因式分解与配方法练习题
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
因式分解常用方法及练习
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a -b) = a 2-b 2(2) 完全平方公式：(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) （5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
21.2.3 解一元二次方程-因式分解法同步练习(解析版)
21.2.2因式分解法同步练习一、单选题1、一元二次方程()x x 22x -=-的根是（ ）A. -1B. 2C. 1和2D. -1和22、已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x 2-5x +6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A. 11B. 12C. 11或12D. 153、关于x 的一元二次方程x 2-4x +3=0的解为（ ）A. x 1=-1，x 2=3B. x 1=1，x 2=-3C. x 1=1，x 2=3D. x 1=-1，x 2=-34、已知2340x x --=，则代数式24x x x --的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 13 D. 125、一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16B. 12C. 14D. 12或166、若x ＝-2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax -a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A. -1或4 B. -1或-4 C. 1或-4 D. 1或47、已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -2且38、已知x 、y 都是实数，且（x 2+y 2）（x 2+y 2+2）-3＝0，那么x 2+y 2的值是（ ）A. -3B. 1C. -3或1D. -1或39、若方程()()2310x x -+=，则31x +的值为（ ）A. 7B. 2C. 0D. 7或010、若实数x 、y 满足(3)()20x y x y +-++=，则x +y 的值为（ ）A. -1或-2；B. -1或2；C. 1或-2；D. 1或2；11、我们知道方程x 2+2x -3=0的解是x 1=1，x 2=-3，现给出另一个方程（2x +3）2+2（2x +3）-3=0，它的解是（ ）A. x 1=1，x 2=3B. x 1=1，x 2=-3C. x 1=-1，x 2=3D. x 1=-1，x 2=-3二、填空题12、若关于x 的方程()(4)0x a x +-=和2340x x --=的解完全相同，则a 的值为______． 13、已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，第三边BC 的长为一元二次方程x 2-6x ＋8＝0的一个根，则该三角形为______三角形．14、若多项式x 2-mx +n （m 、n 是常数）分解因式后，有一个因式是x -2，则2m -n 的值为______． 15、我们知道方程x 2-2x +1=0的解是x 1=x 2=1，则给出的另一个方程（x -1）2-2（x -1）+1=0的解是______．16、如果（x 2+y 2）2+3（x 2+y 2）-4=0，那么x 2+y 2的值为______．17、方程34x x =的实数根是______．三、解答题18、解方程：（1）2450x x +-=（配方法）；（2）x 2−5x +6=0（因式分解法）；（3）22730x x -+=（公式法）．19、选择适当方法解下列方程（1）（3x -1）2＝（x -1）2（2）3x （x -1）＝2-2x20、阅读下面的材料，回答问题：解方程x4-5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2-5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝-1，x3＝2，x4＝-2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2-4（x2+x）-12＝0．1、答案：①x1=-1，x2=2；②x1=-1，x2=3；③x1=-1，x2=4；（2）①x1=-1，x2=10；②x1=-1，x2=10；（3）x2-nx-（n+1）=0分析：本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关系是解（3）的关键．解答：①∵x2-x-2=0，∴（x+1）（x−2）=0，∴x1=-1，x2=2；②∵x2-2x-3=0，∴（x+1）（x−3）=0，∴x1=-1，x2=3；③∵x2-3x-4=0，∴（x+1）（x−4）=0，∴x1=-1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x-10=0的解为x1=-1，x2=10；②x2-9x-10=0，移项，得x2-9x=10，配方，得x2-9x+814=10+814，即（x-92）2=1214，开方，得x-92=112．x1=-1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2-nx-（n+1）=0的解为x1=-1，x2=n+1．2、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：()x x 22x -=-⇒()()x x 2x 20-+-=⇒()()x 2x 10-+=⇒x 20x 10-=+=⇒或12x 2x 1，==-，选D ．3、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：x 2-5x +6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，选C ．4、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：x 2-4x +3=0，分解因式得：（x -1）（x -3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，选C ．5、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、代数式求值．解答：x 2-3x -4=0，（x -4）（x +1）=0，解得x 1=4，x 2=-1，∴当x =4时，24x x x --=12；当x =-1时，24x x x --=12． 选D ．6、答案：A分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系．解答：解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，选A ．7、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：∵x =-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a ×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a +4）（a -1）=0，解得a 1=-4，a 2=1．即a 的值是1或-4．选C ．8、答案：B分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=， 即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-=，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=．选B ．9、答案：B分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：∵（x 2＋y 2）（x 2＋y 2＋2）-3=0，∴（x 2＋y 2）2+2（x 2＋y 2）-3=0，解得：x 2＋y 2=-3或x 2＋y 2=1∵x 2＋y 2＞0∴x 2＋y 2=1选B ．10、答案：D分析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：方程(2)(31)0x x -+=，可得20x -=或310x +=， 解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=； 当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 选D ．11、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：t =x +y ，则由原方程，得t （t -3）+2=0，整理，得（t -1）（t -2）=0．解得t =1或t =2，∴x +y 的值为1或2．选D ．12、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：将x 1=1，x 2=-3代入到x 2+2x -3=0得12+2×1-3=0，（-3）2+2×（-3）-3=0对比方程（2x +3）2+2（2x +3）-3=0，可得2x +3=1或-3解得：x 1=-1，x 2=-3选D ．二、填空题13、答案：1分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：解：2340x x --=，∴(4)(1)0x x -+=，∵关于x 的方程()(4)0x a x +-=和2340x x --=的解完全相同，∴a =1，故答案为：1．14、答案：直角分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、勾股定理的逆定理．解答：解一元二次方程x 2-6x +8=0，得，x =2或4，∵AB =3，AC =5，∴2＜BC ＜8，∵第三边BC 的长为一元二次方程x 2-6x ＋8＝0的一个根，∴BC =4，当BC =4时，AB 2+BC 2=AC 2，△ABC 是直角三角形．故答案为：直角．15、答案：4分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：设另一个因式为x -a ，则x 2-mx +n =（x -2）（x -a ）=x 2-ax -2x +2a =x 2-（a +2）x +2a ，得：22a m a n +=⎧⎨=⎩， ∴2m -n =2（a +2）-2a =4，故答案为4．16、答案：x 1=x 2=2分析：本题考查了换元法解一元二次方程．解答：∵方程x 2-2x +1=0的解是x 1=x 2=1，∴方程（x -1）2-2（x -1）+1=0的解满足：x −1=1，∴x 1=x 2=2．17、答案：1分析：先设22x y m +=，则原方程可变形为：2340m m +-=，解方程即可求得m 的值，从而求得22x y +的值．解答：设22x y m +=，则原方程可变形为：2340m m +-=，分解因式得，(1)(4)0m m -+=∴m =-4，m =1，∵22xy +≥0 ∴22x y +=1 故答案为：1．18、答案：10x =，22x =，32x =-分析：本题考查了因式分解法解方程．解答：34x x =340x x -=2(4)0x x -=x （x -2）（x +2）=0∴10x =，22x =，32x =-．故答案为：10x =，22x =，32x =-．三、解答题19、答案：（1）x 1=1，x 2=−5；（2）x 1=2，x 2=3；（3）x 1=3，x 2=12． 分析：本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是关键．解答：（1）2450x x +-=，245x x +=，24454x x ++=+，()229x +=，23x +=±，23x +=或23x +=-，∴121,5x x ==-．（2）x 2-5x +6=0，（x -2）（x -3）=0，x -2=0或x -3=0，∴x 1=2，x 2=3，（3）22730x x -+=，∵a =2，b =−7，c =3，2449423250b ac -=-⨯⨯=>，754x ±==， ∴1213,2x x ==． 20、答案：（1）x 1＝0，x 2＝12；（2）x 1＝1，x 2＝-23． 分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：（1）3x -1＝±（x -1），即3x -1＝x -1或3x -1＝-（x -1），∴x 1＝0，x 2＝12； （2）3x （x -1）+2（x -1）＝0，（x -1）（3x +2）＝0，x -1＝0或3x +2＝0，∴x 1＝1，x 2＝-23． 20、答案：（1）换元，降次；（2）x 1=-3，x 2=2．分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2-4y -12=0，解得y 1=6，y 2=-2．由x 2+x =6，得x 1=-3，x 2=2．由x2+x=-2，得方程x2+x+2=0，b2-4ac=1-4×2=-7＜0，此时方程无实根．∴原方程的解为x1=-3，x2=2．【答题】根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2-x-2=0的解为______；②方程x2-2x-3=0的解为______；③方程x2-3x-4=0的解为______；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x-10=0的解为______；②请用配方法解方程x2-9x-10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程______的解为x1=-1，x2=n+1．。
一元二次方程配方法,公式法,因式分解法
锲而不舍，胆大心细让我们陪伴着你的成长！一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1下面哪些数是方程 2χ210χ • 12 =O 的根？—4、一 3、一 2、一 1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习a b 2 =a 2 2ab b 22 2 2(a - b) = a - 2ab b像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
