式化简为易于处理的因子，从而更好地理解和分析多项式的性质和特点。

在我们开始深入探讨因式分解配凑法之前，让我们首先回顾一下因式分解的基础知识。

在数学中，因式分解是将一个多项式表示为一组乘积的形式，其中每个乘积因子都是多项式的因子。

在因式分解配凑法中，我们的目标是将给定的多项式分解为两个或更多个较小的因子。

通常，我们通过配凑一些特定的项来达到这样的目的。

下面，我将分享几个常见的因式分解配凑法，以帮助您更好地理解和掌握这一方法。

1. 两项因式分解：对于形如a^2 - b^2的差平方多项式，我们可以使用“差平方公式”进行因式分解。

该公式表达为a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

通过将多项式转化为差平方形式，我们可以轻松地将其分解为两个因子。

2. 三项因式分解：对于三项多项式，我们可以利用“分组配方”来进行因式分解。

该方法适用于形如ax^2 + bx + c的三项多项式。

我们首先尝试将该多项式分成两组，并利用其内部的特定项进行配方。

我们可以对其进行因式分解。

3. 四项因式分解：对于四项多项式，我们可以使用“交叉乘积法”进行因式分解。

该方法可以将四项多项式分解为两个二次因式的乘积。

通过找到适当的乘积形式，并利用交叉和乘积的性质，我们可以将其进行因式分解。

通过以上的配凑法，我们可以将复杂的多项式因式分解为更简单的形式。

这有助于我们更好地理解多项式的结构和性质。

除了在解题中应用因式分解配凑法外，它还在代数、数学建模和物理等领域中有广泛的应用。

总结起来，因式分解配凑法是一种用于将多项式以简单因子的形式展示的重要数学方法。

通过配凑特定的项，我们能够将复杂的多项式化简为易于处理的因子，从而更好地理解和分析多项式的性质和特点。

该方法广泛应用于解题和实际问题中，并具有重要的数学应用价值。

函数三要素

高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。

每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。

2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。

二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。

(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。

三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。

（2）反解法。

（3）配方法。

（4）不等式法。

（5）单调性法。

（6）换元法。

（7）数形结合法。

（8）导数法。

函数解析式求法和值域求法总结及练习题_3

函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(x x xx f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．函数值域求法小结1．重难点归纳．(1)求函数的值域．此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．(2)函数的综合性题目．此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．(3)运用函数的值域解决实际问题．此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 2．值域的概念和常见函数的值域．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域．常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦．反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠．指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >．对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ．3．求函数值域（最值）的常用方法．一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域．2、求函数y =的值域．二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f ．2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

配方法怎么配的

配方法怎么配的
配方法就是指将一个式子(包括有理式和超越式)或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。

配方法
在基本代数中，配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。

配方法通常用来推导出二次方程的求根公式：我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。

由于问题中的完全平方具有(x + y)2= x2+ 2xy + y2的形式，可推出2xy = (b/a)x，因此y = b/2a。

等式两边加上y2= (b/2a)2，可得：这个表达式称为二次方程的求根公式。

二次方程的求根公式
把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，
求出判别式△=b²-4ac的值
当Δ=大于0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；
当Δ小于0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

配方法与配凑法

配方法与配凑法配方法与配凑法要点：配方法：将问题看成某个变量的二次式，并将其配成一个完全平方与一个常量的代数和的形式，以达到发现和研究问题性质的方法。

此方法在解二次函数的有关问题及化简曲线方程中经常用到。

配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决问题的方法。

常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。

一，选择题。

1，已知集合A={m|m=t2－4t＋3，t(Z}，B={n|n=－t2－2t＋2，t(Z}。

则A EMBED Equation.3 B等于（）A、(B、RC、[－1，3]D、{－1，3}2, 已知函数y=－EMBED Equation.3 cos2x－4sinx＋EMBED Equation.3 的值域是( )A、[5，10]B、[2，10]C、[2，5]D、[1，10]3, 方程x2＋y2－4kx－2y－k=0表示圆的充要条件是( )A、EMBED Equation.3 <k<1B、k< EMBED Equation.3 或k>1C、k(RD、k= EMBED Equation.3 或k=14，已知长方体的全面积为11，其中12条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A、2 EMBED Equation.3B、EMBED Equation.3C、5 D、65，已知(，(是方程x2－2ax＋a＋6=0的两实根，则((－1)2＋((－1)2的最小值是（）A、－EMBED Equation.3B、8C、18D、9 6，若椭圆EMBED Equation.3 ＋y2=1(a>1)和双曲线EMBED Equation.3 －y2=1(b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点。

