差商与牛顿插值

(2)代入(1)得
f (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x, x0 , x1 ](x − x0 )(x − x1 ) (3)
?
三阶差商：f [x, x0 , x1, x2 ] =
f [x, x0 , x1 ] − f [x0 , x1, x2 ] x − x2
+ L +
(xn
−
f (xn ) x0 )L(xn
−
xn−1 )
∑ ∏ n
= (
k =0
n j=0
xk
1 −
xj
)
f
(xk )
j≠k
性质2：对称性，即差商与节点顺序无关
f [x0 , x1 ] = f [x1, x0 ] f [x0 , x1, x2 ] = f [x0 , x2 , x1 ] = f [x1, x0 , x2 ] = f [x1, x2 , x0 ] = L
• 差商的计算：差商表
xi f (xi ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 x０ f (x０) x1 f (x１) f [x0 , x1 ] x２ f (x２) f [x１, x２] f [x0 , x１, x２] x3 f (x3 ) f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x０, x1, x2 , x3 ]
⇒ f [x, x0 , x1 ] = f [x0 , x1, x2 ] + f [x, x0 , x1, x2 ](x − x2 ) (4)
(4)代入(3)得
f (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1, x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + f [x, x1, x2 , x3 ](x − x0 )(x − x1 ) (x − x2 ) (5)
f [x1,K, xn ] − f [x0 ,K, xn−1 ] xn − x0
• 差商的性质
性质1：n阶差商可以表示为n+1个函数值的线性组合
f
[x0 ,
x1 ,K,
xn
]
=
(x0
−
f (x0 ) x1 )L(x0
−
xn
)
+L
+
f (xk )
(xk − x0 )L(xk − xk−1 )(xk − xk+1 )L(xk − xn )
代入到前一步得到的递推式中得
f (x) = f (x0 ) +
f [x0 , x1 ](x − x0 ) +
f [x0 , x1, x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + f [x0 , x1, x2 , x3 ](x − x0 )(x − x1 ) (x − x2 ) +
Nn(x)
L +
f [x0 , x1,L, xn ](x − x0 )(x − x1 ) L(x − xn−1 ) +
f
[
x,
x1
,L,
?
xn
](x
−
x0
)(
x
−
x1
) L(
x
−
xn
)
Rn(x)
f (x) = Nn (x) + Rn (x) N n (x)牛顿插值公式
Nn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + L＋ an (x − x0 )L(x − xn−1 ) 其中的系数是差商表对角线上的元素
4.3 差商及其性质
• 差商的概念
函数f (x)，其
零阶差商：f [x0 ] = f (x0 )
一阶差商：f [x0 , x1 ] =
f [x1 ] − f [x0 ] x1 − x0
二阶差商：f [x0 , x1, x2 ] =
f [x1, x2 ] − f [x0 , x1 ] x2 − x0
n阶差商：f [x0 , x1,K, xn ] =
Rn (x)插值余项 Rn (x) = f [x, x1,L, xn ](x − x0 )(x − x1 ) L(x − xn )
• Newton插值法计算过程
先计算差商
xi f (xi ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 x０ f (x０) x1 f (x１) f [x0 , x1 ] x２ f (x２) f [x１, x２] f [x0 , x１, x２] x3 f (x3 ) f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x０, x1, x2 , x3 ]
使用Nn(x)计算f(Βιβλιοθήκη Baidu)的近似值 使用Rn(x)估算余项
?
n阶差商：f [x, x0 , x1, xK, xn ] =
f [x, x0 , x1,K, xn−1 ] − x − xn
f [x0 ,K, xn ]
⇒ f [x, x0 , x1,K, xn−1 ] = f [x0 ,K, xn ] + f [x, x0 , x1, xK, xn ](x − xn )
一阶差商：f [x, x0 ] =
f (x) − f (x0 ) x − x0
⇒ f (x) = f (x0 ) + f [x, x0 ](x − x0 ) (1)
?
二阶差商：f [x, x0 , x1 ] =
f [x, x0 ] − f [x0 , x1 ] x − x1
⇒ f [x, x0 ] = f [x0 , x1 ] + f [x, x0 , x1 ](x − x1 ) (2)
4.3 牛顿插值公式
• Lagrange插值法计算的问题
新增插值节点需要重新计算所有基函数
• 解决方法
基于差商的特点推导构造Newton插值公式 从一阶差商开始推导一直到n差商
N n (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + L＋an (x − x0 )L(x − xn−1 )