2⑵ X 12X T5= 0根据公式完成下面的练习:解: 解：由已知，得： X 32=22方程两边同时除以3,得X直接开平方，得：X - 2即 X 3 = 2 , X 3 = - 2所以，方程的两根X 1 = -3 ∙・、2 , X 2 = -3 - I 2 2所以,2配方，得X49 36Q 2方程的两根×1=-- 6 6=2 , X 2(1) X 28X = 9让我们陪伴着你的成长!2(4) 3X 8x - 3 = 02(5)2X -9X 8=02⑹ X 2 -8X锲而不舍，胆大心细 让我们陪伴着你的成长！锲而不舍，胆大心细 练一练 一、选择题1•方程x x -1 =2的两根为（）.方程ax X -b ］亠∣b -X = 0的根是（若X 2 —4x + P =（x +q 2 ,那么p 、q 的值分别是（、填空题2 21 •如果X -81 =O ,那么X -81 =0的两个根分别是2. 已知方程5x +mx-6=0的一个根是X =3 ,贝U m 的值为 _______________________ .3. __________________________________________________ 方程（x+1 丫 + J2x （x+1）=θ ,那么方程的根 X i = ; X 2= ____________________________________________________ .24 •若8x -16 =0 ,则X 的值是 __________________ .5•如果方程2（x-3f =72,那么，这个一元二次方程的两根是 _________________________ .6.如果a 、b 为实数，满足∙√'3a+4+b 2 T2b+36 = 0 ,那么ab 的值是 ________________________ .三、综合提高题如果关于X 的一元二次方程 ax 2 bx ∙c = 0a=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.A . X 1 = 0, X 2 = 1B . X 1 =0,X 2C . X 1 = 1, X 2 = 2D . X 1 = -1, X 2 = 2A . x^b, X ? =aB . X 1 =b, X 2C . X 1 =a,X 2D . x 1 = a 2,x 2 =b 2已知X- -1是方程2axf a Cb b b ^0=().A . p=4,q=2B . p= 4,q ι-2C . P = -4, q = 2D . P = -4, q = -2A . 3B .- -3C . ± 3D .无实数根 26.用配方法解方程X2 一―X +1 =0正确的解法是（ ).3f 1Y8 1 2^2A .X — — I = -,X = 二— +BI 3丿 93 3x-1t-8 ,原方程无解 .3 9C .x1√5+ 2 - 3 -x2√5 - 2D . Ffr ι,χ^f,χ2xI= ______ ,x2= ________25 .方程3x ∙ 9 =0的根为().让我们陪伴着你的成长!一元二次方程公式法一元二次方程ax2∙ bx ∙ c = O a = O 的根由方程的系数 a 、b 、C 而定，因此：★ (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2 ∙ bx ∙ c = O a = O ,当b 2 - 4ac _ O 时，？将■ 2一 b 十b — 4aca 、b 、C 代入式子X就得到方程的根。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解—配方法和拆添项法参考答案
第 1 页 共6 页 因式分解的配方法和拆添项法参考答案知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。
配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________893=+-x x .（拆项法） 答案：()()812-+-x x x解析：原式()()()()()=---+=---=+--=18111818823x x x x x x x x x x ()()812-+-x x x提示：本题的关键是将x 9-拆为x -和x 8-.2、分解因式：_______________12224=-+++a ax x x .（添项法） 答案：()()1122++--++a x x a x x解析：原式()()=--+=-+-++=22222241212a x x a ax x x x ()()1122++--++a x x a x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
3、分解因式：____________________15=++x x .（添项法） 答案：()()11232+-++x x x x解析：原式()()()()()111111222232225+++++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x x x x x x ()()11232+-++=x x x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
4、（第15届“希望杯”初二试题）分解因式：_____________232432234=++++b ab b a b a a . 答案：()222ab b a ++解析：原式()()=+++++=22334224222b a ab b a b b a a ()()()=++++22222ab b a ab ba()222ab b a++提示：本题的关键是将通过拆项223b a ，构造完全平方公式。
八年级培优--因式分解之配方法法与待定系数法
因式分解------配方法与待定系数法配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。
配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。
例1、分解因式： (1)44x +(2)、344422-+--y y x x(3)、1232234++++x x x x (3)`、()()22221x x x x ++++ （另见最后一题）练习 ：分解因式： (1)4416b a +；(2)4224y y x x ++；(3)432234232a a b a b ab b ++++；(4)、1724+-x x ；(5)、22412a ax x x -+++；(6)、24222)1()1(2)1(y x y x y -+--+。
待定系数法对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1、根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的多项式； 2、利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3、解方程组，求出待定系数，再代人所设问题的结构中去，得到需求问题的解。
例1、如果823+++bx ax x 有两个因式1x +和2x +，则a b +＝( )。
A 、7B 、8C 、15D 、2l练习1、如果3233x x x k +-+有一个因式1x +，求k 。
课后练习、已知是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的一个因式为62-+x x ，求a 的值。
例2、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?练习：1、已知代数式 22342x xy y x by ---+-能分解成两个关于 , y x 一次因式的积求 b 的值。
因式分解练习题40道
因式分解一．解答题（共40小题）1．因式分解：ab2﹣2ab+a．2．因式分解：（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+93．因式分解：（1）3ax2﹣6axy+3ay2 （2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）24．分解因式：（1）3mx﹣6my （2）4xy2﹣4x2y﹣y3．5．因式分解：（1）9a2﹣4 （2）ax2+2a2x+a36．分解因式：①﹣a4+16 ②6xy2﹣9x2y﹣y37．因式分解：x4﹣81x2y2．8．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）3ax2﹣6axy+3ay2；（2）x3﹣5x．9．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；（2）2x3y+4x2y2+2xy310．因式分解（1）﹣x3+2x2y﹣xy2 （2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）11．因式分解：（1）x2y﹣y；（2）a3b﹣2a2b2+ab3．12．分解因式：（1）3a3b2﹣12ab3c；（2）3x2﹣18xy+27y2．（1）8ax2﹣2ax （2）4a2﹣3b（4a﹣3b）14．因式分解（1）m2﹣4n2 （2）2a2﹣4a+2．15．分解因式：（m2+4）2﹣16m2．16．分解因式：（1）﹣2m2+8mn﹣8n2 （2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）（3）（m2+n2）2﹣4m2n2．17．分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．18．分解因式：（1）x3y﹣2x2y2+xy3 （2）x2﹣4x+4﹣y2．（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（2）（x2y2+1）2﹣4x2y220．分解因式：（1）8a3b2+12ab3c；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．21．分解因式：a2b﹣b3．22．因式分解：x4﹣10x2y2+9y4．23．分解因式：（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2 （2）a3b﹣ab；（3）x2+2x﹣324．分解因式：（1）81x4﹣16；（2）8ab3+2a3b﹣8a2b2（1）5a2+10ab；（2）mx2﹣12mx+36m．26．分解因式：（1）2x﹣8x3；（2）﹣3m3+18m2﹣27m（3）（a+b）2+2（a+b）+1．（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．27．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式=x2+2x+1﹣1﹣3=（x2+2x+1）﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3 （2）4x2+12x﹣7．28．因式分解：（1）a4﹣a2b2；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．（1）a3﹣2a2+a （2）x4﹣130．分解因式（1）x3﹣9x；（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；（3）1﹣a2+2ab﹣b2．31．（1）计算：2（a﹣3）（a+2）﹣（4+a）（4﹣a）．（2）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．32．因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16 （4）a2﹣2ab+b2﹣1．33．因式分解：（1）x2﹣2x﹣8=（2）﹣a4+16；（3）3a3（1﹣2a）+a（2a﹣1）2+2a（2a﹣1）．34．分解因式：（1）2a3﹣4a2b+2ab2；（2）x4﹣y435．将下列多项式因式分解①4ab2﹣4a2b+a3 ②16（x﹣y）2﹣24x（x﹣y）+9x2③6（a﹣b）2﹣3（b﹣a）2．36．因式分解①﹣2a3+12a2﹣18a ②9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）37．分解因式：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．（2）（a2+1）2﹣4a2．38．【问题提出】：分解因式：（1）2x2+2xy﹣3x﹣3y；（2）a2﹣b2+4a﹣4b 【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）2x2+2xy﹣3x﹣3y分析：该多项式不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解．于是仔细观察多项式的特点．甲发现该多项式前两项有公因式2x，后两项有公因式﹣3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解．解：2x2+2xy﹣3x﹣3y=（2x2+2xy）﹣（3x+3y）=2x（x+y）﹣3（x+y）=（x+y）（2x ﹣3）另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y，第一项和第三项含有公因式x，把y、x提出来，剩下的是相同因式（2x﹣3），可以继续用提公因式法分解．解：2x2+2xy﹣3x﹣3y=（2x2﹣3x）+（2xy﹣3y）=x（2x﹣3）+y（2x﹣3）=（2x ﹣3）（x+y）探究2：分解因式：（2）a2﹣b2+4a﹣4b分析：该多项式亦不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解，于是若将此题按探究1的方法分组，将含有a的项分在一组即a2+4a=a（a+4），含有b的项一组即﹣b2﹣4b=﹣b（b+4），但发现a（a+4）与﹣b（b+4）再没有公因式可提，无法再分解下去．于是再仔细观察发现，若先将a2﹣b2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式4，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：a2﹣b2+4a﹣4b=（a2﹣b2）+（4a﹣4b）=（a+b）（a﹣b）+4（a﹣b）=（a﹣b）（4+a+b）【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，而是通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的．【学以致用】：尝试运动分组分解法解答下列问题：（1）分解因式：x3﹣x2﹣x+1；（2）分解因式：4x2﹣y2﹣2yz ﹣z2（3）尝试运用以上思路分解因式：m2﹣6m+8．39．分解因式：（1）2x2y﹣8xy+8y；（2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2；（4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9．40．分解因式：（1）x2﹣9 （2）x2+4x+4（3）a2﹣2ab+b2﹣16 （4）（a+b）2﹣6（a+b）+9．2018年04月15日173****3523的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．因式分解：ab2﹣2ab+a．【解答】解：ab2﹣2ab+a=a（b2﹣2b+1）=a（b﹣1）2．2．因式分解：（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+9【解答】解：原式=（x2﹣6﹣3）2=（x2﹣9）2=（x+3）2（x﹣3）2．3．因式分解：（1）3ax2﹣6axy+3ay2（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2【解答】解：（1）原式=3a（x2﹣2xy+y2）=3a（x﹣y）；（2）原式=[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]=（5x+5）（x﹣9）=5（x+1）（x﹣9）．4．分解因式：（1）3mx﹣6my（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．【解答】解：（1）3mx﹣6my=3m （x﹣2y）；（2）原式=﹣y（﹣4xy+4x2+y2）=﹣y（y﹣2x）2．5．因式分解：（1）9a2﹣4（2）ax2+2a2x+a3【解答】解：（1）9a2﹣4=（3a+2）（3a﹣2）（2）ax2+2a2x+a3=a（x+a）26．分解因式：①﹣a4+16②6xy2﹣9x2y﹣y3【解答】解：①﹣a4+16=（4﹣a2）（4+a2）=（2+a）（2﹣a）（4+a2）；②6xy2﹣9x2y﹣y3=﹣y（y2﹣6xy+9x2）=﹣y（y﹣3x）2．7．因式分解：x4﹣81x2y2．【解答】解：原式=x2（x2﹣81y2）=x2（x+9y）（x﹣9y）8．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）3ax2﹣6axy+3ay2；（2）x3﹣5x．【解答】解：（1）原式=3a（x2﹣2xy+y2）=3a（x﹣y）2；（2）原式=x（x2﹣5），=x（x+）（x﹣）．9．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；（2）2x3y+4x2y2+2xy3【解答】解：（1）原式=a（9x2﹣y2）=a（3x+y）（3x﹣y）；（2）原式=2xy（x2+2xy+y2）=2xy（x+y）2．10．