一元二次方程配方法-公式法-因式分解法
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练一练
一、选择题
1．方程 的两根为（）．
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）．
A． B． C． D．
3．已知 是方程 的根，则 =（）．
A．1B．－1C．0D．2
4．若 ，那么 的值分别是（）．
A． B． C． D．
5．方程 的根为（）．
A．3B．－3C．±3D．无实数根
6．用配方法解方程 正确的解法是（）．
6．如果 为实数，满足 ，那么 的值是_______．
三、综合提高题
如果关于 的一元二次方程 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证： 必是该方程的一个根．
一元二次方程公式法
一元二次方程 的根由方程的系数 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将 代入式子 就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）
用因式分解法解方程
(1) (2) (3)
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A． ，∴ ，∴
B． ，∴ ，∴
C． ，∴
D． 两边同除以 ，得
一、填空题
1． 因式分解结果为_______； 因式分解的结果是______．
（2）当 时，根据平方根的意义 ，所以一元二次方程 的 ，即有两个相等的实根，即 。
（3）当 时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程 没有实数解。
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1） （2） （3） （4）
分析：不解方程，判定根的情况，只需用 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
巩固练习
一、不解方程判定下列方程根的情况:
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
二、选择题
1．以下是方程 的解的情况，其中正确的有（）．
A．∵ ，∴方程有解B．∵ ，∴方程无解
C．∵ ，∴方程有解D．∵ ，∴方程无解
2．一元二次方程 的两实数根相等，则 的值为（）．
A． B． C． D．
3．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的值是_____．
三、拓展题
某数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题。若使方程为一元二次方程， 是否存在？若存在，求出 并解此方程．
根据求根公式判别一元二次方程根的情况
方程
的值
的符号
的关系（填相等、不等或不存在）
求根公式： 。
（1）当 时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元二次方程 的 ，即有两个不相等的实根，即 。
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
例1．用公式法解下列方程．
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
解：
练一练：用公式法解下列方程．
（1） （2） （3） （4）
A． B． ，原方程无解
C． D．
二、填空题
1．如果 ，那么 的两个根分别是 =________， =__________．
2．已知方程 的一个根是 ，则m的值为________．
3．方程 ，那么方程的根 =______； =________．
4．若 ，则 的值是_________．
5．如果方程 ，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．已知 ，一元二次方程 有根，则 的取值范围是（）．
A． B． C． D． 为一切实数
三、填空题
1．已知方程 有两个相等的实数，则 与 的关系是________．
2．不解方程，判定 的根的情况是______（填“二源自文库不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知 ，不解方程，试判定关于 的一元二次方程 的根的情况是________．
一、选择题
1．用公式法解方程 ，得到（）。
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）。
A． B． C． D．
3． ，则 的值是（）。
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二、填空题
1．一元二次方程 的求根公式是_______，条件是________．
2．当 ______时，代数式 的值是﹣4．
根据公式完成下面的练习：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
例2：解方程：
解：由已知，得： 解：方程两边同时除以3，得
直接开平方，得： 配方，得
即 ， 即 ， ，
所以，方程的两根 ， 所以，方程的两根 ，
像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
练一练：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
一元二次方程的根
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1：下面哪些数是方程 的根？
—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
复习
2．方程 的根是________．
3．二次三项式 分解因式的结果为________；如果令 ，那么它的两个根是_________．
二、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
(1) (2) (3) (4)
2．已知 ，求 的值．
说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
四、综合提高题
1．不解方程，判别关于 的方程 的根的情况．
2、若关于 的一元二次方程 没有实数解，求 的解集（用含 的式子表示）．
一元二次方程因式分解法
解下列方程。
方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：
两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是 ，所以
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
一、选择题
1．方程 的两根为（）．
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）．
A． B． C． D．
3．已知 是方程 的根，则 =（）．
A．1B．－1C．0D．2
4．若 ，那么 的值分别是（）．
A． B． C． D．
5．方程 的根为（）．
A．3B．－3C．±3D．无实数根
6．用配方法解方程 正确的解法是（）．
6．如果 为实数，满足 ，那么 的值是_______．
三、综合提高题
如果关于 的一元二次方程 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证： 必是该方程的一个根．
一元二次方程公式法
一元二次方程 的根由方程的系数 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将 代入式子 就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）
用因式分解法解方程
(1) (2) (3)
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A． ，∴ ，∴
B． ，∴ ，∴
C． ，∴
D． 两边同除以 ，得
一、填空题
1． 因式分解结果为_______； 因式分解的结果是______．
（2）当 时，根据平方根的意义 ，所以一元二次方程 的 ，即有两个相等的实根，即 。
（3）当 时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程 没有实数解。
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1） （2） （3） （4）
分析：不解方程，判定根的情况，只需用 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
巩固练习
一、不解方程判定下列方程根的情况:
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
二、选择题
1．以下是方程 的解的情况，其中正确的有（）．
A．∵ ，∴方程有解B．∵ ，∴方程无解
C．∵ ，∴方程有解D．∵ ，∴方程无解
2．一元二次方程 的两实数根相等，则 的值为（）．
A． B． C． D．
3．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的值是_____．
三、拓展题
某数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题。若使方程为一元二次方程， 是否存在？若存在，求出 并解此方程．
根据求根公式判别一元二次方程根的情况
方程
的值
的符号
的关系（填相等、不等或不存在）
求根公式： 。
（1）当 时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元二次方程 的 ，即有两个不相等的实根，即 。
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
例1．用公式法解下列方程．
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
解：
练一练：用公式法解下列方程．
（1） （2） （3） （4）
A． B． ，原方程无解
C． D．
二、填空题
1．如果 ，那么 的两个根分别是 =________， =__________．
2．已知方程 的一个根是 ，则m的值为________．
3．方程 ，那么方程的根 =______； =________．
4．若 ，则 的值是_________．
5．如果方程 ，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．已知 ，一元二次方程 有根，则 的取值范围是（）．
A． B． C． D． 为一切实数
三、填空题
1．已知方程 有两个相等的实数，则 与 的关系是________．
2．不解方程，判定 的根的情况是______（填“二源自文库不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知 ，不解方程，试判定关于 的一元二次方程 的根的情况是________．
一、选择题
1．用公式法解方程 ，得到（）。
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）。
A． B． C． D．
3． ，则 的值是（）。
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二、填空题
1．一元二次方程 的求根公式是_______，条件是________．
2．当 ______时，代数式 的值是﹣4．
根据公式完成下面的练习：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
例2：解方程：
解：由已知，得： 解：方程两边同时除以3，得
直接开平方，得： 配方，得
即 ， 即 ， ，
所以，方程的两根 ， 所以，方程的两根 ，
像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
练一练：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
一元二次方程的根
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1：下面哪些数是方程 的根？
—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
复习
2．方程 的根是________．
3．二次三项式 分解因式的结果为________；如果令 ，那么它的两个根是_________．
二、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
(1) (2) (3) (4)
2．已知 ，求 的值．
说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
四、综合提高题
1．不解方程，判别关于 的方程 的根的情况．
2、若关于 的一元二次方程 没有实数解，求 的解集（用含 的式子表示）．
一元二次方程因式分解法
解下列方程。
方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：
两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是 ，所以
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．