配方法与公式法解一元二次方程 基础篇
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
解一元二次方程的三种基本方法
解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。
在这里，我们将介绍三种基本的解法。
一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。
例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。
（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。
例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。
二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。
例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。
三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。
例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。
总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。
配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。
公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。
图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。
一元二次方程的解法-公式法2
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1= -2 , = x2 = . = . 2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例2
用公式法解方程：
x2 – x =0
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 : (a≠0, b2-4ac≥0)
X=
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果 四、计算一定要细心，尤其
三、当 b2-4ac4、写出方程的解： x1=?, x2=?
即
x1= - 3
x2=
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
（口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . 用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5 （x1=-1+ ，x2=-1-
《一元二次方程的解法 》(二)配方法—知识讲解(基础 2022人教九年级上册专练
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.（2020•岱岳区校级模拟）用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078Ma b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2020•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2 =﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b aa b -+-+=，求4a b -的值．【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．63m C ．93m D ．183m第1题图 第2题图 第3题图 第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．（2020•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )．A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD 外接圆的直径为2a ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为____ ____(用n 表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm 2，高为3.5m ，外围高4 m 的蒙古包，至少要____ ____m 2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ． （1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴ ，∴.4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -； 2(222)a -；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°， ∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ 2215l h r =+=，∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵F H ∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ，A BCDEO 12345HA BCD EO 12∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。
一元二次方程的概念和解法(直接开平方法、配方法、公式法)
一元二次方程的概念和解法一、学习目标：1、掌握一元二次方程的概念和一般形式，会找出一元二次方程的各项及其系数；2、会用直接开平方法解一元二次方程。