因式分解（1）﹣x3+2x2y﹣xy2（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）【解答】解：（1）﹣x3+2x2y﹣xy2=﹣x（x2﹣2xy+y2）=﹣x（x﹣y）2；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）=（x﹣2）（x2﹣4）=（x+2）（x﹣2）2．11．因式分解：（1）x2y﹣y；（2）a3b﹣2a2b2+ab3．【解答】解：（1）x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）；（2）a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2．12．分解因式：（1）3a3b2﹣12ab3c；（2）3x2﹣18xy+27y2．【解答】解：（1）3a3b2﹣12ab3c；=3ab2（a2﹣4bc）；（2）3x2﹣18xy+27y2=3（x2﹣6xy+9y2）=3（x﹣3y）2．13．将下列各式分解因式（1）8ax2﹣2ax（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）【解答】解：（1）8ax2﹣2ax=2ax（4x﹣1）；（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）=4a2﹣12ab+9b2=（2a﹣3）2．14．因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【解答】解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）215．分解因式：（m2+4）2﹣16m2．【解答】解：（m2+4）2﹣16m2=（m2+4+4m）（m2+4﹣4m）=（m+2）2（m﹣2）2．16．分解因式：（1）﹣2m2+8mn﹣8n2（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）（3）（m2+n2）2﹣4m2n2．【解答】解：（1）﹣2m2+8mn﹣8n2=﹣2（m2﹣4mn+4n2）=﹣2（m﹣2n）2；（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）=（x﹣1）（a2﹣b2）=（x﹣1）（a﹣b）（a+b）；（3）（m2+n2）2﹣4m2n2=（m2+n2+2mn）（m2+n2﹣2mn）=（m+n）2（m﹣n）2．17．分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【解答】解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25 =（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．18．分解因式：（1）x3y﹣2x2y2+xy3（2）x2﹣4x+4﹣y2．【解答】解：（1）x3y﹣2x2y2+xy3=xy（x2﹣2xy+y2）=xy（x﹣y）2；（2）x2﹣4x+4﹣y2=（x﹣2）2﹣y2=（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）．19．把下列各式因式分解：（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（2）（x2y2+1）2﹣4x2y2【解答】解：（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（2）（x2y2+1）2﹣4x2y2=（x2y2+1+2xy）（x2y2+1﹣2xy）=（xy﹣1）2（xy+1）2．20．分解因式：（1）8a3b2+12ab3c；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．【解答】解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2（2a2+3bc）；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）=3（x+y）（x﹣y）．21．分解因式：a2b﹣b3．【解答】解：原式=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．22．因式分解：x4﹣10x2y2+9y4．【解答】解：原式=（x2﹣9y2）（x2﹣y2）=（x﹣3y）（x+3y）（x﹣y）（x+y）．23．分解因式：（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2（2）a3b﹣ab；（3）x2+2x﹣3【解答】解：（1）原式=[（m+n）﹣2m]2 =（n﹣m）2（2）原式=ab（a2﹣1）=ab（a+1）（a﹣1）．（3）原式=（x+3）（x﹣1）．24．分解因式：（1）81x4﹣16；（2）8ab3+2a3b﹣8a2b2【解答】解：（1）原式=（9x2+4）（9x2﹣4）=（9x2+4）（3x+2）（3x﹣2）；（2）原式=2ab（4b2+a2﹣4ab）=2ab（a﹣2b）2．25．分解因式：（1）5a2+10ab；（2）mx2﹣12mx+36m．【解答】解：（1）原式=5a（a+2b）（2）原式=m（x2﹣12x+36）=m（x﹣6）226．分解因式：（1）2x﹣8x3；（2）﹣3m3+18m2﹣27m（3）（a+b）2+2（a+b）+1．（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解答】解：（1）2x﹣8x3；=2x（1﹣4x2）=2x（1﹣2x）（1+2x）；（2）﹣3m3+18m2﹣27m=﹣3m（m2﹣6m+9）=﹣3m（m﹣3）2；（3）（a+b）2+2（a+b）+1=（a+b+1）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．27．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式=x2+2x+1﹣1﹣3=（x2+2x+1）﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．【解答】解：（1）x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣4+3=（x﹣2）2﹣1=（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）=（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7=4x2+12x+9﹣9﹣7=（2x+3）2﹣16=（2x+3+4）（2x+3﹣4）=（2x+7）（2x﹣1）28．因式分解：（1）a4﹣a2b2；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【解答】解：（1）原式=a2（a2﹣b2）=a2（a+b）（a﹣b）（2）原式=x2﹣4x+3+1=（x﹣2）229．因式分解：（1）a3﹣2a2+a（2）x4﹣1【解答】解：（1）原式=a（a2﹣2a+1）（2）原式=（x2+1）（x2﹣1）=（x2+1）（x+1）（x﹣1）．30．分解因式（1）x3﹣9x；（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；（3）1﹣a2+2ab﹣b2．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣9）=x（x﹣3）（x+3）（2）原式=﹣xy（x2﹣2xy+y2）=﹣xy（x﹣y）2（3）原式=1﹣（a2﹣2ab+b2）=1﹣（a﹣b）2=（1﹣a+b）（1+a﹣b）31．（1）计算：2（a﹣3）（a+2）﹣（4+a）（4﹣a）．（2）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解答】解：（1）原式=2a2﹣2a﹣12﹣（16﹣a2）=2a2﹣2a﹣12﹣16+a2=3a2﹣2a﹣28．（2）原式=9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．32．因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）33．因式分解：（1）x2﹣2x﹣8=（x+2）（x﹣4）；（2）﹣a4+16；（3）3a3（1﹣2a）+a（2a﹣1）2+2a（2a﹣1）．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣4）（2）原式=16﹣a4=（4+a2）（4﹣a2）=（4+a2）（2+a）（2﹣a）（3）原式=3a3（1﹣2a）+a（1﹣2a）3﹣2a（1﹣2a）=a（1﹣2a）（3a2+1﹣2a﹣2）=a（1﹣2a）（a﹣1）（3a+1）故答案为：（1）（x+2）（x﹣4）34．分解因式：（1）2a3﹣4a2b+2ab2；（2）x4﹣y4【解答】解：（1）2a3﹣4a2b+2ab2，=2a（a2﹣2ab+b2），=2a（a﹣b）2；（2）x4﹣y4，=（x2+y2）（x2﹣y2），=（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．35．将下列多项式因式分解①4ab2﹣4a2b+a3②16（x﹣y）2﹣24x（x﹣y）+9x2③6（a﹣b）2﹣3（b﹣a）2．【解答】解：①4ab2﹣4a2b+a3=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2；②16（x﹣y）2﹣24x（x﹣y）+9x2=[4（x﹣y）﹣3x]2=（x﹣4y）2；③6（a﹣b）2﹣3（b﹣a）2．=3（a﹣b）2×（2+1）=9（a﹣b）2．36．因式分解①﹣2a3+12a2﹣18a②9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【解答】解：①﹣2a3+12a2﹣18a，=﹣2a（a2﹣6a+9），=﹣2a（a﹣3）2；②9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x），=（x﹣y）（9a2﹣4b2），=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．37．分解因式：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．（2）（a2+1）2﹣4a2．【解答】解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x﹣y）（x+y）；（2）（a2+1）2﹣4a2．=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）=（a﹣1）2（a+1）2．38．【问题提出】：分解因式：（1）2x2+2xy﹣3x﹣3y；（2）a2﹣b2+4a﹣4b【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）2x2+2xy﹣3x﹣3y分析：该多项式不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解．于是仔细观察多项式的特点．甲发现该多项式前两项有公因式2x，后两项有公因式﹣3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解．解：2x2+2xy﹣3x﹣3y=（2x2+2xy）﹣（3x+3y）=2x（x+y）﹣3（x+y）=（x+y）（2x ﹣3）另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y，第一项和第三项含有公因式x，把y、x提出来，剩下的是相同因式（2x﹣3），可以继续用提公因式法分解．解：2x2+2xy﹣3x﹣3y=（2x2﹣3x）+（2xy﹣3y）=x（2x﹣3）+y（2x﹣3）=（2x ﹣3）（x+y）探究2：分解因式：（2）a2﹣b2+4a﹣4b分析：该多项式亦不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解，于是若将此题按探究1的方法分组，将含有a的项分在一组即a2+4a=a（a+4），含有b的项一组即﹣b2﹣4b=﹣b（b+4），但发现a（a+4）与﹣b（b+4）再没有公因式可提，无法再分解下去．于是再仔细观察发现，若先将a2﹣b2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式4，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：a2﹣b2+4a﹣4b=（a2﹣b2）+（4a﹣4b）=（a+b）（a﹣b）+4（a﹣b）=（a﹣b）（4+a+b）【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，而是通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的．【学以致用】：尝试运动分组分解法解答下列问题：（1）分解因式：x3﹣x2﹣x+1；（2）分解因式：4x2﹣y2﹣2yz﹣z2【拓展提升】：（3）尝试运用以上思路分解因式：m2﹣6m+8．【解答】【学以致用】：解：（1）x3﹣x2﹣x+1=（x3﹣x2）﹣（x﹣1）=x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）（x+1）（x﹣1）=（x﹣1）2（x+1）（2）解：4x2﹣y2﹣2yz﹣z2=4x2﹣（y2+2yz+z2）=（2x）2﹣（y+z）2=（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）′【拓展提升】：（3）解：m2﹣6m+8=m2﹣6m+9﹣1=（m﹣3）2﹣1=（m﹣2）（m﹣4）．39．分解因式：（1）2x2y﹣8xy+8y；（2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2；（4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9．【解答】解：（1）2x2y﹣8xy+8y=2y（x2﹣4x+4）=2y（x﹣2）2；（2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣9b2）=（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2=[3（3m+2n）﹣2（m﹣2n）][3（3m+2n）+2（m﹣2n）]=（7m+10n）（11m+2n）；（4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9=（y2﹣1﹣3）2=（y+2）2（y﹣2）2．40．分解因式：（1）x2﹣9（2）x2+4x+4（3）a2﹣2ab+b2﹣16（4）（a+b）2﹣6（a+b）+9．【解答】（1）x2﹣9=（x+3）（x﹣3）（2）x2+4x+4=（x+2）2（3）a2﹣2ab+b2﹣16=（a﹣b）2﹣42=（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）（4）（a+b）2﹣6（a+b）+9=（a+b﹣3）2。
因式分解与配方法解方程训练题
