苏教版数学高二-【学案导学设计】选修2-1试题 3.2.1直线方向向量与平面法向量

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2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1学业分层测评3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

【解析】 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，依题意，应有 n·A→B＝0，n·A→C＝0，即Error!解得Error!
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
A→D
A→P
＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：
A→P
A→P B→D
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③ 是平面 ABCD 的一个法向量；④ ∥ .其中正
确的结论是________. 【导学号：09390082】
【解析】 A→B·A→P＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则 A→B⊥A→P，即 AP⊥AB；
∴D→B1⊥B→A1，D→B1⊥B→C1，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面 A1BC1，即D→B1是
平面 A1BC1 的法向量．
10．已知 ABCDA1B1C1D1 是长方体，建立空间直角坐标系如图 325.AB＝3，BC＝4，AA1 ＝2，
2
1
图 325 (1)求平面 B1CD1 的一个法向量； (2)设 M(x，y，z)是平面 B1CD1 内的任意一点，求 x，y，z 满足的关系式．【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系 Axyz 中各点坐标为 B1(3,0,2)， C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得B→1C＝(0,4，－2)，C→D1＝(－3,0,2)，设平面 B1CD1 的一个法向量为 a＝(x，y，z)，则 a⊥B→1C，a⊥C→D1，从而 a·B→1C＝0，a·C→D1＝0，所以 0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程组Error! 得Error! 不妨取 z＝6，则 y＝3，x＝4. 所以 a＝(4,3,6)就是平面 B1CD1 的一个法向量． (2)由题意可得，B→1M＝(x－3，y，z－2)，因为 a＝(4,3,6)是平面 B1CD1 的一个法向量，所以 a⊥B→1M，从而 a·B→1M＝0，即 4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，所以满足题意的关系式是 4x＋3y＋6z＝24.

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.1)word学案

3．2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．[知识链接]1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等．[预习导引]1．直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.要点一直线的方向向量及其应用例1设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案2解析由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m ＝2.规律方法若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．跟踪演练1若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________．答案垂直解析因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.要点二求平面的法向量例2 已知点A (a,0,0)、B (0，b,0)、C (0,0，c )，求平面ABC 的一个法向量．解设坐标原点为O ，由已知可得：AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)，AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c )．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0， n ·AC →＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0. 于是得y ＝a b x ，z ＝acx .不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量．规律方法平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴．跟踪演练2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．解 ∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →、AB →、AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝(12，0,0)是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·(12，1,0)＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·(－12，0,1)＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝(1，－12，12)．要点三证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：D 1F →是平面ADE 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (0，12，0)，所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝(0，12，－1)，AE →＝(0,1，12)，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·(0，12，－1)＝0，AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ，所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．规律方法用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪演练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设F (0,0，h )，E (m,1,1)，则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，F A →＝(1,0,1－h )．∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·F A →＝m－1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →是平面ABF 的法向量．故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________．答案 (1,2,3)解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________． ①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8) 答案 ②解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m ＝________.答案－8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.1.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．一、基础达标1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列向量中不是y 轴方向向量的序号是________． ①(0,1,0)；②(0，－1,0)；③(0,2,0)；④(0,1,1)．答案 ④解析 y 轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k ≠0)，所以只有④(0,1,1)不是y 轴方向向量． 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 α∥β⇒(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴λ＝－2，k ＝4.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面xOy 的一个法向量是________．答案 (0,0,1)解析答案不惟一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以．4．在空间直角坐标系Oxyz 中，法向量(1,0,0)对应的坐标平面是________．答案 yOz 平面解析因为向量(1,0,0)平行于x 轴，所以对应的坐标平面是垂直于x 轴的平面．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，设平面α经过点P (1,0,0)，平面α的法向量为e ＝(1,0,0)，M (x ，y ，z )为平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系是________．答案 x ＝1解析由题意可知e ·PM →＝0，代入坐标计算即可得x ＝1.6．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________．答案 (33，33，33)或(－33，－33，－33) 解析设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，y －x ＝0，z －x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝33，y ＝33，z ＝33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，z ＝－33.7．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．二、能力提升8．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0,1,0)、(－1,0,1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________．答案 (13，0，－23)解析 ∵A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )， ∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )． ∵P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，∴P A →·AB →＝(－x,1，－z )·(－1，－1,1)＝0， P A →·AC →＝(－x,1，－z )·(2,0,1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝13，z ＝－23，∴点P 的坐标为(13，0，－23)．9．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．答案平行解析因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以这两个平面平行．10．不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，则l 1，l 2的位置关系是________．答案平行解析因为b ＝－3a ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.11．△ABC 中，A (1，－1,2)，B (3,3,1)，C (3,1,3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点． (1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )， ∵AB →＝(2,4，－1)，AC →＝(2,2,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0，n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ，a ＝－32b . 故可取n ＝(－3,2,2)．∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3,2,2)． (2)∵点M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点， ∴－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0. ∴3x －2y －2z －1＝0.这就是所求的x 、y 、z 满足的关系式．12．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1→＝(－1,1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，CB 1→＝(1,0,1)，所以AC 1→·D 1B 1→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1→·CB 1→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1→⊥D 1B 1→，AC 1→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，所以AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．三、探究与创新13.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． (1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量． (1)解如图所示，以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C —xyz . 依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N (1,0,1)． ∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)， BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M ∩C 1N ＝C 1，∴BN →⊥平面C 1MN .∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．。

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线．2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63][例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合．答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，所以AB ＝(－3,4,0)，AC ＝(－3,0,5)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·AB ＝0，且n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912，所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC 、AB . (2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC ＝0，n ·AB ＝0.并解答．(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．依题意应有n ·AB ＝0且n ·AC ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC ＝12x ＋y ＝0，n ·DS ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB 、BA 、CD 、DC 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD 、DB 两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM ·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB ＝(－3,4,0)，AC ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)， ∴BC ＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量． (2)由题意AM ＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC ⊥AM . ∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量．(2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D ＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a 1B D ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量， ∵AM ＝⎝⎛⎭⎫a2，a ，0，1AD ＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C ＝(0,4，－2)，1CD ＝(－3,0,2)；设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C ，a ⊥1CD ，从而a ·1B C ＝0，a ·1CD ＝0，所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z 2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M ＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M ，从而a ·1B M ＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24，所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。