二、旧知回顾与训练：1、什么叫方程？什么叫整式方程？什么叫方程的解？2、什么是一元一次方程？怎样理解方程“元”和“次”的含义？解一元一次方程的方法和步骤是怎样的？3、解方程：12223x x x -+-=-三、新知学习与训练：（一）一元二次方程的概念： 类比一元一次方程的概念得出一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的 方程叫做一元二次方程。
思考：怎样理解一元二次方程的概念？ 方法小结：1、方程必须是整式方程；2、方程中只能有一个未知数，并且未知数的最高次数只能为二次；3、方程化简后含未知数的二次项的系数不能为0。
练习：下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= ； （22x -= ；（3）21230x x+-=； （4）330x x -=； （5）230x xy +-=； （6）-x 2＝0； （7）x （5x -2）＝x （x ＋1）＋4x 2 。
（二） 一元二次方程的一般形式：类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式： 。
其中＿＿、＿＿＿、＿＿＿分别叫做二次项、一次项和常数项； 、分别叫做二次项系数、一次项系数。
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
思考：1、一元二次方程的一般形式的结构特征是什么？2、一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，为什么“a ≠0”？ 3、怎样把一元二次方程整理为一般形式？范例：例1、方程013)2(=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，求m 的值。
例2、把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项，一次项系数及常数项？练习：1、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax ；023)2(2=+mx x ；0128)1)(3(2=----m mx x m ；（4）（b 2＋1）x 2－bx ＋b ＝2；（5） 2tx （x -5）＝7-4tx 。
公式法解一元二次方程全面版
25
x3 25 3 5
22
4
即： x1 2,x2
1 2
2 x 3 2 x 9 6 0
解： 原方 2 x 2 9 程 x 6 x 2 化 6 7 0为
整理 2x2 为 3x2： 10
a 2 ,b 3 ,c 21
公式法解一元二次方程
一、回顾
用配方法解方程：x2bxc0
x 解：移项得： 2bxc
x22b 2xb 22b 22c
则：
xb22
b2 4
c
当b2 c0时,方程有实.数解 4
二、公式的推导
a2x b x c0a0
解： a0x2 bxc0
关于一元二次方程 a2x bxc0a0 ，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2x b xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
x__ 5_2 _7 ____
即x1： _1 _x_ 2_ _-6,___
２、用公式法解方程
1 x 2 2 x 5 2 6 t 2 13 t 5 0 3 3 x 2 1 x 1 0
22
4 x 2 2 2 x 3 0
2
３、想一想：
b24ac32 4221
9168
177
x3 177
22
即 :x13417,x7 234177
例３ 解方程： x2323x
解： 原方x 程 2 23 x 化 30 为：
a 1 ,b 23 ,c 3
一元二次方程的解法-公式法1
； https:///yijiafaxing/ 溢价 ；
厅の菜谱便添上一道,因此生意经常爆满.餐厅有合伙人看着,他负责到处闲逛秀菜品.以上是视频の细节,直播时,他の言行举止比之前の刻板生动多了,千万粉丝就是这么来の.活の帅哥,比冰雕美男有趣得多.有问有答,有说有笑,虽然类似の镜头极少.偶尔邀请朋友亲临直播现场品尝他の作 品,镜头不在他身上,但在旁边陪同.但是,无论是视频或者直播,外人出没总是在片尾,在他工作期间不曾被人打断过,今天是头一回.众粉受他潜移默化の影响,正逐渐步他后尘达到清心寡欲の境界.他骤然“出轨”,一票铁粉哪里还坐得住？“老实交代,她是谁？”“你女票？！我不能接 受！”“真是邻居？！别骗人！”“邻居女票？！给地址我要跟她决斗！”...吧啦吧啦,吵个不停,完全无视他の忙碌.这种混乱还是头一次,对他来说是一种新鲜体验.不过,今天の直播算是失败了.面对镜头,邻居の意外闯入对他の颜值与技艺造成一定の辗压,她把大家の注意力全部拉走了. 也难怪,那丫头长相不俗,自带诗与远方の气质光环.一身素衣裳,乌黑发丝被柔顺挽在身后,横插一枝别致の乌木簪,宛如水墨画中走出来の江南仕女,朗月清风,淡雅从容.她推门而进,那双打量四周跳跃惊艳の小眼神,与他目光相对时谨小慎微の小表情,令大家意识到她不是画,而是一名有血 有肉机敏伶俐の女孩.“她真是我邻居,你们不信我也没办法.”尽管大家の注意力不在他身上,他对今天の任务依旧兴趣浓厚,双手继续忙碌,一边浅笑回应众人の提问.有些事情当局者迷,旁观者清.他认为今天の心境一般般好,但铁粉们为之惊悚.“她是个怎样の人？应该脾气很好吧？复古 风の女生一般很能干,精通生活中の十八般武艺,贤良淑德.”与狂热粉不同,铁粉们十分冷静淡定,有些吃味地形容说.噗哧,这个评价很有才,他忍不住笑两声以兹鼓励,害得狂热粉丝们の咆哮迅速化为右下角涌起の颗颗桃心,痴缠不断.相反,铁粉们の玻璃心正在咔嚓咔咔嚓,伤了.他笑而不语, 粉丝们不断追问.最后,为了让大家の注意力重新回到正题,他简单概括了一下.“她真是邻居,住在隔壁の一朵云岭之花.脾气很好,日常负责貌美如花.说到精通の本领...她叫外卖の日子占了人生一大半,”他温言浅笑,“是个好女孩.”此话作为终结.好女孩？众铁粉破裂の玻璃心再也搂不 住,咣啷一声响碎了一地玻璃片,彻底地伤了伤了.男人如此评价一个女孩,不管有心无心都证明他有一点想法.女粉心碎,不少男粉の脑海里却回想着刚才那道窈窕身影,眼里散发热烈の火花.“老板,她有男票吗？一定没有吧？给个坐标我要去追她.”追她？“这个恐怕有点难...”态度越发 温和の柏少华眼里の笑意更深了.他不介意跟大家分享一些众所周知の信息,事关个人私隐の话题一概不提,包括住址,这是做人の基本原则.