因式分解与配方法解方程训练题一．选择题（共27小题）1．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9 2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝7 3．把方程x2﹣4x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（）A．2，9B．2，7C．﹣2，9D．﹣2，74．用配方法解方程，x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 5．用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝3B．a＝1，b＝2，c＝﹣3C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣36．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，4，8C．3，4，﹣8D．3，﹣4，﹣8 7．一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣28．用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，c的值是（）A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4B．a＝5，b＝﹣4，c＝1C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1D．a＝5，b＝4，c＝19．一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（）A．x1＝x2＝7B．x1＝x2＝﹣7C．x1＝0，x2＝7D．x1＝0，x2＝﹣7 10．方程x2﹣2x＝0的解是（）A．x＝2B．x＝0C．x＝2或x＝1D．x＝2或x＝0 11．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（）A．x＝1B．x＝5C．x＝﹣1或x＝5D．x＝1或x＝﹣5 12．方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2B．x1＝﹣3，x2＝2C．x1＝3，x2＝﹣2D．x1＝3，x2＝213．一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（）A．0或﹣1B．0或1C．1D．014．解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是（）A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法15．一元二次方程x2+x﹣6＝0的根是（）A．x＝2B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x1＝2，x2＝﹣3 16．若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥0D．m＜017．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＝﹣1D．k＞﹣1且k≠0 18．一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定19．方程x2﹣2x+4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实数根D．无法确定20．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4B．k＞﹣3C．k＞﹣3且k≠1D．k≥﹣3且k≠1 21．一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断22．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根23．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k＜5C．k≤5且k≠1D．k＜5且k≠1 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜1B．m＞1C．m≠0D．0＜m＜125．一元二次方程x2+x﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根26．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．B．且k≠0C．且k≠0D．27．若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．则方程3*x＝0的根的情况为（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定二．填空题（共3小题）28．一元二次方程x2﹣7x＝0的解是．29．方程x2﹣x＝0的解为．30．若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．三．解答题（共29小题）31．用配方法解方程：2x2+6x＝3．32．解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）33．用配方法解方程：2x2﹣6x+1＝0．34．解方程：（配方法）2x2+5x﹣1＝0．35．x2﹣14x＝8（配方法）．36．解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．37．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．38．用适当的方法解方程：x2﹣6x﹣2＝0．39．用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．40．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．41．按要求解下列方程：（1）x2+6x﹣2＝0（配方法）；（2）2x2+5x﹣1＝0（公式法）．42．公式法解方程：2x2﹣x﹣3＝0．43．（1）用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0；（2）用公式法解方程：x2﹣2x﹣5＝0．44．x2﹣7x﹣18＝0（公式法）．45．用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．46．解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）．47．解方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）（x+4）2＝5（x+4）．48．解方程：（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．49．解方程：（1）x+2＝x（x+2）；（2）2x2﹣7x+6＝0．50．解方程：（1）x（x﹣3）＝x﹣3；（2）x2﹣10x+6＝0．51．解下列关于x的方程．（1）（x﹣3）（x+1）＝x﹣3；（2）3x2﹣4x﹣1＝0．52．解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．53．用因式分解法解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；（2）（2x﹣1）2＝2（1﹣2x）﹣1．54．用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．55．关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2＝0有实数根．（1）当x＝0是方程的一个根，求m的值；（2）求m的取值范围．56．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．57．关于x的一元二次方程x2+（m+4）x﹣2m﹣12＝0，求证：（1）方程总有两个实数根；（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根．58．关于x的一元二次方程：．（1）当k＝1时，求方程的根；（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．59．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求方程的根．。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)
(7) 5x 2 －3x+2 =0
(8) 7x 2 －4x－3 =0
(9) -x 2 -x+12 =0
(10) x 2 －6x+9 =0
韦达定理：对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ，如果方程有两个实数根 x1, x2 ，那么
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
说明：（1）定理成立的条件 0
2．已知 x1，x2 是方程 2x2－7x＋4＝0 的两根，则 x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
（x1－x2）2＝
1
3．已知方程 2x2－3x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k=
;
2
4．若方程 x2+(a2－2)x－3=0 的两根是 1 和－3，则 a=
;
5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为
（2）注意公式重
x1
x2
b a
的负号与
b
的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x12 x22 ；
(2) 1 1 ； x1 x2
(3) (x1 5)(x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
25、 5x2 7x 1 0
26、 5x2 8x 1
27、 x2 2mx 3nx 3m2 mn 2n2 0
28、3x2+5(2x+1)=0
29、 (x 1)(x 1) 2 2x
30、 3x2 4x 1
因式分解培优训练题(培优篇)+答案
章节复习之因式分解（培优篇） 因式分解的方法一——基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。
在对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________419122=+-+y x x n n . 2、（河南省竞赛题）分解因式：_______________63522=++++y y x xy x . 3、已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值为 .4、（2000年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：()()__________122=++-+b a b a ab . 5、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x 、y 是整数，且12005200422=-+y xy x ，那么_________=x ，_________=y .二、选择题6、如果多项式9142++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、6- B 、6 C 、32或32- D 、34或34- 7、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次三项式c bx x ++22分解因式后为()()132+-x x ，则（ ）A 、3=b ，1-=cB 、6-=b ，2=cC 、6-=b ，4=cD 、4-=b ，6-=c8、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式1222-+-b ab a 分解因式，结果为（ ）A 、()()11--+-b a b aB 、()()11-++-b a b aC 、()()11-+++b a b aD 、()()11--++b a b aB 卷一、填空题9、研究下列算式：252514321==+⨯⨯⨯；21112115432==+⨯⨯⨯；==+⨯⨯⨯36116543219；22984117654==+⨯⨯⨯，……用含n 的代数式表示此规律（n 为正整数）是 .二、选择题10、对于这5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③()x x 422+-；④()()m n n n m m -+-63；⑤()()b d c c b d y d c b x 222-+-----+其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、③④⑤D 、①②④11、已知二次三项式10212-+ax x 可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ） A 、a 一定是奇数 B 、a 一定是偶数 C 、a 可为奇数也可为偶数 D 、a 一定是负数 三、解答题 12、分解因式：（1）（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）分解因式：()()()33322y x y x -----（2）122229227131+++--n n n x x x （3）2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+- （4）()222224b a abx x b a +--- （5）()()()b a c a c b c b a -+-+-222 （6）613622-++-+y x y xy xC 卷一、解答题13、n （1 n ）名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。
用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程(分层练习,7种题型)(原卷版)
2.2-2.4 用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程分层练习考查题型二配方法解一元二次方程考查题型三配方法的应用考查题型四公式法解一元二次方程1．解方程：22520x x -+=．2．用公式法解方程： (1)228=0x x --；(2)23280x x --=；(3)2410x x -+=；(4)22310x x -+=．考查题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况1．下列一元二次方程无实数根的是（ ）A ．220x x +-=B ．220x x -=C ．2x x 50++=D ．2210x x -+=2．一元二次方程210x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根3．对于任意实数k ，关于x 的方程222(5)24500x k x k k -++++=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判定4．已知,,a b c 分别是ABC 的边长，则一元二次方程2()20a b x cx a b ++++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断考查题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 1．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=．(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m 的值；(2)如果该方程有一个根小于0，求m 的取值范围．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣2）x +2m ﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m 的值．3．关于x 的一元二次方程2223()0m x mx m +++=-有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．考查题型七 因式分解法分解因式你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 2．解方程：(7)8(7)x x x -=-．1．阅读下列材料：已知实数m ，n 满足()()2222212180m n m n +++-=，试求222m n +的值． 解：设222m n t +=，则原方程变为()1)0(18t t +-=，整理得2180t -=，即281t =，∴9t =±． ∵2220m n +≥，∴2229m n +=．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x ，y 满足()()222222322327x y x y +++-=，求22x y +的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．2．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.。