苏教版数学高二- 选修2-1试题 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、填空题1．下面命题中，正确命题的序号为________．①若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】画图可知，四个命题均正确．【答案】 ①②③④2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．【解析】 ∵u·v ＝1×2＋2×3＋(－1)×8＝0，∴u ⊥v ， ∴α⊥β.【答案】垂直3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,3，z)，向量b ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.【解析】由题意知a·b ＝0，∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，∴1×3＋3×(－2)＋z×1＝0，∴z ＝3.【答案】 3图3－2－134．如图3－2－13，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是________．【解析】 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝CC 1→＋12(C 1D 1→＋C 1B 1→)＝12BA →＋12CB →＋CC 1→ ∴AC 1→·CE →＝(AB →＋BC →＋CC 1→)(12BA →＋12CB →＋CC 1→)＝－12AB →2－12BC →2＋CC 1→2＝0， ∴AC 1→⊥CE →，∴AC 1⊥CE.【答案】垂直5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．【解析】建立空间坐标系如图，设正方体棱长为2，则M(1,0,1)，N(1,1,2)，∴MN →＝(0,1,1)．∵平面BB 1C 1C 的一个法向量为B 1A 1→＝(2,0,0)，∴B 1A 1→·MN →＝0＋0＋0＝0.∴MN ∥平面BB 1C 1C.【答案】平行6．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB →平行，则a ＝________.【解析】设a ＝(x ，y ，z)，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →，∴x －2＝y －1＝z 2，∴x ＝2y ，z ＝－2y ，又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)，∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，由⎩⎪⎨⎪⎧ BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝03x －1＋y －12＝0，∴⎩⎨⎧ x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 (337，－157，－3) 8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)， AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB →⊥AP →，AD →⊥AP →，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，③正确．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)∴BD →与AP →不平行，故④错误．【答案】 ①②③二、解答题图3－2－149．如图3－2－14，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：EF ∥平面CB 1D 1；(2)求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.【证明】 (1)以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，∴EF →＝(1,1,0)．又∵C(0,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)，设平面CB 1D 1的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)．∵CD 1→＝(0，－2,2)，CB 1→＝(2,0,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CD 1→＝0n ·CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＋2＝02x ＋2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＝－1. ∴n 1＝(－1,1,1)，∴EF →·n 1＝0.又因EF ⊄平面CB 1D 1，∴EF ∥平面CB 1D 1.(2)∵DB ⊥AC ，DB ⊥AA 1，∴DB ⊥平面CAA 1C 1，∴DB →＝(2,2,0)是平面CAA 1C 1的一个法向量．∵n 1·DB →＝0，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.图3－2－1510．如图3－2－15，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．求证：(1)直线EE 1∥平面FCC 1；(2)平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.【证明】因为AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，所以BF ＝BC ＝CF ，则△BCF为正三角形．因为底面ABCD 为等腰梯形，所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°.取AF 的中点M ，连结DM ，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥CD.以DM →，DC →，DD 1→为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，D 1(0,0,2)，A(3，－1,0)，F(3，1,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(32，－12，0)，E 1(3，－1,1)．所以DA →＝(3，－1,0)，DD 1→＝(0,0,2)，EE 1→＝(32，－12，1)，CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)．(1)设平面FCC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝3x －y ＝0n ·CC 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得n＝(1，3，0)，则n ·EE 1→＝1×32＋3×(－12)＋0×1＝0，所以n ⊥EE 1→，又直线EE 1⊄平面FCC 1，所以直线EE 1∥平面FCC 1.(2)设平面ADD 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝3x －y ＝0m ·DD 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1，3，0)，由(1)知m ＝n ，即m ∥n ，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.图3－2－1611．如图3－2－16，在四棱锥P －ABCD 中，底面是矩形且AD ＝2，AB ＝PA ＝2，PA ⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 在PC 上．(1)求F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；(2)在(1)的条件下，EF 是否是PC 与AD 的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度，若不是，说明理由．【解】 (1)以A 为坐标原点，以射线AD 、AB 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，2)，A(0,0,0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2,0,0)，E(1,0,0)．∵F 在PC 上，∴可令PF →＝λPC →，设F(x ，y ，z)．则BC →＝(2,0,0)，PC →＝(2，2，－2)，EF →＝(x －1，y ，z)．∵EF ⊥平面PBC ，∴EF →·PC →＝0，且EF →·BC →＝0.又PF →＝λPC →，可得λ＝12，x ＝1，y ＝z ＝22. 故F 为PC 的中点．(2)由(1)可知：EF ⊥PC ，且EF ⊥BC ，∴EF ⊥AD.∴EF 是PC 与AD 的公垂线段，其长为|EF →|＝1.。

苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？

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高中数学 3.2 如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？
答：立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，用向量表示点、直线、平面在空间中的位置，是利用空间向量解决立体几何问题的基础和关键．
（1）利用向量确定点的位置
在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用OP 来表示．我们把向量OP 称为点P 的位置向量．
（2）利用向量确定直线的位置
设点A 是直线l 上一点，向量a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=AB a ，那么对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =．这样，点A 和向量a 就可以确定直线l 的位置，同时还可以具体表示出l 上的任意一点．
（3）平面α的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量；给定一点A 和一个向量a ，那么，过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的．
如何求一个平面的法向量？
答：求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量),,(z y x =；（2）找出平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(321321b b b a a a ==；（3）根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0；（4）解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量。

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学选修2-1课件直线的方向向量与直线的向量方程(一)-文档资料

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4－2m＝4λ，于是得到 m－1＝λ2－2m，
m－1＝λ2－2m，
显然 m＝1 符合题意，当
m≠1 时，由 m－1＝λ(2－2m)，得 λ＝－12，代入 4－2m＝4λ，
得 m＝3.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.2.1(一)
4．已知直线 l1 的一个方向向量为(－7,3,4)，直线 l)＝(6,8,10)．
题栏
x－3＝6
x＝9
目 ∴y－4＝8 ，得y＝12 .
开关
z＝10
z＝10
∴点 C 的坐标为(9,12,10)．
小结确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列
方程解得．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1(一)
开
个方向向量为 v，则由共面向量定理，得
关
l∥α 或 l 在 α 内⇔__存__在__两__个__实__数___x_，__y_，__使___v_＝__x_v_1_＋__y_v_2____.
(3)已知两个不共线向量 v1，v2 与平面 α 共面，则由两平面平行的判定与性质，得 α∥β 或 α 与 β 重合⇔___v_1∥__β__且___v_2∥__β__.
跟踪训练 1 已知点 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段 AB 上
→ 一点且|A→C|＝13，则点 C 的坐标为
|AB|
(C )
本
A. 72，－12，52
B. 38，－3，2
专题栏
C. 130，－1，73
D. 52，－72，32
目开关
开
关问题 2 若点 A 为定点，向量 a 为给定向量，对任给实数 t，