一直以来,他在工作时极其讨厌被人打扰,但今天发现貌似可以接受一回两回.或许,随着年龄の增长他の心态变了,变得宽容大度,以前无法忍受の人和 事物,如今再看,感受已截然不同.这就是成长,每个人必经の一段过程...终于,直播在一片哀鸣中结束了.柏少华点击退出平地,双手撑在台面边沿,目光落在前方轻笑了下,真是热闹の一天.开始清洗用不上の餐具,把工作台擦得洁净光亮见不到半点油渍.煮好の饭菜晾在一边,他来到门边提起 篮子,掀开上边那层布一看,原来是个盒子.他刚打开盒盖,立时闻到一股熟悉の清香味道,唤醒记忆里那段遥远の过往.是它,就是它,而且这个茶叶の味道更加浓厚些.第107部分他掀开盖子,发现里边の茶叶摆放整齐严实不留缝隙,可见老板为人实诚不缺斤少两.一手拿起盒子嗅了嗅,再看看外 壳与底部,什么标签都没有,不禁心中了然.什么产品会没标签？餐厅の部分食材没有,他私人订制の衣服也没有.近段时间她不再提起茶叶の事,以为她忘了.忘了就忘了,他不强求,原来错怪人了.年纪轻轻の倒稳得住心思,只字不提,也不怕别人误会...那天之后,陆羽不去休闲居叫外卖了,与 婷玉在家有啥吃啥,回归原汁原味、绿色营养の健康生活.她提去の篮子一直不见回来,哪怕柏少君依然是陆宅の常客.没了就没了,犯不着为了一个篮子送上门给别人作弄,她以后出去买新の.连续几天后,柏少君提着两盒外卖来敲门.“听说你生气了？德力、陆易让我替他们说声对不起,喏, 还说请你吃一周の外卖作为补偿.”菜色任点,不点の话他们随机应变,“对了,他们对你做什么了？居然害你连饭都吃不下？”端着一碗稀粥の陆羽白他一眼,“谁说我吃不下饭？这个不是吗？”喝得贼香.“你别死撑,”柏少君瞄了她碗里の清粥一眼,满脸の嫌弃,“都能照出影子来了,别跟 我说你在减肥.”为了不把饭烧糊,她放の水能淹死鸭子.不跟她啰嗦,他打开饭盒盖子深深一闻,“嗯,新鲜の比目鱼肉嫩鲜美,营养又护肤,你们真の不吃？”旁边の婷玉微讶,“鱼？”她讨厌吃鱼,多刺,腥味重.可她现在居然闻不到腥味.“就是这个.”柏少君顺势将盒子里の菜全部端出,有 鱼有肉,绿油油の蔬菜鲜嫩得仿佛能掐出水来.“还有它们の,你自己不吃,总不能难为大家跟你一起熬吧？”小子得意地拿起一块肉骨头.陆羽揉揉眉心,看看婷玉,对方十分冷淡地说：“我讨厌吃鱼.”但喜欢吃肉.还有,原本在凉亭旁喝粥の四只汪和小吉母子几个,看见肉骨头,便 停下动作眼巴巴地盯着她,等待君上一声令下.唉,陆羽挥挥手,“吃吧吃吧.”一时间,庭院里猫喊狗叫欢乐无边,气氛活跃十分の热闹.“这鱼没腥味,你尝尝.”陆羽劝道.婷玉不说她还真の没留意,原来自己从未见过她吃鱼,以前都是自己在吃.那不行,营养不均衡身体容易出毛病.好不容易哄 她尝了一口,然后吃得不亦乐乎,陆羽这才把注意力放回某人身上.“很忙吗？最近没怎么见你.”三人在凉亭吃饭,婷玉食不言寝不语,陆羽与柏少君可不在乎,一直闲聊话不停.“有点,”他无意细说,“等忙完这几天就有空了,怎么？你有节目？”“当然没有,你怎么会这么想？”她奇怪地瞅 他一眼,来华夏这么久还分不清哪句是客套话,哪句是真心话？差评.被摆了一道,柏少君满头黑线,“...今晚搞自助餐庆祝农闲,你来不来？”“农闲？这么快？”陆羽愕然,旁边の婷玉也看过来.“忙里偷闲の闲,有什么问题？”婷玉继续吃饭,陆羽语塞,半晌才说：“没问题,不过我今天心 境好比较适合工作.”邻居们有钱任性,每隔一段时间随便逮个名头聚餐,没客人也要聚餐,都不带嫌腻の.那天过后,柏少君连续几天不见人影,不知干嘛去了.他既然不说,陆羽也没追问.她当然没把少君の话当真,更没那个脸去休闲居吃免费餐一个星期,恢复菜干炖方便面也不错.婷玉一旦有 空就带着小福它们四只出去打猎,一边采草药,顺便给家里添些野味.忙于赚钱の陆羽乐得清静,偶尔抱只小猫在怀,坐在院子の凉亭里码字或者抄游记,凉风扑面,清爽舒适.见她不来,陆易提着外卖饭盒来过一次,为那天の事很真诚地道了歉并且说明原因.而她懒得斤斤计较,此事便了了,只是 决定以后少去邻居家为妙.男人嘛,兴致一来就成了男孩,指不定哪天又生出坏心眼作弄她,避着些好.就这么の,一户热衷热闹气氛,一户偏好静谧安详,相处和谐融洽.春雷响过之后,外界の天气如何不太清楚,云岭村日照时间长,温度回升进入正常の气候变化.为了减少病虫灾害,满足瓜菜自然 生长の条件,村里の农人们很留意棚内の温湿度,视乎天气の变化揭膜通风、盖膜保温等工作.表面很闲,其实挺忙の.每逢清晨与傍晚,陆羽、婷玉牵着一队猫狗出去锻炼或者散步时,常常看见他们日出而作,日落而归.有时候弄得一身脏脸上沾有少许泥尘,有些狼狈,但精神充实神态富足.白姨 也是,上山锄草除虫,然后去其他菜地里向农人们讨教经验.她独居一户,鸡鸭同笼养着,有狗护院与她作伴.原本不用太劳碌,但周家人搬出去了,家里の猪鸡狗鸭全靠她在照料.还有周家在山上の菜地也要松土除草,忙得不行.有时候,陆羽与婷玉散步经过常进去看看,帮忙搭把手.当然,有婷玉 在,陆羽就是一个陪衬.“亭飞,你以前练过の吧？好大の力气.”婷玉轻松挑起满满の两桶猪潲水,步履稳当顺利来到周家の猪圈旁,白姨开心极了,脸色红润,笑呵呵地跟了一路像个欢快の广场舞大妈,而陆羽像只快乐の小喜鹊动作轻盈地跟在身后.“练过些许.”面对外人,婷玉一向话不 多.“你看看你,瘦叽叽の,多向亭飞学着点儿.”白姨睨了身边只会跳得快の“小喜鹊”一眼.有对比就有伤害,只怪自己掩藏太深の陆羽刹时哑口无言,忙连声应是才被放过.来到猪圈,白姨自己一勺一勺地舀起潲水倒进猪槽,居然被陆羽看见里边有许多小红薯.“白姨,你用红薯喂猪？”她问, 多浪费啊！城里孩子少见多怪,白姨很仁慈地满足她の好奇心,“是呀,还有薯藤,山上那些就是种来喂猪の.把藤呀叶呀一起剁碎混着煮熟,它们最爱吃这个,瞧,吃得多快活.”一群猪吃得吧叽吧叽嘴,乐得白姨笑呵呵.陆羽：“...”挠挠脸,多嘴,她就不该问辣么多.一旁の婷玉噗哧地笑了... 第108部分三月の雨细细の,四月の风柔柔の.云岭村没淹,G城却经历了一波波磨难,三月の雨势庞大,导致下水道井喷令市民举步维艰;四月の白天太阳猛烈,晚上降温又要添加衣裳.大街上有人穿短袖,也有人穿着长袖衫.人人都说这是一个冬夏混乱の季节,完全不懂什么**天般の温暖.同事们 在陆羽上传の图画底下留下羡慕妒忌恨の评论,纷纷说要随她一起回归大自然.话是这么说,实际上没几个舍得放下现有の一切资源,因为他们不像她孤身寡人一个.活在世上の人不只是为了自己活,还要为家庭,为儿女们の未来创下坚实の基础.责任重大,再苦也得憋着.而生活中の憋屈在云岭 村是不存在の,至少表面是.有句话说得没错,人以群分,在村外の人们眼里,住在云岭村の人一个个都是吃饱闲の.“朱叔,朱婶,你们在钓鱼吗？”陆羽在松溪桥边站定,好奇地往桥下看了看.水质清澄透彻,一眼能看到河底の沙石,小鱼小虾畅快地游来游去,貌似没发现有大鱼.河岸边摆着两张 轻便躺椅,一对身穿宽松唐装の夫妻躺在上边聊着天,度假似の,钓鱼杆插在岸边他们时不时地看两眼.“是呀,昨天看见几条好肥の,趁今天没什么游客进村过来清静一下.”朱姨笑笑说,看了桥上の姑娘一眼,“你要出去？怎么不骑车？我家有单车借你吧.”说罢就要起身回去取.“不不不,” 陆羽忙阻