因式分解练习题40道
解答题（共40小题）1.因式分解：ab 2 - 2ab+a. 3 .因式分解：(1) 3ax 2 - 6axy+3ay 24 .分解因式:因式分解(1) 3mx - 6my(2) 4xy 2 - 4x 2y - y 3. 5.因式分解:(1) 9a 2 - 4(2) ax2+2a 2x+a 3 6.分解因式: ① - a 4+16 ②6xy2 - 9x 2y - y 3 2.因式分解：(x 2 - 6) 2 - 6 (x 2 - 6) +9(2) (3x - 2) 2 - (2x+7) 27.因式分解：x 4 - 81x 2y 2.8 .在实数范围内将下列各式分解因式:9 .分解因式：(1) 9ax 2 - ay 2； (2) 2x 3y+4x 2y 2+2xy 310 .因式分解(1) - x 3+2x 2y - xy 212 .分解因式：(1) 3a3b2 - 12ab3c ；(1) 3ax 2 - 6axy+3ay 2；(2) x 3 - 5x.(2) x 2 (x - 2) +4 (2 - x)11.因式分解:(1) x 2y - y ； (2) a 3b - 2a 2b 2+ab 3. (2) 3x 2 - 18xy+27y2.(2) 4a 2 - 3b (4a - 3b)13 .将下列各式分解因式(1) 8ax 2 - 2ax14.因式分解(1) m 2 - 4n 215.分解因式：(m2+4) 2 - 16m 2.16.分解因式:2 a 2 (x - 1) +b 2 (1 - x) (1) - 2m 2+8mn - 8n 2(3) (m 2+n 2) 2 - 4m2M.17.分解因式：m 2 - 25+9n 2+6mn. 18.分解因式:(1) x 3y - 2x 2y 2+xy 3(2) x 2 - 4x+4 - y 2. (2) 2a 2 - 4a+2.23.分解因式:(1) (m+n) 2 - 4m (m+n) +4m 2(3) x 2+2x - 324.分解因式：(1) 81x 4 - 16；19.把下列各式因式分解：(1) 9a 2 (x - y) +4b 2 (y - x)(2) (x 2y 2+l) 2 - 4x 2y 2 20.分解因式：(1) 8a 3b 2+12ab 3c ；2 2) (2x+y) 2 - (x+2y) 2. 21 .分解因式：a 2b - b 3.22 .因式分解：x 4 - lOxY+gy 4. (2) a 3b - ab ； (2) 8ab 3+2a 3b - 8a 2b 2(3) (a+b) 2+2 (a+b) +1.(4) 9a 2 (x - y) +4b 2 (y - x).27.阅读下面的问题，然后回答，分解因式:x 2+2x - 3,解：原式 =x 2+2x+l -1-3=(x 2+2x+l ) - 4=(x+1) 2 - 4=(x+1+2) (x+1 - 2)=(x+3) (x - 1)上述因式分解的方法称为配方法.请体会配方法的特点，用配方法分解因式:(1) x 2 - 4x+3(2) 4x 2+12x- 7.25.分解因式： (1) 5a2+10ab ； (2) mx 2 - 12mx+36m. 26.分解因式: (1) 2x - 8x 3； (2) - 3m 3+18m 2 - 27m28.因式分解:(1) a4 -(2) (x - 1) (x - 3) +1. a2b2；29.因式分解:(2) - x 3y+2y 2x 2 - xy 3；(3) 1 - a 2+2ab - b 2.31 . (1)计算：2 (a - 3) (a+2) - (4+a) (4 - a).(2)分解因式：9a 2 (x - y) +4b 2 (y - x)-32 .因式分解(2) - 2a 3+12a 2 - 18a (1) a 3 - 2a 2+a(2) x 4 - 1 30.分解因式(1) x 3 - 9x ；(1) ax 2 - 16ay 2(3) (x+2) (x - 6) +16(4) a 2 - 2ab+b 2 - 1.33.因式分解：(1) x 2 - 2x - 8= (2) - a 4+16；(3) 3a 3 (1 - 2a) +a (2a - 1) 2+2a (2a - 1).34.分解因式:(1) 2a 3 - 4a 2b+2ab 2； 35 .将下列多项式因式分解② 16 (x - y) 2 - 24x (x - y) +9x 2③6 (a - b) 2 - 3 (b - a) 2.(2) x 4-y©4ab 2 - 4a 2b+a 336.因式分解①-2a3+12a2 - 18a (2)9a2 (x - y) +4b2 (y - x)37.分解因式：(1) x (x - y) - y (y - x). (2) (a2+l) 2 - 4a2.38.【问题提出工分解因式：(1) 2x2+2xy - 3x - 3y；(2) a2 - b2+4a - 4b【问题探究工某数学〃探究学习〃小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式:(1) 2x2+2xy - 3x - 3y分析：该多项式不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解.于是仔细观察多项式的特点.甲发现该多项式前两项有公因式2x,后两项有公因式-3,分别把它们提出来，剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解.解：2x?+2xy - 3x - 3y=(2x2+2xy) - (3x+3y) =2x (x+y) - 3 (x+y) = (x+y) (2x -3)另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y,第一项和第三项含有公因式x,把y、x提出来，剩下的是相同因式(2x-3),可以继续用提公因式法分解. 解：2x2+2xy - 3x - 3y= (2x2- 3x) + (2xy - 3y) =x (2x - 3) +y (2x - 3) = (2x -3) (x+y)探究2：分解因式：(2) a? - b?+4a - 4b分析：该多项式亦不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解，于是若将此题按探究1的方法分组，将含有a的项分在一组即a2+4a=a (a+4),含有b的项一组即-b2 - 4b=-b (b+4),但发现 a (a+4)与-b (b+4)再没有公因式可提，无法再分解下去.于是再仔细观察发现，若先将a2-b2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式4,则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的.解：a2- b2+4a - 4b= (a2- b2) + (4a - 4b) = (a+b) (a - b) +4 (a - b) = (a - b) (4+a+b)【方法总结工对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按〃基本方法〃即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按"基本方法〃继续进行分解, 直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，而是通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用〃基本方法〃分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用“基本方法〃进行分解因式的目的.【学以致用工尝试运动分组分解法解答下列问题：(1)分解因式：x3 - x2 - x+1；(2)分解因式：4x2 - y2 - 2yz (3)尝试运用以上思路分解因式：m2 - 6m+8.39.分解因式：(1) 2x2y - 8xy+8y；(2) a2 (x - y) - 9b2 (x - y)；(4) (y2 - 1) 2+6 (1 - y2) +9.3 9 (3m+2n) 2 -4 (m - 2n) 2；40.分解因式:(1) x 2 - 9(4)(a+b) 2 - 6 (a+b) +9. (2) x 2+4x+4 (3) a 2 - 2ab+b 2 - 162018年04月15日173****3523的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共40小题)1.因式分解:ab2 - 2ab+a.【解答】解：ab2 - 2ab+a=a (b2 - 2b+l)=a (b - 1) 2.2.因式分解：(X2-6) 2 - 6 (x2 - 6) +9【解答】解：原式二(x2-6-3) 2=(x2 - 9) 2=(x+3) 2 (x - 3) 2.3.因式分解：(1)3ax2 - 6axy+3ay2(2)(3x - 2) 2 - (2x+7) 2【解答】解：(1)原式=3a (x2 - 2xy+y2)=3a (x - y)；(2)原式=[(3x- 2) + (2x+7) ] [ (3x - 2) - (2x+7)]=(5x+5) (x - 9)=5 (x+1) (x - 9).4.分解因式：(1)3mx - 6my(2)4xy2 - 4x2y - y3.【解答】解：(1) 3mx - 6my=3m (x - 2y)；(2)原式二-y ( - 4xy+4x2+y2)=-y (y - 2x) 2.5.因式分解：(1)9a2 - 4(2)ax2+2a2x+a3【解答】解：(1) 9a2 - 4= (3a+2) (3a - 2) (3)ax2+2a2x+a3=a (x+a) 26.分解因式：①-a4+16②6xy2 - 9x2y - y3【解答】解:①-非+16=(4 - a2) (4+a2)=(2+a) (2 - a) (4+a2)；②6xy2 - 9x2y - y3=-y (y2 - 6xy+9x2)=-y (y - 3x) 2.7.因式分解：x4 - 81x2y2.【解答】解:原式二x2 (x2-81y2)=x2 (x+9y) (x - 9y)8.在实数范围内将下列各式分解因式：(1)3ax2 - 6axy+3ay2；(2)x3 - 5x.【解答】解：(1)原式二3a (x2 - 2xy+y2)=3a (x - y) 2；(2)原式二x (x2 - 5),=x (x+加)(x - V5).9.分解因式：(1)9ax2 - ay2；(2)2x3y+4x2y2+2xy3【解答】解：(1)原式二a (9x2 - y2) =a (3x+y) (3x - y)；(2)原式=2xy (x2+2xy+y2) =2xy (x+y) 2.10.因式分解(1)- x3+2x2y - xy2(2)x2 (x - 2) +4 (2 - x)【解答】解：(1)- x3+2x2y - xy2=-x (x2 - 2xy+y2)=-x (x - y) 2；(3)x2 (x - 2) +4 (2 - x)=(x - 2) (x2 - 4)=(x+2) (x - 2) 2.11.因式分解：(1)x2y - y；(2)a3b - 2a2b2+ab3.【解答】解：(1) x2y-y=y (x2 - 1)=y (x+1) (x - 1)；(2) a3b - 2a2b2+ab3=ab (a2 - 2ab+b2)=ab (a - b) 2.12.分解因式：(1)3a3b2 - 12ab3c；(2)3x2 - 18xy+27y2.【解答】解：(1) 3a3b2 - 12ab3c；=3ab2 (a2 - 4bc)；(3)3x2 - 18xy+27y2=3 (x2 - 6xy+9y2)=3 (x - 3y) 2.13.将下列各式分解因式(1)8ax2 - 2ax(2)4a2 - 3b (4a - 3b)【解答】解：(1) 8ax2 - 2ax=2ax (4x - 1)；(3)4a2 - 3b (4a - 3b)=4a2 - 12ab+9b2=(2a - 3) 2.14.因式分解(1)m2 - 4n2(2)2a2 - 4a+2.【解答】解：(1)原式二(m+2n) (m - 2n)(2)原式=2 (a2 - 2a+l)15.分解因式：(m2+4) 2 - 16m2.【解答】解：(m2+4) 2 - 16m2=(m2+4+4m) (m2+4 - 4m)=(m+2) 2 (m - 2) 2.16.分解因式：(1)- 2m2+8mn - 8n2(2)a2 (x - 1) +b2 (1 - x)(3)(m2+n2) 2 - 4m2n2.【解答】解：(1) - 2m2+8mn - 8n2=-2 (m2 - 4mn+4n2)=-2 (m - 2n) 2；(2)a2 (x - 1) +b2 (1 - x)=(x - 1) (a2 - b2)=(x - 1) (a - b) (a+b)；(3)(m2+n2) 2 - 4m2n2=(m2+n2+2mn) (m2+n2 - 2mn)=(m+n) 2 (m - n) 2.17.分解因式：m2 - 25+9n2+6mn.【解答】解：原式=(m2+6mn+9n2) - 25 =(m+3n) 2 - 25=(m+3n+5) (m+3n - 5).18.分解因式:(1)x3y - 2x3y2+xy3(2)x2 - 4x+4 - y2.【解答】解：(1) x3y - 2x2y2+xy3=xy (x2 - 2xy+y2)=xy (x - y) 2；(3)x2 - 4x+4 - y2=(x - 2) 2 - y2=(x - 2+y) (x - 2 - y).19.把下列各式因式分解：(1)9a2 (x - y) +4b2 (y - x)(2)(x2y2+i) 2 _ 4x2y2【解答】解：(1) 9a2 (x - y) +4b2 (y - x)=(x - y) (9a2 - 4b2)=(x - y) (3a+2b) (3a - 2b)；(2)(x2y2+l) 2 _ 4x2y2=(x2y2+l+2xy) (x2y2+l - 2xy)=(xy - 1) 2 (xy+1) 2.20.分解因式：(1)8a3b2+12ab3c；(2)(2x+y) 2 - (x+2y) 2.【解答】解：(1) 8a3b2+12ab3c=4ab2 (2a2+3bc)；21.分解因式：a2b - b3.3 (2x+y) 2- (x+2y) 2 =(2x+y+x+2y) (2x+y - x - 2y) =3 (x+y) (x - y).【解答】解:原式二b (a2-b2)=b (a+b) (a - b).22.因式分解：x4 - 10x2y2+9y4.【解答】解：原式二(x2-9y2) (x2-y2) =(x - 3y) (x+3y) (x - y) (x+y).23.分解因式：(1)(m+n) 2 - 4m (m+n) +4m2(2)a3b - ab；(3)X2+2X - 3【解答】解：(1)原式=[(m+n) - 2m]2 =(n - m) 2(2)原式二ab (a2 - 1)=ab (a+1) (a - 1).(3)原式=(x+3) (x - 1).24.分解因式：(1)81x4 - 16；(2)8ab3+2a3b - 8a2b2【解答】解：(1)原式=(9x?+4) (9x?-4) =(9x2+4) (3x+2) (3x- 2)；(2)原式=2ab (4b2+a2 - 4ab)=2ab (a - 2b) 2.25.分解因式:(1) 5a2+10ab；(2) mx2 - 12mx+36m.【解答】解：(1)原式二5a (a+2b) (2)原式二m (x2 - 12x+36) =m (x - 6) 226.分解因式：(1)2x - 8x3；(2)- 3m3+18m2 - 27m(3)(a+b) ?+2 (a+b) +1.(4)9a2 (x - y) +4b2 (y - x).【解答】解：(1)2x-8x3；=2x (1 - 4x2)=2x (1 - 2x) (l+2x)；(5)- 3m3+18m2 - 27m=-3m (m2 - 6m+9)=-3m (m - 3) 2；(6)(a+b) ?