高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.2 空间线面关系的判定(二)

3.2.2空间线面关系的判定(二)学习目标1.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？梳理设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔________⇔________.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔________.知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔________________.类型一证明线线垂直例1已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面P AC.类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点.求证：平面BDE ⊥平面ABCD.1.有如下四个命题①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. 其中为真命题的是________.2.若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________.3.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________.4.平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________.空间垂直关系的解决策略答案精析问题导学知识点一思考l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理a·b ＝0a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 知识点二思考垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α. 梳理a ＝k μ(k ∈R ) 知识点三思考x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 题型探究例1证明设AB 中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1证明∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∵AC →＝(－3,0,0)， BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.例2证明如图所示，取BC 的中点O ，连结AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC . 因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0). 所以AB 1→＝(1,2，－3)， BA 1→＝(－1,2，3)， BD →＝(－2,1,0).因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0. 所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .跟踪训练2证明如图建系，C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)， P A →＝(0,1，－1)，PB 1→＝(1,1,1)，B 1C →＝(0，－1，－2)， B 1A →＝(－1,0，－2).PB 1→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC .例3证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)， AE →＝(－2,0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4).因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .跟踪训练3证明设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E (12，12，12)，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为(12，12，0).因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝(0,0，12)，所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 当堂训练1.②③④2.垂直3.垂直4.垂直5.5。

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章3.23.2.1直线的方向向量与平面的法向量Word版含

1a ia2a3 a n1 a2 a3 a n2 a i a 2 a nlla i a 2l e ( e 0) e ______________，、口審弭l 1ll 1 l212 lll 1 121nnn2［归纳*升华・领悟］3 2.1rm摘象问题情境化，新知无师自通P63]2. 平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量.3. 给定一点A和一个向量a，那么过点A,以向量a为法向量的平面是惟一的.［对应学生用书P63］［例1］根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：⑴平面a, B的法向量分别是u = (—1,1,—2), v=(3, 2,—1；(2)直线I的方向向量 a = (—6,8,4)，平面a的法向量u= (2,2, —1).［思路点拨］利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系.［精解详析］⑴I u= (—1,1,—2), v = 3, 2,—1 ,••• u v= (—1,1,—2) -3, 2, —1=—3+ 2+ 1 = 0,••• u丄V,故a丄B(2) •- u = (2,2 , —1), a = (—6,8,4),•u a= (2,2, —1) (•—6,8,4) = —12+ 16 —4= 0,•u 丄a,故I? a 或I //a［一点通］1 .两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直).2. 直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行.3. 两个平面的法向量共线时，两平面平行.1•若两条直线11、12的方向向量分别为a= (1,2 , —2), b= (—2,—4,4)，^V “与l2的位置关系为_________ .解析：■/ b=—2a,「. a / b,即I// I2 或 e 与e2重合.答案：平行或重合2. 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1) 直线11, 12的方向向量分别是a= (1, —3,—1), b= (8,2,2);(2) 平面a, B 的法向量分别是u = (1,3,0), v = (—3,—9, 0);⑶ I a (1 4 3) u (2,0,3)⑷ I a (3,2,1) u ( 1,2 1)(1) a (1 3 1) b (8,2,2)a b 8 6 2 0a b l1 l2.⑵u (1,3,0) v ( 3 9,0)v 3uv u .⑶a (1 4 3) u (2,0,3)a u 0 a k u(k R)a u I⑷a (3,2,1) u ( 1,2 1)a u 3 4 10a u I? I .[2] A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5)[ ]ABC] AB (A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5) 3,4,0) AC ( 3,0,5)ABC n AB 0n (x y z) n •AC 03x 4y 03x 5z 0.5 5 1. |n|譬f20 15 12 、n0^769 ^769 V769丿T T (1)AC AB⑵n (x y z)『-AB = 0.(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标.(常数不能为0)3. 已知平面a 经过三点 A(1,2,3), B(2,0 , - 1), C(3, - 2,0)，试求平面 a 的一个法向量.解：•/ A(1,2,3), B(2,0,- 1), C(3,- 2,0),设平面a 的一个法向量是 n = (x , y , z).则 A(0,0,0), D(2 , 0,0), C(1,1,0), S(0,0,1),DC = - , 1 , 0 , DS =1由题意易知向量 AD =(扌,0,0)是平面SAB 的一个法向量. 设n = (x , y , z)为平面SDC的法向量, 1 n -DC = *+ y = 0 , 则 1n -DS =—只+ z =0.(3)联立方程组n -AC = 0,并解答.AB = (1，一 2,— 4),AC = (2，一 4，一 3).依题意应有AB = 0 且 n • AC = 0.x — 2y — 4z = 0, 即F 解得z = 0，且x = 2y.2x — 4y — 3z = 0. 令 x = 2,贝U y = 1•••平面a 的一个法向量是 n = (2,1,0).4•如图所示，在四棱锥 S — ABCD 中，底面是直角梯形，/ ABC = 90 ° 1SA 丄底面ABCD ，且SA = AB = BC = 1 , AD = ，求平面 SCD 与平面SBA 的一个法向量.解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系i z 2X.(1)⑵1 i 1 (m,2,4)(2 12) mlm 1 2 4 1 2.m 1.21T2AnAM n 0MA M n 0An311a (2 1,2) l 2b (1,1 m) h I 2课下训练经典化.贵衽触类旁邇［（）］SDC(2ABCD1,1)5.VABCDVAABCD(1) AB⑵BDVACVAC(1)AB BA TCD⑵ABCDBD AC.VAABCD BD? ABCDBD VAAC VA ABD VACVACBD DBx 2 y 1 z 1［方法・规律•小结］AB1解析：T 丨1 丄 I ?,： 2 — 1 + 2m = O.「. m =—1答案：—14. 在空间中，已知平面a 过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z 轴上一点面a 与平面xOy 的夹角为45°贝U a= ___________ .解析：平面xOy 的法向量为n = (0,0,1), AB = (— 3,4,0), —3x + 4y = 0,U = (X ，y ，Z)，则 I 3x + az = 0,则 3x = 4y = az ,取 z = 1,则 u = 3, £, 1 ,12 答案：乎55. 已知a = (1,4,3), b = (3, x , y)分别是直线l 「I 2的方向向量，若14 3解析：由 l 1 II 12,得3 = 4 =3,解得 x = 12, y = 9.3 x y 答案：1296•已知 A(2,2,2), B(2,0,0) , C(0,2,— 2),(1)写出直线BC 的一个方向向量；-I⑵设平面a 经过点A ，且BC 是a 的法向量，M(x , y , z)是平面 y 、z 满足的关系式.解：(1) •/ B(2,0,0), C(0,2 , — 2),BC = (— 2,2,— 2),即(—2,2 , — 2)为直线BC 的一个方向向量.⑵由题意 AM = (x — 2 , y — 2 , z — 2),BC 丄 AM•••(— 2,2 , — 2) •x — 2 , y — 2 , z — 2)= 0. •••— 2(x — 2)+ 2(y — 2) — 2(z — 2) = 0. 化简得 x — y + z — 2 = 0.又•/ a>0, 故 cos 〈 n ,u >12C(0,0 , a)(a>0),如果平=(—3,0 , a),设平面 a的法向量为 I 1 i I 2 ,贝 y x = ______a 内任一点，试写出 X 、•/ BC 丄平面 a, AM? a,x0 x 4 y 2 z 03 • 0 y 2 z 0ABCD A 1B 1C 1D 1(1) ABCD (2) A i BC 1(3) M CDAAMD 1AB A D A A!y za(1) ABCDxOym (0,0,1)(2) B 1DA 1BC 1TB 1D (0 a,0) (a,0 a) ( a aa)1n 2 a B 1D( 1,1 1) A 1BC 1(3) n (x oA M ay o az o ) AMD 1ADJX 0 y z 0a 0a於0ay 。