则(F1PF2面积为（）A、1B、EMBED Equation.3C、2D、47，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)=f(x)，x((0，1)时，f(x)=2x－1。

“配凑法”巧解数学题的八种常见形式

ｆＮ２ｉ７。Ｍ＋＝ｓ０ｎ
分析：按如下常规方法去解，较麻烦。
『７０一 ≥
｛ｘ３≥０２－１
１／Ｉ、丽（
）。
≥（
）
而用配凑法，将原不等式化为Ｖ＇（－—＋、＞ — ｘ７ｌ一／＝０２）显然当一Ｉ０，７时上述不等式成立，＞从而得出答案。例２求ｃｓ０．ｓ０ｃｓ０．ｏ８。：ｏ２ｏｃ４ｏ６ｏｃｓ０的值ｏ分析：０、０、０晗好有２角关系，而ｃｓ０＝１可不２。４。８倍ｏ６ｏ
１
。
是大有裨益的。下面介绍 “ 配凑法” 解初等数学题的八种常见表
现形式。
二、对偶配凑
数学中相对成偶的知识比比皆是，如加减相对、除相对、乘原式与倒数相对、正弦函数与余弦函数相对等。有些数学问题
一
、
原式配凑
条件）人手很难，至不可能。这时若分析题中各甚有些数学问题，可对原式（条件）直接进行配凑，以变成可用直接从原式（部分的结构，有意地进行各部分配偶成对，则出现了另一番新天公式、定理或达到整体效果。这是最简单的一种配凑法，多用于地 — — 问题迎刃而解。代数、三角学中，其具体做法不外乎是恒等变形，如同加（）同减、例４（９５：１９年理科高考题）ｓ２￣ｃｓ＆＋ｉ２￣ｏ５￣求ｉ２＋ｏ＇ｓ０ｃｓ０ｎ０－５ｎ乘（）同乘（）除、开方等。
特别地０３４４２＋
６１＋２９
…＝（＋）６口６，６。［ｎ６＇（一）刁＋＋

8 例析利用配方法解题题型高中常用数学方法的介绍例析体验练习

【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。

所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。

一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。

例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。

【提示】【解析】【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。

二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。

例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。

高一数学必修一重难点讲解

高中必修一一些重点函数值域求法十一种 (2)复合函数 (9)一、复合函数的概念 (9)二、求复合函数的定义域： (9)复合函数单调性相关定理 (10)函数奇偶性的判定方法 (10)指数函数： (12)幂函数的图像与性质 (15)函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-〔1〕当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ 〔2〕当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-〔1〕 ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

高级高中数学方法篇之配方法

高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。

一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

不等式的配凑技巧

不等式的配凑技巧不等式的配凑技巧在不等式证明中，配凑法是一种常用的技巧。

通过合理地配凑，我们可以将不等式转化为更容易处理的形式，从而达到证明的目的。

本文将详细介绍不等式的配凑技巧，包括如何寻找配凑项、如何选择合适的配凑系数以及常见的配凑方法。

一、寻找配凑项在不等式证明中，寻找合适的配凑项是关键。

通常，我们可以通过观察不等式的结构和特点，分析不等式中的各项之间的关系，从而找到合适的配凑项。

例如，在证明a^2 + b^2 ≥ 2ab 这个不等式时，我们可以观察到左边是两个平方项的和，右边是两项的乘积的2倍。

为了消去右边的乘积项，我们可以考虑在左边加上和减去一个相同的项，这样就可以将右边的乘积项转化为平方项。

因此，我们可以选择 (a-b)^2 作为配凑项。

二、选择合适的配凑系数在选择好配凑项之后，我们还需要选择合适的配凑系数。

配凑系数的作用是将原不等式转化为更容易处理的形式。

通常，我们可以通过观察不等式的结构和特点，分析不等式中的各项之间的关系，从而找到合适的配凑系数。

例如，在证明a^2 + b^2 ≥ 2ab 这个不等式时，我们选择了 (a-b)^2 作为配凑项。

为了将原不等式转化为更容易处理的形式，我们可以考虑在不等式两边同时乘以一个正数。

因此，我们可以选择 1/2 作为配凑系数，将不等式转化为 (a^2 + b^2)/2 ≥ (a+b)^2/4 - (a-b)^2/4，这样就可以更容易地证明不等式了。