+2 (a+b) +1=(a+b+1) 2；(7)9a2 (x - y) +4b2 (y - x)=(x - y) (9a2 - 4b2)=(x - y) (3a+2b) (3a - 2b).27.阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x - 3,解：原式=X2+2X+1 - 1 - 3=(x2+2x+l) - 4=(x+1) 2 - 4=(x+1+2) (x+1- 2)=(x+3) (x - 1)上述因式分解的方法称为配方法.请体会配方法的特点，用配方法分解因式:(1)x2 - 4x+3(2)4X2+12X - 7.【解答】解：(1) x2 - 4x+3=x2 - 4x+4 - 4+3=(x - 2) 2 - 1=(x - 2+1) (x - 2 - 1)=(x - 1) (x - 3)(3)4x2+12x - 7=4X2+12X+9 -9-7=(2x+3) 2 - 16=(2x+3+4) (2x+3 - 4)=(2x+7) (2x- 1)28.因式分解：(1)a4 - a2b2；(2)(x - 1) (x - 3) +1.【解答】解：(1)原式二a? (a2-b2)=a2 (a+b) (a -b)(2)原式=X2-4X+3+1=(x - 2) 229.因式分解：(1)a3 - 2a2+a(2)x4 - 1【解答】解：(1)原式二a (a2 - 2a+l)=a (a - 1) 2；(2)原式=(x2+l) (x2 - 1)=(x2+l) (x+1) (x - 1).30.分解因式(1)x3 - 9x；(2)- x3y+2y2x2 - xy3；(3) 1 - a2+2ab - b2.【解答】解：(1)原式二x (x2 - 9) =x (x - 3) (x+3)(2)原式二-xy (x2 - 2xy+y2) = - xy (x - y) 2(3)原式二1 - (a2 - 2ab+b2)=1 - (a - b) 2=(1 - a+b) (1+a - b)31. (1)计算：2 (a - 3) (a+2) - (4+a) (4 - a). (2)分解因式：9a2 (x - y) +4b2 (y - x).【解答】解：(1)原式或健-2a - 12 - (16 - a2)=2a2 - 2a - 12 - 16+a2=3a2 - 2a - 28.(2)原式=9a? (x-y) +4b2 (y - x)=(x - y) (9a2 - 4b2)=(x - y) (3a+2b) (3a - 2b).32.因式分解(1)ax2 - 16ay2(2)- 2a3+12a2 - 18a(3)(x+2) (x - 6) +16(4)a2 - 2ab+b2 - 1.【解答】解：(1)原式二a (x2 - 16y2) =a (x+4y) (x - 4y)(2)原式=-2a (a2 - 6a+9) = - 2a (a - 3) 2(3)原式=x2 - 4x+4= (x - 2) 2(4)原式二(a - b) 2 - 1= (a - b+1) (a - b - 1)33.因式分解：(1)x2 - 2x - 8= (x+2) (x - 4) ；(2)- a4+16；(3)3a3 (1 - 2a) +a (2a - 1) 2+2a (2a - 1).【解答】解：(1)原式=(x+2) (x-4)(2)原式=16-a4=(4+a2) (4 - a2) = (4+a2) (2+a) (2 - a)(3)原式=3a3 (1 - 2a) +a (1 - 2a) 3 - 2a (1 - 2a)=a (1 - 2a) (3a2+l - 2a - 2)=a (1 - 2a) (a - 1) (3a+l)故答案为：(1) (x+2) (x-4)34.分解因式：(1)2a3 - 4a2b+2ab2； (2) x4 - y4【解答】解：(1) 2a3 - 4a2b+2ab2,=2a (a2 - 2ab+b2),=2a (a - b) 2；(2)x4 - y4,=(x2+y2) (x2 - y2),=(x2+y2) (x+y) (x - y).35.将下列多项式因式分解①4ab2 - 4a2b+a3@16 (x - y) 2 - 24x (x - y) +9x2③6 (a - b) 2 - 3 (b - a) 2.【解答】解:①4ab2 - 4a2b+a3 =a (a2 - 4ab+4b2)=a (a - 2b) 2；(2)16 (x - y) 2 - 24x (x - y) +9x2=[4 (x - y) - 3x]2=(x - 4y) 2；③6 (a - b) 2 - 3 (b - a) 2.=3 (a - b) 2X (2+1)=9 (a - b) 2.36.因式分解①-2a3+12a2 - 18a②9a2 (x - y) +4b2 (y - x)【解答】解：①-2a3+i2a2 - 18a, =-2a (a2 - 6a+9),=-2a (a - 3) 2；②9a2 (x - y) +4b2 (y - x),=(x - y) (9a2 - 4b2),=(x - y) (3a+2b) (3a - 2b).37.分解因式：(1)x (x-y) - y (y - x).(2)(a2+l) 2 - 4a2.【解答】解：(1) x (x-y) - y (y - x)=x (x - y) +y (x - y)=(x - y) (x+y)；(2) (a2+l) 2 - 4a2.=(a2+l - 2a) (a2+l+2a)=(a - 1) 2 (a+1) 2.38.【问题提出】：分解因式：(1) 2x2+2xy - 3x - 3y； (2) a2 - b2+4a - 4b【问题探究工某数学〃探究学习〃小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：(1) 2x2+2xy - 3x - 3y分析：该多项式不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解.于是仔细观察多项式的特点.甲发现该多项式前两项有公因式2x,后两项有公因式-3,分别把它们提出来，剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解.解：2x?+2xy - 3x - 3y=(2x2+2xy) - (3x+3y) =2x (x+y) - 3 (x+y) = (x+y) (2x -3)另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y,第一项和第三项含有公因式x,把y、x提出来，剩下的是相同因式(2x-3),可以继续用提公因式法分解. 解:2x2+2xy - 3x - 3y= (2x2- 3x) + (2xy - 3y) =x (2x - 3) +y (2x - 3) = (2x -3) (x+y)探究2：分解因式：(2) a? - b?+4a - 4b分析：该多项式亦不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解，于是若将此题按探究1的方法分组，将含有a的项分在一组即a2+4a=a (a+4),含有b的项一组即-b2 - 4b=- b (b+4),但发现 a (a+4)与-b (b+4)再没有公因式可提，无法再分解下去.于是再仔细观察发现，若先将a2-b2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式4,则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的.解：a2- b2+4a - 4b= (a2- b2) + (4a - 4b) = (a+b) (a - b) +4 (a - b) = (a - b) (4+a+b)【方法总结］对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按〃基本方法〃即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按〃基本方法〃继续进行分解, 直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，而是通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用“基本方法〃分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用〃基本方法〃进行分解因式的目的.【学以致用工尝试运动分组分解法解答下列问题：(1)分解因式：X3 - X2 - x+1；(2)分解因式：4x2 - y2 - 2yz - z2【拓展提升工(3)尝试运用以上思路分解因式：m2 - 6m+8.【解答】【学以致用工解：(1) X3 - X2 - x+1=(X3 - X2 ) - (X - 1)=x2 (x - 1) - (x - 1)=(X - 1) (X2 - 1)=(x - 1) (x+1) (x - 1)=(x - 1) 2 (x+1)(2)解：4x2 - y2 - 2yz - z2=4x2 - (y2+2yz+z2)=(2x) 2 - (y+z) 2=(2x+y+z) (2x - y - z)'【拓展提升工(3)解：m2 - 6m+8=m2 - 6m+9 - 1=(m - 3) 2 - 1=(m - 2) (m - 4).39.分解因式:(1)2x2y - 8xy+8y；(2)a2 (x - y) - 9b2 (x - y)；(3)9 (3m+2n) 2 - 4 (m - 2n) 2；(4)(y2 - 1) 2+6 (1 - y2) +9.【解答】解：(1) 2x2y - 8xy+8y=2y (x2 - 4x+4) =2y (x - 2) 2；(5)a2 (x - y) - 9b2 (x - y)=(x - y) (a2 - 9b2)=(x - y) (a+3b) (a - 3b)；(6)9 (3m+2n) 2 - 4 (m - 2n) 2=[3 (3m+2n) - 2 (m - 2n) ] [3 (3m+2n) +2 (m - 2n)]=(7m+10n) (llm+2n)；(7)(y2 - 1) 2+6 (1 - y2) +9=(y2 - 1 - 3)2=(y+2) 2 (y - 2) 2.40.分解因式：(1)x2 - 9(2)x2+4x+4(3)a2 - 2ab+b2 - 16(4)(a+b) 2 - 6 (a+b) +9.【解答】(1) x2-9= (x+3) (x-3)(2)X2+4X+4=(X+2)2(3)a2 - 2ab+b2 - 16=(a - b) 2 - 42=(a - b+4) (a - b - 4)(4)(a+b) 2 - 6 (a+b) +9= (a+b - 3) 2。
完整版)解一元二次方程练习题(配方法)
完整版)解一元二次方程练习题(配方法) 一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x-1=2、(x-3)^2=2、2、(x-1)^2=5、81(x-2)=16二、用配方法解下列一元二次方程。
1、y^2-6y-6=0、3x^2-4x+2=02、x^2-4x-5=0、2x^2+3x-1=03、x^2-4x=9、3x^2+2x-7=04、x^2-4x-5=0、-4x^2-8x=165、2x^2+3x-1=0、(2-3x)^2=46、-4x^2+12x=0三、用公式解法解下列方程。
1、x^2-2x-8=0、4y^2-2y-1=02、2x^2-5x+1=0、-4x^2-8x=16、2x^2-3x-2=0四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x^2=2x、(x+1)^2-(2x-3)^2=3、x^2-6x+8=02、4(x-3)^2=25(x-2)、(1+2)x^2-(1-2)x=6、(2-3x)^2+(3x-2)^2=1五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、3x/(x-1)=x/(x+5)、2x-3=5x、x-2y+6=22、x^2-7x+10=0、(x-3)(x+2)=6、4(x-3)+x(x-3)=23、(5x-1)^-2=8、3y^2-4y-9=0、x^2-7x-30=24、(y+2)(y-1)=4、x^2-4ax=b^2-4a^2、x^2+(531/36)x=05、4x(x-1)=3、3x^2-9x+2=0一元二次方程解法练题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.4x-1=2解：移项得4x=3，两边平方得16x^2=9，即x=±3/4.2.(x-3)^2=2解：展开得x^2-6x+7=0，两边平方得x-3=±√2，即x=3±√2.3.(x-1)^2=5解：展开得x^2-2x-4=0，两边平方得x-1=±√5，即x=1±√5.4.81(x-2)=162解：移项得(x-2)^2=2，两边开平方得x-2=±√2，即x=2±√2.七、用配方法解下列一元二次方程。
最新因式分解与配方法练习题
分解因式1、1522--x x ；2、2265y xy x +-． 3、3522--x x ； 4、3832-+x x ．5、91024+-x x ；6、 22157x x ++7、 2384a a -+8、261110y y --9、2252310a b ab +- 10、222231710a b abxy x y -+ 11、 22712x xy y -+12、 42718x x +- 13、 22483m mn n ++ 14、53251520x x y xy --15、672+-x x ； 16、1232-+x x ； 17、652-+x x ； 18、9542--x x ；19、823152+-x x ； 20、121124-+x x 21、6724+-x x ； 22、36524--x x ；23、422416654y y x x +-； 24、633687b b a a --； 25、234456a a a --；26、2224)3(x x --； 27、9)2(22--x x ； 28、 2222)332()123(++-++x x x x29、60)(17)(222++-+x x x x ； 30、8)2(7)2(222-+-+x x x x ；31、48)2(14)2(2++-+b a b a ． 32、 2576x x +-)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；33、120)8(22)8(222++++a a a a ． 34、90)242)(32(22+-+-+x x x x ．35、653856234++-+x x x x ． 36、655222-+-+-y x y xy x37、 a 2－7a+6； 38、8x 2+6x －35； 39、18x 2－21x+5； 40、 20－9y －20y 2；41、2x 2+3x+1； 42、2y 2+y －6； 43、6x 2－13x+6； 44、3a 2－7a －6；45、6x 2－11x+3； 46、4m 2+8m+3； 47、10x 2－21x+2； 48、8m 2－22m+15；49、4n 2+4n －15； 50、6a 2+a －35； 51、5x 2－8x －13； 52、4x 2+15x+9；53、15x 2+x －2； 54、6y 2+19y+10； 55、7(x －1) 2+4(x －1)－20；56、．=-+1032x x __________．57．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．58．=--3522x x (x －3)(__________)．59．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 60．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 61．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．62．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．1、在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．（1）221x y -=， 2212+-=x y ， 1212--=x y ；（2）221x y -=， 2)1(21+-=x y ， 2)2(21--=x y ；（3）221x y -= ， 1212--=x y ， 1)1(212-+-=x y ．2．（1）3212+-=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． （2）2)2(41+=x y 的开口方向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）1)3(22---=x y 顶点坐标是 ，当x 时，函数值y 有最 值，是 ．3、用配方法解下列方程1．210x x +-= 2．23610x x +-= 3．21(1)2(1)02x x ---+=4、22103x x -+=5、210x x --=；6、23920x x -+=．7、23(1)12x +=； 8、2410y y ++=； 9、82884x x -=；4、把下列函数写成2()y a x h k =-+的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案
