王永老师的两篇文章(关于弗莱登塔尔思想的)

著名特级教师王永“小学数学课堂教学的数学化”探讨实录

这里所说的“数学化”更注重生活数学化，课程内容数学化，还是教学方法数学化，或者其他？“数学化”是数学教学手段、目的，还是特征？

王永：“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。今天我们看到以数学活动为载体的小学数学课程，强调“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。

数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化。数学的根源在于普通的常识，在于学生已有的生活经验。数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成是他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。

所以，数学化是学生自己的活动，不是教师的活动；数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。教师的责任首先是创设适合于学生进行数学化活动的具体的现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。

例如，小学一年级学生怎样学习加法呢？首先要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几支铅笔？（用两幅图呈现这个实际问题）其次，指导学生参与如下的数学活动：①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；③数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数字或符号的意义。进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。

这就是课程标准强调的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，也就是经历数学化的过程。我所理解的“数学化”，既是数学教学活动的目的，也是实现目的的手段。

数学化是否就是培养学生的数学建模思想？数学化与纯数学之间有什么联系与区别？

王永：数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。

是否也可以这样理解：横向数学化的产物是生成数学与生活的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化的因素，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。

所谓纯数学，如果是指脱离了现实背景的抽象的形式化的数学理论与方法，它却是纵向数学化所要生成的东西。对数学模型进行形式的数学处理，就是纵向数学化的过程。

有趣的是，弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是如果数学教育用双重的二分法分别注重横向数学化和纵向数学化来进行分类的话，可以分成如下四种类型，这些教学类型分别对应着

彼此不同的哲学观：

①缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；

②横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；

③横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；

④横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。

当下我国基础教育数学课程改革倡导的是现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。

数学教育的本质是发展学生的思维。发展学生的思维与数学化是否是同一回事？

王永：我们暂且不去讨论数学教育的本质是否只是关注发展学生的思维。但发展学生的数学思考能力无疑是数学课程的基本目标之一。发展数学思考能力包括抽象思维、形象思维、统计观念、合情推理能力和初步的演绎推理能力等。发展学生的思维与数学化虽然不是同一回事，但可以肯定，学生亲身经历数学化的活动也是发展学生思维的过程和动力。

数学新课程强调数学教学要遵循学生学习数学的心理规律，什么是学生学习数学的心理规律呢？布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平。我们可以从下面一个例子，看到数学化过程是怎样促进学生思维发展的。

问题情境（用情境图呈现）：在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，这两箱一共有几瓶牛奶？

从这个实际问题能提出一个简单的数学问题吗？这个简单的数学问题是：9和5合起来是多少？从而列出算式：9＋5＝？要求学生从实际问题剥离出一个简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构，建立数学模型的过程。这是横向数学化。在传统数学教学中，不要求学生在列出算式前先把实际问题抽象为一个简单的数学问题（数学模型），是因为意识不到这一中介的重要性。

接着，放手让学生自主探索：9＋5应该怎么计算？这就是学生自己在进行着纵向的数学化活动。在是创造算法化的过程，“算法化意味着将证明留给学生，即使它会在一段时间或永远地隐含在学习过程中”，弗赖登塔尔说，“再创造算法涉及到一个图式化的过程，由他们来探究尽可能适合学习者需要、能力要求和允许范围的标准算法”。

学生的算法是多样化的，因为他们本来就处在不同的认知发展阶段，他们的认知背景和认知风格也不会相同。

处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根小棒和5根小棒，然后合在一起数，得出结果14。这些学生的思维需要利用实物的图式，他们还摆脱不了数数的具体操作。

处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个一堆的圆圈中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出结果14。这些学生利用的是图形的图式，他们已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了。

处在符号认知水平的学生，他们可以进行抽象的思维了：9＋1＝10，10＋4＝14。这些学生利用的是符号的图式，他们有良好的数感和符号感。

凡是学习就会产生差异，但差异也会产生学习。因此，要把上述差异当作课堂动态生成的教学资源加以利用，有效的策略是让学生交流、互动起来，将不同算法展示出来，这些差异的碰撞，会促使学生个体的反思。这种反思，会促使认知水平比较低的学生获得感悟：利用图形的图式比小棒图式简便，利用符号的图式又比图形的图式简捷。

数学化的一个十分重要的方面就是反思自己的活动，从而促使改变看问题的角度，这是学生思维得以持续发展的内因。认知水平比较低的学生虽然不可能创造出超越自己认知水平