用公式法解一元二次方程的一般步骤
用公式法解一元二次方程的一般步骤
根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式法步骤
把方程化成一般形式ax²+bx+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值；
当Δ＞0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程求根公式的推导过程
(1)ax2+bx+c=0(a≠0,)，等式两边都除以a，得x2+bx/a+c/a=0。
(2)移项得x2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的
一半的平方，即方程两边都加上b2/4a2。
(3)配方得x2+bx/a+b2/4a2=b2/4a2－c/a，即（x+b/2a）2=(b2-
4ac)/4a。
(4)开根后得x+b/2a=±[√(b2-4ac)]/2a(√表示根号)，最终可得
x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
一元二次方程配方法步骤
(1)把原方程化为一般形式；
(2)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
用配方法解一元二次方程的方法总结
用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。
其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。
（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。
（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。
(4)直按开平方:求出方程的解。
同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。
方程--配方法、公式法
一元二次方程解法---配方法和公式法【知识要点】1．一般的一元二次方程，可用配方法求解．其步骤是：①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式；②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+；③当042≥-q p 时，利用开平方法求解．2．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x ．3．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。
解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．【典型例题】例1． 用配方法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x（3）07232=-+x x （4）01842=+--x x类题练习：用配方法解下列方程：（1）01722=++x x （2）04522=--x x例2．用公式法解下列方程：（1）01522=+-x x （2）1842-=--x x（3）02322=--x x （4）()()()0112=-++-y y y y【经典练习】1．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2的形式，则m =_______，k =_________。
2．将方程01232=-+x x 配方成()_______2=+x ，从而求得此方程的根是 。
3．把下列各式配成完全平方式（1）()22_________21-=+-x x x （2）()22___________32+=++x x x （3）()22__________-=+-x x a b x （4）()22____25____-=+-x x x 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对5．用配方法解方程01322=++x x ，正确的解法是（ ）． A ．3223198312±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， B ．98312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根．C ．35295322±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， D ．95322-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根．6将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ）．A ．()4122--x B ．()4122+-x C ．()2222--x D ．()2222+-x7．通过配方，将下列各方程化成()2x m n +=的形式．（1）2261x x += （2）21815x x -= （3）26100x x -= （4）2322x x -=9．用配方法解下列方程：（1）012=--x x （2）02932=+-x x（3）02222=+-+a b ax x （4） x 2+4x -12=010．用公式法解下列方程：（1）1852-=-x x（3）3x 2+5(2x+1)=0 （4）x x x 22)1)(1(=-+（5）1432+=x x配方法和公式法作业1．用配方法解下列方程：（1）x x 542=-（3）()1126=+x x ． （4）030222=--x x（5）x 2+4x -12=0 （6）032=-+x x2．用公式法解下列方程.（1）12=+x x （2）y y 32132=+（3）081222=+-t t （4）1252+=y y（5）7922++x x =0。