优化方案数学精品课件(苏教选修2-1)：3.2.1 直线的方向向量

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自我挑战1 在空间直角坐标系中，已知点 A(2,4,0)，B(1，3,3)，P是线段AB上的一点，且满足AP∶PB＝1∶2，试求点P的坐标．
解：A→B＝(－1，－1,3)是直线 AB 的方向向量．由 AP∶PB＝1∶2，得A→P＝13A→B.
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设点 P 坐标为(x，y，z)，则(x－2，y－4，z)＝13(－1，－1,3)，即 x－2＝－13，y－4＝－13，z＝1，
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【思路点拨】设n＝(x，y，z)是平面A1AD 的一个法向量，根据n⊥平面A1AD，在平面中找到两个不共线的向量与法向量垂直，利用向量数量积找出x、y、z之间的关系，从而确定n的坐标．
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【规范解答】取 BC 的中点 O、B1C1 的中点 O1，连结 AO、OO1，易证 AO⊥平面 BCC1B1.以 O 为原点，以向量O→B、O→O1、O→A的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 D(－1,1,0)，A(0,0， 3)，A1(0,2，
3．2 空间向量的应用
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法． 2．理解平面的方程及求法． 3．能综合有关知识解决问题．
3Байду номын сангаас2.1
课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．已知两个非零向量a，b，则a⊥b⇔a·b＝0. 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 2．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的斜率为_－__AB_，与该直线垂直的直线的斜率为 B _A__.
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3．在立体几何解题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．在给出的几何体比较特殊(能构建空间直角坐标系)时，坐标运算更为简便． 4．确定平面的法向量通常有两种方法：(1) 几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．

2018版高中数学苏教版选修2-1学案3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

．直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标].理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一直线的方向向量
直线上的向量(≠)以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量．
知识点二平面的法向量
如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α，此时，我们把向量叫做平面α的法向量．
思考
．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？
答案相互平行．
．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？
答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一直线的方向向量及其应用
例设直线的方向向量为＝(，－)，直线的方向向量为＝(－，)，若⊥，则＝.
答案
解析由题意，得⊥，所以·＝(，－)·(－，)＝－＋－＝－＝，所以＝.
反思与感悟若⊥，则与的方向向量垂直；若∥，则与的方向向量平行．
跟踪训练若直线，的方向向量分别是＝(，－，－)，＝()，则与的位置关系是．
答案垂直
解析因为·＝(，－，－)·()＝－－＝，所以⊥，从而⊥.
题型二求平面的法向量
例
如图所示，在四棱锥－中，底面是直角梯形，∠＝°，⊥底面，且＝＝＝，＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量．
解如图，以为原点，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐
标系，
则()，(，)，
()，()，
则＝(，)，
＝(－，)．
易知向量＝(，)是平面的一个法向量．
设＝(，，)为平面的法向量，
则即
取＝，则＝－，＝，
∴平面的一个法向量为(，－)．
反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：。

