求抛物线的标准方程和焦点坐标
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
l l M M F
是双曲线
l M
·
F
·
H
.
实验一
F
0＜ e ＜ 1
e＞1
e=1？
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中
定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线
l
H
M
· · F
定义告诉我们： 1、判断抛物线的一种方法
2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|
练习
求下列抛物线的焦ห้องสมุดไป่ตู้坐标和准线方程 （1）y 2 = -20 x
焦点F ( -5 , 0 ) 准线：x =5
（ 2） y = 6 x
2
1 1 焦点F ( 0 , 24 ) 准线：y = － 24
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py
P 由题意得 2 ，即p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
变式
1 已知抛物线的准线方程是x =－ 4 ,求它
的标准方程。
解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式. （ 2） 求 p 值 （3）写抛物线方程
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
结束
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
抛物线的标准方程
方程 y2
= 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点
p ， 2 0），准线L：x =p 2
位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 即焦点F（
﹒
y
o
x
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形式。
p 0
p 0
1、一次项(X或Y)定焦点和对称轴 2、一次项系数符号定开口方向.
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解: ∵2P=6,∴P=3
1 3 是一次项系数的 4 所以抛物线的焦点坐标是（ 2，0） 1 3 是一次项系数的 准线方程是x= 4 2 的相反数
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？ N
M
· · F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、（证明）
抛物线标准方程的推导
l N
K
M
· · F
试 一 试 ？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向 标准方程
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
o
x
向上
﹒
o
y
向下
四种抛物线标准方程对比
x
寻找：区别与联系
一、四种形式标准方程的共同特征
y 2 2 px y 2 2 px
p 0
p 0
2 x x 2 py 2 py p 0 p 0
抛物线标准方程的推导
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
· ·
x
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
3
。
课堂练习
练习2:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2 解：抛物线的方程化为：y = a x 即2p= a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
1 4a
∴焦点坐标是（ ②当a<0时,
p 2
，0），准线方程是： x=
1 4a
=
,抛物线的开口向左
∴焦点坐标是（
1 ， 0 ），准线方程是： 4a
x=
1 4a
引申悟道
1。抛物线的定义
2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想
2
1 1、二次项系数都化成了_______
2、四种形式的方程一次项的系数都含2p
O 点 ，且焦点与准 3、四种抛物线都过____ 线分别位于此点的两侧
引导悟技
二、四种形式标准方程的区别
y 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py
2
p 0
p 0
化简得
y2 = 2px（p＞0）
抛物线标准方程的推导
如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0 由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 p 2 y = 2p(x- 2 )(p＞0） N y L
M
o
· · F
x
比较之下，显然方程 y2 = 2px（p＞0）更为简单
抛物线的标准方程
抛物线及其标准方程
引入悟境
请同学们思考两个问题
想 1、我们对抛物线已有了哪些认识？ 一 想 2、二次函数的图像抛物线的 ？ 开口方向是什么？
生活中存在着各种形式的抛物线
赵州桥
喷泉
抛物线的生活实例
投篮运动
抛物线的生活实例
飞机投弹
引领悟识：
若动点M满足到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e.（直线 l 不经过点F） （1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么? 是椭圆 （2）当e＞1时，点M的轨迹是什么?
A
o
.F
B
x
课堂练习
练习1：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。 y
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， A 得p= 9
2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 2
．
4
O
x
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2
是双曲线
l M
·
F
·
H
.
实验一
F
0＜ e ＜ 1
e＞1
e=1？
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中
定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线
l
H
M
· · F
定义告诉我们： 1、判断抛物线的一种方法
2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|
练习
求下列抛物线的焦ห้องสมุดไป่ตู้坐标和准线方程 （1）y 2 = -20 x
焦点F ( -5 , 0 ) 准线：x =5
（ 2） y = 6 x
2
1 1 焦点F ( 0 , 24 ) 准线：y = － 24
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py
P 由题意得 2 ，即p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
变式
1 已知抛物线的准线方程是x =－ 4 ,求它
的标准方程。
解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式. （ 2） 求 p 值 （3）写抛物线方程
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
结束
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
抛物线的标准方程
方程 y2
= 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点
p ， 2 0），准线L：x =p 2
位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 即焦点F（
﹒
y
o
x
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形式。
p 0
p 0
1、一次项(X或Y)定焦点和对称轴 2、一次项系数符号定开口方向.
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解: ∵2P=6,∴P=3
1 3 是一次项系数的 4 所以抛物线的焦点坐标是（ 2，0） 1 3 是一次项系数的 准线方程是x= 4 2 的相反数
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？ N
M
· · F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、（证明）
抛物线标准方程的推导
l N
K
M
· · F
试 一 试 ？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向 标准方程
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
o
x
向上
﹒
o
y
向下
四种抛物线标准方程对比
x
寻找：区别与联系
一、四种形式标准方程的共同特征
y 2 2 px y 2 2 px
p 0
p 0
2 x x 2 py 2 py p 0 p 0
抛物线标准方程的推导
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
· ·
x
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
3
。
课堂练习
练习2:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2 解：抛物线的方程化为：y = a x 即2p= a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
1 4a
∴焦点坐标是（ ②当a<0时,
p 2
，0），准线方程是： x=
1 4a
=
,抛物线的开口向左
∴焦点坐标是（
1 ， 0 ），准线方程是： 4a
x=
1 4a
引申悟道
1。抛物线的定义
2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想
2
1 1、二次项系数都化成了_______
2、四种形式的方程一次项的系数都含2p
O 点 ，且焦点与准 3、四种抛物线都过____ 线分别位于此点的两侧
引导悟技
二、四种形式标准方程的区别
y 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py
2
p 0
p 0
化简得
y2 = 2px（p＞0）
抛物线标准方程的推导
如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0 由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 p 2 y = 2p(x- 2 )(p＞0） N y L
M
o
· · F
x
比较之下，显然方程 y2 = 2px（p＞0）更为简单
抛物线的标准方程
抛物线及其标准方程
引入悟境
请同学们思考两个问题
想 1、我们对抛物线已有了哪些认识？ 一 想 2、二次函数的图像抛物线的 ？ 开口方向是什么？
生活中存在着各种形式的抛物线
赵州桥
喷泉
抛物线的生活实例
投篮运动
抛物线的生活实例
飞机投弹
引领悟识：
若动点M满足到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e.（直线 l 不经过点F） （1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么? 是椭圆 （2）当e＞1时，点M的轨迹是什么?
A
o
.F
B
x
课堂练习
练习1：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。 y
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， A 得p= 9
2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 2
．
4
O
x
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2