三、常见的配凑方法1.配方法配方法是利用完全平方公式来证明不等式的方法。

通常，我们可以通过配方将不等式转化为更容易处理的形式。

例如，在证明a^2 + b^2 ≥ 2ab 这个不等式时，我们可以将不等式转化为(a-b)^2 ≥ 0，这样就可以更容易地证明不等式了。

2.均值不等式法均值不等式法是利用均值不等式来证明不等式的方法。

通常，我们可以通过使用均值不等式将不等式转化为更容易处理的形式。

例如，在证明a^2 + b^2 ≥ 2ab 这个不等式时，我们可以利用均值不等式得到a^2 + b^2 ≥ 2(ab)^(1/2)，这样就可以更容易地证明不等式了。

配凑法

高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。

Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log1(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－≦, 54] B. [54,+≦) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

例谈求解函数问题的几个基本方法

知识导航贾培知识导航可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示，这些待确定的系数(或参数)，被称作待定系数.在运用待定系数法解题时，需要首先明确函数的类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，然后设出待定的系数，结合题意建立关系式，求得系数的值，即可解题.例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点M（3，-6），求此二次函数的解析式.解：∵二次函数的最大值是2，∴抛物线顶点的纵坐标为2，又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时，x=1，故顶点坐标为（1，2），可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2.又函数的图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)2+2，解得a=-2，∴所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2，即y=-2x2+4x.解答本题，要先根据已知条件求出顶点坐标（1,2），然后采用二次函数的顶点式，设一个待定系数a，将已知的点M代入解析式中便可求出a的值，进而求得函数的解析式.五、消元法消元法是指将多个关系式中的若干个元素（或参数）通过有限次的变换，消去其中的某些元素（或参数），从而使问题获得解答的方法.在解题的过程中，可通过等量代换，将一些与所求目标无关的量消去，求得结果.例5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(1x)=2x+1,求函数f(x)的解析式.解：已知f(x)+2f(1x)=2x+1,（1）以1x代换上式中的x，得f(1x)+2f(x)=2x+1,（2）由（1）-2（2）可得f(x)=4+x-2x23x.对于这类已知一个条件中含有两个未知式（f(x),f(1x)）的问题，通常采用赋值代换的方式再构造一个等式，通过联立方程组、消元求得结果.六、最值法对于恒成立或存在性问题，我们往往采用最值法来解答.一般地，可将恒成立或存在性问题转化为求函数最值问题：（1）对任意x∈R,f(x)>g(m)恒成立⇔f(x)min>g(m)；（2）对任意x∈R,f(x)<g(m)都成立⇔f(x)max<g(m)；（3）若存在x∈R,使f(x)>g(m)成立⇔f(x)max>g(m)；（4）若存在x∈R,使f(x)<g(m)成立⇔f(x)min<g(m).只要求得对应函数的最值，找到问题中某个式子恒成立或某个量存在的条件，就可以解出.例6.已知函数f(x)=x2+ax+3-a，若x∈[-2,2]，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围.解：若x∈[-2,2]，f(x)≥2恒成立等价于对任意x∈[-2,2]，f(x)min≥2.而函数f(x)图象的对称轴x=-a2，则问题等价于ìíîïï-a2≤2,f(x)min=f(-x)=7-3a≥2,或ìíîïï-2≤-a2≤2,f(x)min=f(-a2)=3-a-a24≥2,解得-5≤a≤22-2，故a的取值范围为[-5,-2+22].这里直接将恒成立问题转化为“对任意x∈[-2,2]，f(x)min≥2”，求得函数f(x)的最小值，并使其大于或等于2，便可求得a的取值范围.七、分离参变量法分离参变量法是通过恒等变换将含有变元（参变量）的式子与不含变元（参变量）的式子分离开的方法.一般地，可将含有某个变元（参变量）的式子放在不等式(或方程)的一端，不含变元（参变量）的式子放在不等式(或方程)的另一端，求得不含变元（参变量）的式子的最值，便可得到参数的取值范围.例7.若函数f(x)=x2-3x-2a在x∈[-1,3]上有f(x)≤x+2a2-5a+3恒成立，求实数a的取值范围.解：在x∈[-1,3]上有f(x)≤x+2a2-5a+3恒成立⇔在x∈[-1,3]上有x2-4x-3≤2a2-3a恒成立，记g(x)=x2-4x-3(x∈[-1,3])，则g(x)max=g(-1)=2，于是2≤2a2-3a，解得a≤-12或a≥2.故实数a的取值范围为(-∞,-12]⋃[2,+∞).（下转76页）Why do you think so ？（引导学生思考，你对自己的校园生活为什么会产生如此的感受，比如对老师、同学以及日常生活的感受等。