第二章一元二次方程-配方法、公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法和公式法这两个重点。对于难点部分，如配方法的转化思想和公式法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图形或实物演示配方法的基本原理。
课堂上的实践活动和小组讨论非常活跃，学生们能够积极参与，提出自己的观点。我尝试作为一个引导者，提出一些开放性问题，让学生们思考一元二次方程在实际生活中的应用。从成果分享来看，学生们对于这个话题有很深的思考，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生可能过于依赖同伴，没有独立思考。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们在讨论中提出自己的见解，提高他们的自主学习能力。
c.能够运用配方法求解典型的一元二次方程。
（2）掌握一元二次方程求解公式的推导和应用：公式法是求解一元二次方程的通用方法，重点在于：
a.理解韦达定理的推导过程；
b.掌握一元二次方程求解公式的形式；
c.学会使用公式法求解一元二次方程，包括计算判别式、求解根号内部分等；
d.能够根据实际问题选择合适的求解方法。
具体内容包括：
一元二次方程的解法,配方法,因式分解法
一元二次方程的解法-配方法、因式分解法（复习）一元二次方程解法回顾：1、直接开平方法；（2x-6)2=62、配方法；（方程各项系数比较简单可以考虑用配方法来做）3、公式法；x=aac b b 242-±-(ac b 42-0≥) 4、因式分解法。
（能直接因式分解）因式分解的几种方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法.一、配方法例题分析：1、配方法步骤：(1)化二次项系数为：两边同除以二次项系数；(2)移项：使方程左边只有二次项和一次项；(3)配方：等号两边都加上一次项系数一半的平方；(4)变形为(x+m)2=n 的形式，如果n≥0，得x+m=±n ,x=-m±n .所以x 1=-m+n ,x 2=-m-n 。
2、理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3、例题讲解：（1）41x 2+1=x （配方法）（2）用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a,b,c 为常数），（3）、试说明代数式-3x2_x-121的值不大于0（4）x2+y 2+2x-4y+5=0,则.x y =__________（5）已知：a,b,c ,是△ABC 的三边，且满足0222=---++ac bc ab c b a ，求证△ABC 是等边三角形类题演练、（1）2x2-4x-3=0．（用配方法）（2）求证：不论m 为何值，解关于x 的一元二次方程x2+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根(3)4x2+4xy+|x-1|+y2=0，则2x-y=________中考链接、（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0．（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程二、因式分解法例题分析1、因式分解法解一元二次方程步骤①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0，(ax2+bx+c=0)②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
九年级数学配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例
用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
例
用公式法解方程：
x2 – x =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, 求根公式 : X= x2 = =
有两个相等的实数解
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那次就看看实战效果.给我好好表现！" 叶甫根尼做着标准的军礼,下一秒弓着身子到自己的部队驻地. "我们呢?长官！我们民兵那么办?" 李小克看看那个人,他是尼聂利,当初进入沼泽就是那个人引路. "你们民兵是第一次参与战斗,就作为战略预备队,当我们主力有压力时,你们参与战 斗.男兵女兵都参与战斗.所有少年兵一样作为预备队." 李小克知道,那群几乎没有进行过战术训练,只进行过打靶训练的民兵,如果真的把他们当做正规部队,战斗结束后必然伤亡很大.因为他们是动员兵,各方面的素质一塌糊涂.它些女兵,平日里打靶再多也没用,因
一元二次方程的解法公式法
X² -140X+3300=0
ax2+bx+c=0(a≠0)
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
当 b 2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
6 x1 ; x 2 2. 5
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
一、用配方法解下列方程 2x² -12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为 1(方程两边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的 一半的平方，使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接 开平方法解之，如果右边是个负数，则指 出原方程无实根。
边长为30cm（注意，回答时单位不要
漏掉）
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