人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案类型一 配方法求字母的值1．如果221016890x y x y +--+= 求x y的值． 【答案】58 【解析】【分析】先将89拆成64+25 然后配成两个完全平方式相加 再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0” 解出x 、y 的值即可求解．【详解】解：由已知221016890x y x y +--+=得()()22580x y -+-=()()225=080x y ∴--=， 5,8x y ∴==58x y ∴=． 【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质 解题关键是掌握两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0．2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式 例如：把x 2 + 6x ﹣16分解因式 我们可以这样进行：x 2 + 6x ﹣16=x 2 +2·x ·3+32-32﹣16（加上32 再减去32）=(x +3)2-52（运用完全平方公式）=(x +3+5)(x +3﹣5) （运用平方差公式）=(x +8)(x ﹣2)（化简）运用此方法解决下列问题：（1）把x 2﹣8x ﹣9分解因式．（2）已知：a 2+b 2﹣6a +10b +34＝0 求多项式4a 2 +12ab +9b 2的值．【答案】（1）()()19x x +-；（2）81【解析】【分析】（1）按照阅读材料的方法进行因式分解即可；（2）利用配方法把原式变形得()()22350a b -++= 从而可得3a =5b =- 再由()222412923a ab b a b ++=+ 进行求解即可． 【详解】解：（1）289x x --22224449x x =-⋅⋅+--()2245x =--()()4545x x =-+--()()19x x =+-；（2）∵22610340a b a b +-++=∵226910250a a b b -++++=∵()()22350a b -++=∵3a = 5b =-∵()()222241292361581a ab b a b ++=+=-=．【点睛】本题考查的是配方法的应用 掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．3．已知a －b ＝2 ab ＋2b －c 2＋2c ＝0 当b ≥0 －2≤c ＜1时 整数a 的值是_____．【答案】2或3【解析】【分析】由a −b ＝2 得出a ＝b ＋2 进一步代入2220ab b c c +-+= 利用完全平方公式得到()()222130b c +---= 再根据已知条件求出b 的值 进一步求得a 的值即可． 【详解】解：∵a −b ＝2∵a ＝b ＋2∵222ab b c c +-+()2222b b b c c =++-+()2242b b c c =+--()()22213b c =+---＝0∵()()22213b c +=-+∵b ≥0 −2≤c ＜1∵310c -≤-<∵()2019c <-≤∵()231312c <-+≤∵3＜()22b +≤12∵a 是整数∵b 是整数∵b ＝0或1∵a ＝2或3故答案为：2或3．【点睛】此题考查配方法的运用 掌握完全平方公式是解决问题的关键．4．若a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋21 则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝___________．【答案】3【解析】【分析】先利用已知条件求解,,,a b b c a c 再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 再整体代入求值即可. 【详解】 解： a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋211,1,2,a b b c a c∴ a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝()22222221222a b c ab bc ac ++--- 22222212222a ab b b bc c a ac c 22212a b b c a c 222111126322故答案为：3【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点求解代数式的值 因式分解的应用 掌握“完全平方式的特点”是解题的关键.5．阅读材料：若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0 求m 和n 的值．解：∵m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0∵m 2+2mn +n 2+n 2﹣6n +9＝0∵（m +n ）2+（n ﹣3）2＝0∵m +n ＝0且n ﹣3＝0∵m ＝﹣3 n ＝3根据你的观察 探究下面的问题：（1）若x 2+2xy +2y 2﹣2y +1＝0 求x 、y 的值；（2）已知a b c 是∵ABC 的三边长 满足a 2+b 2＝10a +12b ﹣61 且∵ABC 是等腰三角形 求c 的值．【答案】（1）x =-1 y =1；（2）5或6【解析】【分析】（1）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可求得结果；（2）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可分别求得a和b的值再根据等腰三角形的性质可求得c的值．【详解】（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0∵x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∵（x+y）2+（y﹣1）2＝0∵x+y＝0且y﹣1＝0∵x＝﹣1 y＝1（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61∵a2+b2－10a－12b＋61＝0∵（a－5）2+（b﹣6）2＝0∵a－5＝0且ｂ﹣6＝0∵a＝5 b＝6∵∵ABC是等腰三角形∵c=a=5或c=b=6即c的值为5或6.【点睛】本题是材料问题考查了配方法的应用平方非负性的性质等腰三角形的性质等知识关键是读懂材料中提供的解题过程和方法．6．在平面直角坐标系xOy中满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x y)的个数为_____．【答案】9【解析】【分析】由已知不等式变形后利用完全平方公式化简根据x与y均为整数确定出x与y的值即可得到结果．【详解】解：由题设x2+y2≤2x+2y得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2因为x y 均为整数 所以有或22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩ 解得：11x y =⎧⎨=⎩ 或12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩或20x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩ 以上共计9对（x y ）．故答案为：9．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识 是重要考点 掌握相关知识是解题关键．7．阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+= 求m n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-= 2(4)0n -=．4n ∴= 4m =．根据你的观察 探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数 且满足221012610a b a b +--+= 求ABC 的周长；（2）已知6a b -= 216730ab c c +-+= 求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【解析】【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值 然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =- 然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+= 进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=∵22102512360a a b b -++-+=∵()()22560a b -+-=∵50,60a b -=-=∵5,6a b ==∵等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数∵当5a =为腰 则6b =为底 满足三角形三边关系 故ABC 的周长为5+5+6=16；当6b =为腰 则5a =为底 满足三角形三边关系 故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=∵6b a =-∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=226916640a a c c -++-+=()()22380a c -+-=∵30,80a c -=-=∵3,8a c ==∵363b =-=-∵8a b c ++=．【点睛】本题主要考查配方法的应用 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．类型二 配方法求最值8．已知y =x y 均为实数） 则y 的最大值是______．【答案】【解析】【分析】将根据题意0y ≥ 14x ≤≤ 原式y = 可得248y ≤≤故2y ≤≤进而即可求得最大值.【详解】解：0y ≥ 15x ≤≤ 244y =+=+248y ∴≤≤．0y ≥2y ∴≤≤∴y的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的求值问题 配方法的应用 解本题的关键是通过y 2为媒介求得y 的取值范围从而找出最大最小值.9．已知实数m n 满足21m n -= 则代数式22242m n m ++-的最小值等于___________．【答案】3【解析】【分析】由21m n -=可得21,n m 再代入22242m n m ++- 再利用配方法配方 从而可得答案.【详解】 解： 21m n -=21,n m ()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m()23133,m =+-≥ 所以22242m n m ++-的最小值是3故答案为：3【点睛】本题考查的是代数式的最值 配方法的应用 熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键. 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式 此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙 即三角形的三边长分别为a b c 记2a b c p ++= 则其面积S =这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p = 2c = 则此三角形面积的最大值是_________．【解析】【分析】根据公式算出a +b 的值 代入公式 根据完全平方公式的变形即可求出解．【详解】解：∵2a b c p ++=p =3 c =2 ∵232a b ++= ∵a +b =4∵a =4−b∵S∵当b =2时 S【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用 解答本题的关键是明确题意 表示出相应的三角形的面积．二、解答题(共0分)11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段 得到局部完全平方式 再进行有关运算和解题 这种解题方法叫做配方法．如：对于268a a ++．(1)用配方法因式分解：223x x +-；(2)对于代数式2128x x - 有最大值还是最小值？并求出2128x x-的最大值或最小值．【答案】(1)()()31x x +-(2)代数式2128x x -有最大值 最大值为18- 【解析】【分析】（1）先用配方法 再用平方差公式分解即可；（2）先利用配方法变形 根据偶次方的非负性可知最小值 继而即可求得2128x x-的最大值． (1)223x x +-2214x x =++- ()214x =+- ()()1212x x =+++-()()31x x =+-；(2)∵228x x -()224x x =-()22444x x =-+-()2224x ⎡⎤=--⎣⎦()2228x =--∵当2x =时 ()2228x --即228x x -有最小值-8∵代数式2128x x -有最大值 最大值为18-． 【点睛】本题考查配方法在因式分解中的应用及代数式求值 解题的关键是熟练掌握配方法． 12．阅读下面的解答过程 求y 2＋4y ＋5的最小值．解：y 2＋4y ＋5＝y 2＋4y ＋4＋1＝（y ＋2）2＋1∵（y ＋2）2≥0 即（y ＋2）2的最小值为0∵y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1∵y2＋4y＋5的最小值为1仿照上面的解答过程求：（1）m2﹣2m＋2的最小值；（2）3﹣x2＋2x的最大值．【答案】（1）1；（2）4【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．（2）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）m2﹣2m＋2=m2-2m+1+1=（m-1）2+1∵（m-1）2≥0∵（m-1）2+1≥1 即m2﹣2m＋2的最小值为1；（2）3-x2+2x=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4∵（x-1）2≥0∵-（x-1）2≤0∵-（x-1）2+4≤4 即3-x2+2x的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．13．配方法可以用来解一元二次方程还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．解：∵﹣3（a+1）2≤0 ∵﹣3（a+1）2+6≤6 ∵﹣3（a+1）2+6有最大值6 此时a＝﹣1．(1)当x＝时代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．(2)当x＝时代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．