苏教版数学高二选修2-1试题 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝______；y ＝__________________________________________________________________.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝_____.3．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________.4．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为___．5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．6．已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x)，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______．7．若a ＝(1，－1,1)，b ＝(2，－1，－3)，则与a ，b 都垂直的单位向量为________________________________________________________________________．二、能力提升8．在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点，则平面AEF 的一个法向量是______________________．9．已知直线l 的方向向量u ＝(2，－1,3)，且l 经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y ＝______，z ＝________________________________________________________________.10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，(1)试求平面α的一个法向量；(2)若M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，求x ，y ，z 的关系式．12．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，D 是CC 1的中点，试求平面AB 1D 的一个法向量．三、探究与拓展13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量．答案 1．6152 2．4 3．－8 4．(18,17，－17) 5．l ⊥α 6．1或－3 7．⎝⎛⎭⎫22142，54242，4242或⎝⎛⎭⎫－22142，－54242，－4242 8．(4，－1,2)(不唯一) 9．32 3210．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)， AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， A 1D 1→＝(－1,0,0)．∵AE →·D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1 ＝12－12＝0， AE →·A 1D 1→＝0，∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．解 (1)∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．(2)∵AM →＝(x －1，y －2，z －3)，∴n ·AM →＝0.∴2(x －1)＋(y －2)＝0，即2x ＋y －4＝0.12．解方法一不妨设AC ＝1，以A 点为原点，以AC 、AB 、AA 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz.则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B 1(0,2,2)．则AD →＝(1,0,1)，AB 1→＝(0,2,2)．设n ＝(x ，y ，z)是平面AB 1D 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0n ·AB 1→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z y ＝－z . 令z ＝1，得平面AB 1D 的一个法向量为n ＝(－1，－1,1)．方法二由AD →＝(1,0,1)，可设平面AB 1D 的一个法向量为n ＝(－1，y,1)．由n ·AB 1→＝0，得2y ＋2＝0，∴y ＝－1.∴平面ABD 的一个法向量为(－1，－1，1)．13．(1)解如图所示，以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C —xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴|BN →|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解依题意得A 1(1,0,2)，C(0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)证明依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N(1,0,1)．∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0， C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M∩C 1N ＝C 1，∴BN →⊥平面C 1MN.∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．。

苏教版数学高二选修2-1学案空间线面关系的判定

3.2.2空间线面关系的判定教学过程一、问题情境在《立体几何初步》一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?二、数学建构设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.问题1展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示?解l1∥l2⇔e1∥e2,l1⊥l2⇔e1⊥e2.问题2展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n1表示?解l1∥α1⇔e1⊥n1,l1⊥α1⇔e1∥n1.问题3展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示?解α1∥α2⇔n1∥n2,α1⊥α2⇔n1⊥n2.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2三、数学运用【例1】(教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM. (见学生用书P63)(例1)要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=||||cos30°=2××=3.因为∥,A1A=,M是CC1的中点,所以||=,所以·=||||cos180°=××(-1)=-3,所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.(1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.变式1在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.证明=-,=+,故·=·+·-·-·.因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,所以·=0,·=0,故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.变式2在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.证明以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A 1B⊥AM.【例2】(教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE. (见学生用书P64)(例2(1))在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(例2(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为==(-a,b,0),==(0,-b,-c),所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.证明线面平行有两种方法:线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.变式如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE?(变式(1))证明以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(变式(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为=++=x++=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM∥平面ECD,所以⊥,于是(-3x+1)b2=0,解得x=.故当AN=AE时,MN∥平面CDE.立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.【例3】如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG. (见学生用书P64)(例3(1))要证明平面ADE⊥平面A1FG,只要证明AE⊥平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来证明线线垂直.证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.(例3(2))∴E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.∴=,=,=(-1,0,0).∴·=0+-=0,·=0+0+0=0.∴⊥,⊥.∵A1G∩GF=G,∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面A1GF.证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.变式在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,(变式)所以=,=(-1,1,0).而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以==.设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以·=0,·=0,即解得m=.故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.此类问题如果不用坐标法解决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.四、课堂练习1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD上一点,且PM∶MA=BN∶ND=1∶2,求证:MN∥平面PBC.(第1题)证明=++=-++=-(-)++(+)=-.在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MN∥PE.因为PE⊂平面PBC,所以MN∥平面PBC.2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C⊥平面BDE.(第2题(1))证明如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,(第2题(2))则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.因为·=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=(1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0, 所以⊥,⊥,所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.因为BE∩BD=B,BE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.五、课堂小结综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:1. 证明线面平行:(1) 线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.。

2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.1直线的方向向量与平面的法向量-3.2.2空间线面关