一元二次方程及其解法一配方法和公式法
一元二次方程及其解法（一）配方法和公式法【知识回顾】一元一次方程：1、0(0)ax b b +=≠是一元一次方程的标准形式2、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
3、解一元一次方程的步骤：（若分子或分母中有小数的，先把分子分母同乘以一个相同的倍数，把小数化为整数）去分母：方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数去括号：按照第二章中的去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变移项：把一项从方程的一边移动到另外一边，要改变符号系数化为1：两边同时除以x 的系数【例题剖析】例1：解下列一元一次方程：2151168x x -+-=；【一元二次方程知识点】一、一元二次方程定义:1.一个未知数2.未知数的最高次数是23.整式方程4、一元二次方程的一般形式: ax²+bx+c=0（a ≠0）其中，二次项______，一次项________二次项系数_______，一次项系数________，常数项__________二、一元二次方程的解（根）1、定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）2、判定一个数值是否是一元二次方程的解的方法是：将这个值代入一元二次方程的左右两边，看是否相等。
【例题指路】例2：下列是一元二次方程的是（ ）A 、223x x +-B 、2521x x =+C 、2(1)(2)x x x +-=D 、2(1)2(1)t t t +=- 例3：a 为何值时，方程1(1)270a a x x +-+-=为一元二次方程？例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项：（1）2(2)43x x x x -=-； （2）22(8)4(21)x x x +=+-；（3）211322x x x +---=；（4）关于x 的方程22(0)mx nx mx nx q p m n -++=-+≠例4：下列哪些数是一元二次方程243x x -=-的根：-3，-2，-1，0，1，2，3例5：若x=-1是关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根，求代数式2008（a-b+ c ）的值。
配方法、公式法解一元二次方程课件p
降 次
用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (x m)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
解 : a 5, b 4, c 12
1.变形:化已知方
程为一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.2.确定系数:用
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
6; 5
x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : x b b2 4ac a 0,b2 4ac 0 2a
例2：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、 c的值是什么？
❖你能用配方法解方程：ax2 bx c 0a 0 吗？
ax2 bx c 0a 0
解 : x2 b x c 0. aa
1.二次项系数化1:把二次项 系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程 的右边;
x2
b
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
一元二次方程公式法、配方法
一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法 形如x 2＝a (a ≥0)的方程，因为x 是a 的平方根，所以x ＝±a ，即x 1＝a ，x 2＝－a ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．5．配方法 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)化成(x ＋a b 2)2＝2244aac b -的形式后，当b 2－4ac ≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1； (2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．6．公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝aac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】例1：用配方法解方程2x 2＋7x －4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x ＋a )2＝k 的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x 2＋27x －2＝0．移项，得x 2＋27x ＝2．配方，得x 2＋27x ＋(47)2＝2＋(47)2＝1681，即(x ＋47)2＝1681． 解这个方程，得x ＋47＝±1681，x ＋47＝±49．即x 1＝21，x 2＝－4．说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x 为何实数，代数式2x 2－4x ＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x 2－4x ＋3＝2x 2－4x ＋2＋1＝2(x －1)2＋1．例6：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4；解：(1)方程可变形为2x 2＋7x －4＝0．∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81＞0，∴x ＝49722)4(24772±-=⨯-⨯⨯-±-．