(3)如图矩形花园的一面靠墙另外三面的栅栏所围成的总长度是16m 当垂直于墙的一边长为多少时花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)1 小3(2)2 大7(3)当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32【解析】【分析】（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围再进行分析计算即可；（2）先配方把多项式变成完全平方形式再进行分析计算；（3）根据总长为16m 构造方程求解即可．(1)解：∵2（x﹣1）2≥0∵2（x﹣1）2+3≥3∵当x＝1时代数式有最小值为3．故答案为：1 小3．(2)解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+7∵﹣（x﹣2）2≤0∵﹣（x﹣2）2+7≤7∵当x＝2时代数式有最大值为7．故答案为：2 大7．(3)解：设垂直于墙的一边长为x m 则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x）＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣2（x﹣4）2+32∵﹣2（x﹣4）2≤0∵﹣2（x﹣4）2+32≤32∵当x＝4时代数式有最大值为32即当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32．【点睛】本题主要考查配方法的实际运用解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．类型三配方法在几何图形中的应用14．如图∵ABC＝90° AC＝6 以AB为边长向外作等边∵ABM连CM则CM的最大值为________________．【答案】3##3+【解析】【分析】过点M作MD∵BC交BC的延长线于点D设AB＝x利用勾股定理表示出BC利用解直角三角形表示出MD BD再利用勾股定理求得CM的长根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．【详解】如图 过点M 作MD ∵BC 交BC 的延长线于点D设AB ＝x 则BC∵∵ABM 是等边三角形∵BM ＝AB ＝x ∵ABM ＝60°∵∵ABC ＝90°∵∵MBD ＝30°∵MD ∵BC1122MD BM x ∴==BD x ==在Rt∵MDC 中CM =∵当x 2＝18时 CM369723+∵CM 的最大值为：3．故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理以及配方法 掌握配方法求出最值是解题的关键．15．已知点P 的坐标为（2 3） A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点 且90APB ∠=︒C 为AB 的中点 当OC 最小时则点B 的坐标为____．【答案】(0,3)【解析】【分析】利用中点坐标公式将C 点坐标表示出来后 运用勾股定理222AP PB AB +=得到y 与x 的关系式再将OC 的长度用含有y 的式子表示出来 利用配方法即可求出当OC 最小时点B 的坐标．【详解】解：设A 点坐标为(,0)x B 点坐标为(0,)y 则中点C 点坐标为(,)22x y；∵90APB ∠=︒∵222AP PB AB +=∵2222(2)94(3)x y x y -+++-=+化简得：2313x y +=1332yx -=∵12OC ==将1332yx -=代入上式得：12OC =变形得：OC∵当3y =时 OC 最小 此时B 点坐标为(0,3)．故答案为(0,3)．【点睛】本题主要考查运用配方法求解动点问题 正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键 属于综合类问题．16．已知：如图 在Rt ABC 中 90B ∠=︒ 8cm AB BC ==．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动 同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1cm/s 的速度移动．（1）求几秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）求几秒后 PQ 的长度等于？（3）求几秒后 PQ 的长度能取得最小值 其最小值为多少cm ？【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4 【解析】【分析】（1）设运动时间为x 秒 则8PB x =- PQ x = 根据三角形面积公式列出方程即可；（2）设运动时间为y 秒 则8PB y =- PQ y = 根据勾股定理列出方程即可；（3）设运动时间为t 秒 则8PB t =- PQ t = 根据勾股定理列出2PQ 的式子 根据配方法即可求得最小值；【详解】（1）设运动时间为x 秒 则8PB x =- PQ x = 根据题意得：()1862x x -= 解得122,6x x ==答：2秒或6秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）设运动时间为y 秒 则8PB y =- PQ y =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+(()2228y y =-+ 解得121,7y y ==答：1秒或7秒后 PQ 的长度等于（3）设运动时间为t 秒 则8PB t =- PQ t =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+22(8)t t =-+221664t t =-+22(816)32t t =-++22(4)32t =-+32≥∴当4t =时 取得最小值为PQ ==即4秒后 PQ 取得最小值 最小值为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用 配方法的应用 根据题意列出方程是解题的关键．17．配方法在初中数学中运用非常广泛 可以求值 因式分解 求最值等．如：求代数式的最值：2222(1)1x x x 在1x =-时 取最小值1（1）求代数式24x x -的最小值．（2）2245x x --+有最大还最小值 求出其最值．（3）求221x x +的最小值．（4）22614a b ab b ++-+的最小值．（5）三角ABE 和三角形DEC 的面积分别为4和9 求四边形ABCD 的面积最小值．【答案】（1）-4；（2）有最大值 且为7；（3）2；（4）2；（5）25【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）利用配方法变形 可得最值；（5）设S △BEC =x 由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED从而可得S △AED =36x再将四边形ABCD 的面积变形得到21312++ 可得结果．【详解】解：（1）()222444424x x x x x -=-+-=--∵在x =2时 有最小值-4；（2）2245x x --+=()2225x x -++=()222115x x -++-+=()2217x -++∵当x =-1时 有最大值 且为7；（3）221x x +=2221x x ⎛⎫⎪⎭+-≥⎝∵当x =1时 221x x +的最小值为2；（4）22614a b ab b ++-+ =22213612244a ab b b b +++-++ =()22134224a b b ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭当a =-2 b =4时 代数式有最小值2；（5）设S △BEC =x 已知S △AEB =4 S △CED =9则由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED∵x ：9=4：S △AED∵S△AED=36 x∵四边形ABCD面积=4+9+x+36x=21312++∵当x=36时四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的需要正确变形才可以应用本题中等难度略大．。
因式分解初一数学习题及答案
因式分解初一数学习题及答案因式分解初一数学习题及答案一、分解因式1.2x4y2-4x3y2+10xy4。
2. 5xn+1-15xn+60xn-1。
4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y25. x4-16.-a2-b2+2ab+4分解因式。
10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac11.x2-2x-812.3x2+5x-213. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+114. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.15.把多项式3x2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。
二证明题17.求证：32000-431999+1031998能被7整除。
18.设为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：是57的倍数.19.求证：无论x、y为何值，的值恒为正。
20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
三求值。
21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .22.已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习答案一分解因式1. 解：原式=2xy2x3-2xy22x2+2xy25y2=2xy2 (x3-2x2+5y2)。
提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2;各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。
2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是xn-1，提公因式时xn+1提取xn-1后为x2，xn提取xn--1后为x。
解：原式=5 xn--1x2-5xn--13x+5xn--112=5 xn--1 (x2-3x+12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)2[提示：将(a+b)x和(a-b)y视为一个整体。
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分解因式
1、1522--x x ；
2、2
265y xy x +-． 3、3522--x x ； 4、3832-+x x ．
5、91024+-x x ；
6、 22157x x ++
7、 2384a a -+
8、2
61110y y --
9、2252310a b ab +- 10、222231710a b abxy x y -+ 11、 22
712x xy y -+
12、 42718x x +- 13、 22483m mn n ++ 14、532
51520x x y xy --
15、672+-x x ； 16、1232-+x x ； 17、652-+x x ； 18、9542--x x ；
19、823152+-x x ； 20、121124-+x x 21、6724+-x x ； 22、36524--x x ；
23、4
22416654y y x x +-； 24、633687b b a a --； 25、234456a a a --；
26、2224)3(x x --； 27、9)2(2
2--x x ； 28、 2222)332()123(++-++x x x x
29、60)(17)(222++-+x x x x ； 30、8)2(7)2(2
22-+-+x x x x ；
31、48)2(14)2(2++-+b a b a ． 32、 2576x x +-)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
33、120)8(22)8(222++++a a a a ． 34、90)242)(32(2
2+-+-+x x x x ．
35、653856234++-+x x x x ． 36、655222-+-+-y x y xy x
37、 a 2－7a+6； 38、8x 2+6x －35； 39、18x 2－21x+5； 40、 20－9y －20y 2；
41、2x 2+3x+1； 42、2y 2+y －6； 43、6x 2－13x+6； 44、3a 2－7a －6；
45、6x 2－11x+3； 46、4m 2+8m+3； 47、10x 2－21x+2； 48、8m 2－22m+15；
49、4n 2+4n －15； 50、6a 2+a －35； 51、5x 2－8x －13； 52、4x 2+15x+9；
53、15x 2+x －2； 54、6y 2+19y+10； 55、7(x －1) 2+4(x －1)－20；
56、．=-+1032x x __________．
57．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．
58．=--3522
x x (x －3)(__________)．
59．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 60．22____)(____(_____)+=++a m
n a ． 61．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．
62．若x －y ＝6，36
17=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．
1、在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．
（1）221x y -
=， 2212+-=x y ， 1212--=x y ；
（2）221x y -
=， 2)1(21+-=x y ， 2)2(21--=x y ；
（3）221x y -
= ， 1212--=x y ， 1)1(212-+-=x y ．
2．（1）3212+-
=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． （2）2)2(4
1+=x y 的开口方向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）1)3(22---=x y 顶点坐标是 ，当x 时，函数值y 有最 值，
是 ．
3、用配方法解下列方程
1．210x x +-= 2．23610x x +-= 3．21(1)2(1)02x x ---+=
4、22103x x -
+=
5、210x x --=；
6、23920x x -+=．
7、23(1)12x +=； 8、2410y y ++=； 9、82884x x -=；
4、把下列函数写成2()y a x h k =-+的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）162++-=x x y （2）4322+-=x x y （3）232y x x =+
（4）22y x x =-- （5）2288y x x =-+- （6）21432
y x x =-+
（7）2248y x x =--+ （8）q px x
y ++=2
（9）nx x y +-=2
（10）21212y x x =
-+ （11）2285y x x =-+-
5．已知21212
y x x =-++； (1)把它配方成()2y a x h k =++形式
(2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值；
(3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标；
6．已知抛物线()2
2235y x a a a =+++-的顶点在坐标轴上，求字母a 的值，并指出顶点坐标。
7.二次函数y=x2-2x+c的顶点在直线y=-2x+1上，求抛物线与y轴的交点。