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2空间线面关系的判定（一）【学习目标丨1•掌握空间点、线、面的向量表示2理解直线的方向向量与平面的法向量的意义; 会用待定系数法求平面的法向量 3能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题•IT 问题导学 ----------------------------知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理（1）用向量表示直线的位置条件直线l 上一点A表示直线l 方向的向量a （即直线的）形式在直线l 上取AB = a ,那么对于直线1上任意点P , 定存在头数t , 使得AP =作用疋位置点A 和向量a 可以确疋直线的3章空间向量与立体几何 32空间向量的应用(2) 用向量表示平面的位置①通过平面a上的一个定点0和两个向量a和b来确定:②通过平面a上的一个定点A和法向量来确定:(3) 直线的方向向量和平面的法向量(4) 空间中平行关系的向量表示设直线I, m的方向向量分别为a, b,平面a, B的法向量分别为v,则知识点二利用空间向量处理平行问题思考⑴设V i = (a i, b i, C i), V2 = @2, b2, C2)分别是直线l i, 12的方向向量若直线l i// I2,则向量v i, v2应满足什么关系.(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论题型探究类型一求直线的方向向量、平面的法向量例i如图，四棱锥P —ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , E为PD的中点.AB=AP = i, AD = 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(i) 设向量：设平面的法向量为n = (x, y, z).⑵选向量：在平面内选取两个不共线向量AB, A C.n AB= 0,(3) 列方程组：由f - 列出方程组•n AC= 0n AB=0,(4) 解方程组：f —n AC= 0.(5) 赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6) 得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB丄平面ABCD , △ PAB 是边长为1的正三角形，ABCD是菱形./ ABC = 60° E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.类型二利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD-A I B I C I D I的棱长为2, E、F分别是BB i、DD 1的中点，求证:(1) FCj/ 平面ADE ;(2) 平面ADE //平面B i C i F.反思与感悟禾U用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2 如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄平面ABCD , PB与底面所成的角为45° 底面ABCD 为直角梯形，/ ABC = Z BAD = 90° FA= BC= ^AD = 1,问在棱PD上是否存在当堂训练一点E,使CE//平面PAB?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由1•若点A( —1,0,1), B(1,4,7)在直线I上，则直线I的一个方向向量的坐标可以是____________ .2. 已知向量n= (2,—3,1)是平面a的一个法向量，则下列向量中能作为平面a的法向量的是_______ •(填序号)① n 1= (0, —3,1);② n = ( —2,0,4);③n3= (—2,—3,1):④ n4= (—2,3,—1).3. 已知向量n= (—1,3,1)为平面a的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点P(x, y, z)为平面内任一点，贝U x, y, z满足的关系式是________ .4. 若直线I / a,且I的方向向量为(2, m,1)，平面a的法向量为1, 1, 2，则m为_________________5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为__________ .厂《规律与方法■------------------------------- 11 .应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直⑵证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面a的法向量为n1 = (a1, b1, c”，平面B的法向量为n2=他,b2, C2)，贝U a//价nJ n2(a1, b1, &)= k(a2, b2, C2)(k€ R).答案精析问题导学知识点一思考(1)点：在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量0P来表示•我们把向量0P称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量②对于直线I上的任一点P,在直线上取AB = a,则存在实数t，使得AP = tAB.(3)平面：①空间中平面a的位置可以由a内两条相交直线来确定•对于平面a上的任一点P ,a, b是平面a内两个不共线向量，则存在有序实数对(x, y)，使得OP = x a + y b.②空间中平面a的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示梳理⑴方向向量tAB位置一点(2) ②方向向量(3)非零方向向量n⑷a // b a 卫=0 kv(k€ R)知识点二思考(1)由直线方向向量的定义知若直线l i/ I2,则直线I l, I2的方向向量共线，即丨1〃12?V1 // V2? V i = ”2(入€ R).(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行题型探究例1解因为PA丄平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB, AD , AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0, . 3, 0),3 1E(0, 2，2)，B(1,0,0), C(1, 3, 0),f：：、: 3 1 f 一于是AE = (0, —, 2), AC = (1 , .3, 0). 设n = (x , y , z)为平面ACE 的法向量，n A C = 0, x+ 3y = 0，则-即3 1 nn AE = 0,2『+ 2= 0，，一萌y , 所以z =- 3y ,令 y =— 1，则 x = z = 3.所以平面ACE 的一个法向量为 n = ( 3,— 1, .3). 引申探究解如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1), C(1, .3, 0),所以 PC = (1 , .3,— 1), 即为直线PC 的一个方向向量• 设平面PCD 的法向量为n = (x , y , z).因为 D(0, 3, 0)，所以 PD = (0, ,3, — 1).n PC = 0, x + ,3y — z = 0,由即n PD = 0,. ■3y— z= 0,|x = 0, 所以令y = 1,则z = .3.z = 3y ,所以平面PCD 的一个法向量为 n = (0,1,. 3). 跟踪训练1 解连结PF , CF , AC.因为PA = PB , F 为AB 的中点，所以 PF 丄AB ,又因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB A平面ABCD = AB, PF?平面PAB. 所以PF丄平面ABCD，因为AB = BC, / ABC = 60°所以△ ABC是等边三角形，所以CF丄AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示FD = (—1 ,,0).由题意得F(0,0,0)，P(0,0，甲)，D( —1，，0)，C(0,甲，0)，E(0, -^, ¥). 所以FE = (0，屮，^)，设平面DEF的法向量为m = (x, y, z).m FE = 0, 则Tm FD = 0,z=—y,所以」X=尹则x= 3, z= —2.所以平面DEF的一个法向量为m= ( ,3, 2,—2).例2 证明⑴建立如图所示的空间直角坐标系 D —xyz，则有D(0,0,0), A(2, 0,0), C(0,2,0), C i(0,2,2), E(2, 2,1), F(0,0,1), B i(2,2,2),所以FC i= (0,2,1), DA = (2,0,0), AE = (0,2,1).设n 1 = (X1, y1, Z1)是平面ADE的法向量,则m 丄DA, n 1X A E ,[n i DA = 2x i= 0,即f -I n i AE = 2y i + z i = 0,x i = 0,得|z i = —2y i,令z i= 2，则y i=—1,所以n i = (0,—1,2).因为FC i n i = —2+ 2= 0,所以F C i± n i.又因为FC i?平面ADE ,所以FC i〃平面ADE.⑵因为C7S = (2,0,0)，设n2= (X2, y2, z0是平面B i C i F的一个法向量•由血丄FC i,血丄—£,|n2 FC i = 2y2 + z2= 0,得一!n e C i B i= 2x2= 0,(X2= 0,得|z2=—2y2.令Z2= 2，得y2=—i,所以n2= (0,—i,2),因为n i= n2,所以平面ADE //平面B i C i F.跟踪训练2 解分别以AB, AD , AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.••• P(0,0,i), C(i,i,0), D(0,2,0),设存在满足题意的点E(0, y, z),则PE = (0, y, z—1),PD = (0,2, —1),•/ PE // PD, ••• y x (—1) —2(z—1) = 0, ••• Ai) = (0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE = (—1 , y—1, z), CE //平面FAB,•CE 丄AD, ••• (—1, y—1, z) (0,2,0) = 0.1•y = 1,代入①得z=-,•E是PD的中点，•存在E点，当点E为PD中点时，CE //平面PAB.当堂训练1.(2,4,6) 2•④ 3.x—3y—z+ 4= 0 4• —8 5.(1,1,1)(答案不惟一)。

苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练：3.2.1直线的方向向量与平面的法向量(含答案解析)