∴x 1＝21，x 2＝－4．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x422-＝0B ．322xx -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0D ．5x ＝3x －1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) (3)方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A ．3，－4，－2B ．3，2，－4C ．3，－2，－4D ．2，－2，0(4)一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2(5)若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－1 (6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1(7)方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根(8)方程(x －5)2＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6(9)若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或1(10)关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2B ．－21 C ．－2 D ．21 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x ＋1＝9x 2； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3； (3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2；(4)3y 2－2y ＝2y 2－3y ＋5．3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2＝49； (2)x 2＝1．96； (3)3x 2－48＝0； (4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2＝144；(6)(6x －7)2－9＝0．5．用配方法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0(3)x 2－7x ＋2＝0；(4)9x 2＋6x －1＝0；(5)5x 2－2＝－x ；(6)3x 2－4x ＝2．6．用公式法解下列方程： (1)x 2－2x ＋1＝0； (2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2－35x ＝2； (4)0．8x 2＋x ＝0．3；(5)4x 2－1＝0；(6)x 2＝7x ；(7)3x 2＋1＝23x ；(8)12x 2＋7x ＋1＝0．7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2－19的值互为相反数?8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．10．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x 2－4x －1＝0，9，－4，－1； (2)x 2－4x ＝0，1，－4，0； (3)x 2－12x ＋27＝0，1，－12，27； (4)(3－2)y 2＋(3－2)y －5＝0，3－2， 3－2，－5．3．m ≠－1，m ＝214．(1)x 1＝23，x 2＝－23； (2)x 1＝－1．4，x 2＝1．4； (3)x 1＝－4，x 2＝4； (4)x 1＝－21，x 2＝21； (5)x 1＝13，x 2＝－11； (6)x 1＝32，x 2＝35． 5．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－6－21，x 2＝－6＋21；(3)x 1＝2417-，x 2＝2417+； (4)x 1＝321+-，x 2＝321--；(5)x 1＝10411--，x 2＝10411+-；(6)x 1＝3102+，x 2＝3102-．6．(1)x 1＝x 2＝1；(2)x 1＝－4－42，x 2＝－4＋42；(3)x 1＝6975-，x 2＝6975+；(4)x 1＝41，x 2＝－23； (5)x 1＝21，x 2＝－21；(6)x 1＝0，x 2＝7；(7)x 1＝x 2＝33；(8)x 1＝－31，x 2＝－41．7．(1)x ＝－2或x ＝21；(2)x ＝－4或x ＝35．8．x 1＝2131+，x 2＝2131-． 9 把1代入ax 2＋bx ＋c 中，得ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ＝0∴1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．10 (1)∵3y 2－6y ＋11＝3y 2－6y ＋3＋8＝3(y －1)2＋8又(y －1)2≥0，∴3(y －1)2＋8＞0． 即3y 2－6y ＋11的值恒大于零． (2)∵－10x 2－7x －4＝－10(x 2＋107x ＋104) ＝－10［(x ＋207)2＋400111］＝－10(x ＋207)2－40111．又－10(x ＋207)2≤0，∴－10(x ＋207)2－40111＜0．即－10x 2－7x －4的值恒小于零．11 ∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
1.2一元二次方程的解法(四)(解析版)
1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程0x x 2=-2.那还有其他方法解0x x 2=-吗？我们可以对x x 2-进行因式分解，()1x x x x 2-=-，所以只需要()01x x =-即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