数学新课标一元二次方程

数学新课标一元二次方程
数学新课标中，一元二次方程是初中数学教学中的一个重要内容。

一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。

这种方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数，x是未知数，且a≠0。

一元二次方程的解法主要有以下几种：
1. 直接开平方法：当方程可以写成(x+m)^2 = n的形式时，可以直接开平方得到x的解。

2. 配方法：通过将方程的左边配成完全平方的形式，再利用平方根的定义来求解。

3. 公式法：对于一般形式的一元二次方程，可以使用求根公式x = [-
b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)来求解。

4. 因式分解法：通过将方程左边因式分解，转化为两个一次方程的乘积等于0，从而求解。

5. 配凑法：在某些特定情况下，可以通过配凑将方程转化为完全平方的形式，从而求解。

在解决一元二次方程时，我们需要根据方程的特点选择合适的解法。

例如，当方程的系数较小，且可以因式分解时，因式分解法是较为简便的方法。

而当方程不易因式分解时，公式法则更为通用。

一元二次方程的应用也非常广泛，它在几何问题、物理问题、经济问
题等领域都有重要的应用。

例如，在几何问题中，一元二次方程可以用来求解二次曲线的交点；在物理问题中，可以用来描述物体的运动轨迹；在经济问题中，可以用来分析成本和利润的关系。

总之，一元二次方程是数学中的基础内容，掌握其解法对于解决实际问题具有重要意义。

通过不断的练习和应用，可以提高解决一元二次方程的能力，为学习更高层次的数学知识打下坚实的基础。

配凑法——精选推荐

配凑法前⾔配凑法就是将相关代数式进⾏适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因⼦等⽅法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利⽤基本不等式求解最值的⽅法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 注意：变形的等价性及基本不等式应⽤的前提条件. 配凑法也是⾼中数学中⽐较常⽤的⼀种数学⽅法。

使⽤场景为了将分式函数化简，使⽤配凑法；为了使⽤均值不等式，使⽤配凑法；为了判断函数的单调性，使⽤配凑法；为了求函数的解析式，使⽤配凑法；典例剖析№1【配凑和为定值】已知x ，y >0，2x +3y =4，求xy 的最⼤值；法1：xy =6xy6=(2x )⋅(3y )6≤16⋅2x +3y 22=23当且仅当2x =3y 2x +3y =4时，取到等号；即x =1，y =23时取到等号；解后反思：配凑出2x +3y 的和为定值，为了能正常使⽤均值不等式；法2：代换法，变量集中。

由2x +3y =4，得到x =4−3y 2>0，得到0<y <43，代⼊xy 得到，xy =4−3y2⋅y =−3y 2+4y 2=−32y 2+2y ，0<y <43，按照⼆次函数在限定区间上的最值求法求解即可；№2【配凑积为定值】已知 x >0，求y =x +22x +1−32的最⼩值；法1：由y =x +22x +1−32，得到2y =2x +2×22x +1−3，即2y =(2x +1)+2×22x +1−3−1，故2y ⩾，即y\geqslant 0，当且仅当x=\cfrac{1}{2}时取得等号；法2：由y=x+\cfrac{2}{2x+1}-\cfrac{3}{2}，得到y=x+\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}-\cfrac{3}{2}，即y=(x+\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}-2，故y\geqslant 2\sqrt{(x+\cfrac{1}{2})\times\cfrac{1}{x+\frac{1}{2}}}-2=0当且仅当x=\cfrac{1}{2}时取得等号；№3【2020\cdot 绵阳诊断】若\theta\in(0,\cfrac{\pi}{2})，则 y=\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta} 的取值范围为【\quad 】A.[6,+\infty)B.[10,+\infty)C.[12,+\infty)D.[16,+\infty)解析：由于 \theta\in(0, \cfrac{\pi}{2})，故 \sin^{2}\theta ， \cos^{2}\theta\in(0,1)，故 y=\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta}=(\cfrac{1}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9}{\cos^{2}\theta})\cdot(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=10+\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\geqslant 10+2\sqrt{\cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\times\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}=16当且仅当 \cfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\cfrac{9\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}，即 \theta=\cfrac{\pi}{6} 时等号成⽴, 故选 D .№4已知a>1，b>0， a+b=4，求\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}的最⼩值。