1．若直线l 1， l2的方向向量分别为a＝ (1,2，－ 2)， b＝( －2,3,2) ，则 l 1与 l2的关系是__________ ．2．已知向量 a＝ (2,4,5) ，b＝(3 ，x，y)，a 与 b 分别是直线 l 1，l 2的方向向量，若 l1∥ l 2，则x＝ __________ ， y＝ __________.3．若空间中A(1,2,3) ，B(－ 1,0,5)，C(3,0,4) ，D(4,1,3) ，则直线 AB 与 CD 的关系是 ______．4．已知A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， C(0,0,1) ，则以下向量可作为平面ABC的法向量的是__________ ．(1)(1,1 ，－ 1)； (2)(1，－ 1,1)；(3)(－ 1,1,1) ； (4)( － 1，－ 1，－ 1)．5．已知直线l 的方向向量u＝ (2，－ 1,3)，且 l 经过点 A(0， y,3)和 B( －1,2， z)，则 y， z 的值分别为__________ ， __________.6．已知A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(0,1,0)， D (1,1，x)，若AD平面ABC，则实数x 的值是__________ ．7．已知AB＝ (1,5，－ 2)，BC＝ (3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝ (x－ 1，y，－ 3)且BP ⊥平面 ABC，BP等于 __________．8．若直线 a 和 b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1) 和 (2，－ 3，－ 2)，则直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量是__________ ．9． (1) 设 a， b 分别是不重合的直线l1，l 2的方向向量，依据以下条件分别判断l 1与 l2的地点关系：①a＝(5,0,2) ， b＝ (0,4,0) ；② a＝ (－ 2,1,4)，b＝ (6,3,3) ．(2)若 u＝ a，v＝ b， u，v 分别是不一样的平面α，β的法向量，依据上述条件分别判断α，β的地点关系．(3)若u＝ a是平面α的法向量，b 是直线l 的方向向量，依据上述条件分别判断α和l 的地点关系．10．如下图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD ，SA＝AB ＝ BC＝ 1，AD ＝1，分别求平面SCD 与平面SAB 的一个法向量．2参照答案1.答案：垂直分析：∵ a·b＝0，∴ l1⊥ l2.15分析：∵ l 1∥l 2，∴ a∥ b，∴245152.答案： 6，∴ x＝ 6， y＝.23x y2 3.答案：平行分析： AB ＝(－2，－2,2)，CD＝ (1,1，－ 1).故 AB＝－2CD.因此 AB∥CD.又 AB 与 CD 不重合，因此 AB 与 CD 平行 .答案：(4)分析： AB ＝－1,1,0)，AC＝－1,0,1).4.((设平面 ABC 的法向量为 n＝ (x， y， z)，则有x y0,x z 取 x＝－ 1，则 y＝－ 1， z＝－ 1.0,故一个法向量是(－ 1，－ 1，－ 1).33分析： AB ＝(－1,2－y，z－3)，因为l经过A，B两点，5.答案：22因此 u∥AB，故213，1 2 y z33， z 3解得 y.226.答案： 0分析：易求得平面ABC 的法向量 u＝ (0,0,1) ，而 AD ＝(1,1，x)，∴当 AD平面ABC时，AD·u＝0.∴1×0＋ 1× 0＋x＝ 0.∴ x＝ 0.3315AB BC0,35 2 z0,分析：由条件知即x1 5 y60,答案：,,3BP AB0,7.77BP BC03( x1)y3z0.解得 x 4015， y， z＝ 4. 778.答案： (1,4，－ 5)分析：设 a＝ (1,1,1) ， b＝ (2，－ 3，－ 2)，两直线公垂线的一个方向向量n＝( x， y， z)，a n = 0,由题意有b n = 0.x y z 0,y 4x, 即∴2x 3y 2z 0,z5x.令 x ＝1 得 n ＝ (1,4，－ 5).9.答案：解： (1) ①∵ a ＝ (5,0,2) ， b ＝ (0,4,0) ，∴ a ·b ＝ 0， ∴a ⊥ b ，∴ l 1⊥ l 2.②∵ a ＝ (－ 2,1,4) ， b ＝(6,3,3).∴ a 与 b 不共线，也不垂直，∴l 1 与 l 2 订交或异面 .(2)u ＝ a ， v ＝b.①∵ a ⊥ b ， ∴ u ⊥ v ，∴ α⊥ β.②∵ a 与 b 不共线，也不垂直，∴ u 与 v 不共线，也不垂直 .∴ α与 β订交，但不垂直 .(3)由 u ＝ a 得：①∵ a ⊥ b ， ∴ u ⊥ b ，∴ l α或 l ∥ α；②∵ a 与 b 不共线，也不垂直，∴ u 与 b 不共线，也不垂直，∴l 与平面 α斜交 .10.答案：解：∵ AD ， AB ， AS 是三条两两垂直的线段，∴以 A 为原点，以 AD ， AB ， AS 为正交基底成立空间直角坐标系 A － xyz ，则 A(0,0,0)， D 1,0,0， C(1,1,0) ， S(0,0,1) ， AD ＝ 1,0,0 是平面 SAB 的一个法向22量．设平面 SCD 的一个法向量DC ＝ (1，λ， u) ·1 ,1,0 ＝ 1 ＋ λ＝ 0，n ＝ (1， λ， u)，则 n ·22∴1.2n ·DS ＝(1 ，λ， u) ·1,0,1 ＝1 ＋ u ＝0，∴ u ＝ 1，∴ n ＝ 1, 1 , 1 .22 2 2 2。

2021年高二苏教版数学选修2-1名师导学：第3章第7课时直线的方向向量与平面的法向量

第7课时直线的方向向量与平面的法向量教学过程一、问题情境为了用向量来争辩空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?二、数学建构问题1过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的?解直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率争辩了两条直线平行和垂直关系.问题2必修4《平面对量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的?解直线的方向向量,并用直线的方向向量争辩了两条直线平行和垂直关系.直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.问题3平面有“方向”吗?通过呈现平面的不同位置,使同学通过观看知道平面也有“方向”.问题4如何用向量来刻画平面的“方向”?通过模型观看、类比争辩、共同争辩查找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.活动1类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗?观看发觉不行,方向不确定.活动2与平面垂直的直线的方向向量行吗?解行,依据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.平面α的法向量:假如表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.概念理解与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此,平面的法向量就是平面法线的方向向量.三、数学运用【例1】(教材第99页例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的法向量.[3](见同学用书P61)[处理建议]可用向量数量积的定义证明与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面ACD1的法向量,再证明与此向量共线.[规范板书]证法一不妨设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),(例1)所以=(1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).由于·=1×(-1)+1×1+1×0=0,所以⊥.同理⊥.又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的法向量.证法二设平面ACD1的一个法向量为a=(x,y,z),则a ⊥a ⊥,从而a ·=0,a ·=0.由于=(-1,1,0),=(-1,0,1),所以即解得不妨取y=z=x=1,所以a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量.而=(1,1,1),故∥a,所以是平面ACD1的法向量.[题后反思](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,⊥平面ACD1是一个重要的结论,以前用综合法证明,这里用向量坐标法证明,可让同学分析比较各自的优点,以便今后机敏运用.(2)求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线;若没有,再用待定系数法.变式已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD的一个法向量.[规范板书]解以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则D,C(1,1,0),S(0,0,1),所以=(1,1,-1),=.(变式)设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),。