3.常见的因式分解法的类型方法常见类型因式分解的形式方程的解提公因式法x ²±bx=0x （x ±b ）=0X 1=0，x 2=±b 平方差法x ²-a ²=0（x+a ）（x-a ）=0X 1=-a ，x 2=a 完全平方法x ²±2ax+a ²=0（x ±a ）²=0X 1=x 2=±a十字相乘法x ²±（a+b ）x+ab=0（x ±a ）（x ±b ）=0X 1=±a ，x 2=±b4.因式分解法的步骤（1）移项：将方程的右边化为0；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程（1）（提公因式法）x x 32=（2）()（平方差法）091x 2=-+4x 2x 21-==，（3）()（完全平方法））（011x 21x 2=+---0x x 21==（4）（十字相乘法）03x 2x 2=--1x 3x 21-==，【解惑】【摩拳擦掌】【答案】10【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第图有25个棋子，第5个图有35个棋子，⋯⋯第n 个图有215()()5n n n n ++=++个棋子，【详解】（1）解：260x x --=，()()320x x -+=，∴30x -=或20x +=，∴13x =，22x =-；（2）解∶()221180x --=，()219x -=，∴13x -=±，∴14x =，22x =-．【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：(1)2450x x +-=(2)()()22452x x -=-【答案】(1)11x =，25x =-(2)13x =，21x =【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到()()224520x x ---=，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）2450x x +-=()()150x x -+=∴10x -=或50x +=∴解得11x =，25x =-；（2）22(4)(52)x x -=-()()224520x x ---=()()4524520x x x x --+-+-=【知不足】【详解】解：∵分式21x x x --的值为0，∴2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得0x =，故选A ．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是()A ．1B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【分析】将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，再把2k =-代入原方程求解．【详解】解：将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，∴原方程为：220x x +-=，则()2(1)0x x +-=，解得：2x =-或1x =，∴另一个根为1．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程()()230x x -+=的解是（）A ．2x =B ．3x =-C ．12x =，23x =D ．12x =，23x =-【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()()230x x -+=，可得：20x -=或30x +=，【答案】27【分析】过C作CG得四边形ABCG为正方形，证明=，从而证明BE GF在直角梯形ABCD中， ∴∠=∠=︒，A B90=又90CGA，AB BC∠=︒∴四边形ABCG为正方形．键．【一览众山小】故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线:l y x m =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点()0,3B ，点(),5P n 在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-B ．()5,0-C ．()2,0-或()7,0-D ．()2,0-或()5,0-【答案】C 【分析】根据题意求出A 、P 坐标，然后根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，将()0,3B 代入直线:l y x m =-+，得：3m =，∴直线:3l y x =-+，令0y =，得：3x =，则A 点坐标为()3,0A ，将(),5P n 代入3y x =-+，得：2n =-，∴P 点坐标为()2,5P -，∵3OA OB ==，90BOA ∠=︒，∴45BAO ∠=︒，设(),0M a ，①若90AMP ∠=︒，则 AMP 为等腰直角三角形，MP MA =，∵5MP =，3MA a =-，∴35a -=，解得：2a =-，∴M 点的坐标为()12,0M -；②若90APM ∠=︒，则此时，点A 和点M 关于点∴322a +=-，解得：③∵M 是x 轴上的动点，∴45PAM ∠=︒或135︒，不存在综上，满足条件的点M 的坐标为A ．(3,0)-B ．【答案】Dx A ．()4,4B ．【答案】D【分析】根据(0k y k x =≠()2,E x x +，代入解析式计算即可．k（1）四边形DCEB的面积为___________（2）k的值为___________；（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程距离为___________．【答案】183/223∴1812232OAE S h ⨯==⨯⋅ =123【答案】8∵正方形ABCD 的边长为1∴33=1=88ABFE S ⨯四边形，设CF x =，则DH x =，则∴()1=2ABFE AE BF S +⨯四边形即()131128AE x +-⨯=根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；12⨯★”的个数可表示为“”个，个，9个，12个，个，”的个数可表示为个，（舍去）或。