苏教版数学高二选修2-1试题空间线面关系的判定

3.2.2空间线面关系的判定课时目标1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则平行垂直l1与l2l1与α1α1与α22.三垂线定理文字语言：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条________在这个平面内的________垂直，那么它也和这条________垂直．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫b⊄平面αc是b在平面α内的射影⇒a⊥b3．直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线和平面内的________________________，那么这条直线垂直于这个平面．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂α⇒l⊥α一、填空题1．平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2＝______.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为__________．3.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(写出所有正确的序号)4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________. 5．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是_______________________________________________．6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1，b 2分别为________________．7.已知A （0,2,3），B （-2,1,6），C （1，-1,5），若a ，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则向量a 的坐标为________．8．设平面α、β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，则α、β的位置关系为________．二、解答题9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.能力提升11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，G、E、F分别是DD1、BB1、D1B1的中点．求证：(1)EF⊥平面A1DC1；(2)EF∥平面GAC.12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点．证明：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面AMN∥平面BDFE.1．运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择．2．利用向量法解立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3．2.2 空间线面关系的判定知识梳理1.2.斜线射影斜线 a α a ⊥c3．两条相交直线垂直 l ⊥a l ⊥b a∩b ＝A作业设计1．1 2．l ⊥α解析 ∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α. 3．①②③ 4.75解析 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)， 2a －b ＝(3,2，－2)，(k a ＋b )⊥(2a －b )， ∴3(k －1)＋2k －4＝0，即k ＝75.5．垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 6．(1,1,0)，(0,0,1)解析 ∵b 1∥a ，∴设b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1 ＝(1－λ，1－λ，1)，由b 2⊥a ，即a·b 2＝0， ∴1－λ＋1－λ＝0，得λ＝1， ∴b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 7．(1,1,1)或(－1，－1，－1)解析设a ＝(x ，y ，z)，由题意AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得x ＝1，y ＝1，z ＝1，或x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，即a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 8．平行9．证明方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋D 1D →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得D(0,0,0)，B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0，得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②.令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴B 1C →⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1. 10．证明以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则有A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)， A 1(1,0,2)，B 1(1,1,2)， C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)．(1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)， D 1B 1→＝(1,1,0)，DB →＝(2,2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→. ∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行，于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． (2)DD 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0， ∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.又平面A 1ACC 1过AC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1. 11．证明设正方体的棱长为2，以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D —xyz ，如图，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)、G(0,0,1)、A 1(2,0,2)、C(0,2,2)．(1)EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)，A 1D →＝(0,0,0)－(2,0,2)＝(－2,0，－2)， DC 1→＝(0,2,2)－(0,0,0)＝(0,2,2)， ∵EF →·A 1D →＝(－1，－1,1)·(－2,0，－2) ＝(－1)×(－2)＋(－1)×0＋1×(－2)＝0， EF →·DC 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝－1×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥DC 1.又A 1D∩DC 1＝D ，A 1D 、DC 1⊂平面A 1DC 1， ∴EF ⊥平面A 1DC 1.(2)取AC 的中点O ，则O(1,1,0)， ∴OG →＝(－1，－1,1)，∴OG ∥EF. 又∵OG ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ， ∴EF ∥平面GAC. 12．证明不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，B(2,2,0)，E(1,2,2)，F(0,1,2)．(1)EF →＝(－1，－1,0)， DB →＝(2,2,0)．∵DB →＝－2EF →，∴DB →∥EF →.故E 、F 、B 、D 四点共面．(2)DF →＝(0,1,2)，MN →＝(－1，－1,0)，MA →＝(0，－1，－2)．设n ＝(x ，y ，z)为平面BDFE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝y ＋2z ＝0，n ·EF →＝－x －y ＝0.令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)．∵n ·MN →＝(2，－2,1)·(－1，－1,0)＝0， n ·MA →＝(2，－2,1)·(0，－1，－2)＝0，∴n ⊥MN →，n ⊥MA →，即n 也是平面AMN 的法向量． ∴平面AMN ∥平面BDFE.。

苏教版高中数学选修(2-1)课件3.2.1直线的方向向量和平面的法向量

n

5.数学应用
例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：
z是平面ACDD1的B1法向量。
D1 A1
C1 B1
D A
x
Cy
B
变式：求平面ACD1的一个法向量。
z
D1 A1
D
A
x
C1 B1
Cy
B
例2在空间直角坐标系内，设平面经过M(点ex,Py((,Axz,)0B是,,yC0平),z面0)内，任平意面一的点法，向求量x为，，y， z满足的关系式。
高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
e
l
n

在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。
a 0, b // a R,b a
a 0,b 0, a b a b 0
1.问题情境
如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
e
l
n

2.定义直线的方向向量
我们把直线上l 的向量以e及与共线的e 向量
叫做直线的方向l 向量。
e
l
3.定义平面的方向向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”。
4.定义平面的法向量

如垂记向果直作量n 表于。。示平此非面时零，，向那我n 量么们的称把n 有向向向量量垂线叫直段做于所平n 平在面面直的法，线
e
PM

6.思考
已知直线上一点和直线的方向向量，这条直线就确定。已知平面内一点和平面的法向量，这个平面是

高中数学(苏教版)选修2-1【配套备课资源】第三章 3.2.1

答案如果表示非零向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么向量n叫做平面α的法向量，它可以
用来刻画平面的“方向”．
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例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：E→F是平
面B1AC的法向量．
解得m＝12.
故当M为B1B的中点时，就能满足D→1M⊥平面EFB1.
此时D→1M为平面EFB1的法向量．
填一填研一研练一练
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探究点二求平面的法向量
问题怎样求一个平面的法向量？
答案若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空
间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
填一填研一研练一练
1．下列说法中不正确的是___④_____(填序号)．
本
①平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向量；
课栏
②一个平面的所有法向量互相平行；
目开
③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；
关
④如果 a，b 与平面 α 共面且 n⊥a，n⊥b，那么 n 就是平
小结根据平面法向量的定义，可以利用证明直线和平面
垂直的方法证明平面的法向量．
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跟踪训练1 如图所示，在棱长为1的正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D→1M为平
本
面EFB1的法向量．
课栏
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(2)由题意，A→M＝(x，y，z)，又∵a⊥A→M，∴a·A→M＝0，